 {1} ve x  olmak üzere, f : 

(1)

LOGARİTMA

ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

y 4

2  2

eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4) Bu bilgi

6

^a

 10

eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

ÜSTEL FONKSİYONLAR

a 

^

 {1} ve x  olmak üzere, f : 

^

, f(x)=a

x

biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.

a > 0 olduğundan

f(x) a  

^x

0

_olur.

LOGARİTMA FONKSİYONU

a 

^

 {1} olmak üzere, f : 

^

, f(x)=a

x

biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

1 1

f :

^ ^

 , f (x)=log x

^ a

şeklinde gösterilir. Buna göre,

y

y log x 

a

  x a dir.

y log x 

a ifadesinde

y 

_sayısına

x 

^ sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,

her a 

^

  { 1} olmak üzere, log a 1 dir.

a



Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,

her a 

^

  { 1} olmak üzere, log 1 0 dır.

a



her a 

^

  { 1} , her b 

^

ve n, m olmak üzere, 

n

m a a

log b m log b dir.

  n

(2)

n a a

log b 1 log b dir.

  n

m

a a

log b  m.log b dir.

her a ve b 

^

  { 1} ve her x.y 

^

olmak üzere,

a a a

log (x.y) log x log y  

a a a

log x log x log y y

   

   

a b

a

log y log y

log b



a

b

log b 1 olur.

log a



a b

log b log a 1  

a b a

log b log c log c  

a b c a

log b log c log d log d   

a,x 

^

  { 1} , b 

^

olmak üzere,

log ba

a  b

x x

log b log a

a  b

ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) log x 

a fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

f :

^

 , f(x) log x logx 

10



1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.

1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.

0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.

(3)

DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU

f(x) log x 

a

fonksiyonunda taban e= 2,718281828459045235360287471352… alınırsa (e sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma

fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

f :

^

 , f(x) log x lnx tir. 

e



LOGARİTMALI DENKLEMLER

a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,

b

log f(x) b ise f(x) a dir.

a

 

a a

log f(x) log g(x) ise f(x) g(x) dir.  

Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.

Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.

LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

f(x) log f(x) 

a in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.

a 1 iken, 

c

log f(x) c ise, f(x) a dir.

a

 

a 1 iken, 

c

log f(x) c ise, 0 f(x) a dir.

a

  

0 a 1 iken,  

c

log f(x) c ise, 0 f(x) a dir.

a

  

0 a 1 iken,  

c

log f(x) c ise, f(x) a dir.

a

 

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr Düzenleme: www.matematikkolay.net