Limit, süreklilik ve türev gibi kavramlar kullanarak verilen bir fonksiyonun grafiği çizilebilir. Bunun için aşağıdaki tanımlara ihtiyaç vardır.
Tanım 4.6.1 (Düşey Asimptotlar). f : A → R bir fonksiyon ve a ∈ A olsun. i) limx→a+f (x) =±∞ ise x = a doğrusuna f fonksiyonunun sağdan düşey
asimptotu denir.
ii) limx→a−f (x) =±∞ ise x = a doğrusuna f fonksiyonunun soldan düşey asimptotu denir.
iii) x = a doğrusu f fonksiyonunun hem sağdan hem de soldan düşey asimp-totu ise x = a doğrusuna f’nin düşey asimpasimp-totu denir.
Örnek 4.6.2. f(x) = 1
5−x şeklinde tanımlı f : R\{5} → R fonksiyonunun eğer varsa düşey asimptotlarını bulunuz.
Çözüm. lim x→5+f (x) = lim x→5+ 1 5− x =−∞ ve limx→5−f (x) = lim x→5− 1 5− x =∞ olduğundan x = 5 doğrusu f fonksiyonunun hem sağdan hem soldan düşey asimptotudur. Bu durumda x = 5 doğrusu f’in düşey asimptotudur Tanım 4.6.3 (Yatay ve Eğik Asimptotlar). Bazı a ∈ R için (a, ∞) ⊆ A olmak üzere f : A → R bir fonksiyon olsun.
lim
x→∞(f (x)− (mx + c)) = 0 veya limx→−∞(f (x)− (mx + c)) = 0
olacak şekilde bir y = mx + c doğrusu varsa y = mx + c doğrusuna f fonksiyo-nunun bireğik asimptotu denir. Burada m = 0 ise yani
lim
x→−∞f (x) = c veya lim
x→∞f (x) = c ise y = c doğrusuna f’in yatay asimptotu denir.
Önerme 4.6.4. f fonksiyonunun eğik ya da yatay asimptotu varsa tek türlü belirlidir.
Örnek 4.6.5. f(x) = 1 + 1
5−x şeklinde tanımlı f : R\{5} → R fonksiyonunun eğer varsa düşey asimptotlarını bulunuz.
Çözüm. lim x→∞f (x) = lim x→∞ 1 + 1 5− x = 1 ve lim x→−∞f (x) = lim x→−∞ 1 + 1 5− x = 1 olduğundan y = 1 doğrusu f fonksiyonunun yatay asimptotudur Eğik Asimptotun Bulunması. Bir f fonksiyonunun eğer varsa eğik asimp-totu varsa aşağıdaki şekilde bulunur.
i) limx→∞f (x) = c olacak şekilde bir c∈ R varsa y = c doğrusu f fonksi-yonunun yatay asimptotudur.
ii) limx→∞f (x) = ∞ veya limx→∞f (x) = −∞ ise limx→∞f (x)x limitinin var olup olmadığına bakılır. Bu limit var ve sıfırdan farklı ise
lim
x→∞
f (x)
x = m
denir. Bundan sonra limx→∞(f (x)− mx) limitinin var olup olmadığına bakılır. Bu limit varsa
lim
x→∞(f (x)− mx) = c
denir. Bu durumda y = mx + c doğrusu f fonksiyonunun eğik asimptotu olur.
Örnek 4.6.6. f(x) = x2
3(x− 1) şeklinde tanımlı f : R\{1} → R fonksiyonunun eğik asimptotunu bulunuz.
Çözüm. limx→∞f (x) = limx→∞3(x−1)x2 =∞ olduğundan f fonksiyonunun eğik asimptotu olabilir. Diğer taraftan
lim x→∞ f (x) x = limx→∞ x2 3(x−1) x = limx→∞ x2 3(x2− x) = 1 3 = m elde edilir. Buna göre
lim x→∞(f (x)− mx) = lim x→∞ x2 3(x− 1)− x 3 = lim x→∞ x 3x− 3 = 1 3 sonucuna ulaşılır. Eğer c = 1/3 denir ise y = x+1
3 doğrusu f fonksiyonunun eğik asimptotudur. Ayrıca
lim
x→1+f (x) =∞ ve lim
x→1−f (x) =−∞
olduğundan x = 1 noktasında fonksiyonun düşey asimptotu vardır. 131
Fonksiyon Grafiklerinin Çizimi. Bir f fonksiyonunun grafiğini çizerken ge-nellikle aşağıdaki yol izlenir.
i) Eğer verilmemişse fonksiyonun tanım kümesi bulunur. ii) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar (varsa) bulunur:
• 0, f’in tanım kümesine aitse f(0) değeri bulunarak fonksiyonun gra-fiğinin y-eksenini kestiği nokta bulunur.
• f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerleri varsa (belirlenebiliyorsa) bu-lunarak fonksiyonun x-eksenini kestiği nokta veya noktalar bulunur. iii) Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimumları incelenir: f diferan-siyellenebilir ise f′(x0) = 0 eşitliğini sağlayan f ’in ekstremum noktaları (varsa) bulunur.
• Eğer f′ türevinin işareti x0’ın solunda negatif sağında pozitifse x0
noktasında f’in yerel minimumu vardır.
• Eğer f′ türevinin işareti x0’ın solunda pozitif sağında negatifse x0
noktasında f’in yerel maksimumu vardır.
Yerel maksimum ve yerel minimumlar ikinci türev testi ile de bulunabilir: • Eğer f′′(x0) > 0 ise f ’in x0 noktasında yerel minimumu vardır. • Eğer f′′(x0) < 0 ise f ’in x0 noktasında yerel maksimumu vardır. • Eğer f′′(x0) = 0 ise bu test sonuç vermez. x0noktasında bir
ekstre-mum olabilir ya da olmayabilir.
iv) f’in konkavitesi ve büküm noktaları incelenir: f′′türevi varsa ve bir aralık üzerinde
• Eğer f′′(x) > 0 ise verilen aralıkta f fonksiyonu yukarı konkavdır. • Eğer f′′(x) < 0 ise verilen aralıkta f fonksiyonu aşağı konkavdır. • Eğer fonksiyonunun gösterdiği eğri üzerindeki bir noktada
konkav-lık yön değiştiriyorsa bu noktaya büküm noktası denir. Eğer c bir büküm noktası ise ya f′′(x) = 0 eşitliği sağlanır ya da f′′(x) ikinci türevi mevcut değildir.
v) Fonksiyonun tek veya çift olup olmadığına bakılır: f’in tanım bölgesindeki tüm x değerleri için
• f(−x) = −f(x) sağlanıyor ise f fonksiyonu tek fonksiyon, • f(−x) = f(x) sağlanıyor ise f fonksiyonu çift fonksiyondur. Buna göre:
• Fonksiyon çift ise x ≥ 0 için çizim yapılır, oluşan görüntünün y-eksenine göre, simetriği alınarak grafik tamamlanır.
• Fonksiyon tek ise, x ≥ 0 için çizim yapılır, oluşan görüntünün orijine göre simetriği alınarak grafik tamamlanır.
vi) Eğer fonksiyon periyodik ise, fonksiyonun periyodu bulunur. Esas peri-yotta çizim yapılır; diğer aralıklarda çizim tekrarlanır.
vii) Fonksiyonun monotonluğu incelenir. Bir aralık üzerinde diferansiyellene-bilir f fonksiyonu için
• Eğer f′(x) > 0 ise f fonksiyonu bu aralık üzerinde artandır. • Eğer f′(x) < 0 ise f fonksiyonu bu aralık üzerinde azalandır viii) Fonksiyonun asimptotları bulunur.
ix) Fonksiyonun değişim tablosu yapılır ve bu değerlere göre grafik çizilir. Grafiklerin Basit Dönüşümleri. Verilen bir f fonksiyonu cinsinden yazı-labilen bazı fonksiyonların grafikleri f’in grafiği yardımıyla çizilebilir. Böylece grafik çizmedeki işlem yükünü azaltmış oluruz. Şimdi bazı özel durumları in-celeyelim.
i) g(x) = f(x+a) şeklinde tanımlı g fonksiyonunun grafiği f fonksiyonunun grafiğinin, x-ekseni boyunca, |a|’nın değeri kadar, a nın işaretinin tersi yönünde kaydırılarak bulunur.
ii) g(x) = f(x) + b fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin, y-ekseni boyunca, |b|’nin değeri kadar, b’nin işaretinin yönünde kaydırılarak bulunur.
iii) a) k > 1 olmak üzere g(x) = f(kx) fonksiyonunun grafiği f fonksiyonu-nun grafiğinin y-eksenine doğru yatay olarak k defa sıkıştırılmasıyla elde edilir.
b) 0 < k < 1 olmak üzere g(x) = f(kx) fonksiyonunun grafiği f fonksi-yonunun grafiğinin y-ekseninden yatay olarak 1/k defa açılarak elde edilir.
iv) a) k > 1 olmak üzere g(x) = kf(x) fonksiyonunun grafiği f fonksi-yonunun grafiğinin x-ekseninden (dikey yönde) k kere açılarak elde edilir.
b) 0 < k < 1 olmak üzere g(x) = kf(x) fonksiyonunun grafiği f fonk-siyonunun grafiğinin x-eksenine doğru (yani dikey yönde) 1/k kere sıkıştırılarak bulunur.
v) a) g(x) = −f(x) fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin, x-eksenine göre simetriğidir.
b) g(x) = f(−x) fonksiyonunun grafiği ise, f fonksiyonunun grafiğinin y-eksenine göre simetriğidir.
vi) g(x) = f(|x|) fonksiyonunun grafiği x ≥ 0 için f’in grafiği aynen koruna-rak ve x ≤ 0 için f fonksiyonunun x ≥ 0 için çizilen grafiğinin y-eksenine göre simetriği alınarak bulunur.
vii) g(x) = |f(x)| fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinden kolayca bulunabilir. f fonksiyonunun grafiğinin x-ekseninin üzerinde kalan par-çaları aynen muhafaza edilir ve sonra da f fonksiyonunun grafiğinin x-ekseninin altında kalan parçalarının x-eksenine göre simetriği alınarak g nin grafiği elde edilir.
viii) y = λf(kx + a) + b şeklindeki daha karışık fonksiyonların grafiği (i)-(v) dönüşümleri ard arda uygulanarak çizilebilir.