BazYardmcBa³langç-De§er Problemleri ve Çözümleri

Bu ksmda ara³trd§mz

τ u := −u00+ q(x)u = λu, x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] (5.4.1)

cos αu(−1) + sin αu0(−1) = 0, α ∈ [0, π) _(5.4.2)

u0(1) = λu(1) (5.4.3)

u(+0) = u(−0) (5.4.4)

u0(+0) = γu0(−0) (5.4.5)

(5.4.1) − (5.4.5)snr-de§er-geçi³ problemi ile ilgili olan ve sadece [−1, 0] ve ya [0, 1] alt aralklarnda verilmi³ baz yardmc ba³langç-de§er problemlerinin çözümlerinin varl§n ve de bu çözümlerin λ kompleks özde§er parametresine göre bütün kompleks düzlemde analitikli§ini ispat edece§iz. Daha sonra bu çözümlerden yararlanlarak (5.4.1) denkleminin (5.4.2) - (5.4.5) snr-de§er ³artlar için temel olacak çözümleri tanmlayaca§ z. Bunun için ilk önce a³a§daki ba³langç-de§er problemini gözönüne alalm.

−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [−1, 0] (5.4.6)

u(−1) = sin α α ∈ [0, π) (5.4.7)

Teorem 3.8 gere§i ∀λ ∈ C için (5.4.6) − (5.4.8) ba³langç-de§er probleminin bir tek

u = Φ1(x) ≡ Φ1(x, λ)çözümü bulunur ve yine ayn teorem gere§i

−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [0, 1] (5.4.9)

diferansiyel denkleminin λ parametresine ba§l

u(1) = 1 _(5.4.10)

u0(1) = λ (5.4.11)

ba³langç ³artn sa§layan bir tek u = χ2(x) ≡ χ2(x, λ) çözümü bulunur. Φ1(x, λ) ve χ2(x, λ) fonksiyonlar ile ba§lantl olan a³a§daki ba³langç-de§er problemini gözönüne

alalm. Snr ³artlarnn λ parametresine ba§mll§ açk bir ³ekilde verilmi³

−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [0, 1] (5.4.12)

u(0) = Φ1(0, λ) (5.4.13)

u0(0) = γ Φ0₁(0, λ) (5.4.14) ba³langç-de§er probleminin ∀λ ∈ C için Teorem 3.8 gere§i bir tek u = Φ2(x) ≡

Φ2(x, λ)çözümü bulunur. Benzer ³ekilde

−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x), x ∈ [−1, 0] _(5.4.15)

u(0) = χ2(0, λ) (5.4.16)

u0(0) = 1

γ χ

0

2(0, λ) (5.4.17)

snr ³artlarn sa§layan bir tek u = χ1(x) ≡ χ1(x, λ)çözümü bulunur. Teorem 3.8 gere§i

Φ1(x, λ)ve χ1(x, λ) fonksiyonlar ∀ x ∈ [−1, 0] için ,Φ2(x, λ) ve χ2(x, λ)fonksiyonlar

ise ∀ x ∈ [0, 1] için λ parametresine göre bütün kompleks düzlemde analitiktir. Yani; λ parametresinin tam fonksiyonudur.

Teorem 5.4.1. Her λ ∈ C için (5.4.6) − (5.4.8) e³itlikleri ile tanml ba³langç-de§er probleminin bir tek Φ1(x, λ) çözümü bulunur ve bu çözüm herbir x ∈ [−1, 0] de§eri

50

için λ de§i³kenine göre bütün kompleks düzlemde analitiktir. Yani ∀x ∈ [−1, 0] için λ kompleks parametresine göre tam analitik fonksiyondur.

spat: Önce

−u00(x) + q(x)u(x) = λu(x) denklemi

u00(x) = (q(x) − λ)u(x) biçiminde yazldktan sonra integrallenirse

u0(x) = Z _x

−1

(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ), x ∈ [−1, 0] (5.4.18)

elde edilir. Son ifade bir kez daha integrallenirse,

u(x) = Z _x −1 ds Z _s −1 (q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ)x + c2(λ), x ∈ [−1, 0] (5.4.19)

bulunur. ntegral ifadesindeki integral sras de§i³tirilirse Z _x −1 ds Z _s −1 (q(t) − λ)u(t)dt = Z _x −1 dt Z _x t (q(t) − λ)u(t)ds = Z _x −1 (x − t)(q(t) − λ)u(t)dt _(5.4.20)

e³itli§i elde edilir. Son e³itlik (5.4.18)' de yerine yazlrsa

u(x) =

Z _x −1

(x − t)(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ)x + c2(λ) (5.4.21)

ifadesi bulunur. Son ifade (5.4.7) snr ³artnda yerine yazlrsa

u(−1) = c1(λ)(−1) + c2(λ) = sin α =⇒ c2(λ) − c1(λ) = sin α

bulunur. (5.4.18) e³itli§i (5.4.8) snr ³artnda yerine yazlrsa

bulunur. Buradan da

c2(λ) = sin α − cos α

elde edilir. c1(λ)ve c2(λ)de§erleri (5.4.21)' de yazlr ve düzenlenirse

u(x) =

Z _x −1

(x − t)(q(t) − λ)u(t)dt − cos α(x + 1) + sin α (5.4.22)

integral denklemi elde edilir. Bu integral denklemini ard³k yakla³mlar yöntemi ile çözelim. Bunun için

un(x) = Z _x

−1

(x − t)(q(t) − λ)un−1(t)dt + u0(x) (5.4.23)

u0(x) = − cos α(x + 1) + sin α (5.4.24) ³eklinde tanmlanm³ {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisi olu³turulur. Bu diziyi kullanarak

u0(x, λ) + ∞ X n=1 [un(x) − un−1(x)] (5.4.25) serisi olu³turulur.

P > 0 için, |λ| ≤ P oldu§unu kabul edelim. −1 ≤ x ≤ 0 için, q(x) ve u(x) fonksiyonlar sürekli olduklarndan ve de sonlu q(±0) limit de§erleri mevcut oldu§undan

|q(x)| ≤ Rve |u(x)| ≤ S olacak biçimde R > 0 ve S > 0 saylar mevcuttur. Bu durumda, |un(x) − un−1(x)| ifadesini gözönüne alalm. n = 1 için,

|u1(x) − u0(x)| = ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x −1 (x − t)(q(t) − λ)u0(t)dt + u0(x) − u0(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z _x −1 |q(t) − λ| |u0(t)| |x − t|dt ≤ Z _x −1 (|q(t)| + |λ|) |u0(t)| |x − t|dt ≤ Z _x −1 (P + R)S(x − t)dt = (P + R)S Z _x −1 (x − t)dt = (P + R)S · xt − t 2 2 ¸_x −1 = P + R)S · x2−x 2 2 + x + 1 2 ¸ =⇒ |u1(x) − u0(x)| ≤ P + R)S (x + 1)2 2 (5.4.26)

52 bulunur. n = 2 için, |u2(x) − u1(x)| = ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x −1 (x − t)(q(t) − λ)u1(t)dt − Z _x −1 (x − t)(q(t) − λ)u0(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ Z _x −1 (q(t) − λ) (u1(t) − u0(t)) (x − t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z _x −1 |q(t) − λ| |u1(t) − u0(t)| |x − t|dt ≤ Z _x −1 (|q(t)| + |λ|) P + R)S(t + 1) 2 2 (x − t)dt ≤ 1 2 Z _x −1 (P + R)2S(t + 1)2(x − t)dt = (P + R) 2_S 2 Z _x −1 £ (t2+ 2t + 1)x − (t2+ 2t + 1)¤dt = 1 2(P + R) 2_S(x + 1)4 12 =⇒ |u2(x) − u1(x)| ≤ (P + R)2S (x + 1)4 4! (5.4.27)

bulunur. Sonuç itibariyle Tümevarm yöntemini uygulamak suretiyle

|un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)nS

(x + 1)2n

(2n)! (5.4.28)

oldu§u kolayca ispatlanabilir.

−1 ≤ x ≤ 0_{oldu§undan (x + 1)}2n _{≤ 1ve buna ba§l olarak}

|un(x) − un−1(x)| ≤ ((P + R) n_S

(2n)! (5.4.29)

elde edilir. Bu nedenle _∞ X n=1

(P + R)n_S (2n)!

saysal serisi yaknsak oldu§undan, (5.4.25) serisi x ∈ [−1, 0] ve P > 0 için, |λ| ≤ P ³artlar çerçevesinde mutlak ve düzgün yaknsaktr. Di§er taraftan (5.4.25) serisi P > 0 ve |λ| ≤ P ile tanmlanm³ bölgede analitik oldu§u için, Φ1(x, λ) ksmi toplamlar

diziside analitiktir. Ayrca serinin yaknsak oldu§u durumda {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisinin limiti, serinin ksmi toplamlar dizisinin limiti oldu§undan (5.4.23)' de n −→ ∞

için limit almakla Φ1(x, λ)) = u0(x, λ) + ∞ X n=1 [un(x) − un−1(x)] = Z _x −1 (x − t)(q(t) − λ)Φ1(t, λ))dt − cos α(x + 1) + sin α(5.4.30)

e³itli§i elde edilir. Ayrca (5.4.23) ile tanmlanan {un(x, λ)}fonksiyonlar dizisinin

u0_n(x) − u0_n−1(x) = Z _x

−1

(q(t) − λ){un−1(t) − un−2(t)}

u00_n(x) − u00_n−1(x) = (q(x) − λ){un−1(x) − un−2(x)}

birinci ve ikinci türevleri mevcut oldu§undan (5.4.30) serisi x de§i³kenine göre terim terim diferansiyellenebilir ve de Φ00₁(x, λ)) = ∞ X n=1 [u00_n(x) − u00_n−1(x)] = ∞ X n=1 {q(x) − λ}{un−1(x) − un−2(x)} = {q(x) − λ} {u0(x) + ∞ X n=2 {un−1(x) − un−2(x)}} =⇒ Φ00₁(x, λ)) = {q(x) − λ}Φ1(x, λ)) (5.4.31)

e³itli§i sa§lanr. Bu sonuç Φ1(x, λ))' nn ayn zamanda (5.4.6) denkleminin bir çözümü

oldu§unu gösterir. Bu ise ispat tamamlar.

Teorem 5.4.2. Her λ ∈ C için (5.4.12) − (5.4.14) e³itlikleri ile tanml ba³langç-de§er probleminin bir tek Φ2(x, λ) çözümü bulunur ve bu çözüm herbir x ∈ [0, 1] de§eri

için λ de§i³kenine göre bütün kompleks düzlemde analitiktir. Yani ∀x ∈ [0, 1] için λ kompleks parametresine göre tam analitik fonksiyondur.

spat: (5.4.12) denklemi için Teorem 5.4.1' deki yöntem kullanlarak (5.4.21) integral denkleminin ayns yazlabilir. Yani;

u(x) =

Z _x

0

54

e³itli§i yazlr. Türevi alnrsa

u0(x) = Z _x

0

(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ) (5.4.33)

e³itli§i yazlr. (5.4.32) denklemi (5.4.13) snr ³artnda yazlrsa

u(0) = c2(λ) = Φ1(0, λ)

bulunur. (5.4.33) denklemi (5.4.14) snr ³artnda yerine yazlrsa

u0(0) = c1(λ) = γΦ

0

1(0, λ)

bulunur. c1(λ) ve c2(λ)de§erleri (5.4.32)' de yerlerine yazlrsa

u(x) =

Z _x

0

(x − t)(q(t) − λ)u(t)dt + γΦ0₁(0, λ)x + Φ1(0, λ) (5.4.34)

elde edilir. (5.4.34) integral denklemi ile (5.4.12) − (5.4.14) ba³langç-de§er problemi ile e³de§erdir. Φ2(x, λ)'nn (5.4.12) − (5.4.14) ba³langç-de§er probleminin bir tek

çözümü oldu§u ve ∀x ∈ [0, 1] için λ ∈ C kompleks de§i³keninin tam fonksiyonu oldu§unu ispatlamak yani, Φ2(x, λ) fonksiyonuna yaknsayan fonksiyon dizisinin in³a

edilmesi için, integral denklemler teorisinden iyi bilinen ard³k yakla³mlar yönteminden yararlanlacaktr. Bu yöntem gere§i a³a§daki ard-arda birbirini üreten fonksiyonlar dizisi in³a edilecektir. Önceki teoremin ispatna benzer ³ekilde

un(x, λ) = Z _x 0 (x − t)(q(t) − λ)un−1(t)dt + u0(x, λ) (5.4.35) u0(x, λ) = γΦ 0 1(0, λ)x + Φ1(0, λ) (5.4.36)

biçiminde {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisi olu³turulur. Bu diziyi kullanarak

u0(x, λ) +

∞ X n=1

[un(x) − un−1(x)] (5.4.37)

serisi olu³turulur. P > 0 için |λ| ≤ P ,

R := max

³artlarn dikkate alarak (5.4.35) − (5.4.36) fonksiyonlarnn mutlak de§erleri incelenecektir. Bu durumda yine Teorem 5.4.1' in ispatna benzer biçimde

|u1(x) − u0(x)| ≤ P + R) S x2 2! |u2(x) − u1(x)| ≤ (P + R)2S x4 4! (5.4.38)

e³itsizlikleri ve n ≥ 2 için tümevarm yöntemi kullanlarak,

|un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)nS

x2n

(2n)! (5.4.39)

e³itsizlikleri elde edilir. 0 ≤ x ≤ 1 oldu§undan x2n _{≤ 1ve buna ba§l olarak}

|un(x) − un−1(x)| ≤ (

(P + R)n_S

(2n)! (5.4.40)

elde edilir. Bu nedenle _∞ X n=1

(P + R)n_S (2n)!

saysal serisi yaknsak oldu§undan (5.4.37) serisi x ∈ [0, 1] ve P > 0 için, |λ| ≤ P ³artlar çerçevesinde mutlak ve düzgün yaknsaktr. Di§er taraftan (5.4.37) serisi P > 0 ve |λ| ≤ P ile tanmlanm³ bölgede analitik oldu§u için, Φ2(x, λ) ksmi toplamlar

diziside analitiktir. Ayrca serinin yaknsak oldu§u durumda {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisinin limiti, serinin ksmi toplamlar dizisinin limiti oldu§undan (5.4.35)' de n −→ ∞ için limit almakla

Φ2(x, λ)) = Z _x 0 (x − t)(q(t) − λ)Φ2(t, λ))dt + γΦ 0 1(0, λ)x + Φ1(0, λ) (5.4.41)

e³itli§ini elde ederiz. Böylece Φ2(x, λ)), (5.4.12)−(5.4.14) ba³langç-de§er probleminin

çözümü olur. spat bitti.

Sonuç 5.4.1. ∀λ ∈ C Φ(x, λ) =    Φ1(x, λ), x ∈ [−1, 0) Φ2(x, λ), x ∈ (0, 1]

56

ile tanml Φ(x, λ) fonksiyonu

−u00+ q(x)u = λu, x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] (5.4.42)

diferansiyel denklemini

cos αu(−1) + sin αu0(−1) = 0 (5.4.43)

birinci snr ³artn ve de

u(+0) = u(−0) (5.4.44)

u0(+0) = γu0(−0) (5.4.45)

geçi³ ³artlarn sa§lar.

spat: ∀λ ∈ C ve x ∈ [−1, 0) için Φ(x, λ) = Φ1(x, λ)oldu§undan ve de (5.4.6)−(5.4.8)

ba³langç-de§er probleminin (5.4.7) − (5.4.8) ³artlar gere§i

Φ(−1, λ) = Φ1(−1, λ) = sin α

Φ0(−1, λ) = Φ0₁(−1, λ) = − cos α yazlabilir. Bu takdirde;

cos αΦ1(−1, λ) + sin αΦ

0

1(−1, λ) = cos α sin α − sin α cos α = 0

elde edilir. Bu yüzden

cos αΦ1(−1, λ) + sin αΦ

0

1(−1, λ) = 0

³art sa§lanr.

(5.4.12)−(5.4.14)ba³langç-de§er probleminin (5.4.13) ³art gere§i Φ2(0, λ) = Φ1(0, λ)

oldu§u açktr. Bu yüzden de

bulunur. (5.4.12) − (5.4.14) probleminin (5.4.14) ³art gere§i Φ0 2(0, λ) = γΦ 0 1(0, λ) oldu§undan Φ0(+0, λ) = Φ0₂(0, λ) = γΦ0₁(0, λ) = γΦ0(−0, λ) olur. Yani Φ0(+0, λ) = γΦ0(−0, λ) e³itli§i elde edilir.

Bu durumda Φ(x, λ) fonksiyonunun (5.4.1) denklemini ve de birinci snr ³art ile her iki geçi³ ³artn sa§lad§ ispatlanm³ olur.

Teorem 5.4.3. Her λ ∈ C için (5.4.9) − (5.4.11) e³itlikleri ile tanml ba³langç-de§er probleminin bir tek χ2(x, λ) çözümü bulunur ve bu çözüm herbir x ∈ [0, 1] de§eri

için λ de§i³kenine göre bütün kompleks düzlemde analitiktir. Yani ∀x ∈ [0, 1] için λ kompleks parametresine göre tam analitik fonksiyondur.

spat: (5.4.9) denklemi için Teorem 5.4.1'de ki yöntem kullanlarak (5.4.21) integral denkleminin ayns yazlabilir. Yani;

u(x) =

Z ₁ x

(t − x)(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ)x + c2(λ) (5.4.46)

e³itli§i yazlr. Türevi alnrsa

u0(x) = Z ₁

x

(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ) (5.4.47)

e³itli§i yazlr. (5.4.46) denklemi (5.4.10) snr ³artnda yazlrsa

u(1) = c1(λ) + c2(λ) = 1

bulunur. (5.4.47) denklemi (5.4.11) snr ³artnda yerine yazlrsa

u0(1) = c1(λ) = λ

bulunur. Buradan da

58

bulunur. c1(λ) ve c2(λ)de§erleri (5.4.46)' da yerlerine yazlrsa

u(x) =

Z ₁ x

(t − x)(q(t) − λ)u(t)dt + λ(x − 1) + 1 (5.4.48)

elde edilir. (5.4.48) integral denklemi ile (5.4.9) − (5.4.11) ba³langç-de§er problemi ile e³de§erdir. χ2(x, λ)'nn (5.4.9) − (5.4.11) ba³langç-de§er probleminin bir tek

çözümü oldu§u ve ∀x ∈ [0, 1] için λ ∈ C kompleks de§i³keninin tam fonksiyonu oldu§unu ispatlamak yani, χ2(x, λ) fonksiyonuna yaknsayan fonksiyon dizisinin in³a

edilmesi için, integral denklemler teorisinden iyi bilinen ard³k yakla³mlar yönteminden yararlanlacaktr. Bu yöntem gere§i a³a§daki ard-arda birbirini üreten fonksiyonlar dizisi in³a edilecektir. Önceki teoremin ispatna benzer ³ekilde

un(x, λ) = Z ₁

x

(t − x)(q(t) − λ)un−1(t)dt + u0(x, λ) (5.4.49)

u0(x, λ) = λ(x − 1) + 1 (5.4.50)

biçiminde {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisi olu³turulur. Bu diziyi kullanarak

u0(x, λ) +

∞ X n=1

[un(x) − un−1(x)] (5.4.51)

serisi olu³turulur. P > 0 için |λ| ≤ P ,

R := max

x∈[0,1]|q(x)| , S := maxx∈[0,1]|u0(x, λ)|

³artlarn dikkate alarak (5.4.49) − (5.4.50) _{fonksiyonlarnn mutlak de§erleri} incelenecektir. Bu durumda yine Teorem 5.4.1'in ispatna benzer biçimde

|u1(x) − u0(x)| ≤ (P + R) S (x − 1)2 2! |u2(x) − u1(x)| ≤ (P + R)2 S (x − 1)4 4! (5.4.52)

e³itsizlikleri ve n ≥ 2 için tümevarm yöntemi kullanlarak,

|un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)nS

(x − 1)2n

e³itsizlikleri elde edilir. 0 ≤ x ≤ 1 oldu§undan (x − 1)2n _{≤ 1ve buna ba§l olarak}

|un(x) − un−1(x)| ≤

(P + R)n_S

(2n)! (5.4.54)

elde edilir. Bu nedenle _∞ X n=1

(P + R)n_S (2n)!

saysal serisi yaknsak oldu§undan (5.4.51) serisi x ∈ [0, 1] ve P > 0 için, |λ| ≤ P ³artlar çerçevesinde mutlak ve düzgün yaknsaktr. Di§er taraftan (5.4.51) serisi P > 0 ve |λ| ≤ P ile tanmlanm³ bölgede analitik oldu§u için, χ2(x, λ) ksmi toplamlar

diziside analitiktir. Ayrca serinin yaknsak oldu§u durumda {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisinin limiti, serinin ksmi toplamlar dizisinin limiti oldu§undan (5.4.49)' da n −→ ∞ için limit almakla

χ2(x, λ)) =

Z ₁ x

(t − x)(q(t) − λ)χ2(t, λ))dt + λ(x − 1) + 1 (5.4.55)

e³itli§i elde edilir. Ayrca;

χ2(x, λ)) = u0(x, λ) +

∞ X n=1

[un(x) − un−1(x)] (5.4.56)

ifadesi x' e göre düzgün yaknsak oldu§u için ve de n ≥ 2 için (5.4.49) − (5.4.50) ile tanmlanan {un(x, λ)}fonksiyonlar dizisinin

u0_n(x) − u0_n−1(x) = Z _x

−1

(q(t) − λ){un−1(t) − un−2(t)}

u00_n(x) − u00_n−1(x) = (q(x) − λ){un−1(x) − un−2(x)}

birinci ve ikinci türevleri mevcut oldu§undan (5.4.51) serisi x de§i³kenine göre terim terim diferansiyellenebilir ve de

60 χ00₂(x, λ)) = ∞ X n=1 [u00_n(x) − u00_n−1(x)] = ∞ X n=1 {q(x) − λ}{un−1(x) − un−2(x)} = {q(x) − λ} {u0(x) + ∞ X n=2 {un−1(x) − un−2(x)}} =⇒ χ00₂(x, λ)) = {q(x) − λ}χ2(x, λ)) (5.4.57)

e³itli§i sa§lanr. Bu sonuç χ2(x, λ))' nn ayn zamanda (5.4.9) denkleminin bir çözümü

oldu§unu gösterir. spat bitti.

Teorem 5.4.4. Her λ ∈ C için (5.4.15) − (5.4.17) e³itlikleri ile tanml ba³langç-de§er probleminin bir tek χ1(x, λ) çözümü bulunur ve bu çözüm herbir x ∈ [−1, 0] de§eri

için λ de§i³kenine göre bütün kompleks düzlemde analitiktir. Yani ∀x ∈ [−1, 0] için λ kompleks parametresine göre tam analitik fonksiyondur.

spat: (5.4.15) denklemi için Teorem 5.4.1'de ki yöntem kullanlarak (5.4.21) integral denkleminin ayns yazlabilir. Yani;

u(x) =

Z ₀ x

(t − x)(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ)x + c2(λ) (5.4.58)

e³itli§i yazlr. Türevi alnrsa

u0(x) = Z ₀

x

(q(t) − λ)u(t)dt + c1(λ) (5.4.59)

e³itli§i yazlr. (5.4.58) denklemi (5.4.16) snr ³artnda yazlrsa

u(0) = c2(λ) = χ2(0, λ)

bulunur. (5.4.59) denklemi (5.4.17) snr ³artnda yerine yazlrsa

u0(0) = c1(λ) =

1

γ χ

0

bulunur. c1(λ) ve c2(λ)de§erleri (5.4.58)' de yerlerine yazlrsa u(x) = Z ₀ x (t − x)(q(t) − λ)u(t)dt + χ2(0, λ) + 1 γ χ 0 2(0, λ)x (5.4.60)

elde edilir. (5.4.60) integral denklemi ile (5.4.15) − (5.4.17) ba³langç-de§er problemi ile e³de§erdir. χ1(x, λ)'nn (5.4.15) − (5.4.17) ba³langç-de§er probleminin bir tek

çözümü oldu§u ve ∀x ∈ [−1, 0] için λ ∈ C kompleks de§i³keninin tam fonksiyonu oldu§unu ispatlamak yani, χ1(x, λ) fonksiyonuna yaknsayan fonksiyon dizisinin in³a

edilmesi için, integral denklemler teorisinden iyi bilinen ard³k yakla³mlar yönteminden yararlanlacaktr. Bu yöntem gere§i a³a§daki ard-arda birbirini üreten fonksiyonlar dizisi in³a edilecektir. Önceki teoremin ispatna benzer ³ekilde

un(x, λ) = Z ₀ x (t − x)(q(t) − λ)un−1(t)dt + u0(x, λ) (5.4.61) u0(x, λ) = χ2(0, λ) + 1 γ χ 0 2(0, λ)x (5.4.62)

biçiminde {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisi olu³turulur. Bu diziyi kullanarak

u0(x, λ) + ∞ X n=1

[un(x) − un−1(x)] (5.4.63)

serisi olu³turulur. P > 0 için |λ| ≤ P ,

R := max

x∈[0,1]|q(x)| , S := maxx∈[0,1]|u0(x, λ)|

³artlarn dikkate alarak (5.4.61)−(5.4.62) fonksiyonlarnn mutlak de§erleri incelenecektir. Bu durumda yine Teorem 5.4.1'in ispatna benzer biçimde

|u1(x) − u0(x)| ≤ (P + R) S x2 2! |u2(x) − u1(x)| ≤ (P + R)2S x4 4! e³itsizlikleri ve n ≥ 2 için tümevarm yöntemi kullanlarak,

|un(x) − un−1(x)| ≤ (P + R)nS

x2n

62

e³itsizlikleri elde edilir. −1 ≤ x ≤ 0 oldu§undan x2n _{≤ 1ve buna ba§l olarak}

|un(x) − un−1(x)| ≤

(P + R)n_S

(2n)! (5.4.65)

elde edilir. Bu nedenle _∞ X n=1

(P + R)n_S (2n)!

saysal serisi yaknsak oldu§undan (5.4.63) serisi x ∈ [−1, 0] ve P > 0 için, |λ| ≤ P ³artlar çerçevesinde mutlak ve düzgün yaknsaktr. Di§er taraftan (5.4.63) serisi P > 0 ve |λ| ≤ P ile tanmlanm³ bölgede analitik oldu§u için, χ1(x, λ) ksmi toplamlar

diziside analitiktir. Ayrca serinin yaknsak oldu§u durumda {un(x, λ)} fonksiyonlar dizisinin limiti, serinin ksmi toplamlar dizisinin limiti oldu§undan (5.4.61)' de n −→ ∞ için limit almakla

χ1(x, λ)) = Z ₀ x (t − x)(q(t) − λ)χ2(t, λ))dt + χ2(0, λ) + 1 γ χ 0 2(0, λ)x (5.4.66)

e³itli§i elde edilir. Ayrca;

χ1(x, λ)) = u0(x, λ) +

∞ X n=1

[un(x) − un−1(x)] (5.4.67)

ifadesi x' e göre düzgün yaknsak oldu§u için ve de n ≥ 2 için (5.4.61) − (5.4.62) ile tanmlanan {un(x, λ)}fonksiyonlar dizisinin

u0_n(x) − u0_n−1(x) = Z ₀

x

(q(t) − λ){un−1(t) − un−2(t)}

u00_n(x) − u00_n−1(x) = (q(x) − λ){un−1(x) − un−2(x)}

birinci ve ikinci türevleri mevcut oldu§undan (5.4.63) serisi x de§i³kenine göre terim terim diferansiyellenebilir ve de

χ00₁(x, λ)) = ∞ X n=1 [u00_n(x) − u00_n−1(x)] = ∞ X n=1 {q(x) − λ}{un−1(x) − un−2(x)} = {q(x) − λ} {u0(x) + ∞ X n=2 {un−1(x) − un−2(x)}} =⇒ χ00₁(x, λ)) = {q(x) − λ}χ1(x, λ)) (5.4.68)

e³itli§i sa§lanr. Bu sonuç χ1(x, λ))' nn ayn zamanda (5.4.15) denkleminin bir çözümü

oldu§unu gösterir. spat bitti.

Sonuç 5.4.2. ∀λ ∈ C için χ(x, λ) =    χ1(x, λ), x ∈ [−1, 0) χ2(x, λ), x ∈ (0, 1]

ile tanml χ(x, λ) fonksiyonu

−u00+ q(x)u = λu, x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] (5.4.69)

diferansiyel denklemini

u0(1) = λu(1) (5.4.70)

birinci snr ³artn ve de

u(+0) = u(−0) (5.4.71)

u0(+0) = γu0(−0) (5.4.72)

geçi³ ³artlarn sa§lar.

64

Belgede Denkleminde soyut lineer operatör bulunduran bir sınır-değer probleminin özdeğerlerinin asimptotik davranışı (sayfa 59-75)