LOGARİTMA
ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
y 4
2 2
eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4) Bu bilgi6
a 10
eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.ÜSTEL FONKSİYONLAR
a
{1} ve x olmak üzere, f :
, f(x)=a
xbiçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.
a > 0 olduğundan
f(x) a
x0
olur.LOGARİTMA FONKSİYONU
a
{1} olmak üzere, f :
, f(x)=a
xbiçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
1 1
f :
, f (x)=log x
aşeklinde gösterilir. Buna göre,
y
y log x
a x a dir.
y log x
a ifadesindey
sayısınax
sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,
her a
{ 1} olmak üzere, log a 1 dir.
a
Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,
her a
{ 1} olmak üzere, log 1 0 dır.
a
her a
{ 1} , her b
ve n, m olmak üzere,
n
m a a
log b m log b dir.
n
n a a
log b 1 log b dir.
n
m
a a
log b m.log b dir.
her a ve b
{ 1} ve her x.y
olmak üzere,
a a a
log (x.y) log x log y
a a a
log x log x log y y
a b
a
log y log y
log b
a
b
log b 1 olur.
log a
a b
log b log a 1
a b a
log b log c log c
a b c a
log b log c log d log d
a,x
{ 1} , b
olmak üzere,
log ba
a b
x x
log b log a
a b
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) log x
a fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.f :
, f(x) log x logx
10
1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.
1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.
x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.
0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) log x
afonksiyonunda taban e= 2,718281828459045235360287471352… alınırsa (e sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma
fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,
f :
, f(x) log x lnx tir.
e
LOGARİTMALI DENKLEMLER
a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,
b
log f(x) b ise f(x) a dir.
a
a a
log f(x) log g(x) ise f(x) g(x) dir.
Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.
Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.
LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
f(x) log f(x)
a in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.a 1 iken,
c
log f(x) c ise, f(x) a dir.
a
a 1 iken,
c
log f(x) c ise, 0 f(x) a dir.
a
0 a 1 iken,
c
log f(x) c ise, 0 f(x) a dir.
a
0 a 1 iken,
c
log f(x) c ise, f(x) a dir.
a
Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr Düzenleme: www.matematikkolay.net
