Yapısal Kırılmaları Dikkate Almayan Birim Kök Testleri

Durağan olmayan değişkenlerin trendden arındırılması için değişkenlerin her birinin ayrı ayrı entegrasyon derecesinin, yani kaçıncı dereceden entegre olduklarının tespit edilmesi gerekmektedir278_{. Bir zaman serisinin durağan olup olmadığını test} etmek için korelogram yaklaşımı ve birim kök (unit root) testi olmak üzere iki farklı yaklaşım vardır.

276 _{Charemza ve Deadman, ss.96-97.}

277 _{Clive W.J.Granger, “Developments in The Study of Cointegrated Economic Variables”, Long-Run}

Economic Relationships: Readings in Cointegration, Ed: Robert Engle ve Clive J.W.Granger, Oxford

University Press, New York, 1991, s.66. 278 _{Charemza ve Deadman, ss.97-98.}

Korelasyon yaklaşımında önce örnek otokorelasyon fonksiyonu ele alınır ve bu otokorelasyon katsayısı olarak kabul edilir. Formülü şu şekildedir:

n

Y

Y

n

Y

Y

Y

Y

r

t n t k t t n k t k

/

)

(

/

)

)(

(

2 __ 1 __ __ 1

−

Σ

−

−

Σ

=

= − + =

Değişik zaman aralıkları (k)için bulunacak r_k otokorelasyon katsayısı değerleri ile

k’lar ilişkilendirildiğinde şekil korelogram veya örnek korelogram olarak adlandırılır. Eğer seri trend içeriyorsa, otokorelasyon değerleri, elde elden şekildeki kabul bölgesinin dışına çıkmaktadır279_.

Entegre derecesini tespit etmek için kullanılan yöntemlerden birisi birim kök testidir. Bu testi tanımlamanın en kolay yolu aşağıdaki modeli dikkate almaktır280:

t t

t y

y =

ρ

₋₁ +

ε

(1)

Burada,

ε

_t bilinen varsayımlara (sıfır ortalamalı, sabit varyanslı ve otokorelasyonsuz) sahip stokastik hata terimi olup aynı zamanda beyaz gürültü hata terimi (white noise) olarak da adlandırılmaktadır. Yukarıdaki modelin 1. dereceden otoregresif bir model, yani AR(1) olduğunu görmekteyiz. Burada y_t’nin t zamanındaki değeri (t-1) zamanındaki değeri ile regresyona tabi tutulmaktadır. y_t−1’in katsayısı yani

ρ

bire eşitse, birim kök problemiyle, yani durağan olmayan bir durumla karşı karşıya kalınmış demektir. Ekonometride birim köke sahip zaman serileri, rassal yürüyüş gösteren zaman serileri (random walk) olarak bilinmektedir ve böylesi bir zaman serisi durağan değildir.

Yukarıdaki denklemde

ρ

<1

ise y_t zaman serisi durağandır.

ρ

=1

ise seri durağan değildir. Burada

H

₀

:

ρ

=1

hipotezi,

ρ

<1

alternatif hipotezine karşı test edilmektedir281_.

279 _{Ertek, ss.383-385.}

280 _{Damodar N. Gujarati, Basic Econometrics, 3. Ed., Literatür Yayıncılık, Đstanbul, 1995, s.718.}

281 _{Şenay Üçdoğruk, “Otoregresif Zaman Serisi Modellerinde Durağanlığın Sağlanmasında Đki Farklı} Yöntem”, I. Ulusal Ekonometri ve Đstatistik Sempozyumu Bildirileri, Ege Üniversitesi Basımevi, Đzmir, 11-12 Kasım 1993, s.462.

Regresyonla elde edilecek

ρ

’nin tahmin değeri, birim kök olması durumunda standart olmayan bir dağılıma sahip olmaktadır. Bu nedenle t testi uygulanamayacaktır.

1 =

ρ

hipotezini test etmek için alternatif bir yöntem Dickey ve Fuller tarafından geliştirilmiştir. Birim kök testi olarak adlandırılan Dickey-Fuller (DF) testi, entegre derecesini ölçmekte en çok kullanılan yöntemdir282.

Dickey-Fuller testi, aşağıdaki denklemin tahminine dayanır:

t t

t y

y =

δ

+

ε

∆ ₋₁ (2)

Bu denklem şu şekilde de ifade edilebilir:

t t

t y

y =(1+

δ

) ₋₁+

ε

(3)

Görüldüğü gibi

ρ

= 1+

δ

olduğundan (1) ve (3) nolu denklemler aynıdır. Dolayısıyla, (2) no’lu denklemdeki

δ

negatif ise, (1) no’lu denklemdeki

ρ

birden küçük olacaktır. Böylece, DF testi (2) no’lu denklemdeki

δ

’nın negatifliğini ölçen bir testtir.

0 : 0

δ

=

H hipotezinin alternatif H_a :

δ

<0hipotezi karşısında reddedilmesi,

ρ

<1ve t

y ’nin sıfırıncı dereceden entegre olduğunu

[

y_t ~ I(0)

]

, bir başka deyişle serinin durağan olduğunu ifade etmektedir.

Eğer H₀ :

δ

=0hipotezi reddedilemez ise, bu durum y_t’nin sıfırdan daha yüksek bir dereceden entegre olduğunu ya da hiçbir şekilde entegre olmadığını ifade etmektedir. Bu nedenle bundan sonraki adım, serinin birinci dereceden entegre olup olmadığının test edilmesidir. Eğer y_t ~ I(1)ise, o zaman ∆y_t ~ I(0) olacaktır. Dolayısıyla, DF testin y_tyerine ∆y_t kullanılarak yeniden uygulanır. Bu durumda DF denklemi şu şekle dönüşür:

t t t y y =

δ

∆ +

ε

∆∆ −1

282 _{Deniz Balak Demiray, “Döviz Kuru Belirleme Yöntemleri ve 1980 Sonrası Dönem Ekonomisi Đçin Bir} Değerlendirme”, (Yayımlanmamış Doktora Tezi), Dokuz Eylül Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, Đzmir, 1998, s.90.

Bu denklemde de

δ

’nın negatifliği test edilmektedir. Eğer

δ

=0 hipotezi

0 <

δ

alternatif hipotezi karşısında reddedilirse bu, ∆y_t serisinin durağan ve

) 1 ( ~ I

y_t yani, y_tserisinin birinci dereceden entegre olduğunu göstermektedir. Eğer sıfır hipotezi reddedilmez ise, y_t ~ I(2)’yi test etmek gerekir. Bu işlem y_t’nin entegre derecesi tespit edilene kadar devam eder. Pratikte, ekonomik serilerin ikiden fazla dereceden entegre olması pek olağan değildir283. DF Testi üç farklı formda kullanılabilir: t t t y y =

δ

+

ε

∆ ₋₁ t t t y y =

µ

+

δ

+

ε

∆ −1 t t t t y y =

µ

+

α

+

δ

+

ε

∆ ₋₁

Đlk denklem saf Dickey-Fuller denklemini gösterirken, ikinci denklemde sabit terim (

µ

) yer alırkan, son denklemde deterministik trend (t) yer almaktadır. Bütün denklemlerde yer alan

δ

değeri sıfıra eşit olduğu durumda (( =

δ

0) y_t serisi bir birim kök içermektedir284.

Uygulamada, DF regresyon denkleminin sabit terim ve zaman trendi dahil edilerek mi, yoksa dahil edilmeden mi kullanılması gerektiği konusu tartışılmaktadır. Bu konuda Charemza ve Deadman (1997), sabit terim dahil edilerek yapılan testlerin bazen yorumlanmasının güç sonuçlar verdiğini ifade etmektedir.

DF testi entegre derecesini ölçmekle birlikte hata terimlerindeki otokorelasyonu dikkate almamaktadır. Eğer hata terimi otokorelasyonlu ise DF testi geçersiz çıkacaktır. Buna çözüm olarak Dickey ve Fuller, bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerinin modele açıklayıcı değişken olarak ilave edilmesini, bu şekilde otokorelasyonun ortadan kalkacağını öne sürmüşlerdir. Genişletilmiş Dickey-Fuller Testi (Augmented Dickey Fuller-ADF) olarak isimlendirilen bu test, entegrasyon derecesinin belirlenmesinde kullanılan testlerin en etkini olarak değerlendirilmekte ve sıkça kullanılmaktadır. ADF testi,

283

Charemza ve Deadman, ss.99-103.

t i t i k i t t

y

y

y

=δ

+Σδ

∆

+ε

∆

₋ = − 1 1

olarak ifade edilmektedir. ADF testinde de DF testinde kullanılan kritik değerler tablosu kullanılmaktadır285.

Yukarıda yer alan denklemde ∆y_t−i’nin gecikme uzunluğunu belirlemek önemlidir. Gecikme uzunluğu, serbestlik derecesini korumak için mümkün olduğunca küçük, hata terimlerinde otokorelasyona yol açmaması için de yeterli ölçüde geniş olmalıdır. Bu amaçla Durbin Watson (DW), Lagrange Çarpanı testleri uygulanabileceği gibi Akaike ve Schwarz kriteri gibi model seçim kriterlerinden herhangi birisi de kullanılabilir286.

Gecikme uzunluğunun seçimine karşı duyarlı olması nedeniyle ADF testinin gücünün zayıf olduğu ve bu testin parçalı durağanlık durumunda da hatalı sonuçlar verebildiği bilinmektedir. ADF testinin bu zayıflıkları doğrultusunda Kwiatkowski vd. (1992) tarafından KPSS testi geliştirilmiştir. KPSS testinin, ADF’den en büyük farkı boş hipotezinde serinin durağan olduğunu varsaymasıdır287. KPSS testinde hesaplanan test istatistiği, Kwiatkowski vd. tarafından türetilen kritik değerlerden büyükse, sıfır hipotezi yani serinin durağan olduğu reddedilir. Test istatistiğin kritik değerden küçük olması durumunda ise, sıfır hipotezi kabul edilerek serinin durağan olduğu ifade edilmektedir288_.

Belgede Türkiye'de ekonomik büyümenin kaynaklarının analizi (sayfa 168-172)