Hem teoride hem de uygulamada karşılaşılan en büyük problemlerden birisi verilen bir dizinin yakınsak olduğu olmadığıdır. Eğer verilen dizinin yakınsak olduğu biliniyorsa limit değerine farklı teknikler kullanılarak yaklaşımda bulu-nulabilir veya bu limit hesaplanabilir.
Teorem 2.2.1 (Sıkıştırma Teoremi). {xn}, {yn} ve {wn} reel sayı dizileri olsun.
i) Eğer n → ∞ iken xn → a ve yn → a (AYNI a değeri) ve n≥ N0 için xn ≤ wn≤ yn
eşitliği sağlanacak şekilde bir N0 ∈ N var ise bu durumda n → ∞ iken wn → a sağlanır.
ii) Eğer n → ∞ iken xn→ 0 ve {yn} dizisi sınırlı ise n → ∞ iken xnyn → 0. Kanıt. i) ε > 0 olsun. xnve yndizileri a değerine yakınsadığından Tanım 2.1.1 ve Teorem 1.2.6 kullanılarak n ≥ N1için −ε < xn− a < ε ve n ≥ N2için −ε < yn−a < ε eşitsizliklerini sağlayan N1, N2∈ N seçilebilir. N = max{N0, N1, N2} olsun. n ≥ N için teorem hipotezine ve N1 ve N2’nin seçiminden
a− ε < xn≤ wn≤ yn < a + ε
eşitsizliği sağlanır. Buna göre n ≥ N için |wn − a| < ε olduğu elde edilir. Dolayısıyla n → ∞ için wn→ a sonucuna ulaşılır.
ii) xn → 0 ve n ∈ N için |yn| ≤ M olacak şekilde bir M > 0 sayısı var olsun. ε > 0 olmak üzere |xn| < ε/M eşitsizliğini n ≥ N için sağlayacak şekilde N ∈ N seçilsin. Buna göre n ≥ N için
|xnyn| < MMε = ε sağlanır. Yani n → ∞ iken xnyn → 0 gerçeklenir.
Aşağıdaki Sıkıştırma Teoremi’nin ne şekilde kullanıldığına ilişkin bir örnek verilmektedir.
Örnek 2.2.2. limn→∞2−ncos(n3
− n2+ n− 13) limit değerini bulunuz. Çözüm. Her x ∈ R için | cos x| ≤ 1 olduğu kullanılırsa {2−ncos(n3
− n2+ n− 13)} dizisinin 2−n ile domine edildiği sonucuna ulaşılır. Diğer taraftan 2n > n olduğundan 2−n < n1’dir. Buna göre Örnek 2.1.2 i) ve Sıkıştırma Teoremi’ne göre n → ∞ iken 1
n → 0 olduğundan 2−n → 0 dolayısıyla 2−ncos(n3− n2+
n− 13) → 0 limit değeri elde edilir.
Teorem 2.2.3. E ⊂ R olsun. Eğer E kümesinin sonlu bir supremumu varsa n→ ∞ iken xn→ sup E olacak şekilde bir xn∈ E dizisi vardır. Benzer şekilde, eğer E kümesinin sonlu bir infimumu varsa n → ∞ iken yn → inf E olacak şekilde bir yn∈ E dizisi vardır.
Kanıt. E kümesinin sonlu bir supremumu olsun. Buna göre Supremum için Yaklaşım Özelliği’ne göre sup E − 1
n < xn ≤ sup E eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir xn∈ E vardır. Dolayısıyla, Sakıştırma Teoremi ve Örnek 2.1.2 i)’ye göre n → ∞ iken xn→ sup E sağlanır. Benzer şekilde n → ∞ iken yn→ inf E olacak şekilde bir yn ∈ E dizisinin varlığı gösterilebilir.
Teorem 2.2.4. {xn} ve {yn} iki reel sayı dizisi ve α ∈ R olsun. Eğer {xn} ve {yn} yakınsak ise
i) limn→∞(xn+ yn) = limn→∞xn+ limn→∞yn, ii) limn→∞(αxn) = α limn→∞xn,
ve
iii) limn→∞(xnyn) = (limn→∞xn) (limn→∞yn)
eşitlikleri gerçeklenir. Bunlara ek olarak yn 6= 0 ve limn→∞yn6= 0 ise iv) limn→∞xn
yn = limn→∞xn
limn→∞yn
ifadesi gerçeklenir ve özellikle tüm bu limitler mevcuttur. 42
Kanıt. limn→∞xn= x ve limn→∞yn = y olsun.
i) ε > 0 olsun ve n ≥ N için |xn− x| < ε/2 ve |yn− y| < ε/2 eşitsizliklerini sağlayacak şekilde N ∈ N seçilsin. Buna göre üçgen eşitsizliği kullanılarak n ≥ N için
|(xn+ yn)− (x + y)| ≤ |xn− x| + |yn− y| < ε2+ε 2 = ε elde edilir. Yani, n → ∞ iken (xn+ yn)→ (x + y) sağlanır.
ii) n → ∞ iken αxn − αx → 0 olduğunu göstermek yeter. n → ∞ iken xn− x → 0 olduğundan Sıkıştırma Teoremi’ne göre n → ∞ iken α(xn− x) → 0 sonucu elde edilir. Yani, limn→∞(αxn) = αx eşitliği bulunur.
iii) Teorem 2.1.8’e göre her yakınsak dizi sınırlı olduğundan yakınsak {xn} dizisi sınırlıdır. Dolayısıyla Sıkıştırma Teoremi’ne göre {xn{yn− y}} ve {{xn− x}y} dizilerinin her ikisi de 0 değerine yakınsar. Diğer taraftan
xnyn− xy = xn(yn− y) + (xn− y)y
olduğundan i) şıkkına göre n → ∞ iken xnyn → xy olduğu sonucu elde edilir. Benzer argüman kullanılarakiv) ifadesinin gerçeklendiği gösterilebilir.
Örnek 2.2.5. limn→∞(n3+ n2
− 1)/(1 − 3n3) limitini hesaplayınız. Çözüm. Verilen ifadenin pay ve paydasını 1/n3 ile çarparsak
n3+ n2− 1
1− 3n3 = 1 + (1/n)− (1/n3) (1/n3)− 3
elde edilir. Örnek 2.1.2 i) ve Teorem 2.2.4 iii) göz önüne alındığında her k ∈ N için n → ∞ iken 1/nk(1/n)k
→ 0 olduğu sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla Teorem 2.2.4 i), ii) ve iv) şıklarına göre
lim n→∞ n3+ n2 − 1 1− 3n3 = 1 + 0− 0 0− 3 =− 1 3
limit değeri bulunur.
Tanım 2.2.6. {xn} reel sayıların bir dizisi olsun.
i) {xn} dizisinin +∞’a ıraksıyor (notasyon: n → ∞ iken xn → +∞ ya da limn→∞xn= +∞) olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart her M ∈ R için n ≥ N olmak üzere xn > M eşitsizliğini sağlayacak bir N∈ N sayısının var olmasıdır.
ii) {xn} dizisinin −∞’a ıraksıyor (notasyon: n → ∞ iken xn → −∞ ya da limn→∞xn=−∞) olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart her M ∈ R için n ≥ N olmak üzere xn < M eşitsizliğini sağlayacak bir N∈ N sayısının var olmasıdır.
Sıkıştırma Teoremi sonsuz limitlere genişletilebilir. Aşağıdaki sonuç Teorem 2.2.4’ün bir genişletilmesidir.
Teorem 2.2.7. {xn} ve {yn} iki reel sayı dizisi olsun öyleki n → ∞ iken xn→ +∞ (sırası ile, xn→ −∞) gerçeklensin.
i) Eğer yn alttan sınırlı (sırası ile, yn üstten sınırlı) ise lim
n→∞(xn+ yn) = +∞ (sırası ile, lim
n→∞(xn+ yn) =−∞). ii) Eğer α > 0 ise
lim
n→∞(αxn) = +∞ (sırası ile, limn→∞(αxn) =−∞). iii) Eğer bir M0> 0 ve her n∈ N için yn> M0 ise
lim
n→∞(xnyn) = +∞ (sırası ile, lim
n→∞(xnyn) =−∞). iv) Eğer {yn} sınırlı ve xn6= 0 ise
lim
n→∞
xn
yn
= 0.
Kanıt. Kolaylık sağlaması bakımından limn→∞xn= +∞ olsun.
i) Hipotez koşulu gereği yn alttan sınırlı olduğundan bir M0∈ R için yn≥ M0 sağlanır. M ∈ R ve M1 = M − M0 olsun. xn → +∞ olduğundan n ≥ N için xn> M1eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir N ∈ N sayısı vardır. Buna göre n≥ N için xn+yn> M1+M0= M gerçeklenir. Bu ise limn→∞(xn+yn) = +∞ olduğu anlamına gelir.
ii) M ∈ R ve M1= M/α olsun. xn→ +∞ olduğundan n ≥ N için xn > M1
eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir N ∈ N sayısı vardır. Buna göre α > 0 olmak üzere her n ≥ N için αxn> αM1= M gerçeklenir. Bu ise limn→∞(αxn) = +∞ olduğu anlamına gelir.
iii) M ∈ R ve M1 = M/M0 olsun. xn → +∞ olduğundan n ≥ N için xn> M1eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir N ∈ N sayısı vardır. Ayrıca hipotez koşulu gereği n ∈ N için yn> M0olduğundan n ≥ N için xnyn> M1M0= M elde edilir. Bu ise limn→∞(xnyn) = +∞ olduğu anlamına gelir.
iv) ε > 0 olsun. {yn} sınırlı olduğundan |yn| ≤ M0 eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir M0> 0 sayısı vardır. Diğer taraftan M0/M1 < ε olacak şekilde bir M1 > 0 sayısı seçilsin. Ayrıca, xn → +∞ olduğundan n ≥ N için xn > M1
eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir N ∈ N sayısı vardır. Tüm bu seçimler altında
n≥ N için yn xn =|yn| xn <M0 M1 < ε eşitsizliğ gerçeklenir. Bu ise limn→∞xn
yn = 0 olduğu anlamına gelir. 44
Eğer aşağıdaki kuralları kabul edersek x∈ R için x +∞ = ∞, x − ∞ = −∞ x > 0 için x· ∞ = ∞, x· (−∞) = −∞ x < 0 için x· ∞ = −∞, x · (−∞) = ∞ ∞ · ∞ = (−∞) · (−∞) = ∞ ∞ · (−∞) = (−∞) · (∞) = −∞ Teorem 2.2.7’nin Sonuç 2.2.8’i içerir.
Sonuç 2.2.8. {xn} ve {yn} reel sayı dizileri, α, x ve y genişletilmiş reel sayılar olsun. n → ∞ iken xn → x ve yn → y ise aşağıdaki ifadenin sağ tarafının ∞ − ∞’dan farklı olma koşulu altında
lim
n→∞(xn+ yn) = x + y
sağlanır. Ayrıca bundan fazla olarak aşağıdaki ifadenin sağ tarafının 0·±∞’dan farklı olma koşulu altında
lim
n→∞(αxn) = αx, lim
n→∞(xnyn) = xy gerçeklenir.
Dikkat edilirse ∞ − ∞ ve 0 · ±∞ durumlarından uzak durulmaktadır. Çünkü bu formlar “belirsiz”dir. Belirsizlik hallerinin incelemesi ileriki derslerde l’Hôpital Kuralı ile verilecektir.
Teorem 2.2.4 ve Teorem 2.2.7’de limit işleminin R’nin cebirsel yapısı ile ne şekilde etkileşime girdiği ortaya konmaktadır (Bir toplamın limiti (çarpımı, bölümü) limitlerin toplamı (çarpımı, bölümü) olarak yazılabilir). Aşağıdaki te-orem limit işleminin R’nin bir diğer yapısı üzerindeki etkileşimini işaret etmek-tedir.
Teorem 2.2.9 (Karşılaştırma Teoremi). {xn} ve {yn} yakınsak diziler olsun. Eğer
n≥ N0 için xn≤ yn (2.2)
eşitsizliğini sağlayan bir N0∈ N sayısı varsa lim
n→∞xn≤ lim
n→∞yn
eşitsizliği sağlanır. Özel olarak, eğer xn∈ [a, b] dizisi bir c noktasına yakınsıyor ise bu c sayısı [a, b] aralığında olmalıdır.
Kanıt. Teoremin ifadesinin yanlış olduğunu kabul edelim. Yani, (2.2) sağlanır-ken x := limn→∞xnlimit değeri y := limn→∞ynlimit değerinden büyük olsun. ε = (x− y)/2 verilsin. Buna göre n ≥ N1 için |xn− x| < ε ve |yn− y| < ε olacak şekilde bir N1> N0seçilebilir. Dolayısıyla bu n sayısı için
xn > x− ε = x − x − y 2 = y + x − y 2 = y + ε > yn
sağlanır. Bu ise (2.2) ile çelişir. Dolayısıyla teoremde yer alan ilk ifadenin doğ-ruluğu gösterilmiş olur.
a≤ xn ≤ b olduğundan yukarıda elde edilen sonuç kullanılarak a ≤ c ≤ b eşitsizliğinin sağlandığı görülür.
Yukarıdaki teoremi hatırlamanın bir yolu, söz konusu limitlerin varlığının garantisi altında, bir eşitsizliğin limitinin, limitlerin eşitsizliği olduğudur. Bu prosedür “verilen eşitsizliğin limitini almak” şeklinde isimlendirilir. xn < yn
eşitsizliğinden xn ≤ yn olduğu anlaşılacağından Karşılaştırma Teoremi şu so-nucu içerir: Eğer {xn} ve {yn} yakınsak reel sayı dizileri ise
n≥ N0 için xn< yn ise lim
n→∞xn≤ lim
n→∞yn olduğu anlamına gelir. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus ≤ işaretinin < ile değiştirilmesi du-rumunda elde edilecek sonucun doğru olmadığıdır. Yani
n≥ N0 için xn< yn ise lim
n→∞xn< lim
n→∞yn olduğu anlamına GELMEZ. Örneğin, 1/n2< 1/n olmasına karşın bu dizilerin limitleri eşittir.
Alıştırmalar
2.2.1. Aşağıdaki ifadelerin hangilerinin doğru hangilerinin yanlış olduğunu belirleyi-niz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise ters örnek veribelirleyi-niz.
a) n → ∞ iken xn→ ∞ ve xn→ −∞ ise xn+ yn→ 0 sağlanır. b) n → ∞ iken xn→ −∞ ise 1/xn→ 0 sağlanır.
c) n → ∞ iken xn→ 0 ise 1/xn→ ∞ sağlanır. d) n → ∞ iken xn→ ∞ ise (1/2)xn
→ 0 sağlanır. 2.2.2. Aşağıdaki dizilerin sıfıra yakınsadığını ispatlayınız.
a) xn= sin(log n + n5+ en2)/n b) xn= 2n/(n2+ π) c) xn= (√ 2n + 1)/(n +√ 2) d) xn= n/2n
2.2.3. Tanım 2.2.6’yı kullanarak aşağıdaki ifadelerin +∞ veya −∞ değerlerine ırak-sadığını gösteriniz.
a) xn= n2− n
b) xn= n− 3n2
c) xn= (n2+ 1)/n
d) xn= n2(2 + sin(n3+ n + 1))
2.2.4. Eğer varsa, aşağıdaki dizilerin limitlerini hesaplayınız. a) xn= (2 + 3n− 4n2)/(1− 2n + 3n2) b) xn= (n3+ n− 2)/(2n3+ n− 2) c) xn=√ 3n + 2−√n d) xn= (√ 4n + 1−√n− 1)/(√9n + 1−√n + 2) 2.2.5. a) Teorem 2.2.4 iv) ifadesini ispatlayınız.
b) Sonuç 2.2.8 ifadesini ispatlayınız.
2.2.6. x ∈ R ve xn ≥ 0 olmak üzere n → ∞ iken xn → x sağlansın. Buna göre limn→∞√x
n=√x olduğunu ispatlayınız.
2.2.7. Verilen x ∈ R sayısına karşılık n → ∞ iken rn→ ∞ olacak şekilde bir rn∈ Q dizisinin varlığını gösteriniz.
2.2.8. x ve y genişletilmiş reel sayılar,{xn}, {yn} ve {wn} reel sayı dizileri olsun. a) [R için Sıkıştırma Teoremi] Eğer n → ∞ iken xn → x, yn → x ve n ∈ N
için xn ≤ wn ≤ yn eşitliği sağlanıyor ise bu durumda n → ∞ iken wn → x gerçeklenir.
b) [R için Karşılaştırma Teoremi] Eğer n → ∞ iken xn→ x, yn→ x ve n ∈ N için xn≤ yn eşitliği sağlanıyor ise bu durumda x ≤ y gerçeklenir.
2.2.9. Alıştırma 2.2.6’yı kullanarak aşağıdaki ifadelerin doğru olduğunu ispatlayınız. a) 0 ≤ x1≤ 1 ve n ∈ N için xn+1= 1−√1− xn olsun. Eğer limn→∞xn= x ise
x = 0 ya da 1’dir.
b) x1 > 3 ve n ∈ N için xn+1 = 2 +√
xn− 2 olsun. Eğer limn→∞xn = x ise x = 3’tür.
c) x1 ≥ 0 ve n ∈ N için xn+1=√
2 + xnolsun. Eğer limn→∞xn= x ise x = 2’dir. x1 >−2 olması durumunu inceleyiniz.
2.2.10. a) n ≥ 0 için 0 ≤ y < 1/10n olsun. Buna göre w
10n+1 ≤ y < 10wn+1+ 1 10n+1
eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir 0 ≤ w ≤ 9 tamsayısının varlığını gösteriniz. b) Verilen bir x ∈ [0, 1) sayısısına karşılık her n ∈ N için
n X k=1 xk 10k ≤ x < n X k=1 xk 10k + 1 10n
eşitsizliğini sağlayacak şekilde 0 ≤ xk≤ 9 tamsayılarının varlığını gösteriniz. c) Verilen bir x ∈ [0, 1) sayısısına karşılık her k ∈ N için
x = lim n→∞ n X k=1 xk 10k
eşitsizliğini sağlayacak şekilde 0 ≤ xk≤ 9 tamsayılarının varlığını gösteriniz. d) c) şıkkını kullanarak 0.5 = 0.4999 · · · ve 1 = 0.999 · · · olduğunu ispatlayınız.