Formal tanımı vermeden önce açıklayıcı olması bakımından aşağıdaki irdele-meyi yapalım:
{xn} terimleri R kümesine ait bir dizi olsun. Buna göre her n ∈ N için Xn={xk : k≥ n}
kümesinin R’de infimumu vardır. Yani her k ≥ n için inf Xn≤ xk sağlanır.
.
.
PSfrag R inf Xn −∞ +∞her k ≥ n için xk elemanları burada yer alır
Her n için Xn⊇ Xn+1olduğundan {tn} = {inf Xn} artan bir dizidir.
.
.
R inf X1 inf X2 inf X3 inf X4 −∞ +∞Benzer şekilde Xn kümesinin supremumu vardır. Buna göre her k ≥ n için xk≤ sup Xn
sağlanır.
.
.
R sup Xn
−∞ +∞
her k ≥ n için xk elemanları burada yer alır
Ayrıca her n için Xn+1⊆ Xn+1olduğundan {sn} = {sup Xn} azalan bir dizidir. Sonuç olarak k ≥ n için
inf Xn≤ xk ≤ sup Xn eşitsizliği sağlanır.
.
.
R sup X1 sup X2 sup X3 sup X4 −∞ +∞.
.
inf Xn sup Xn R∪ {−∞, ∞} −∞ +∞her k ≥ n için xk elemanları burada yer alır
n değerleri büyüdükçe [inf Xn, sup Xn] kapalı aralığı küçülür. Dolayısıyla dizi-nin sonlu kısmı hariç bizim asıl ilgilendiğimiz bölümünün ne kadar küçük bir aralığa sıkışacağını gözlemleyebiliriz.
.
.
R∪ {−∞, ∞} sup Xn inf Xn n′ > n inf Xn′ sup Xn′ −∞ +∞Tanım 2.5.1. {xn} bir reel sayı dizisi olsun. Buna göre {xn} dizisinin limit supremumu lim sup n→∞ xn := lim n→∞ sup k≥n xk (2.4) 60
ve {xn} dizisinin limit infimumu lim inf n→∞ xn := lim n→∞ inf k≥nxk
genişletilmiş reel sayılarıdır.
Tanım 2.5.1’de verilen limitlerin genişletilmiş reel sayı olarak varlığının gös-terilmesi gerekir. Bunun için {xn} reel sayı dizisi ve
sn = sup
k≥n
xk:= sup{xk: k≥ n} ve tn = inf
k≥nxk:= inf{xk: k≥ n} dizileri göz önüne alınsın. Yukarıda anlatıldığı üzere sn ve tn’lerin her biri genişletilmiş reel sayılardır ve Monotonluk Özelliğine göre sn genişletilmiş reel sayıların azalan ve tn ise artan bir dizisi olduğundan n → ∞ iken sn ↓ s ve tn↑ t olacak şekilde s ve t genişletilmiş reel sayıları vardır (bkz Alıştırma 2.3.7). Bu genişletilmiş reel sayılar, sırası ile, Tanım 2.5.1’e göre {xn} dizisinin limit supremum ve limit infimum değerleridir.
Aşağıdaki üç örnekte limit supremum ve limit infimumun ne şekilde hesap-landığı gösterilmektedir.
Örnek 2.5.2. xn = (−1)n olsun. lim supn→∞xn ve lim infn→∞xn değerlerini tespit ediniz.
Çözüm. Her n ∈ N için supk≥n(−1)k = 1 olduğundan Tanım 2.5.1’e göre lim supn→∞xn= 1’dir. Benzer şekilde lim infn→∞xn=−1 olarak bulunur. Örnek 2.5.3. xn= 1+1/n olsun. lim supn→∞xnve lim infn→∞xndeğerlerini tespit ediniz.
Çözüm. Her n ∈ N için supk≥n(1 + 1/k) = 1 + 1/n olduğundan Tanım 2.5.1’e göre lim supn→∞xn= 1’dir. Diğer taraftan, her n∈ N için infk≥n(1 + 1/k) = 1
olduğundan lim infn→∞xn= 1 şeklinde elde edilir.
Örnek 2.5.4. xn= (−1)nn olsun. lim supn→∞xnve lim infn→∞xndeğerlerini tespit ediniz.
Çözüm. Verilen dizi {−1, 2, −3, 4, −5, 6, −7, · · · } şeklinde yazılabilir. Buna göre her n ∈ N için supk≥n(−1)nn =∞ olduğundan lim supn→∞xn=∞’dir. Diğer taraftan, her n ∈ N için infk≥n(−1)nn = −∞ olduğundan lim infn→∞xn =
−∞ şeklinde elde edilir.
Teorem 2.5.5. {xn} bir reel sayı dizisi, s = lim supn→∞xnve t = lim infn→∞xn
olsun. Buna göre k → ∞ iken xnk → s ve j → ∞ iken xℓj → s olacak şekilde {xnk}k∈N ve {xℓj}j∈N alt dizileri vardır.
Kanıt. İspatı sadece limit supremum için vereceğiz. Benzer argüman kullanı-larak teoremin doğruluğu limit infimum için de gösterilebilir. sn = supk≥nxk
olsun. Buna göre n → ∞ iken sn↓ s gerçeklenir.
Durum 1. s = ∞ olsun. Tanıma göre her n ∈ N için sn = ∞’dir. s1 = ∞ olduğundan xn1 > 1 olacak şekilde bir n1 ∈ N sayısı vardır. sn1+1 = ∞ olduğundan xn2 > 2 olacak şekilde bir n2≥ n1+ 1 > n1 sayısı mevcuttur. Bu şekilde devam ederek, her k ∈ N için xnk> k olacak şekilde bir{xnk} alt dizisi seçilebilir. Dolayısıyla, R için Sıkıştırma Teoremi’ne (bkz Alıştırma 2.2.8) göre k→ ∞ iken xnk→ ∞ = s olur.
Durum 2. s = −∞ olsun. Her n ∈ N için sn ≥ xn ve n → ∞ iken sn → −∞ olduğundan R için Sıkıştırma Teoremi’ne göre n → ∞ iken xn → −∞ = s sağlanır.
Durum 3. −∞ < s < ∞ olsun. n0= 0 alınsın. Teorem 1.3.5’e (Supremum için Yaklaşım Teoremi) göre sn0+1− 1 < xn1 ≤ sn0+1 eşitsizliğini sağlayacak bir n1∈ N tamsayısı vardır. Benzer şekilde, sn1+1− 1/2 < xn2 ≤ sn1+1eşitsizliğini sağlayacak bir n2 ≥ n1+ 1 > n1 tamsayısı mevcuttur. Bu anlamda devam ederek her k ∈ N için
snk−1+1−k1 < xnk ≤ snk−1+1 (2.5) eşitsizliğini sağlayacak şekilde n1 < n2 < · · · tamsayıları seçilebilir. k → ∞ iken snk−1+1→ s olduğundan Sıkıştırma Teoremi’ne göre k → ∞ iken xnk→ s elde edilir.
Teorem 2.5.6. {xn} bir reel sayı dizisi ve x bir genişletilmiş reel sayı olsun. Buna göre n → ∞ iken xn → x olması için gerek ve yeter şart
lim sup
n→∞ xn= lim inf
n→∞ xn (2.6)
eşitliğinin sağlanmasıdır.
Kanıt. n → ∞ iken xn→ x olsun. {xn} dizisinin her {xnk} alt dizisi için n → ∞ iken xnk → x yazılabilir. Buna göre, Teorem 2.5.5’den lim supn→∞xn = x ve lim infn→∞xn= x ifadeleri gerçeklenir. Dolayısıyla, (2.6) eşitliği doğrudur.
Tersine, (2.6) ifadesi doğru olsun.
Durum 1. x = ±∞ olsun. Eğer terimler ±xn şeklinde göz önüne alınırsa x = ∞ olduğunu söyleyebiliriz. Buna göre, verilen bir M ∈ R için infk≥Nxk > M olacak şekilde bir N ∈ N vardır. Dolayısıyla, her n ≥ N için xn > M gerçeklenir. Bu ise n → ∞ iken xn→ x olduğu anlamına gelir.
Durum 2. −∞ < x < ∞ ve ε > 0 olsun. Ayrıca sup k≥N xk− x < ε2 ve x − inf k≥Nxk < ε 2 olacak şekilde bir N ∈ N seçilsin.
n, m ≥ N olsun ve basitlik sağlaması bakımından xn > xm eşitsizliğinin doğruluğu kabul edilsin. Buna göre
|xn− xm| = xn− xm≤ sup k≥N xk− x + x − inf k≥Nxk< ε 2 + ε 2 = ε
elde edilir. Dolayısıyla, {xn} dizisi bir Cauchy dizisidir ve sonlu bir reel sayıya yakınsar. Bununla beraber, Teorem 2.5.5’e göre {xn} dizisinin x’e yakınsayan bir alt dizisi mevcuttur. Bu ise n → ∞ iken xn→ x olduğu anlamına gelir.
Teorem 2.5.5 bize limit supremum ve limit infimum hakkında aşağıdaki geometrik yorumu yapma imkânı tanır.
Teorem 2.5.7. {xn} bir reel sayı dizisi olsun. Buna göre lim supn→∞xn(sırası ile, lim infn→∞xn) değeri, {xn} dizisinin bazı alt dizilerinin yakınsadığı (veya değerin ∞ olması durumunda ıraksadığı) en büyük (sırası ile, en küçük) geniş-letilmiş sayıdır. Yani, k → ∞ iken xnk→ x ise
lim inf
n→∞ xn≤ x ≤ lim sup
n→∞
xn (2.7)
eşitsizliği gerçeklenir.
Kanıt. k → ∞ iken xnk → x olsun. Bir N ∈ N sayısı sabitlensin ve k ≥ K iken nk ≥ N olacak şekilde yeterince büyük bir K sayısı seçilsin. Buna göre her k ≥ K için
inf
j≥Nxj ≤ xnk ≤ sup
j≥N
xj
eşitsizliği doğrudur. k → ∞ iken yukarıdaki ifadenin limiti alınırsa inf
j≥Nxj≤ x ≤ sup
j≥N
xj
elde edilir. Son eşitsizlikten bu kez N → ∞ iken limit alır ve Tanım 2.5.1 kullanılırsa (2.7) ifadesi elde edilir.
Açıklama 2.5.8. Reel sayıların herhangi bir {xn} dizisi için lim inf n→∞ xn≤ lim sup n→∞ xn eşitsizliği gerçeklenir. 63
Kanıt. Her n ∈ N için infk≥nxk ≤ x ≤ supk≥nxk eşitsizliği gerçeklendiğinden Teorem 2.2.9 (Karşılaştırma Teoremi) kullanılarak verilen ifadenin doğruluğu görülür.
Aşağıdaki ifadenin doğruluğu Tanım 2.5.1, Karşılaştırma Teoremi ve Mo-noton Yakınsaklık Teoremi kullanılarak gösterilebilir.
Açıklama 2.5.9. Bir {xn} dizisinin alttan sınırlı olması için gerek ve ye-ter şart lim supn→∞xn < ∞ ve üstten sınırlı olması için gerek ve yeter şart lim infn→∞xn >−∞ ifadelerinin gerçeklenmesidir.
Aşağıdaki sonuç bize eşitsizliklerin limit supremum ve limit infimumlarını alabileceğimizi belirtir.
Teorem 2.5.10. Büyük n değerleri için xn ≤ yn eşitsizliği sağlanıyor ise lim sup n→∞ xn≤ lim sup n→∞ yn ve lim inf n→∞ xn≤ lim inf n→∞ yn (2.8) ifadeleri doğrudur.
Kanıt. Her k ≥ N için xk ≤ yk ise her n ≥ N için supk≥nxk ≤ supk≥nyk
ve infk≥nxk ≤ infk≥nyk eşitsizlikleri gerçeklenir. Eğer bu ifadelerden n → ∞ iken limit alınırsa (2.8) elde edilir.
Alıştırmalar
2.5.1. Aşağıdaki dizilerin limit supremum ve limit infimum değerlerini hesaplayınız. a) xn= 3− (−1)n
b) xn= cos(nπ/2)
c) xn= (−1)n+1+ (−1)n/n d) xn=√
1 + n2/(2n− 5)
e) xn= yn/n, burada ynüstten sınırlı bir dizidir f) xn= n(1 + (−1)n) + n−1((−1)n
− 1) g) xn= (n3+ n2
− n + 1)/(n2+ 2n + 5) 2.5.2. {xn} bir reel sayı dizisi olsun. Buna göre
− lim sup
n→∞
xn= lim inf
n→∞(−xn) ve
− lim infn→∞ xn= lim inf
n→∞(−xn) olduğunu gösteriniz.
2.5.3. {xn} bir reel sayı dizisi ve r ∈ R olsun.
a) Büyük n değerleri için
lim sup
n→∞
xn< r iken xn< r olduğunu ispatlayınız.
b) Sonsuz çoklukta n ∈ N için lim sup
n→∞
xn> r iken xn> r olduğunu ispatlayınız.
2.5.4. {xn} ve {yn} reel sayıların herhangi iki dizisi olsun.
a) Aşağıdaki toplamların hiç birinin ∞ − ∞ formunda olmaması koşulu altında lim inf n→∞ xn+ lim inf n→∞ yn≤ lim inf n→∞(xn+ yn) ≤ lim sup n→∞ xn+ lim inf n→∞ yn ≤ lim sup n→∞ (xn+ yn)≤ lim sup n→∞ xn+ lim sup n→∞ yn olduğunu ispatlayınız.
b) Eğer limn→∞xnlimiti mevcut ise lim inf n→∞(xn+ yn) = lim n→∞xn+ lim inf n→∞ yn ve lim sup n→∞ (xn+ yn) = lim n→∞xn+ lim sup n→∞ yn eşitliklerini ispatlayınız.
2.5.5. {xn} ve {yn} reel sayıların herhangi iki dizisi olsun.
a) Her n ∈ N için xn≥ 0 ve yn≥ 0 olsun. Aşağıdaki eşitsizliğin sağındaki çarpım 0· ∞ formunda olmamak üzere
lim sup n→∞ (xnyn)≤ (lim sup n→∞ xn)(lim sup n→∞ yn) olduğunu gösteriniz.
b) Her n ∈ N için xn ≤ 0 ≤ yn olsun. Aşağıdaki eşitsizlikte bulunan çarpımların hiç biri 0 · ∞ formunda olmamak üzere
(lim inf n→∞ xn)(lim sup n→∞ yn)≤ lim inf n→∞(xnyn) olduğunu gösteriniz.
2.5.6. Her n ∈ N için xn≥ 0 ve yn≥ 0 olsun. n → ∞ iken xn→ x (burada x bir genelleştirilmiş reel sayı da olabilir) ise aşağıdaki eşitlikte bulunan çarpımların hiç biri 0 · ∞ formunda olmamak üzere
lim sup n→∞ (xnyn) = x lim sup n→∞ yn olduğunu gösteriniz. 65
2.5.7. Herhangi bir reel {xn} dizisi için lim sup n→∞ xn= inf n∈N sup k≥n xk ve lim inf n→∞ xn= sup n∈N inf k≥nxk olduğunu gösteriniz.
2.5.8. Her n ∈ N için xn≥ 0 olsun. 1/0 = ∞ ve 1/∞ = 0 yorumları altında lim sup
n→∞
1 xn
= 1
lim infn→∞xn ve lim inf
n→∞ 1 xn = 1 lim supn→∞xn olduğunu gösteriniz. 66
3 R Üzerinde Fonksiyonlar
3.1 İki-Yönlü Limitler
Bölüm 2’de reel sayıların limitlerini inceledik. Bu bölümde ise tanım ve değer kümeleri R’nin bir alt kümesi olan reel fonksiyonların limitleri üzerinde dura-cağız. Bu formdaki fonksiyonları, değer kümesi aynı zamanda ∞ ve/veya −∞ değerlerini içeren fonksiyonlardan ayırmak için reel fonksiyonları kimi zaman sonlu değerli olarak isimlendireceğiz.
Tanım 3.1.1. a ∈ R, I reel sayıların a noktasını içeren bir açık aralığı ve f muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralığı üzerindeki diğer tüm nokta-larda tanımlı bir reel fonksiyon olsun. Buna göre x noktası a noktasına yakla-şırken f(x) fonksiyonunun L’ye yakınsıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart her ε > 0 sayısına karşılık
0 <|x − a| < δ olduğu müddetçe |f(x) − L| < ε (3.1) eşitsizliğini sağlayan bir δ > 0 (bu sayı genellikle ε, f, I ve a niceliklerine bağlıdır) sayısının var olmasıdır.
Bu durumda
L = lim
x→af (x) veya x→ a iken f(x) → L
yazılır ve x noktası a noktasına yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti L’dir şeklinde okunur.
Tanım 3.1.1’e göre verilen bir fonksiyonun limiti olduğunu göstermek için genel bir ε > 0 değeri ile başlayıp (3.1) ifadesini sağlayan δ sayısının nasıl seçilmesi gerektiği ortaya konmalıdır.
Örnek 3.1.2. m, b ∈ R olmak üzere f(x) = mx + b olarak tanımlansın. Buna göre her a ∈ R için
f (a) = lim
x→af (x) olduğunu ispatlayınız.
x a a L L + ε L− ε a + δ aa− δ− δ y = f (x) y
Kanıt. Eğer m = 0 ise ispat gerektiren bir durum yoktur. Diğer durumda, ε > 0 sayısı verilsin ve δ = ε/|m| olarak seçilsin. Eğer |x − a| < δ ise bu durumda
|f(x) − f(a)| = |mx + b − (ma + b)| = |m||x − a| < |m|δ = ε
ifadesi sağlanacağından δ sayısının bu seçimi ile x → a iken f(x) → f(a) olduğu elde edilir.
Kimi durumlarda δ sayısını belirlemek için f(x) − L ifadesini iki çarpan şeklinde yazmamız gerekebilir. Daha sonra önemsiz olduğu düşünülen çarpan bir üst sınırı ile değiştirilerek istenilen elde edilir.
Örnek 3.1.3. f(x) = x2+ x− 3 olarak tanımlansın. Buna göre x → 1 iken f (x)→ −1 olduğunu ispatlayınız.
Kanıt. ε > 0 ve L = −1 olsun. Buna göre
f (x)− L = x2+ x− 3 − (−1) = x2+ x− 2 = (x − 1)(x − 2)
bulunur. Eğer 0 < δ ≤ 1 ise |x−1| < δ olduğundan |x−1| < 1 yani −1 < x−1 < 1 dolayısıyla 0 < x < 2 elde edilir. Buna göre üçgen eşitsizliği kullanılarak |x + 2| ≤ |x| + 2 < 4 eşitsizliğine ulaşılır. δ = min{1, ε/4} olsun. δ sayısının bu seçimi ile eğer |x − 1| < δ ise
|f(x) − L| = |x − 1||x − 2| < 4|x − 1| < 4δ ≤ ε elde edilir. Bu ise tanıma göre x → 1 iken f(x) → −1 demektir. Örnek 3.1.4. limx→ax2= a2 olduğunu ispatlayınız.
Kanıt. Her x ∈ R için f(x) := x2 olsun. Gösterilmesi gereken |f(x) − L| = |f(x) − a2
| = |x2
− a2
| 68
farkının, x değerleri a’ya yeterince yakın olmak üzere, önceden atanmış bir ε değerinden küçük olduğudur. Buna göre x2
− a2= (x− a)(x + a) olduğundan, eğer |x−a| < 1 ise üçgen eşitsizliği kullanılarak |x|−|a| ≤ |x−a| < 1 yani |x| < 1 +|a| dolayısıyla |x + a| ≤ |x| + |a| < 1 + 2|a| elde edilir. δ = minn1, ε
2|a|+1
o olsun. δ sayısının bu seçimi ile |x − a| < δ ise
|f(x) − L| = |x − a||x + a| < |x − a|(1 + 2|a|) < (1 + 2|a|)δ ≤ ε sonucuna ulaşılır. Bu ise tanıma göre x → a iken f(x) → a2demektir. Örnek 3.1.5. a > 0 için x → a iken 1
x→ 1
a olduğunu ispatlayınız. Kanıt. Her x > 0 için f(x) := 1/x ve a > 0 olsun. Gösterilmesi gereken
|f(x) − L| = f (x)−1a = 1 x−1a
farkının, x değerleri a > 0’ya yeterince yakın olmak üzere, önceden atanmış bir ε değerinden küçük olduğudur. Buna göre x > 0 için
1 x−1a = 1 ax(a− x) = 1 ax|x − a|
olduğundan 1/(ax) ifadesi için bir üst sınır bulmak gerekir. Özel olarak eğer |x − a| < 1 2a ise −1 2a < x− a < 1 2a olduğundan a− 1 2a < x < a +1 2a yani 1
2a < x < 32a sonuçta 1x <2a elde edilir. Dolayısıyla |x − a| <12a için 0 < 1
ax < 2 a2
sonucuna ulaşılır. Buna göre x’in bu değerleri için f (x)−1a < 2 a2|x − a|
elde edilir. Yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafının ε’dan küçük kalmasını garantile-mek için |x − a| < 1
2a2ε alınmalıdır. Sonuç olarak δ = min1 2a,1
2a2ε şeklinde seçilirse eğer |x − a| < δ ise
|f(x) − L| =a22|x − a| < a22δ≤ ε
sonucuna ulaşılır. Bu ise tanıma göre x → a iken f(x) → 1/a demektir. Devam etmeden önce Tanım 3.1.1’in iki önemli özelliğine değinelim:Kabul 1. I bir açık aralıktır; Kabul 2. 0 < |x − a| sağlanır. Eğer I = (c, d) bir açık aralık ve δ0 := min{a − c, d − a} olarak belirlenirse |x − a| < δ0 için x ∈ I sağlanır. Dolayısıyla, Kabul 1 yeterince küçük δ > 0 için |x − a| < δ (a’nın
her iki tarafında) koşulunu sağlayan her x 6= a noktasında f(x) fonksiyonu tanımlıdır. |x − a| > 0 olduğundan x 6= a’dır ve Kabul 2 f fonksiyonu bu noktada tanımlı olmasa dahi f’in limitinin a olabileceğini garantiler (Bu olgu daha sonra türevleri tanımlarken kritik bir rol oynayacaktır).
Aşağıdaki sonuç f(x) fonksiyonu a noktasında tanımlı olsa dahi a nokta-sında f’in limitinin değerinin f(a) değerinden genellikle bağımsız olduğunu ortaya koymaktadır.
Açıklama 3.1.6. a ∈ R, I reel sayıların a noktasını içeren bir açık aralığı ve f, g muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralığı üzerindeki diğer tüm noktalarda tanımlı birer reel fonksiyon olsun. Eğer her x ∈ I\{a} için f(x) = g(x) ve x→ a iken f(x) → L ise bu durumda x → a iken g(x) fonksiyonunun da bir limit değeri vardır ve
lim
x→ag(x) = lim
x→af (x) sağlanır.
Kanıt. ε > 0 olsun. (3.1) ve |x−a| < δ için x ∈ I koşullarını sağlayacak şekilde yeterince bir küçük δ > 0 sayısı seçilsin. 0 < |x − a| < δ eşitsizliğinin sağlandığı kabul edilsin. Teorem hipotezine göre f(x) = g(x) ve (3.1)’den |f(x) − L| < ε olduğundan |g(x) − L| < ε sonucu elde edilir.
Örnek 3.1.7. x → 1 iken
g(x) = x
3+ x2
− x − 1 x2− 1 fonksiyonunun bir limit değeri olduğunu ispatlayınız.
Kanıt. f(x) = x + 1 olsun. Örnek 3.1.2’ye göre x → 1 iken f(x) → 2 sağlanır. x6= ±1 için g(x) =x 3+ x2− x − 1 x2− 1 = (x + 1)(x2− 1) x2− 1 = x + 1 = f (x)
olduğundan Açıklama 3.1.6’ya göre x → 1 iken g(x) fonksiyonunun limiti vardır (ve bu limit değeri 2’dir).
Dizilerin limitleri ile fonksiyonların limitleri arasında yakın bir ilişki vardır. Teorem 3.1.8 (Limitlerin Dizisel Karakterizasyonu). a ∈ R, I reel sayıların a noktasını içeren bir açık aralığı ve f muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralığı üzerindeki diğer tüm noktalarda tanımlı bir reel fonksiyon olsun. Buna göre
L = lim
x→af (x) 70
limitinin mevcut olması için gerek ve yeter şart n → ∞ iken a değerine yakın-sayan her xn ∈ I\{a} dizisi için n → ∞ iken f(xn)→ L olmasıdır.
Kanıt. x noktası a’ya yaklaşırken f fonksiyonu L değerine yakınsasın. Buna göre verilen ε > 0 için (3.1) ifadesini sağlayacak şekilde bir δ > 0 sayısı vardır. Diğer taraftan eğer xn ∈ I\{a} dizisi n → ∞ iken a değerine yakınsıyor ise n≥ N için |xn−a| < δ eşitsizliğini sağlayan bir N ∈ N sayısı seçilebilir. xn6= a olduğundan (3.1)’e göre her n ≥ N için |f(xn)− L| < ε sağlanır. Bu ise n → ∞ iken f(xn)→ L demektir.
Tersine, n → ∞ iken a değerine yakınsayan her xn ∈ I\{a} dizisi için n → ∞ iken f(xn)→ L olsun. Bu durumda, eğer x noktası a’ya yaklaşırken f fonksiyonu L değerine yakınsamıyor ise bir ε > 0 sayısı için (biz bu sayıya ε0 diyelim) “0 < |x − a| < δ olduğu müddetçe x ∈ I\{a} için |f(x) − L| < ε” eşitsizliğini sağlayan hiç bir δ > 0 sayısı yoktur. Dolayısıyla n ∈ N olmak üzere her δ = 1/n için 0 < |xn− a| < 1/n ve |f(xn)− L| ≥ ε koşullarını sağlayan bir xn∈ I noktası vardır. Bu ise birinci koşul ve Sakıştırma Teoremi (Teorem 2.2.1) gereği xn6= a ve xn→ a demektir. Sonuç olarak hipotez koşuluna göre n → ∞ iken f(xn)→ L sağlanır. Özel olarak, büyük n değerleri için |f(xn)− L| < ε olması ikinci koşul ile çelişir.
Yukarıdaki teorem gereği bir fonksiyonun x → a iken limit değerinin olma-dığını göstermek için f altındaki görüntülerinin farklı limit değerlerine sahip olduğu a değerine yakınsayan iki dizinin varlığını göstermek gerekir.
Örnek 3.1.9. f (x) = sin1 x x6= 0 0 x = 0
şeklinde tanımlanan fonksiyonun x → 0 iken limitinin olmadığını gösteriniz. Kanıt. n ∈ N için
an:= 2
(4n + 1)π ve bn := 2 (4n + 3)π
olarak tanımlansın. Açıktır ki her iki dizi de n → ∞ iken 0 değerine yakınsar. Diğer taraftan her n ∈ N için f(an) = 1 ve f (bn) = −1 olduğundan n → ∞ iken f(an)→ 1 ve f(bn)→ −1 gerçeklenir. Bu ise Teorem 3.1.8’e göre x → 0 iken f(x) fonksiyonunun limitinin olmadığı anlamına gelir.
f, g : E→ R olsun. Her x ∈ E için f ve g fonksiyonlarının noktasal toplamı, f + g
(f + g)(x) := f (x) + g(x), 71
bir α ∈ R skaleri ile f fonksiyonunun skaler çarpımı, αf (αf )(x) := αf (x),
f ve g fonksiyonlarının noktasal çarpımı, f g (f g)(x) := f (x)g(x)
ve son olarak da f ve g’nin (g(x) 6= 0 olmak üzere) noktasal bölümü, f/g f g (x) = f (x) g(x) şeklinde tanımlanır.
Aşağıdaki sonuç Teorem 2.2.4’ün fonksiyon analoğudur.
Teorem 3.1.10. a ∈ R, I reel sayıların a noktasını içeren bir açık aralığı ve f, g muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralığı üzerindeki diğer tüm noktalarda tanımlı birer reel fonksiyon olsun. x değerleri a’ya yaklaşırken f(x) ve g(x) yakınsak ise (f + g)(x), (fg)(x), (αf)(x) ve (g(x) fonksiyonunun limiti sıfırdan farklı olmak üzere) (f/g)(x) fonksiyonları da yakınsaktırlar. Aslında,
lim x→a(f + g)(x) = lim x→af (x) + lim x→ag(x), lim x→a(αf )(x) = α lim x→af (x), lim x→a(f g)(x) = lim x→af (x) lim x→ag(x) ve (g(x) fonksiyonunun limiti sıfırdan farklı olmak üzere)
lim x→a f g (x) = limx→af (x) limx→ag(x) eşitlikleri gerçeklenir. Kanıt. i) L := lim x→af (x) ve M := lim x→ag(x)
olsun. Eğer xn∈ I\{a} dizisi a değerine yakınsıyor ise Teorem 3.1.8’e göre n → ∞ iken f(xn)→ L ve g(xn)→ M sağlanır. Bu ise Teorem 2.2.4 ii) şıkkına göre n→ ∞ iken f(xn) + g(xn)→ L + M demektir. Bu ifade a değerine yakınsayan her xn ∈ I\{a} dizisi için doğru olduğundan Teorem 3.1.8 kullanılarak
lim
x→a(f + g)(x) = L + M = lim
x→af (x) + lim
x→ag(x)
sonucu elde edilir. Diğer sonuçlar, Teorem 2.2.4 ii)-iv) neticeleri benzer şekilde kullanılarak ispatlanır.
Diziler için verilen Sıkıştırma ve Karşılaştırma Teoremleri ile Limitlerin Di-zisel Karakterizasyonu beraber düşünüldüğünde aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Teorem 3.1.11 (Fonksiyonlar için Sıkıştırma Teoremi). a ∈ R, I reel sayıların a noktasını içeren bir açık aralığı ve f, g, h muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralığı üzerindeki diğer tüm noktalarda tanımlı birer reel fonksiyon olsun.
i) Her x ∈ I\{a} için g(x) ≤ h(x) ≤ f(x) sağlanıyor ve lim
x→af (x) = lim
x→ag(x) = L
ise bu durumda x → a iken h(x) fonksiyonunun limiti vardır ve lim
x→ah(x) = L gerçeklenir.
ii) Her x ∈ I\{a} için |g(x)| ≤ M ve x → a iken f(x) → 0 ise lim x→af (x)g(x) = 0 sağlanır.
.
x a L y y = f (x) y = g(x) y = h(x)Teorem 3.1.12 (Fonksiyonlar için Karşılaştırma Teoremi). a ∈ R, I reel sayı-ların a noktasını içeren bir açık aralığı ve f, g muhtemelen a noktasında olmasa da bu I aralığı üzerindeki diğer tüm noktalarda tanımlı birer reel fonksiyon ol-sun. Eğer f ve g fonksiyonlarının x değerleri a’ya yaklaşırken limitleri varsa ve her x ∈ I\{a} için f(x) ≤ g(x) sağlanıyor ise
lim
x→af (x)≤ lim
x→ag(x) eşitsizliği gerçeklenir.
Yukarıdaki limit teoremleri (Teorem 3.1.10, 3.1.11 ve 3.1.12) sayesinde ε ve δ’ya başvurmadan limitlerin var olduğu ispatlanabilir.
Örnek 3.1.13. lim x→1 x− 1 3x + 1= 0 olduğunu ispatlayınız.
Kanıt. Örnek 3.1.2’ye göre x → 1 iken x − 1 → 0 ve 3x + 1 → 4 elde edilir. Teorem 3.1.10 kullanılarak x → 1 iken (x − 1)/(3x + 1) → 0/4 = 0 sonucuna ulaşılır.
Alıştırmalar
3.1.1. a ∈ R, f ve g muhtemelen x = a noktasında olmasa da reel sayıların a noktasını içeren bir açık aralığı üzerindeki diğer tüm noktalarda tanımlı birer reel fonksiyon olsun. Buna göre aşağıdaki ifadelerin hangilerinin doğru hangilerinin yanlış olduğunu belirleyiniz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise ters örnek veriniz. a) Her n ∈ N için x → a iken (x − a)nsin(f (x)(x− a)−n) fonksiyonunun limiti
vardır.
b) xn 6= a olmak üzere {xn} dizisi a değerine yakınsasın. Eğer n → ∞ iken f (xn)→ L ise x → a iken f(x) → L sağlanır.
c) f ve g fonksiyonları (a − 1, a + 1) açık aralığı üzerinde sonlu değerli ve x → a iken f(x) → 0 ise x → a iken f(x)g(x) → 0 sağlanır.
d) a noktasını içeren bir I aralığı içerisindeki her x değeri için f(x) ≤ g(x) ve limx→af (x) limiti yoksa limx→ag(x) limiti de yoktur.
3.1.2. Tanım 3.1.1’i kullanarak aşağıdaki limitlerin herbirinin varlığını ispatlayınız. a) limx→2x2+ 2x− 5 = 3 b) limx→1x2 +x−2 x−1 = 3 c) limx→2x3+ 2x + 1 = 4 d) limx→0x3sin(ex2) = 0
3.1.3. Aşağıdaki limitlerin hangilerinin var hangilerinin var olmadığına karar veriniz. Cevabınızın doğruluğunu ispatlayınız.
a) limx→0tan 1 x b) limx→0x cosx2+1 x3 c) limx→1 1 log x
3.1.4. Aşağıdaki limitlerin hangilerinin var hangilerinin var olmadığına karar veriniz. Cevabınızın doğruluğunu ispatlayınız.
a) limx→1x 2 +2x−3 x3−x b) limx→1x n −1 x−1 n∈ N 74
c) limx→1 √3 x4−1 cos(1−x) d) limx→02 sin 2 x+2x−2x cos2x 1−cos2(2x)
e) limx→0tan x sin 1 x2
3.1.5. Teorem 3.1.11’i ispat ediniz. 3.1.6. Teorem 3.1.12’yi ispat ediniz. 3.1.7. f reel değerli bir fonksiyon olsun.
a) Eğer
L = lim
x→af (x)
limiti varsa x → a iken |f(x)| → |L| olduğunu ispatlayınız.
b) x → a iken |f(x)| → |L| olduğu halde f(x)’in limitinin olmadığı f fonksiyonla-rının varlığını gösteriniz.
3.1.8. Her reel değerli f fonksiyonu için f’in pozitif kısmı f+(x) = |f (x)| + f(x) 2 , x∈ Dom(f) ve f’in negatif kısmı f−(x) = |f (x)| − f(x) 2 , x∈ Dom(f) olarak tanımlanır.
a) Her x ∈ Dom(f) için f+(x)≥ 0, f−(x)≥ 0, f(x) = f+(x)− f−(x) ve|f(x)| = f+(x) + f−(x) olduğunu kanıtlayınız (Alıştırma 1.2.4 ile kıyaslayınız). b) Eğer
L = lim
x→af (x)
limiti varsa x → a iken f+(x)→ L+ve f−(x)→ L−olduğunu ispatlayınız. 3.1.9. f ve g reel değerli fonksiyonlar ve her x∈ Dom(f) ∩ Dom(g) için
(f∨ g)(x) := max{f(x), g(x)} ve (f ∧ g)(x) := min{f(x), g(x)} olarak tanımlansın.
a) Her x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g) için
(f∨ g)(x) =(f + g)(x) +2|(f − g)(x)| ve (f∧ g)(x) =(f + g)(x)− |(f − g)(x)|2 olduğunu ispatlayınız. b) Eğer L = lim x→af (x) ve M = lim x→ag(x)
limitleri varsa x → a iken (f ∨ g)(x) → L ∨ M ve (f ∧ g)(x) → L ∧ M sağlanır.
3.1.10. a∈ R ve a noktasını içeren bir açık aralık I olsun. Eğer f : I → R fonksiyonu x → a iken f(x) → f(a) oluyor ve m < f(a) < M eşitsizliğini sağlayan m ve M sayıları varsa |x − a| < δ koşulunu sağlayan x değerleri için
m + ε < f (x) < M− ε ifadesini gerçekleyen ε ve δ sayıları vardır.