} dizisi yakınsak olmasa da, yakınsak bir alt diziye sahip olduğunu biliyoruz. Bu bölümde, bu olgu ile alakalı genel bir kaide ispatlana-caktır. Bolzano-Weierstrass Teoremi adı verilen ve her sınırlı dizinin yakınsak bir alt diziye sahip olduğunu belirten bu prensibi en genel halde ele almadan önce söz konusu teoremin aşıkar olarak gerçeklendiği monotonluk kavramını ortaya koyalım:
Tanım 2.3.1. Reel sayıların bir {xn}n∈N dizisi göz önüne alınsın.
i) {xn} dizisinin artan (sırası ile, kesinlikle artan) olarak isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart x1≤ x2≤ · · · (sırası ile, x1< x2<· · · ) eşitsizli-ğinin gerçeklenmesidir.
ii) {xn} dizisinin azalan (sırası ile, kesinlikle azalan) olarak isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart x1≥ x2≥ · · · (sırası ile, x1> x2>· · · ) eşitsizli-ğinin gerçeklenmesidir.
iii) {xn} dizisinin monoton olarak isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart dizinin artan veya azalan olmasıdır.
Bazı kaynaklarda azalan dizi yerineartmayan ve artan dizi yerine de azal-mayan terimleri kullanılmaktadır.
Eğer {xn} dizisi artan (sırası ile, azalan) ise ve bir a değerine yakınsıyorsa n→ ∞ iken xn↑ a (sırası ile, xn↓ a) yazılacaktır. Açık olarak, kesinlikle artan her dizi artandır ve kesinlikle azalan her dizi azalandır. Ayrıca, {xn} dizisinin artan olması için gerek ve yeter şart {−xn} dizisinin azalan olmasıdır.
Teorem 2.1.8’e göre her yakınsak dizi sınırlıdır. Şimdi bu sonucun tersini monoton diziler için kanıtlayalım.
Teorem 2.3.2 (Monoton Yakınsaklık Teoremi). Eğer {xn} dizisi artan ve üstten sınırlı veya {xn} dizisi azalan ve alttan sınırlı ise {xn} sonlu bir limit değerine yakınsar.
Kanıt. {xn} dizisi artan ve üstten sınırlı olsun. Tamlık Aksiyomu gereği sonlu bir a := sup{xn : n ∈ N} supremumu vardır. ε > 0 olsun. Supremum için Yaklaşım Özelliği kullanılarak
a− ε < xN ≤ a
olacak şekilde bir N ∈ N seçilsin. Dizi monoton artan olduğundan n ≥ N için xN ≤ xn sağlanır. Ayrıca a verilen dizinin supremumu, dolayısıyla bir üst sınırı olduğundan her n ∈ N için xn ≤ a gerçeklenir. Buna göre her n ≥ N için a− ε < xN ≤ xn ≤ a < a + ε yani a − ε < xn ≤ a + ε eşitsizliği elde edilir.
Dolayısıyla n ≥ N için |xn− a| ≤ ε sağlanır. ε > 0 herhangi bir pozitif reel sayı olduğundan {xn} dizisinin a’ya yakınsadığı sonucu elde edilir. Özel olarak, {xn} artan olduğundan n → ∞ iken xn ↑ a yazılır.
{xn} dizisi azalan, alttan sınırlı ve b := inf{xn : n ∈ N} olsun. Buna göre {−xn} dizisi artandır ve supremumu −b’dir (bkz Teorem 1.3.11). Yukarıda verilen ilk durumdan ve Teorem 2.2.4 ii)’ye göre
b =−(−b) = − limn→∞(−xn) = lim
n→∞xn
elde edilir.
Monoton Yakınsaklık Teoremi genellikle verilen bir dizinin limitinin varlığı-nın gösterilmesi için kullanılır. Limitin varlığı bir kere gösterildiğinde Teorem 2.2.1 ve Teorem 2.2.4 kullanılarak bu limitin değerinin bulunması kolaydır. Aşağıdaki örnek bu durumu ortaya koymaktadır.
Örnek 2.3.3. Eğer |a| < 1 ise n → ∞ iken an
→ 0’dır.
Çözüm. limn→∞|a|n = 0 olduğunu göstermek yeterlidir. |a|n ifadesi Çarpma Özelliği’ne göre monoton azalandır ve |a| < 1 olduğundan her n ∈ N için |a|n+1<|a|n sağlanır. Ayrıca mutlak değerin özelliğinden dolayı |a|n dizisi alt-tan (0 ile) sınırlıdır. Monoton azalan ve altalt-tan sınırlı bir dizinin Monoton Ya-kınsaklık Teoremi’ne göre L := limn→∞|a|n limiti mevcuttur. |a|n+1=|a||a|n
cebirsel özdeşliğinin n → ∞ için limiti alınırsa Açıklama 2.1.6 ve Teorem 2.2.4’e göre L = |a| · L olduğu sonucu elde edilir ki bu ise ya L = 0 ya da |a| = 1 de-mektir. Teorem hipotezine göre |a| < 1 eşitsizliği sağlandığından L = 0 olmak
zorundadır.
Örnek 2.3.4. Eğer a > 0 ise n → ∞ iken a1/n
→ 1’dir. Çözüm. Problemi üç durumda ele alalım:
Durum 1. a = 1 olsun. Her n ∈ N için a1/n = 1 olduğundan n → ∞ iken a1/n
→ 1 limit değeri elde edilir.
Durum 2. a > 1 olsun. Bu durumda Monoton Yakınsaklık Teoremi’ni kullan-mak için {a1/n
} dizisinin azalan ve alttan sınırlı olduğunu göstermek gerekir. Bir n ∈ N sabitlensin. a > 1 olduğundan an+1> an sağlanır. Bu eşitsizliğin her iki tarafının n(n + 1). kökü alınırsa a1/n > a1/(n+1) sonucu elde edilir. Buna göre a1/n azalandır. a > 1 olduğundan a1/n > 1 gerçeklenir ki bu ise a1/n
dizisinin alttan sınırlı olduğu anlamına gelir. Alttan sınırlı monoton azalan bir dizinin Monoton Yakınsaklık Teoremi gereği L := limn→∞a1/n limiti mevcut-tur. Limit değerini bulmak için n → ∞ iken (a1/(2n))2 = a1/n özdeşliğinin her iki tarafının limitini alırsak L2 = L olduğu sonucu elde edilir. Buna göre
L = 0 ya da 1’dir. a1/n > 1 olduğundan Karşılaştırma Teoremi’ne göre L≥ 1 sağlanacağından L = 1 olduğu sonucuna ulaşılır.
Durum 3. 0 < a < 1 olsun. Buna göre 1/a > 1’dir. Dolayısıyla Teorem 2.2.4 ve Durum 2’den lim n→∞a1/n = lim n→∞ 1 1/a1/n = 1 limn→∞(1/a)1/n = 1
sonucu elde edilir.
Tanım 2.3.5. Bir {In}n∈Nkümeler dizisininiç içe geçmiş olarak isimlendiril-miş olması için gerek ve yeter şart
I1⊇ I2⊇ · · · şeklinde yazılabilmesidir.
Teorem 2.3.6 (İç İçe Geçmiş Aralık Özelliği). Eğer {In}n∈N boştan farklı ka-palı sınırlı aralıkların iç içe geçmiş bir dizisi ise E :=T∞
n=1In boştan farklıdır. Ayrıca, n → ∞ için bu aralıkların uzunlukları |In| → 0 oluyor ise E tek bir noktadır.
Kanıt. In= [an, bn] olsun.{In} iç içe geçmiş olduğundan {an} reel sayı dizisi artandır ve üstten b1ile sınırlıdır. Benzer şekilde {bn} dizisi azalandır ve alttan a1 ile sınırlıdır. Dolayısıyla, Teorem 2.3.2’a göre n → ∞ iken an ↑ a ve bn ↓ b olacak şekilde a, b ∈ R sayıları vardır. Her n ∈ N için an ≤ bn olduğundan Karşılaştırma Teoremi’ne göre an ≤ a ≤ b ≤ bn sağlanır. Buna göre, bir x sayısının her n ∈ N için Inaralığına ait olması için gerek ve yeter şart a ≤ x ≤ b eşitsiliğinin sağlanması, yani x ∈ [a, b] olmasıdır. Özel olarak, [a, b] aralığında yer alan her x, aynı zamanda tüm In aralıklarına aittir.
a1 a2 a3 a4. . .a b . . .b4 b3 b2 b1
İspatın şimdiye kadar yapılan kısmında gösterildi ki tüm In’lere ait tam olarak bir elemanın varlığı için gerek ve yeter şart a = b eşitliğinin sağlanmasıdır. Fakat, n → ∞ iken |In| → 0 olması demek bn − an → 0 anlamına gelir. Dolayısıyla, Teorem 2.2.4’e göre n → ∞ iken |In| → 0 ise a sayısı b’ye eşittir.
Açıklama 2.3.7. İç İçe Geçmiş Aralık Özelliği’nde göz önüne alınan aralıkların “kapalı” olma durumu ihmal edildiğinde Teorem 2.3.6 doğru olmayabilir. Kanıt. Her n ∈ N için In = (0, 1/n) şeklinde tanımlanan aralıklar sınırlı ve iç içe geçmiş olmakla birlikte kapalı değillerdir. Eğer her n ∈ N için bir x ∈ In
elemanı var olsaydı 0 < x < 1/n, yani her n ∈ N için n < 1/x sağlanırdı. Bu ise Archimedean Özelliği ile çelişir. Buna göre In aralıkları ortak bir noktaya sahip olamaz.
Açıklama 2.3.8. İç İçe Geçmiş Aralık Özelliği’nde göz önüne alınan aralıkların “sınırlı” olma durumu ihmal edildiğinde Teorem 2.3.6 doğru olmayabilir. Kanıt. n ∈ N olmak üzere In = [n,∞) şeklinde tanımlanan kapalı ve iç içe geçmiş sınırlı olmayan aralıklara ait ortak bir nokta yoktur.
Teorem 2.3.9 (Bolzano-Weierstrass Teoremi). Reel sayıların her sınırlı dizisi yakınsak bir alt diziye sahiptir.
Strateji: Göstermemiz gereken {xn} dizisinin bir limit değerine yakınsayan bir alt dizisinin olduğunur. Bunun için iç içe geçmiş In aralıkları kullanılacak-tır. Özel olarak bu In aralıklarının uzunlukları n → ∞ iken 0’a yaklaşacak şekilde seçilecektir. Bu seçimden ötürü aralıklar bir noktaya yaklaşacaktır. Bu aşamada her bir adımda seçilen iç içe geçmiş aralığın verilen dizinin sonsuz sa-yıda terimini içerdiğinden emin olunması gerekir. Daha sonra her bir aralıktan bir terim seçilerek yakınsak bir dizi formu elde edilecektir.
Kanıt. İspata genel bir gözlem ile başlayalım. {xn} herhangi bir dizi olsun. Eğer A ve B kümelerinin birleşimi E = A ∪ B kümesi, n’nin sonsuz sayıda değeri için xn içeriyor ise A veya B kümelerinin en az biri n’nin sonsuz sayıda değeri için xndeğerlerini içerir (Eğer içermeseydi bu durumda E kümesi, n’nin sonlu sayıda değeri için xn sayılarını içerirdi ki bu ise çelişkiye neden olurdu). {xn} reel sayıların herhangi sınırlı bir dizi olduğundan her n doğal sayısı için |xn| ≤ C olacak şekilde bir C > 0 reel sayısı vardır. I1= [a1, b1] = [−C, C] olsun. Sınırlılıktan ötürü her n ∈ N için a1≤ xn ≤ b1olacak şekilde bir [a1, b1] aralığı vardır. I1 aralığı iki yarı-aralığa bölünsün ve c1= (a1+ b1)/2 denilsin. Yukarıda anlatılanlardan ötürü [a1, c1] veya [c1, b1] aralıklarından (en az) biri {xn} dizisinin sonsuz sayıdaki terimini içerir. Genelliği bozmadan [a1, c1] kapalı aralığının verilen dizinin sonsuz sayıda terimini içerdiği farz edilsin ve a2 = a1 ve b2 = c1 olarak isimlendirilsin. Buna göre I2 = [a2, b2] aralığında {xn} dizisinin sonsuz sayıda terimi mevcuttur.
Yukarıdaki prosedürü tekrarlayarak I2= [a2, b2] aralığı iki eşit yarı-aralığa bölünsün ve c2=a2+b2
2 denilsin. Buna göre bu yarı-aralıklardan (en az) birisi, 51
[a2, c2] veya [c2, b2] aralığı,{xn} dizisinin sonsuz sayıda terimini içerecektir. Bu özelliğe sahip olan aralık seçilsin ve I3= [a3, b3] olarak isimlendirilsin.
Benzer şekilde elde edilen In= [an, bn] iç içe geçmiş aralıkları,{xn} dizisinin sonsuz sayıda terimini içerecek şekilde teşkil edilsin. İç İçe Geçmiş Aralık Özel-liği’nden a = limn→∞an ve b = limn→∞bn limitlerinin var olduğunu biliyoruz. Diğer taraftan, [a1, b1] = [−C, C] aralığının uzunluğu |I1| = 2C, [a2, b2] aralı-ğının uzunluğu |I2| = 2C/2 = C, [a3, b3] aralığının uzunluğu |I3| = 2C/22 = C/2 ve genel olarak [an, bn] aralığının uzunluğu |In| = C/2n−1 olduğundan limn→∞(bn− an) = 0 yani a = b’dir.
I1aralığı {xn} dizisinin en az bir xn1terimini içerir. I2aralığı {xn} dizisinin sonsuz sayıda terimini içerdiğinden n2 > n1 özelliğini sağlayacak şekilde I2
aralığından bir xn2 seçilsin. Benzer şekilde, I3 aralığı {xn} dizisinin sonsuz sayıda terimini içerdiğinden n3 > n2 > n1 özelliğini sağlayacak şekilde I3
aralığından bir xn3 terimi seçilsin. Bu prosedüre tekrar edilerek a değerine yakınsayan {xn} dizisinin bir {xnk} alt dizisini elde edilir.
Alıştırmalar
2.3.1. Aşağıda verilen ifadelerin hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu tespit ediniz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise birer ters örnek veriniz.
a) xnkesinlikle azalan ve 0 ≤ xn< 1/2 ise n→ ∞ iken xn→ 0 sağlanır. b) Eğer
xn=(n− 1) cos(n2+ n + 1) 2n− 1 ise xn’nin yakınsak bir alt dizisi vardır.
c) Eğer xnkesinkile artan bir dizi ve her n = 1, 2, 3 · · · için |xn| < 1 +n1
ise limn→∞xn= 1 gerçeklenir.
d) Eğer xndizisinin yakınsak bir alt dizisi varsa, xnsınırlıdır. 2.3.2. x0∈ (−1, 0) ve n ∈ N için xn=√x
n−1+ 1− 1 olsun. Buna göre n → ∞ iken xn↑ 0 olduğunu ispatlayınız. x0∈ [0, 1] olması durumu için yorum yapınız.
2.3.3. 0≤ x1< 1 ve n∈ N için xn+1= 1−√1− xn olsun. Buna göre n → ∞ iken xn↓ 0 ve n → ∞ iken xn+1/xn→ 1/2 olduğunu gösteriniz.
2.3.4. x0 ≥ 2 ve n ∈ N için xn = 2 +√x
n−1− 2 olsun. Monoton Yakınsaklık Teoremi’ni kullanarak n → ∞ iken ya xn→ 2 ya da xn→ 3 olduğunu gösteriniz. 2.3.5. x0∈ R ve n ∈ N için xn= (1+xn−1)/2 olsun. Monoton Yakınsaklık Teoremi’ni kullanarak n → ∞ iken xn→ 1 olduğunu gösteriniz.
2.3.6. Aşağıdaki limit değerlerinin doğruluğunu gösteriniz: lim n→∞x1/(2n−1)= 1 x > 0 0 x = 0 −1 x < 0.
2.3.7. a) {xn} reel sayıların monoton artan bir dizisi olsun (üstten sınırlı olmasına gerek olmaksızın). n → ∞ iken xn → x olacak şekilde bir x genişletilmiş reel sayısının varlığını gösteriniz.
b) Yukarıdaki özelliği azalan diziler için ifade edip ve ispatlayınız.
2.3.8. E⊂ R boştan farklı sınırlı bir küme olsun ve sup E /∈ E sağlansın. Her n ∈ N için xn ∈ E olacak şekilde kesinlikle artan ve sup E değerine yakınsayan bir {xn} dizisinin varlığını gösteriniz.
2.3.9. 0 < y1< x1olsun ve n ∈ N için xn+1=xn+ yn
2 ve yn+1=√x
nyn
olarak tanımlansın.
a) Her n ∈ N için 0 < yn< xnolduğunu gösteriniz.
b) yndizisinin artan ve üstten sınırlı, xndizisinin azalan ve alttan sınırlı olduğunu ispatlayınız.
c) n ∈ N için 0 < xn+1− yn+1< (x1− y1)/2nolduğunu gösteriniz.
d) limn→∞xn = limn→∞yn olduğunu gösteriniz (Bu ortak değere x1 ve y1’in aritmetik-geometrik ortalaması adı verilir).
2.3.10. x0= 1 ve y0= 0 olsun ve n∈ N için
xn= xn−1+ 2yn−1 ve yn= xn−1+ yn−1 olarak tanımlansın. Buna göre n ∈ N için x2
n− 2y2 n=±1 ve n→ ∞ iken xyn n →√2 olduğunu gösteriniz. 2.3.11. (Archimedes) x0= 2√ 3 ve y0= 3 olsun ve n∈ N için xn= 2xn−1yn−1 xn−1+ yn+1 ve yn=√x nyn−1 olarak tanımlansın.
a) n → ∞ iken x, y ∈ R için xn↓ x ve yn↑ y olduğunu gösteriniz. b) x = y ve
3.14155 < x < 3.14161 olduğunu gösteriniz (x’in gerçek değeri π’dir).