Biliyoruz ki bir fonksiyonun a noktasında sürekli olması için a ∈ Domf ve x→ a iken f(x) → f(a) sağlanmalıdır. Aslında burada üstü kapalı bir şekilde de olsa f’in a noktasının her iki tarafında tanımlı olduğu kabul edilmektedir. Şimdi daha genel halde x = 0 noktasında √x gibi, verilen bir noktanın sadece bir yönünde tanımlı olan bir fonksiyonun sürekliliğinin de içerildiği aşağıdaki tanımı verelim.
Tanım 3.3.1. R’nin boştan farklı bir alt kümesi E ve f : E → R olsun. i) f fonksiyonunun bir a ∈ E noktasında sürekli olarak adlandırılması için
gerek ve yeter şart verilen ε > 0 sayısına karşılık
|x − a| < δ ve x ∈ E olduğu müddetçe |f(x) − f(a)| < ε (3.5) eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir δ > 0 (genellikle bu sayı ε, f ve a niceliklerine bağlıdır) sayısının var olmasıdır.
ii) f fonksiyonunun E üzerinde sürekli (notasyon: f : E → R sürekli) olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart f’in her x ∈ E noktasında sürekli olmasıdır.
Aşağıdaki sonuç eğer E kümesi a noktasını içeren bir açık aralık ise “f fonk-siyonu a noktasında süreklidir” ifadesinin “x → a iken f(x) → f(a)” yazmaya denk olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla, E’nin bir açık aralık olması duru-munda “f fonksiyonu a ∈ E noktasında süreklidir” yerine kısaca “f fonksiyonu a noktasında süreklidir” şeklinde belirtiriz.
Açıklama 3.3.2. a noktasını içeren bir açık aralık I ve f : I → R olsun. f fonksiyonunun a ∈ I noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart
f (a) = lim
x→af (x) ifadesinin sağlanmasıdır.
Kanıt. I = (c, d) ve δ0:= min{|c − a|, |d − a|} olsun. Eğer δ < δ0ise |x − a| < δ eşitsizliğini sağlayan x değerleri için x ∈ I sağlanır. Dolayısıyla f(a) = L, E = I ve δ < δ0için (3.5) ifadesi (3.1)’e denk olur. Buna göre f fonksiyonunun a noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart x → a iken f(x) → f(a) sağlanmasıdır.
Teorem 3.1.8’in ispatındaki şekilde hareket ederek herhangi boştan farklı bir kümenin üzerinde sürekliliğin dizisel karakterizasyonunu aşağıdaki şekilde verebiliriz.
Teorem 3.3.3. R’nin boştan farklı bir alt kümesi E, a ∈ E ve f : E → R olsun. Buna göre aşağıdaki ifadeler birbirine denktir.
i) a ∈ E noktasında f süreklidir.
ii) Eğer xn dizisi a değerine yakınsıyor ve xn ∈ E ise n → ∞ iken f(xn)→ f (a)’dır.
Özel olarak √x fonksiyonu Alıştırma 2.2.6’ya göre I = [0,
∞) aralığında süreklidir.
Teorem 3.3.3 ve Teorem 2.2.4 birlikte düşünüldüğünde aşağıdaki sonuç elde edilir.
Teorem 3.3.4. R’nin boştan farklı bir alt kümesi E ve f, g : E → R olsun. Eğer f, g fonksiyonları bir a ∈ E noktasında (sırası ile, E kümesi üzerinde) sürekli ise f + g, fg ve αf (α ∈ R) fonksiyonları da a noktasında (sırası ile, E üzerinde) süreklidir. Ayrıca, g(a)6= 0 (sırası ile, her x ∈ E için g(x) 6= 0) olmak üzere f/g fonksiyonu da a noktasında (sırası ile, E üzerinde) süreklidir. Alıştırma 3.1.7, 3.1.8 ve 3.1.9 göz önüne alındığında eğer f ve g fonksiyonları sırası ile, bir a ∈ E noktasında ya da E kümesi üzerinde sürekli ise |f|, f+, f−, f ∨ g ve f ∧ g fonksiyonları da söz konusu a ∈ E noktasında ya da E kümesi üzerinde süreklidir. Ayrıca Alıştırma 3.2.4’e göre her polinom R’de süreklidir.
Pek çok komplike fonksiyon toplamlar, çarpımlar, bölümler ve aşağıda ta-nımlanan operasyon ile basit kısımlara ayrılabilir.
Tanım 3.3.5. R’nin iki alt kümesi A ve B, f : A → R ve g : B → R olsun. Buna göre eğer f(A) ⊆ B ise g ile f’in bileşkesi g ◦f : A → R fonksiyonu x ∈ A olmak üzere
(g◦ f)(x) := g(f(x)) şeklinde tanımlanır.
Teorem 3.3.6. R’nin iki alt kümesi A ve B, f : A → R, g : B → R ve her x∈ A için f(x) ∈ B olsun.
i) I ya a noktasını içeren ya da bir uç noktası a olan dejenere olmayan bir açık aralık, A := I\{a} olsun. Eğer
L := lim
x→a x∈I
f (x)
limiti var ve B kümesine ait ve g fonksiyonu L ∈ B noktasında sürekli ise lim x→a x∈I (g◦ f)(x) = g lim x→a x∈I f (x) ! sağlanır. 84
ii) Eğer f fonksiyonu a ∈ A noktasında ve g fonksiyonu f(a) ∈ B noktasında sürekli ise g ◦ f bileşke fonksiyonu da a ∈ A noktasında süreklidir. Kanıt. i) xn ∈ I\{a} ve n → ∞ iken xn→ a olsun. Açıkça f(A) ⊆ B olduğun-dan f(xn) ∈ B gerçeklenir. Ayrıca, Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu (Te-orem 3.2.6) ötürü n → ∞ iken f(xn)→ L’dir. g fonksiyonu L ∈ B noktasında sürekli olduğundan Teorem 3.3.3’e göre n → ∞ iken f(xn) := g(f (xn))→ L sağlanır. Bu ise Teorem 3.2.6’ya göre I aralığında x → a iken g ◦ f(x) → L demektir. Yani i) ifadesi gerçeklenir. Benzer tarzda hareket ederek ii) şıkkının doğruluğu gösterilebilir.
Pek çok uygulamada verilen bir fonksiyonun maksimum ve minimum de-ğerlerini belirlemek önemli bir yer tutar. Bu amaçla ilk adım olarak aşağıdaki konsepti ortaya koyalım.
Tanım 3.3.7. R’nin boştan farklı bir alt kümesi E olsun. Bir f : E → R fonksiyonunun E üzerinde sınırlı olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart her x ∈ E için |f(x)| ≤ M eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir M ∈ R sayısının var olmasıdır. Bu durumda f fonksiyonu E üzerinde M ile domine edilmiştir denir.
Dikkat edilirse bir f fonksiyonun E kümesi üzerinde sınırlı olup olmaması E ve f ifadelerine bağlıdır. Örneğin, [1,∞) aralığından f(x) = 1/x fonksiyonu 1 ile domine edilmiştir. Fakat aynı fonksiyon (0, 2) aralığında sınırsızdır. Diğer taraftan, (−2, 2) aralığında f(x) = x2fonksiyonu 4 ile domine edilmiş olmakla birlikte [0, ∞) üzerinde sınırsızdır.
Sıkça kullanılacak aşağıdaki sonçta kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların her zaman sınırlı olduğu gösterilmektedir.
Teorem 3.3.8 (Ekstremum Değer Teoremi). Eğer I aralığı kapalı, sınırlı ve f : I → R fonksiyonu I üzerinde sürekli ise bu durumda f fonksiyonu I üzerinde sınırlıdır. Ayrıca, M = sup x∈I f (x) ve m = inf x∈If (x) (3.6) ise f (xM) = M ve f (xm) = m olacak şekilde xm, xM ∈ I noktaları vardır.
Kanıt. Farzedelim ki f fonksiyonu I üzerinde sınırlı olmasın. Buna göre
|f(xn)| > n, n ∈ N (3.7)
eşitsizliğini sağlayan xn∈ I vardır. I aralığı sınırlı olduğundan Bolzano-Weier-strass Teoremi’ne (Teorem 2.3.9) göre {xn} dizisinin yakınsak bir alt dizisi
vardır. Bu yakınsak alt dizi xnk olsun. Buna göre k → ∞ iken xnk→ a gerçek-lenir. Ayrıca, yine I sınırlı olduğundan Karşılaştırma Teoremi (Teorem 2.2.9) gereği a ∈ I’dır ve özel olarak f(a) ∈ R sağlanır. Diğer taraftan, (3.7) ifadesinde n yerine nk yazar ve bu eşitsizlikten k → ∞ iken limit alınırsa |f(a)| = ∞ elde edilir ki bu ise f(a) ∈ R olması ile çelişir. Şu durumda f fonksiyonu I üzerinde sınırlı olmalıdır.
Yukarıda gösterildi ki M ve m sonlu reel sayılardır. Şimdi f(xM) = M eşitliğini sağalayan bir xM ∈ I sayısının var olduğunu göstermek için ifadenin tersinin, yani her x ∈ I için f(x) < M sağlandığını farz edelim. Buna göre
g(x) = 1
M− f(x)
şeklinde tanımlanan fonksiyon I’da sürekli ve dolayısıyla I üzerinde sınırlıdır. Özel olarak, |g(x)| = g(x) ≤ C eşitsizliğini sağlayacak şekilde C > 0 sayısı mevcuttur. Dolayısıyla her x ∈ I için
f (x)≤ M −C1 (3.8)
ifadesi gerçeklenir. Tüm x ∈ I üzerinden (3.8) eşitsizliğinin supremumu alınır ise
M ≤ M −C1
elde edilir ki bu ise çelişkidir. Şu durumda f(xM) = M olacak şekilde bir xM ∈ I vardır. Benzer argüman kullanılarak f(xm) = m eşitliğini sağlayan bir xm∈ I olduğu gösterilebilir.
Teorem 3.3.8’de verilen M değerine I üzerinde f fonksiyonunun maksi-mumu, m değerine ise minimumu adı verilir.
Açıklama 3.3.9. Ekstremum Değer Teoremi’nin hipotezinden “kapalı” veya “sınırlı” olma koşulları çıkarıldığında teorem doğru olmaz.
Kanıt. İsteneni göstermek için bir ters örnek vermek yeter. Sınırlı fakat kapalı olmayan (0, 1) aralığı üzerinde f(x) = 1/x fonksiyonu süreklidir fakat sınırlı değildir. Diğer taraftan sınırlı olmayan kapalı [0, ∞) aralığı üzerinde f(x) = x fonksiyonu süreklidir fakat sınırlı değildir.
Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların grafiklerinde delikler veya sıçrama-lar yoktur (bkz Teorem 3.3.11). Bu olgu kullanısıçrama-larak aşağıdaki basit gözlem verilebilir.
Lemma 3.3.10. a < b ve f : [a, b) → R olsun. Eğer bir x0∈ [a, b) noktasında f sürekli ve f (x0) > 0 ise buna göre x1> x0 ve her x ∈ [x0, x1] için f (x) > ε eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir ε pozitif sayısı ve x1∈ [a, b) noktası vardır.
Strateji: İspatın dayanak fikri gayet basittir. Eğer f(x0) > 0 ise bu durumda x0’ın civarındaki x değerleri için f(x) > f(x0)/2 gerçeklenir. Şimdi detayları verelim.
Kanıt. ε = f(x0)/2 olsun. x0< b olduğundan δ0:= (b− x0)/2 sayısı pozitiftir ve a ≤ x < x0+ δ0 eşitsizliğini sağlayan x değerleri için x ∈ [a, b) gerçeklenir. Tanım 3.3.1 kullanılarak x ∈ [a, b) ve |x − x0| < δ olduğu müddetçe |f(x) − f (x0)| < ε eşitsizliğini gerçekleyecek şekilde 0 < δ < δ0sayısını seçelim.
Bir x1 ∈ (x0, x0+ δ) sabitlensin ve x ∈ [x0, x1] olsun. ε ve δ sayılarının seçimlerinden ötürü açıkça
−f (x20) < f (x)− f(x0) <f (x0) 2
gerçeklenir. Yukarıdaki eşitsizliğin sol tarafı f(x)’e göre çözülür ise f(x) > f (x0)/2 = ε elde edilir.
Bir y0 reel sayısının c ve d sayıları arasında yer alması için gerek ve yeter şart c < y0< d ya da d < y0< c eşitsizliğinin gerçeklenmesidir.
Teorem 3.3.11 (Ara Değer Teoremi). a < b ve f : [a, b] → R sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer y0sayısı f(a) ile f(b) arasında yer alıyor ise bu durumda f (x0) = y0 olacak şekilde bir x0∈ (a, b) sayısı vardır.
Kanıt. f(a) < y0< f (b) olsun. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir E ={x ∈ [a, b] : f (x) < y0} kümesi göz önüne alınsın. a ∈ E ve E ⊆ [a, b] olduğundan E kümesi boştan farklıdır ve R’nin sınırlı bir alt kümesidir. Dolayısıyla Tamlık Aksiyomu gereği x0:= sup E değeri sonlu bir reel sayı olarak mevcuttur. Buna göre x0∈ (a, b) ve f(x0) = y0 olduğunu göstermek yeter.
.
.
.
x a y f (b) f (a) y0 x0 b 87Teorem 2.2.3 göz önüne alınarak n → ∞ iken xn → x0 olan bir xn ∈ E dizisi seçilsin. E ⊆ [a, b] olduğundan Teorem 2.2.9 (Karşılaştırma Teoremi) gereği x0∈ [a, b] gerçeklenir. Dolayısıyla f fonksiyonunun sürekliliği ve E kümesinin tanımı göz önüne alındığında f(x0) = limn→∞f (xn)≤ y0 elde edilir.
f (x0) = y0olduğunu göstermek için ifadenin doğru olmadığını yani f(x0) < y0 eşitsizliğinin sağlandığını farz edelim. Buna göre y0− f(x) ifadesi [a, b) ara-lığında süreklidir ve x = x0 noktasında pozitif değer alır. Dolayısıyla, Lemma 3.3.10’a göre y0− f(x1) > ε > 0 olacak şekilde x1> x0 ve ε sayıları seçilebilir. Buradan x1∈ E ve x1> sup E çelişkisi elde edilir.
x0 ∈ [a, b] ve y0 = f (x0) olduğunu ispatladık. Kanıtın başında yaptığımız f (a) < y0< f (b) varsayımından ötürü x0 sayısı a veya b’ye eşit olamaz. Buna göre x0∈ (a, b) sonucu elde edilir.
Yukarıdaki teorem gereği, eğer f fonksiyonu bir [a, b] aralığında sürekli ve f (a)≤ y0≤ f(b) ise f(x0) = y0 olacak şekilde bir x0∈ [a, b] sayısı vardır.
Eğer f fonksiyonu bir a noktasında sürekli değil ise f fonksiyonu a’da sü-reksiz dir denir ve a noktasına f’in bir süsü-reksizlik noktası adı verilir. Bir fonk-siyonun bir süreksizlik noktası etrafındaki davranışı aşağıdaki örnekte incelen-mektedir. Örnek 3.3.12. f (x) = |x| x x6= 0 1 x = 0
şeklinde tanımlanan fonksiyonun (−∞, 0) ve [0, ∞) aralıklarında sürekli ve 0 noktasında süreksiz olduğunu gösterip f(0+) ve f(0−) limit değerlerinin var olduğunu ispatlayınız.
Kanıt. x ≥ 0 için |x| = x dolayısıyla f(x) = 1 olduğundan açıkça f(0+) = 1 limit değeri vardır ve her a > 0 için x → a iken f(x) → f(a) sağlanır. Buna göre, f fonksiyonu [0, ∞) aralığında süreklidir. Benzer şekilde f(0−) = −1 limit değeri vardır ve f fonksiyonu (−∞, 0) aralığında süreklidir. Diğer taraftan, f (0+)6= f(0−) olduğundan Teorem 3.2.3’e göre x → 0 iken f(x) fonksiyonunun limiti yoktur. Dolayısıyla f fonksiyonu 0 noktasında süreksizdir.
Örnek 3.3.13. sin x fonksiyonunun R’de sürekli olduğu kabulü altında f (x) = sin1 x x6= 0 1 x = 0
şeklinde tanımlanan fonksiyonun (−∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarında sürekli ve 0 noktasında süreksiz olduğunu gösterip ne f(0+) ne de f(0−) limitlerinin var olmadığını ispatlayınız.
Kanıt. Teorem 3.1.10’a göre 1/x fonksiyonu x 6= 0 için süreklidir. Dolayı-sıyla Teorem 3.3.6 kullanılarak f fonksiyonunun (−∞, 0) ve (0, ∞) üzerinde sürekli olduğu sonucu elde edilir. f(0+) limitinin var olmadığını göstermek için xn = 2/((2n + 1)π) olarak tanımlansın. Buna göre n ∈ N için sin(1/xn) = (−1)n’dir. xn ↓ 0 olmakla birlikte (−1)n dizisi yakınsak değildir. Dolayısıyla Teorem 3.3.3’e (Sürekliliğin Dizisel Karakterizasyonu) göre f(0+) limiti mevcut değildir. Benzer argüman kullanılarak f(0−) değerinin var olmadığı gösterile-bilir. Örnek 3.3.14. R üzerinde f (x) := 1 x∈ Q 0 x /∈ Q
şeklinde tanımlanan fonksiyonaDirichlet fonksiyonu adı verilir. Dirichlet fonk-siyonunun her x ∈ R noktasında süreksiz olduğunu gösteriniz (Bu tip fonksi-yonlarahiçbir yerde sürekli fonksiyon adı verilir).
Kanıt. a bir rasyonel sayı ve {xn} irrasyonel sayıların a noktasına yakınsayan bir dizisi olsun (Bu dizinin varlığı Teorem 1.3.9 ve Alıştırma 1.3.4 (Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Yoğunluğu) göz önüne alındığında garantidir). Her n ∈ N için f(xn) = 0 olduğundan f (a) = 1 olmasına karşın f (xn)→ 0 gerçeklenir. Buna göre f fonksiyonu herhangi bir rasyonel a noktasında sürekli olamaz.
Diğer taraftan b bir irrasyonel sayı ve {yn} rasyonel sayıların bu b değerine yakınsayan bir dizisi olsun (Bu dizinin varlığı Teorem 1.3.9 (Rasyonel Sayıla-rın Yoğunluğu) göz önüne alındığında garantidir). Her n ∈ N için f(yn) = 1 olduğundan f(yn)→ 1 sağlanır. Fakat f(b) = 0 olduğundan f fonksiyonunun herhangi bir irrasyonel b noktasında sürekli olmadığı sonucu elde edilir.
Her reel sayı ya rasyonel ya da irrasyonel olduğundan f fonksiyonunun R’de hiç bir yerde sürekli olmadığı neticesine ulaşılır.
Örnek 3.3.15. f (x) = 1 q x = pq ∈ Q (indirgenmiş formda) 0 x /∈ Q
şeklinde tanımlanan fonksiyonun (0, 1) aralığındaki tüm irrasyonellerde sürekli fakat (0, 1) aralığındaki tüm rasyoneller üzerinde süreksiz olduğunu kanıtlayı-nız.
Kanıt. a noktası (0, 1) aralığından bir rasyonel sayı ve farz edelim ki f fonksi-yonu bu a noktasında sürekli olsun. Eğer xn irrasyonellerin a noktasına yakın-sayan bir dizisi ise süreklilikten f(xn)→ f(a) yani f(a) = 0 gerçeklenir. Fakat tanıma göre f(a) 6= 0 olduğundan çelişki elde edilir. Buna göre f fonksiyonu (0, 1) aralığındaki tüm rasyoneller için süreksizdir.
(0, 1) aralığına ait bir irrasyonel sayı a olsun. Gösterilmesi gereken n→ ∞ iken xn → a koşulunu sağlayan tüm xn ∈ (0, 1) dizilerinin aynı zamanda f (xn) → f(a) limitini de gerçeklediğidir. xn ∈ Q olsun. Her n ∈ N için di-zinin terimleri indirgenmiş formda xn = pn/qn şeklinde yazılsın. f(a) = 0 olduğundan n → ∞ iken qn → ∞ limitini göstermek yeter. Tersine, her k ∈ N için |qnk| ≤ M < ∞ eşitsizliğini sağlayacak şekilde n1< n2<· · · tamsayıları var olsun. xnk∈ (0, 1) olduğundan
E := xnk =pnk qnk : k∈ N
şeklinde tanımlanan küme sadece sonlu sayıda eleman içerir. Buna göre E kü-mesinden alınan her dizinin limiti yine E kümesine ait olmalıdır. a bu limit değerlerinden birisidir fakat a irrasyonel olduğundan kümeye ait olamaz. Dola-yısıyla n → ∞ iken qn→ ∞ ve buna göre f fonksiyonunun (0, 1) aralığındaki tüm irrasyonellerde sürekli olduğu sonucu elde edilir.
Açıklama 3.3.16. f fonksiyonu sadece Q üzerinde ve g fonksiyonu da sadece bir noktada süreksiz iki fonksiyon ise bu fonksiyonların g ◦ f bileşkeleri hiçbir yerde sürekli olabilir.
Kanıt. f fonksiyonu Örnek 3.3.15’te göz önüne alınan fonksiyon ve g(x) = 1 x6= 0 0 x = 0 olsun. Buna göre
(g◦ f)(x) = 1 x∈ Q 0 x /∈ Q
sağlanır. g ◦ f bileşke fonksiyonu Örnek 3.3.14 ile verilen hiçbir yerde sürekli Dirichlet fonksiyonudur.
Aşağıdaki örneklerde gerektiğinde sin x, cos x ve ex fonksiyonlarının R’de sürekli olduğu kabul edilecektir.
Alıştırmalar
3.3.1. Aşağıda verilen ifadelerin hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu tespit ediniz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise birer ters örnek veriniz.
a) Eğer f fonksiyonu [a, b] üzerinde sürekli ve J := f([a, b]) ise J sınırlı ve kapalı bir aralıktır.
b) Eğer [a, b] üzerinde f ve g sürekli, f(a) < g(a) ve f(b) > g(b) ise f(c) = g(c) eşitsizliğini sağlayan bir c ∈ [a, b] sayısı vardır.
c) a noktasında f fonksiyonu sürekli ve f(a) 6= 0 olmak üzere a noktasını içeren bir I aralığı üzerinde tanımlı sonlu değerli f ve g fonksiyonları göz önüne alınsın. Buna göre g fonksiyonunun a noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart f g fonksiyonunun a’da sürekli olmasıdır.
d) f ve g fonksiyonları R üzerinde tanımlı ve sonlu değerli olsun. Eğer f ve g ◦ f fonksiyonları R üzerinde sürekli ise g’nin de R üzerinde süreklidir.
3.3.2. Limit teoremlerini kullanarak aşağıdaki fonksiyonların [0, 1] üzerinde sürekli olduğunu gösteriniz. a) f(x) = ex2√ sin x cos x b) f(x) = x2 +x−2 x−1 x6= 1 3 x = 1 c) f(x) = e−1/x x6= 0 0 x = 0 d) f(x) = √x sin1 x x6= 0 0 x = 0
3.3.3. Aşağıda verilen denklemleri gerçekleyen en az bir x ∈ R sayısının var olduğunu gösteriniz.
a) ex= x3
b) ex= 2 cos x + 1 c) 2x= 2− 3x
3.3.4. Eğer f : [a, b] → R fonksiyonu sürekli ise supx∈[a,b]|f(x)| değerinin sonlu olduğunu ispatlayınız.
3.3.5. Eğer f : [a, b] → [a, b] fonksiyonu sürekli ise f’in bir sabit noktasının, yani f (c) = c eşitliğini sağlayan bir c∈ [a, b] sayısının varlığını gösteriniz.
3.3.6. Eğer reel değerli f fonksiyonu bir a ∈ R noktasında sürekli bazı M ∈ R noktalarında f(a) < M ise her x ∈ I için f(x) < M eşitsizliğini gerçekleyecek şekilde a’yı içeren bir I açık aralığı vardır.
3.3.7. f + g toplam fonksiyonu R üzerinde sürekli olan f ve g hiçbir yerde sürekli fonksiyonlarının varlığını gösteriniz. Bu fonksiyonların çarpımı için de benzer duru-mun söz konusu olduğunu gösteriniz.
3.3.8. a∈ R, bu a noktasını içeren bir açık aralık I, f, g : I → R ve f fonksiyonu a’da sürekli olsun. İspatlayınız ki g fonksiyonunun a noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart f + g toplam fonksiyonunun a’da sürekli olmasıdır.
3.3.9. f : R → R fonksiyonu her x, y ∈ R için f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğini gerçeklesin.
a) Her x ∈ R ve n ∈ Z için f(nx) = nf(x) olduğunu gösteriniz. b) Her x ∈ R ve q ∈ Q için f(qx) = qf(x) olduğunu gösteriniz.
c) İspatlayınız ki f fonksiyonunun 0 noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart f’in R üzerinde sürekli olmasıdır.
d) İspatlayınız ki f fonksiyonu 0 noktasında sürekli ise her x ∈ R için f(x) = mx eşitliğini sağlayacak şekilde bir m ∈ R sayısı vardır.
3.3.10. f : R→ (0, ∞) fonksiyonu f(x + y) = f(x)f(y) eşitliğini gerçeklesin. İspat-layınız ki f fonksiyonu 0 noktasında sürekli ise her x ∈ R için f(x) = ax eşitliğini sağlayacak şekilde bir a ∈ (0, ∞) sayısı vardır (Burada ax fonksiyonunun R üzerinde olduğunu kabul ediyoruz).
3.3.11. f : R→ R fonksiyonu R üzerinde sürekli ve lim
x→∞f (x) = lim
x→−∞f (x) =∞ ise f’in R üzerinde bir minimumunun, yani
f (xm) = inf
x∈Rf (x) <∞
ifadesini sağlayan bir xm∈ R sayısının var olduğunu gösteriniz.