Kısım 1.1’den biliyoruz ki f : X → Y fonksiyonunun bir ters fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart Ran(f) = Y ve her y ∈ Y elemanının tek türlü belirli bir x ∈ X ön görüntüsüne sahip olmasıdır. Bu durumda f−1 ters fonksiyonu f−1(y) := x olarak tanımlanır. Özel olarak f : X → Y fonksiyonunun tersi varsa her x ∈ X ve y ∈ Y için aşağıdaki ifadeler doğrudur:
f−1(f (x)) = x ve f (f−1(y)) = y. (1.10) Teorem 1.4.1. X ve Y iki küme ve f : X → Y olsun. Buna göre aşağıda verilen üç ifade birbirine denktir.
i) f’in bir tersi vardır;
ii) f fonksiyonu X’den Y ’ye üzerine bire-bir bir fonksiyondur;
iii) Her x ∈ X ve y ∈ Y için bir g : Y → X fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu gerçekleyecek şekilde mevcuttur:
g(f (x)) = x (1.11)
ve
f (g(y)) = y. (1.12)
Ayrıca her f : X → Y için (1.11) ve (1.12) ifadelerini sağlayan sadece bir g fonksiyonu vardır. Bu fonksiyon f−1 ters fonksiyonudur.
Kanıt. i) gerektirir ii). f fonksiyonunun bir tersi olsun. Tanım gereği Ran(f) = Y ’dir. Yani f fonksiyonu X’den Y ’ye üzerine bir fonksiyondur ve her y ∈ Y elemanının tek türlü belirli bir x ∈ X ön görüntüsü vardır. Yani f(y1) = f (y2) için y1= y2 sağlanır ki bu f’in X üzerinde bire-bir olduğu anlamına gelir.
ii) gerektirir iii). f fonksiyonu X’den Y ’ye üzerine bire-bir bir fonksiyon olsun. i) gerektirir ii) ispatı aynı zamanda f’in bire-bir ve üzerine olması du-rumunda bir tersi olduğunu da söyler. Özel olarak g(y) := f−1(y) fonksiyonu (1.10)’den ötürü (1.11) ve (1.12) ifadelerini de gerçekler.
iii) gerektirir i). (1.11) ve (1.12) ifadelerini gerçekleyen bir g : Y → X fonk-siyonu var olsun. Eğer bir y ∈ Y elemanının X içinde x1, x2 gibi birbirinden farklı iki ön görüntüsü varsa f(x1) = y = f (x2) yazılabilir. Bu durumda (1.11)’e göre x1 = g(f (x1)) = g(f (x2)) = x2 olduğu sonucu elde edilir ki bu x1 6= x2
olması ile çelişir. Diğer taraftan verilen bir y ∈ Y için x = g(y) olsun. (1.12)’e göre f(x) = f(g(y)) = y, yani Ran(f) = Y olduğu sonucu elde edilir.
Son olarak, (1.11) ve (1.12) ifadelerinin her ikisini birden sağlayan bir başka h fonksiyonunun olduğunu kabul edelim ve y∈ Y elemanını sabitleyelim. ii)’ye
göre f(x) = y olacak şekilde bir x ∈ X vardır. Dolayısıyla (1.11)’den h(y) = h(f (x)) = x = g(f (x)) = g(y)
ifadesi yazılabilir ki buna göre Y üzerinde h = g sağlanır. Yani g fonksiyonu tek türlü belirlidir.
Biliyoruz ki bir f fonksiyonunun bire-bir olduğunu göstermek için iki yol vardır. Ya f(x1) = f (x2) olduğu kabul edilip x1 = x2 eşitliğinin doğruluğu gösterilmelidir ya da x1 6= x2 için f(x1)6= f(x2) olduğu kanıtlanmalıdır. Eğer X kümesi R içinde bir aralık ve f diferansiyellenebilir ise f ’in X üzerinde bire-bir olduğunu göstermenin daha kolay bir yolu vardır.
Açıklama 1.4.2. I bir aralık ve f : I → R bir foksiyon olsun. Eğer f’in türevi I üzerinde her zaman pozitif ya da her zaman negatif değerler alıyor ise f fonksiyonu I aralığı üzerinde bire-birdir.
Kanıt. Simetriden ötürü f’in türevi olan f′ fonksiyonunun her x ∈ X için f′(x) > 0 koşulunu sağladığını, yani pozitif olduğunu farzedelim. Tek değişkenli fonksiyonları daha önceden incelemiş olan herkes bilir ki bir I aralığında f′ > 0 koşulunu sağlayan bir fonksiyon kesinlikle artandır. Yani x1 < x2 koşulunu sağlayan x1, x2 ∈ I için f(x1) < f (x2) gerçeklenir (bu özelliğin ispatı daha sonra verilecektir).
Yukarıdaki özelliğin bire-bir olmayı neden gerektirdiğini göstermek için x1, x2 ∈ X olmak üzere f(x1) = f (x2) eşitliğinin sağlandığını düşünelim. Eğer x16= x2ise Trikotami Özelliği gereği ya x1< x2ya da x2< x1’dir. f fonksiyonu I üzerinde kesinlikle artan olduğundan ya f (x1) < f (x2) ya da f (x2) < f (x1) sağlanır. Bu her iki durum da f(x1) = f (x2) olması varsayımı ile çelişir.
Teorem 1.4.1’e göre f : X → Y fonksiyonunun f−1 ters fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart her x ∈ X için f−1(f (x)) = x ve her y ∈ Y için f (f−1(y)) = y eşitliklerinin sağlanmasıdır. Buna göre eğer y = f (x) fonksiyonu x’e göre çözülebiliyorsa f−1 için bir formül bulunabilir.
Örnek 1.4.3. f(x) = ex
− e−x fonksiyonunun R’de bire-bir olduğunu gösterip Ran(f) üzerinde f−1 için bir formül bulunuz.
Çözüm. Her x ∈ R için f′(x) = ex+ e−x > 0 olduğundan Açıklama 1.4.2’ye göre f fonksiyonu R üzerinde bire-birdir.
y = ex+ e−x olsun. Bu ifadenin her iki tarafını exile çarpar, sıfırdan farklı tüm terimleri bir tarafa toplarsak ex’in
e2x− yex
− 1 = 0 27
şeklinde kuadratik denklemini elde ederiz. İkinci derece denklemlerin çözümü için bilinen formül kullanılarak
ex=y±py2+ 4
2 (1.13)
sonucu elde edilir. ex ifadesi her zaman pozitif olduğundan negatif işaret göz ardı edilmelidir. Son eşitlikten logaritma alınır ise x = log(y +py2+ 4)− log 2 elde edilir ki bu ise
f−1(x) = log(x +px2+ 4)− log 2
olduğu anlamına gelir.
Tanım 1.4.4. X ve Y iki küme f : X → Y olsun. Buna göre E ⊆ X kümesinin f altındaki görüntüsü (veya imajı)
f (E) :={y ∈ Y : y = f(x) olacak şekilde x ∈ E vardır}, E⊆ Y kümesinin f altındaki ters görüntüsü (veya ters imajı)
f−1(E) :={x ∈ X : f(x) = y olacak şekilde y ∈ E vardır} olarak tanımlanır. E f−1(H) f (E) H f
E’nin bir aralık olması durumunda ekstra parantezleri ihmal ederiz. Örneğin f ((a, b]) yerine f (a, b] ve f−1((a, b]) yerine f−1(a, b] yazılabilir.
Örnek 1.4.5. f : R → R fonksiyonu f(x) = x2 olarak tanımlansın. Buna göre E ={x : 0 ≤ x ≤ 2} kümesinin görüntüsü f(E) = {y : 0 ≤ y ≤ 4} kümesidir.
G = {y : 0 ≤ y ≤ 4} olsun. Buna göre G kümesinin f altındaki ters görüntüsü f−1(G) ={x : −2 ≤ x ≤ 2} kümesidir. Bu durumda f−1(f (E))6= E olduğu sonucu elde edilir.
Diğer taraftan f(f−1(G)) = G eşitliği gerçeklenir. Fakat H = {y : −1 ≤ y ≤ 1} olması durumunda f(f−1(H)) = {y : 0 ≤ y ≤ 1} 6= H sonucu elde edilir.
Örnek 1.4.6. f(x) = x2+ x fonksiyonu altında I = (−1, 0) ve J = (0, 1] kümelerinin görüntülerini ve ters görüntülerini bulunuz.
Çözüm. “Bulmak” demek “ispatlamak” anlamına gelmediğinden y = x2+ x fonksiyonunun grafiğine bakarız.
Tanıma göre f(I) kümesi x’ler I = (−1, 0) aralığından değerler almak üzere f (x)’in y-değerlerini içerir. f (x) = x2+ x = x(x + 1) fonksiyonunun x = 0,−1 noktalarında kökleri vardır ve x = −0.5 noktasında −0.25 minimum değerini alır. Grafiğe bakarak f(I) = [−0.25, 0) olduğu kolayca görülür. f−1(I) kü-mesi görüntüsü I = (−1, 0) aralığına ait x-değerlerini içerdiğinden ve f fonk-siyonunun grafiği −1 < x < 0 için x-ekseninin altında yer aldığından açıkça f−1(I) = (−1, 0) olduğu görülür.
Benzer şekilde J = (0, 1] kümesinin görüntüsü f(J) = (0, 2] olmakla birlikte f−1(J) =h−1 −√5
2 ,−1 [0,−1 +√5 2
.
sonucu elde edilir.
DİKKAT. Ne yazık ki f−1’in üç tane anlamı bulunmaktadır: (1) f fonk-siyonunun reel değerleri ve f(x) 6= 0 olması durumunda f−1(x) = 1/f (x) ters fonksiyonu; (2) f’in bire-bir ve üzerine olması durumunda f−1(x) ters fonksiyonu; (3) f altında E’nin f−1(E) ters görüntüsünü ifade etmede hep aynı notasyon kullanılmaktadır. Metin içerisinde bunlardan hangisinin kast edildiği anlaşılmalıdır.
Dikkat edilirse Tanım 1.4.4 bir asimetri içerir: y ∈ f(E) olması x ∈ E için y = f (x) eşitliğinin sağlandığı anlamına gelir. Fakat x∈ f−1(E) olması y∈ E için x = f−1(y) eşitliğinin sağlanacağı anlamına gelmez. Örneğin, f (x) = sin x olsun. Her k ∈ Z için sin(kπ) = 0 olduğundan f altında {0} kümesinin ters görüntüsü f−1({0}) = {kπ : k ∈ Z} olmakla birlikte arcsin x fonksiyonunun değer bölgesi [−π/2, π/2] olduğundan {0}’ın f−1 altındaki imajı arcsin{0} = {0}’dır.
Eğer göz önüne alınan kümelerin sayısı alfabenin harflerinden daha çok değil ise onlar A, B, · · · , W gibi harflerle temsil edilebilir. Eğer alfabenin harf-lerinden daha çok ve sayıları n tane olan kümeler söz konusu ise bu küme-ler A1, A2,· · · An simgeleri ile temsil edilebilir. Bu durumda, her bir Ai (i = 1, 2, 3,· · · , n) kümesi i ile indislenmiştir denir. Şimdi bu kavramı biraz daha genelleştirelim. Herhangi bir A kümesini düşünelim. Her α ∈ A elemanına karşılık bir Eα kümesi var olsun. Bütün bu kümelerden oluşan topluluk E ile gösterilirse
E = {Eα: α∈ A}
yazılabilir. Buna göre E topluluğu, elemanları Eα kümeleri olan bir kümedir. Dolayısıyla E’ye bir kümeler ailesi veya kümeler topluluğu denir. Burada A kümesine aileninindis kümesi, her bir Eαkümesine α ile indislenmiş küme ve her bir α ∈ A elemanına da bir indis adı verilir.
Yukarıda yapılan tanıma göre bir kümeler ailesinin bir A kümesi ile indislen-mesi için gerek ve yeter şart A’dan E üzerine bir F fonksiyonunun var olmasıdır (yani, her α ∈ A ile ilişkilendirilmiş E içerisinde bir ve yalnız bir küme vardır). A ile indislenmişE kümeler ailesi çoğunlukla E = {Eα}α∈Aolarak gösterilir. Tanım 1.4.7. E = {Eα}α∈A bir kümeler ailesi olsun.
i) Bir E kümeler ailesinin birleşimi [
α∈A
Eα:={x : x ∈ Eαolacak şekilde α ∈ A vardır}
şeklinde tanımlanan kümedir. Yani bir x elemanının bu birleşime ait ola-bilmesi için gerek ve yeter şart en az bir α ∈ A için x ∈ Eαolmasıdır. ii) Bir E kümeler ailesinin kesişimi
\
α∈A
Eα:={x : her α ∈ A için x ∈ Eα}
şeklinde tanımlanan kümedir. Yani bir x elemanının bu arakesite ait ola-bilmesi için gerek ve yeter şart her bir α ∈ A için x ∈ Eα olmasıdır. Örneğin, [ x∈(0,1] [0, x) = [0, 1) ve \ x∈(0,1] [0, x) ={0} 30
sağlanır.
Aşağıdaki önemli ve çokça kullanılan sonuç birleşimden keşisime ve tersi geçişlerde kolay bir yol olduğunu göstermektedir.
Teorem 1.4.8 (DeMorgan Kuralları). X bir küme ve {Eα}α∈A ise X’in alt kümelerinin bir ailesi olsun. Her E ⊆ X için Ecile X\E kümesi temsil edilmek üzere [ α∈A Eα !c = \ α∈A Eαc (1.14) ve \ α∈A Eα !c = [ α∈A Eαc (1.15) eşitlikleri geçerlidir.
Kanıt. x elemanı (1.14) ifadesinin sol tarafında verilen kümeye ait olsun. Bu durumda x ∈ X ve x /∈Sα∈AEαifadeleri gerçeklenir. Tanıma göre x ∈ X ve her α ∈ A için x /∈ Eα sağlanır. Dolayısıyla her α ∈ A için x ∈ Ec
α gerçeklenir. Bu ise x’in (1.14) ifadesinin sağ tarafında verilen kümeye ait olduğu anlamına gelir. Bu adımlar terslenebilir olduğundan (1.14) eşitliğinin sağlandığı görülür. Benzer şekilde hareket ederek (1.15) ifadesinin doğruluğu elde edilir.
Aşağıdaki sonuç kümelerin birleşim ve kesişimlerinin görüntü ve ters görün-tüleri hakkında yorum yapmamızı sağlaması bakımından önemlidir.
Teorem 1.4.9. X ve Y iki küme, f : X → Y olsun. i) X’in alt kümelerinin bir ailesi {Eα}α∈A ise
f [ α∈A Eα ! = [ α∈A f (Eα) ve f \ α∈A Eα ! ⊆ \ α∈A f (Eα) ifadeleri doğrudur.
ii) X’in herhangi iki B ve C alt kümeleri için f (C\B) ⊇ f(C)\f(B) içermesi gerçeklenir.
iii) Y ’nin alt kümelerinin bir ailesi {Eα}α∈Aise
f−1 [ α∈A Eα ! = [ α∈A f−1(Eα) ve f−1 \ α∈A Eα ! = \ α∈A f (Eα) ifadeleri doğrudur. 31
iv) Y ’nin herhangi iki B ve C alt kümeleri için f−1(C\B) = f−1(C)\f−1(B) eşitliği gerçeklenir.
v) Eğer E ⊆ f(X) ise f(f−1(E)) = E gerçeklenir. Diğer taraftan, E⊆ X ise f−1(f (E))⊇ E içermesi doğrudur.
Kanıt. i) Tanıma göre y ∈ f (∪α∈AEα) ifadesinin sağlanması için gerek ve ye-ter şart x ∈ Eα ve α ∈ A için y = f(x) eşitliğinin gerçeklenmesidir. Bu ise y ∈ ∪α∈Af (Eα) olmasına denktir. Benzer şekilde, y ∈ f (∩α∈AEα) ifadesinin sağlanması için gerek ve yeter şart x ∈ ∩α∈AEα için y = f(x) eşitliğinin ger-çeklenmesidir. Buna göre her α ∈ A için y = f(xα) olacak şekilde bir xα∈ Eα
elemanı vardır. Dolayısıyla, y ∈ ∩α∈Af (Eα) olduğu sonucu elde edilir.
ii) Eğer y ∈ f(C)\f(B) ise c ∈ C için y = f(c) ve her b ∈ B için y 6= f(b) gerçeklenir. Dolayısıyla, y ∈ f(C\B) sağlanır. Benzer şekilde hareket ederek iii), iv) ve v) ifadelerinin doğruluğu gösterilebilir.
i), ii) ve v) şıklarında verilen içermelerde f fonksiyonunun bire-bir olmaması durumunda eşitlik halinin hiçbir zaman gerçeklenmeyeceğini görmek önemlidir (bkz Alıştırma 1.4.7 ve 1.4.8). Örneğin, eğer f(x) = x2, E1={1} ve E2={−1} ise f(E1∩ E2) =∅ kümesi f(E1)∩ f(E2) ={1} kümesinin bir alt kümesidir.
Alıştırmalar
1.4.1. Aşağıda verilen ifadelerin hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu tespit ediniz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise birer ters örnek veriniz.
a) f(x) = sin x olsun. Bu durumda f : π 2, 3π 2 → [−1, 1]
fonksiyonu bir bijeksiyondur ve ters fonksiyonu arcsin x’dir.
b) A, B, C verilen bir X kümesinin alt kümeleri olmak üzere f : X → X fonksiyonu tanımlansın. Eğer A ∩ B 6= ∅ ise f(A) ∩ f(B ∪ C) 6= ∅ sağlanır.
c) A ve B verilen bir X kümesinin alt kümeleri olsun. Buna göre (A\B)c= B\A eşitliği geçerlidir.
d) Eğer f fonksiyonu [−1, 1] aralığını [−1, 1] üzerine resmediyor ise f−1(f ({0})) = {0} sağlanır.
1.4.2. a) Aşağıda verilen f fonksiyonlarının E üzerinde bire-bir olduklarını gös-terip f(E) kümesini tespit ediniz.
i) f(x) = 3x − 7, E = R ii) f(x) = e1/x, E = (0, ∞)
iii) f(x) = tan x, E = (π/2, 3π/2) iv) f(x) = x2+ 2x− 5, E = (−∞, −6)
v) f(x) = 3x − |x| + |x + 2|, E = R vi) f(x) = x/(x2+ 1), E = [−1, 1]
b) f(E) üzerinde f−1için bir açık formül bulunuz.
1.4.3. Aşağıda verilen ifadelerin her biri için f(E) ve f−1(E) kümelerini teşkil ediniz. a) f(x) = 2 − 3x, E = (−1, 2) b) f(x) = x2+ 1, E = (−1, 2] c) f(x) = 2x − x2, E = [−2, 2) d) f(x) = log(x2 − 2x + 1), E = (0, 3] e) f(x) = cos x, E = [0, ∞)
1.4.4. Aşağıdaki şekilde tanımlanan her bir küme için basit bir tanımlama yapınız. a) Sx∈[0,1][x− 2, x + 1] b) Tx∈[0,1](x− 1, x + 1] c) Tk∈N−1 k,1 k d) Sk∈N−1 k, 0 e) Sk∈N−k,1 k f) Tk∈Nk−1 k ,k+1 k 1.4.5. (1.15) ifadesini ispatlayınız.
1.4.6. Teorem 1.4.9 iii), iv) ve v) şıklarının doğruluğunu gösteriniz. 1.4.7. f (x) = x2 olsun.
a) R’nin f(C\B) 6= f(C)\f(B) eşitsizliğini gerçekleyen iki B ve C alt kümelerini bulunuz.
b) R’nin f−1(f (E))6= f(E) eşitsizliğini gerçekleyen bir E alt kümesini bulunuz. 1.4.8. X ve Y iki küme ve f : X → Y olsun. Aşağıdaki ifadelerin birbirine denk olduğunu gösteriniz.
a) f fonksiyonu X üzerinde bire-birdir.
b) X’in her A ve B alt kümesi için f(A\B) = f(C)\f(B) eşitliği sağlanır. c) X’in her E alt kümesi için f−1(f (E)) = E’dir.
d) X’in her A ve B alt kümesi için f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) ifadesi doğrudur.
2 Reel Değerli Diziler
2.1 Dizilerin Limitleri
Birsonsuz dizi (ya da kısaca dizi) tanım bölgesi N doğal sayılar olan bir fonksi-yondur.Terimleri xn := f (n) olan bir f dizisi x1, x2, x3,· · · veya {xn}n∈Nveya {xn}∞
n=1veya {xn} şeklinde gösterilebilir. Buna göre 1, 1/2, 1/4, 1/8, · · · ifadesi {1/2n−1}n∈Ndizisini; −1, 1, −1, 1, · · · ifadesi {(−1)n
}n∈Ndizisini; ve 1, 2, 3, · · · ifadesi ise {n}n∈N dizisini temsil eder.
Tamamen iki ayrı konsepte sahip {xn}n∈N dizisi ile {xn : n ∈ N} küme-sini birbirine karıştırmamak gerekir. Örneğin, dizi olarak göz önüne alındı-ğında 1, 2, 3, 4, · · · ile 2, 1, 3, 4, · · · birbirlerinden farklıdırlar. Fakat küme an-lamında {1, 2, 3, 4, · · · } ile {2, 1, 3, 4, · · · } kümeleri özdeştirler. Diğer taraftan 1,−1, 1, −1, · · · sonsuz bir dizi iken {(−1)n: n∈ N} kümesinin sadece iki tane elemanı vardır.
Limit kavramı analizin temel taşlarından birisidir. Temel matematik ders-lerinden biliyoruz ki bir {xn} reel sayı dizisinin bir a sayısına yakınsaması için n sayısı büyüdükçe xn değerlerinin a’ya yaklaşması (yani a ile xn arasındaki mesafenin kısalması) gerekir. Dolayısıyla, verilen bir ε > 0 için (ne kadar küçük olduğunun önemi olmaksızın), eğer n sayısı yeterince büyük ise, |xn− a| farklı ε’dan küçüktür. Buna göre bir dizinin limiti için aşağıdaki biçimsel tanım ve-rilebilir:
Tanım 2.1.1. Reel sayıların bir {xn} dizisinin bir a ∈ R reel sayısına yakın-saması için gerek ve yeter şart her ε > 0 sayısına karşılık
her n ≥ N için |xn− a| < ε
olacak şekilde bir N ∈ N (genellikle ε’a bağlı) sayısının var olmasıdır. Aşağıdaki ifadeler ve notasyonlar sıkça birbirinin yerine kullanılır:
a) {xn} dizisi a’ya yakınsar; b) xn dizisi a’ya yakınsar; c) a = limn→∞xn; d) n → ∞ iken xn→ a; e) {xn} dizisinin limiti vardır ve a sayısına eşittir.
n→ ∞ iken xn→ a ifadesinde, xndizisini a değerine yapılan yaklaşımların bir dizisi ve ε değerini ise bu yaklaşımda oluşan hata için bir üst sınır olarak düşünmek mümkündür. Tanım 2.1.1’deki N değeri n ≥ N için hata değeri ε’dan küçük olacak şekilde seçilir.
( )
x1 x3 x5. . . a. . .x6 x4 x2
a− ε a + ε
Tanımdan anlaşılacağı üzere xn dizisinin a değerine yakınsaması için gerek ve yeter şart n → ∞ iken |xn− a| → 0 olmasıdır. Özel olarak xn → 0 olması için gerek ve yeter şart n → ∞ iken |xn| → 0 sağlanmasıdır.
Tanım 2.1.1’e göre belirli bir limitin varlığını göstermek için öncelikle ne kadar küçük olduğu önemli olmayan verilen bir ε > 0 sayısına karşılık n ≥ N için |xn− a| < ε eşitsizliğini gerçekleyecek N sayısının ne şekilde seçileceğini tanımlamak gerekir. Özellikle, ε sayısı N belirlenmeden tanımlanır ve N sayısı genellikle ε’a bağlıdır. Her n ≥ N için |xn− a| < ε sağlandığından N sayısı n’e bağlı olamaz.
Limitin varlığı ile ilgili somut örneklere geçmeden önce bir terminoloji daha verelim. Pn ifadesi N ile indislenmiş bir özelliği göstersin. Her n ≥ N için Pn özelliğinin doğru olduğu bir N ∈ N sayısı varsa büyük n değerleri için Pn
gerçeklenir denir. Dolayısıyla, Tanım 2.1.1’in bir informal özeti xn dizisinin a değerine yakınsaması için gerek ve yeter şart n sayısı büyük olmak üzere |xn−a| farkının küçük olmasıdır şeklinde verilebilir. Bu ifadenin anlamı, verilen bir pozitif ε (ne kadar küçük olduğunun önemi olmaksızın) sayısına karşılık her n ≥ N için |xn− a| farkı ε’dan küçük olacak şekilde yeterince büyük bir N doğal sayısının seçilebileceğidir.
Örnek 2.1.2. i) n → ∞ iken 1/n → 0 olduğunu ispatlayınız. ii) xn→ 2 ise n → ∞ iken (2xn+ 1)/xn→ 5/2 olduğunu gösteriniz. iii) limn→∞ 1
n2+1 = 0 olduğunu gösteriniz. iv) limn→∞3n+2
n+1 = 3 olduğunu ispatlayınız.
Çözüm. i) ε > 0 olsun. Archimedean Özelliği kullanılarak N > 1
ε olacak şe-kilde bir N ∈ N sayısı seçilsin. Bu eşitsizliğin tersi alındığında n ≥ N olmak üzere 1/n ≤ 1/N < ε ifadesi elde edilir. 1/n oranının tüm değerleri pozitif olduğundan her n ≥ N için |1/n| < ε eşitsizliğine ulaşılır. Buna göre n → ∞ iken 1/n → 0 sağlanır.
ii) için Strateji: Tanıma göre gösterilmesi gereken büyük n değerleri için 2xn+ 1
xn −52 = 2− xn
2xn
ifadesinin küçük olduğudur. Bu son yazılan kesrin payının değeri n → ∞ iken xn→ 2 olduğundan büyük n değerleri için küçük olacaktır. Peki payda için ne söylenebilir? xn → 2 olduğundan büyük n değerleri için xn değeri 1’den büyük olacaktır. Dolayısıyla, büyük n için 2xn değeri 2’den büyük olacaktır. n değe-rini iki kere büyüttüğümüzden Tanım 2.1.1’de verilen ε değerine karşılık gelen
N sayısını belirlemede iki kısıtlama yapmamız gerekir. Tüm bu kısıtlamalar altında aşağıdaki çözümü verebiliriz:
ii) ε > 0 olsun. xn → 2 olduğundan Tanım 2.1.1’e göre ε > 0 sayısına karşılık n ≥ N1 için |xn− 2| < ε olacak şekilde bir N1∈ N sayısı vardır. Şimdi, ε = 1 olmak üzere Tanım 2.1.1’i uygulayarak n≥ N2 için |xn− 2| < 1 olacak şekilde bir N2sayısı seçelim. Mutlak Değerin Temel Teoremi’nden n ≥ N2 için −1 < xn− 2 < 1 yani xn> 1, dolayısıyla 2xn > 2 olduğu sonucu elde edilir.
N = max{N1, N2} seçilsin ve n ≥ N olsun. n ≥ N1 olduğundan |2 − xn| = |xn−2| < ε sağlanır. Diğer taraftan n ≥ N2olduğundan 0 ≤ 1/(2xn) < 1/2 < 1 eşitsizliği elde edilir. Buna göre her n ≥ N için
2xn+ 1 xn −52 = |2 − xn| 2xn < ε 2xn < ε olduğu sonucuna ulaşılır.
iii) ε > 0 sayısı verilsin. N sayısını bulmak için n ∈ N olmak üzere 1
n2+ 1 < 1 n2 ≤ 1n
eşitsizliğini kullanırız. i) şıkkında olduğu gibi ε > 0 olduğundan 1/ε > 0’dir ve Archimedean Özelliği’ne göre bir N = N(ε) doğal sayısı (burada N(ε) ile N doğal sayısının ε’a bağlı olduğu ifade edilmektedir) 1/N < ε olacak şekilde mevcuttur. Buna göre n ≥ N olması 1/n < ε eşitsizliğinin sağlandığı anlamına gelir ve buradan 1 n2+ 1 − 0 = 1 n2+ 1 < 1 n < ε elde edilir. Yani, verilen dizinin limiti sıfırdır.
iii) ε > 0 sayısı verilsin. Yeterince büyük n için 3n + 2 n + 1 − 3 < ε (2.1)
eşitsizliğinin sağlandığının gösterilmesi gerekmektedir. Öncelikle yukarıda ve-rilen ifadenin sol tarafını sade halde yazalım:
3n + 2 n + 1 − 3 = 3n + 2− 3n − 3 n + 1 = −1 n + 1 = 1 n + 1 < 1 n.
Buna göre eğer 1/n < ε ifadesi gerçeklenir ise (2.1) eşitsizliği sağlanır. Archi-medean Özelliği yukarıda anlatıldığı şekilde aynen uygulandığında aranan N sayısının varlığı ve verilen dizinin limitinin 3 olduğu kolayca gösterilebilir.
Örnek 2.1.2 ii)’de dikkat edilirse N sayısı N1 ve N2’nin maksimumu ola-cak şekilde seçildi. Bu seçim bize n ≥ Nj (j = 1, 2) için maksimum olma özelliğinden n ≥ N eşitsizliğinin sağlanmasını garantiler. Benzer şekilde, her j için n ≥ Njiçin N1, N2,· · · , Nq sayıları bir Pj özelliğini gerçeklesin. Eğer N = max{N1, N2,· · · , Nq} ise tüm q değerleri için n ≥ N olmak üzere P1,P2,· · · , Pq
özellikleri aynı anda gerçeklenir. Bu olgu yapılan ispatlarda sıkça kullanılmakla birlikte N değerinin Njtamsayılarının maksimumu olduğu açık olarak kimi du-rumlarda belirtilmemektedir.
Aşağıdaki iki sonuç bir dizinin ya limiti olmadığını ya da tektürlü belirli bir limiti olduğunu gösterir.
Örnek 2.1.3. {(−1)n
}n∈Ndizisinin limiti yoktur. Çözüm. a ∈ R için n → ∞ iken (−1)n
→ a olsun. Buna göre verilen ε = 1 için bir N ∈ N sayısı n ≥ N olmak üzere |(−1)n
− a| < ε eşitsizliğini sağlayacak şekilde mevcuttur. n sayısının tek olması durumunda |1 + a| = | − 1 − a| < 1 ve n’nin çift olması dırımında ise |1 − a| < 1 sağlanır. Buna göre
2 =|1 + 1| ≤ |1 − a| + |1 + a| < 1 + 1 < 2 yani 2 < 2 çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla {(−1)n
}n∈Ndizisinin bir limiti
yok-tur.
Açıklama 2.1.4. Bir dizi en fazla bir limit değerine sahip olabilir.
Kanıt. {xn} dizisi a ve b değerlerine yakınsasın. Tanıma göre verilen bir ε > 0 sayısına karşılık her n ≥ N için |xn− a| < ε/2 ve |xn− b| < ε/2 eşitsizliklerini sağlayacak şekilde bir N ∈ N tamsayısı mevcuttur. Buna göre, üçgen eşitsizliği kullanılarak
|a − b| = |a − b + xn− xn| ≤ |xn− a| + |xn− b| < ε
ifadesi elde edilir. Yani her ε > 0 sayısı için |a − b| < ε eşitsizliği sağlanır. Bu ise Teorem 1.2.9’ya göre a = b olmasını gerektirir.
Tanım 2.1.5. Bir {xn}n∈N dizisi verilsin. Her nk ∈ N için n1 < n2 < · · · özelliğini sağlayan {xnk} dizisine {xn} dizisinin bir alt dizisi adı verilir.
Tanıma göre x1, x2,· · · şeklindeki bir dizinin xn1, xn2,· · · alt dizisi x1, x2,· · · dizisinden n = nkeşitliğini sağlayan indisler hariç tüm xn’lerin atılması ile elde edilir. Örneğin 1, 1, · · · dizisi özel olarak (−1)ndizisinin nk = 2k eşitliğini sağla-yan terimler hariç diğer tüm terimlerinin silinmesi ile elde edilmiş bir alt dizidir. Benzer şekilde, 1/2, 1/4, · · · dizisi özel olarak 1/n dizisinin nk = 2k özelliğini sağlayan terimler hariç diğer tüm terimlerinin silinmesi ile elde edilmiş bir alt dizisidir.
Görüldüğü üzere {1/n} dizisi, bir alt dizisi olan {1/2n
} dizisine göre limit değeri olan sıfıra çok daha yavaş yakınsar. Diğer taraftan Örnek 2.1.3’te gös-terildiği gibi {(−1)n
} dizisinin bir limiti yok iken bu dizinin bir alt dizisi olan 1, 1,· · · dizisi 1’e yakınsar.
Eğer n → ∞ iken xn → a ise n büyüdükçe xn değerlerinin a’ya yaklaştığı söylenebilir. k büyüdükçe nk değeri de büyüyeceğinden yakınsak bir dizinin herhangi bir alt dizisinin de yakınsak olacağı sonucu sezilebilir.
Açıklama 2.1.6. a değerine yakınsayan bir {xn}n∈N dizisi verilsin ve bu {xn}n∈N dizisinin herhangi bir {xnk}n∈N alt dizisi göz önüne alınsın. Buna göre k → ∞ için xnk değerleri de a’ya yakınsar.
Kanıt. ε > 0 olsun ve n ≥ N için |xn− a| < ε eşitsizliğini sağlayan N ∈ N seçilsin. nk∈ N ve n1< n2<· · · olduğundan her k ∈ N için nk ≥ k gerçeklenir. Dolayısıyla, k ≥ N için |xnk− a| < ε sağlanır. Buna göre k → ∞ iken xnk → a olduğu sonucu elde edilir.
Aşağıdaki tanım dizi teorisi içerisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Tanım 2.1.7. Reel sayıların bir {xn} dizisi verilsin.
i) {xn} dizisinin üstten sınırlı olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart {xn: n∈ N} kümesinin üstten sınırlı olmasıdır.
ii) {xn} dizisinin alttan sınırlı olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart {xn: n∈ N} kümesinin alttan sınırlı olmasıdır.
iii) {xn} dizisinin sınırlı olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart bu dizinin üstten ve alttan sınırlı olmasıdır.
Tanım 2.1.7 ve Tanım 1.3.1 birlikte düşünüldüğünde {xn} dizisinin üstten sınırlı olması için gerek ve yeter şart her n ∈ N için xn ≤ M olacak şekilde bir M ∈ R sayısının var olmasıdır. Benzer şekilde {xn} dizisinin alttan sınırlı olması için gerek ve yeter şart her n ∈ N için xn ≥ m olacak şekilde bir m ∈ R sayısının var olmasıdır. Diğer taraftan açık olarak {xn} dizisinin sınırlı olması için gerek ve yeter şart her n ∈ N için |xn| ≤ C olacak şekilde bir C > 0 sayısının var olmasıdır (bkz Alıştırma 2.1.5). Bu durumda {xn} dizisi C ile sınırlıdır veya domine edilmiştir denir.
Yakınsak ve sınırlı diziler arasında aşağıdaki önemli ilişki mevcuttur. Teorem 2.1.8. Her yakınsak dizi sınırlıdır.
Strateji: n → ∞ iken xn → a olsun. Tanıma göre yeterince büyük N için xN, xN +1,· · · değerleri a’ya yakın olmalıdır. Bu ise sınırlılığı gerektirir. Ayrıca x1,· · · , xN −1sonlu dizisi de sınırlı olduğundan verilen dizi sınırlıdır.
Kanıt. limn→∞xn= a olsun. Buna göre, verilen ε = 1 sayısına karşılık n≥ N için |xn − a| < 1 olacak şekilde bir N ∈ N sayısı vardır. Dolayısıyla, üçgen eşitsizliği kullanılarak her n ≥ N için |xn|−|a| ≤ |xn−a| < 1 yani |xn| < 1+|a| ifadesi elde edilir. Diğer taraftan, 1 ≤ n ≤ N için
|xn| ≤ M := max{|x1|, |x2|, · · · , |xN|}
olduğundan {xn} dizisinin max{M, 1 + |a|} ile domine edildiği sonucu elde edilir.
Örnek 2.1.3 göz önüne alındığında Teorem 2.1.8’in tersinin doğru olmadığı sonucu elde edilir.
Yakınsak Dizi ⇒ Sınırlı Dizi, Sınırlı Dizi ; Yakınsak Dizi
Alıştırmalar
2.1.1. Aşağıdaki ifadelerin hangilerinin doğru hangilerinin yanlış olduğunu belirleyi-niz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise ters örnek veribelirleyi-niz.
a) xnyakınsak ise xn/n dizisi de yakınsaktır.
b) xnyakınsak değil ise xn/n dizisi de yakınsak değildir. c) xnyakınsak ve ynsınırlı ise xnyndizisi yakınsaktır.
d) xndizisi sıfıra yakınsıyor ve her n ∈ N için yn> 0 ise xnyndizisi de yakınsaktır. 2.1.2. Aşağıdaki limitlerin varlığını Örnek 2.1.2i), iii), iv)’de anlatılan metodu kul-lanarak gösteriniz.
a) n → ∞ iken 2 − 1/n → 2. b) n → ∞ iken 1 + π/√n→ 1. c) n → ∞ iken 3(1 + 1/n) → 3. d) n → ∞ iken (2n2+ 1)/(3n2)→ 2/3.
2.1.3. Reel sayıların n → ∞ iken 1’e yakınsayan bir xn dizisi göz önüne alınsın. Tanım 2.1.1 kullanılarak aşağıdaki limitlerin varlığını ispatlayınız.
a) limn→∞(1 + 2xn) = 3.
b) limn→∞(πxn− 2)/(xn) = π− 2. c) limn→∞(x2
n− e)/xn= 1− e.
2.1.4. Aşağıda verilen her bir diziye ait farklı limitlere sahip iki yakınsak alt dizi