İNTEGRAL 03 

ANA SAYFA

BELİRSİZ İNTEGRAL

TANIM: f:[a,b] R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi F(x) veya

diferansiyeli f(x).d(x) olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve f(x).d(x)=F(x)+c biçiminde gösterilir.

BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

1) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. Yani, = = f(x) tir.

2) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. Yani, d(f(x).dx) = f(x).dx .dx) ) ( (  f x ' (F(x)C)' ANA SAYFA

x e

x

e

3) Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon ile bir C sabitinin toplamına eşittir. Yani,

d(f(x)) = f(x) + c dir.

iNTEGRAL ALMA KURALLARI

1)  dx= (1/n+1) +c (n -1) 2) (1/x)dx = ln |x| +c 3)  dx = +c 4)  dx = (1/lna). +c 5)sinxdx = -cosx+c 6) cosx=sinx+c 7)  tanx.secx.dx = secx+c n

x

x

n1 x

a

x

a

ANA SAYFA

8) cotx.cosecx.dx= -cosecx+c

9) .dx = (1/ .dx) = (1+ )dx = tanx+c

10) .dx = (1/ ).dx =  (1+ ).dx=-cotx+c

11)(1/1+ ).dx =arctanx+ =-arccotx+

12) dx=arcsinx+ =-arccosx+

Örnek:  (2x+1)dx belirsiz integralini bulalım.

Çözüm:  (2x+1).dx= 2x.dx+ 1.dx=2.( /2)+1.x+c= +x+c bulunur.

Örnek: -[(2x-3x) / x].dx belirsiz integralini bulalım.

Çözüm: [(2x-3x) / x].dx =[(2x/x) -(3x/x)].dx=2x.dx-3/x.dx =2x.dx-3(1/x)dx=x-3 ln |x|+c x sec2 x cos2 x tan2 x cosec2 x sin2 x cot2 2 x

c

₁ c₂ 2 x -1 1 1

c

c₂ 2 x x2 ANA SAYFA

İNTEGRAL ALMA METOTLARI

İNTEGRAL ALMA METOTLARI

DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME METODU

İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye dönüştürülür.

1) f(x). .dx= f(x).d(f(x)) integralinde fonksiyon ve türevi çarpım şeklinde ise, değişken değiştirme metodu kullanılır. Değişken değiştirme yapılırken hem fonksiyonun hem de diferansiyelin değişimi yapılmalıdır.

F(x)=u dönüşümü yapılırsa; d(f(x))=d(u) => .dx= du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:

f(x). dx= u.du=( /2)+c=1/2 (x)+c şeklinde çarpım fonksiyonunun integrali alınmış olur.

(x). f' (x). f' (x). f' _u2 _f 2 ANA SAYFA

n

[f(x)]

(x) f '

2)  dx = d(f(x)) integralinde genellikle üssü

görmeden f(x)=u dönüşümü yapılır. Fakat türev oluşmazsa = u denilmelidir. Burada f(x) = u dönüşümü yapılırsa;

f(x) = u =>d(f(x))=(du) => .dx=du olur. Bulunan bu değerleri yerine yazalım: . [f(x)]n

(x).

f

' _f n_(x).

(x).dx

f

n

_.

_'

[f(x)]



C n u du u n n _   



 1 . 1

C

n









1

[f(x)]

n 1 ANA SAYFA

(x).

f

'

3) integralinde,

f(x) dönüşümü yapılırsa ; her iki tarafın diferansiyelini alalım: d(f(x))=d(u) => dx=du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım: bulunur.





)

(

))

(

(

)

(

(x).dx

f

'

x

f

x

f

d

x

f









u



C



f

x



C

u

du

x

f

dx

x

f

)

(

ln

ln

)

(

).

(

' ANA SAYFA

 



_a

f (x)

_.

_f

'

₍

_x

_).

_dx

₍

_a



_R





₁

₎

)

(

'

_x

f

4) integralinde;

f(x) = u dönüşümü yapılırsa ;d(f(x))=d(u) => .dx = du olur. Bulunanları yerlerine yazalım:

bulunur.

5) integralinde, g(x) = u dönüşümü yapılırsa ;

g(x)=u => d(g(x))= d(u)=> g’(x).dx=du olur.

C

a

a

C

a

a

du

a

dx

x

f

a

f x



u



u





f x







.

_ln

1

ln

1

.

.

).

(

.

' ( ) ) ( dx x g x g f ( ( )). '( ).



ANA SAYFA

Bulunanları yerlerine yazalım:

gibi basit fonksiyon integrali elde edilir.

İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER

İntegrandında bulunan integraller, trigonometrik dönüşümler yardımıyla hesaplanır.

Amaç , yapılacak trigonometrik dönüşümlerle irrasyonel

fonksiyon integralini, rasyonel fonksiyon integraline dönüştürmektedir. 1)İntegrandında Varsa(a>0) olur. du u f dx x g x g f ( ( )). '( ).



( ).



 2 2 2 2 2 2

_x

_,

_x

_a

_,

_a

_x

a







2 2 _x a 

t

a

t

t

a

a

x

a

2



2



2



2

.

sin

2



1



sin

2



.

cos

ANA SAYFA

2 2 _x a  olur. 1  a x 2)İntegrandında varsa; olur.

t

a

t

a

a

t

a

a

x

2



2



2

.

sec

2



2



sec

2



1



tan

2 2 _a

x 

3)İntegrandında varsa; (a>0) x = a.tant dönüşümü yapılır.

Buna göre,

_a

2

_

_x

2

_

_a

2

_

_a

2

_tan

2

_t

_

_a

_.

₁

_

_tan

2

_t

_

_a

_.

_sec

_t

ANA SAYFA

2)KISMİ İNTEGRASYON METODU

YARDIM:

1)dv’nin integrali kolay olmalı. 2) integrali ilk integral

3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır.



v.du



u

.

du



u

.

v





v

.

du

ANA SAYFA

ÖRNEK: x.cos.dx u= x ; dv=cosx.dx du=dx ; v=sinx =>x.sinx- sinx.dx =xsinx+cosx+c ÖRNEK2: lnx/x2 u=lnx dv=1/x2_.dx du=(1/x).dx v=-1/x =>u.v- v.du lnx(-1/x)- (1/x).(1/x).dx      ANA SAYFA

.dx = =

1



x

2 2 2 3 _{ x  x } x



  _ 1 2 2 x x x = (-lnx/x)-(1/x)+c = (-lnx-1/x)+c

3) BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU ÖRNEK:

dx

x

x

x

x

.

1

2

2

2 3





_





=x2_{+x kalan:2} c x x x _{   } 1 ln 2 2 3 2 3 ANA SAYFA

B=3 ; C=1 ;A=-3 Örnek:

_dx

x

x

x

x

.

3

2

3 2





_



1

1

)

1

)(

1

(

3

2

2



















x

C

x

B

x

A

x

x

x

x

x

)

1

(

)

1

(

)

1

(

3

2

2 2

_

_x

_

_

_A

_x

_

_

_Bx

_x

_

_

_Cx

_x

_

x



           dx x x x 1 . 1 1 3 3 =-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+c ANA SAYFA

1 tan sec sin 2 1 1 cos 2 2 cos cos sin 2 2 sin 1 cos 2 sin 2 2 2 2 2 2          x x x x x x x x x x

4) TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMI İLE

(sina.sinb)= -1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) (cosa.cosb)= 1/2(cos(a+b)-cos(a-b)) (sina.cosb)= 1/2(sin(a+b)-sin(a-b)) ANA SAYFA

ÖRNEKLER: 1) 2)



tan

4

x

.

dx

 ???





cos

4

x

.

cos

2

x

.

dx

 ???

3) 4)

sinx

2

.dx=???

???

x.dx

x.cos

sin

2

3





5)



sec

x

.

tan

3

x

.

dx

 ???

ANA SAYFA



cos

6

x

cos

2

x



.

dx

2

1















c

x

x

dx

x

dx

x





































6

2

sin

2

1

6

6

sin

2

1

.

2

cos

2

1

.

6

cos

2

1

ANA SAYFA

dx

x

dx

x

.

2

2

cos

2

1

.

2

2

cos

1

x.dx

sin

2















 







c

x

x







4

2

sin

2

ANA SAYFA

=> u=sinx du=cosx.dx



x



x

dx

x

1

sin

.

cos

.

sin

x.cosx.dx

x.cos

sin

2 2 2 2



















c

x

x

c

u

u

du

u

u

du

u

u

























5

sin

3

sin

5

3

.

.

1

5 3 5 3 4 2 2 2 ANA SAYFA















dx

x

x

x

dx

x

x

x

.

tan

.

sec

1

sec

.

tan

.

sec

.

tan

2 2 => u=secx du=secx.tanx.dx





c x x c u u du u        



sec 3 sec 3 . 1 3 3 2 ANA SAYFA



























dx

x

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

.

tan

.

tan

.

sec

.

tan

.

1

sec

.

tan

.

tan

.

tan

2 2 2 2 2 2 2 4 u=tanx du=sec2x.dx





c

x

x

x

dx

x

du

u





















tan

3

tan

.

1

1

tan

.

3 2 2 ANA SAYFA

5)ÖZEL DÖNÜŞÜMLER

Sadece köklü ifade varsa!!!

u

b

a

x

a

x

b

u

b

a

x

x

b

a

u

b

a

x

x

b

a

sec

*

tan

*

sin

*

2

2

2

2

2

2

2

2

2



















ANA SAYFA













6

???

64

x

2

dx









4

17

???

4

x

2

x

dx

ÖRNEK1:

ÖRNEK3:

ÖRNEK2:



arc

sec dx

x

.

 ???

ANA SAYFA









c x u x u x u du u du u u u                         





8 6 arcsin 8 6 arcsin 8 6 sin cos 8 . cos 8 cos 8 sin 1 8 8sinu -64 6 x -64 8cosu.du dx 8sinu 6 x 2 2 2 ANA SAYFA

17

4

4

x

2

 x



=(2x+1)

2

+4

2



u



dx u dx u dx u x u x x x dx 2 2 2 2 tan 1 2 tan 2 2 tan 4 4 2 1 tan 4 2 tan 4 1 2 17 4 4            



_

_









_u u u u u x x x 2 2 2 2 2 2 2 tan 1 2 1 tan 1 4 tan 1 2 1 tan 4 16 tan 4 16 1 2 17 4 4              DEVAMI ANA SAYFA

c

u

u

u

u















ln

sec

tan

2

1

sec

2

1

sec

2

1

₂

tanu=2x+1/4

Secu=1/2 ln| |

u

u tan

tan

1



2



c

x

x

x

x

x

x

























1

2

17

4

4

ln

2

1

4

1

2

16

17

4

4

1

ln

2

1

2 2 ANA SAYFA

c x x xarc c x x xarc c x x xarc x u x u u x u x x x dx x xarc dx du x u x dx du x arc u x dx x arc x dx x arc             _                    







ln sec 1 ln sec 1 ln sec 1 ln cos 1 cos cos 1 sec 1 sec ; 1 sec 1 sec . . sec 2 2 2 ANA SAYFA

 





b a

x

F

dx

x

f

.

(

)

b

a



F

(

b

)



F

(

a

)

c yok ; c-c=0 ANA SAYFA













0

???

.

sin

cos

x

x

dx

x

dx

1

2 3 2 1



2



ANA SAYFA

6

6

3













2 1

x



2 3

Arc sin

x

dx

1

2 3 2 1



2



2 1 sin 2 3 sin Arc Arc  ANA SAYFA

x

x cos

sin



0



2

)

1

(

)

1

(











ANA SAYFA









x

dt

t

x

F

2

???

).

1

2

(

)

(

BELİRLİ İNTEGRALİN TÜREVİ

)

(

'

)).

(

(

)

(

'

).

(

(

)

(

'

).

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

g

f

x

h

x

h

f

x

F

du

u

f

x

F

x

h

x

g











ÖRNEK: ANA SAYFA

1

2

)

(

'

)

0

).(

5

(

)

1

).(

1

2

(

)

(

'











x

x

F

x

x

F

ANA SAYFA

???

.

sin

.

sin

2 2





  

dx

x

x

???

.

cos

sgn

2 2





 

dx

x

ÖZEL FONKSİYONUN İNTEGRALİ

???

.

2

3 2







dx

X

ANA SAYFA





















      2 2 3 2 3 2

.

0

.

1

.

1

dx

dx

dx

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5  2 3  2 2  ANA SAYFA

 2  2 3  2

0

2  

1

1



0 2  

x

dx

x

dx

x

cos

.

sin

.

0

.

sin

2 0 0 2











  

1



ANA SAYFA

1

.

1

.

0

.

1

2

2

1

1

1

3

2

2

0

0

2

























dx

dx

dx

a

d

ANA SAYFA

İNTEGRALDE ALAN HESABI

1) A)BİR EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALAN y=f(x) , x=a , x=b ve x ekseni

dx

x

f

A

b a

.)

(





a

dx

x

f

A

b a

.

)

(





a

b

b

dx

x

f

A

b a

.

)

(







_{A f x dx f x dx} A A A c a b a .) ( .) ( 2 1





   

c

b

a

ANA SAYFA

B ) x=g(y) , y=c , y=d ve y ekseni c













e c d c

dy

y

g

dy

y

g

A

A

A

A

).

(

).

(

2 1







d c

dy

y

g

A

(

).





d c

dy

y

g

A

(

).





d c

dy

y

g

A

(

)

.

c c d d d e C ANA SAYFA

2) İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN y=f(x) , y=g(x) , x=a , x=b







d

c

dx

x

g

x

f

A

(

)

(

.)

ANA SAYFA

y=x2-x-2 x ekseni ve

x=-2 , x=2 doğrusu

y=2-x2 , y=-x arasındaki alan

ANA SAYFA

0

2

x

2

 x





x



2

;

x





1

2

1



2









dx

x

x

dx

x

x

A

A

A

.)

2

(

.)

2

(

2 1 2 1 2 2 2 1





  



















2

3

19

br



ANA SAYFA

2-x2_=-x x2-x-2=0 x=2 , x=-1

2

2

1

2

2

9

).

(

)

2

(

br

dx

x

x

A















ANA SAYFA

DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ

a b

İki eğri arasında x ekseni etrafında;













b a

dx

x

g

x

f

H

2

(

)

2

(

)

.

X ekseni etrafında;



f

x



dx

H

b a

.

)

(

2







a b Y ekseni etrafında;











d c

dy

y

f

H

(

)

2

.

c d ) ( 2 g x y  ) ( 1 f x y  ANA SAYFA

x=a , x=b y=f(x) y ekseni etrafında; b a c a _b







b a

dx

x

xf

H

2

(

).

f(x) ve x=c , x=a ,x=b arası bölge c etrafında













b a

dx

c

x

f

H

(

)

2

.

ANA SAYFA

Yarıçapı r olan kürenin hacminin olduğunu gösteriniz.

3

4



r

3

,

x

e

y



x



1

,

x ekseni arsında kalan bölgenin x ekseni etrafındaki hacmi nedir?

ANA SAYFA

)

3

(

.

)

(

.

(

3 2 2 2 2 2 2 2

x

x

r

H

dx

x

r

H

dx

x

r

H

x

r

y

r r r r



























  r  r

3

4



r

3  _ANA SAYFA



2



3 2 2 1 0 2

1

2

2

2

2

)

(

.

)

(

br

e

e

e

H

dx

e

H

x x

























0 1 ANA SAYFA

ANA SAYFA

ANA SAYFA

ANA SAYFA

ANA SAYFA



ANA SAYFA



ANA SAYFA