Düzgün Süreklilik

Tanım 3.4.1. R’nin boştan farklı bir alt kümesi E ve f : E → R bir fonksiyon olsun. Buna göre f fonksiyonunun E üzerinde düzgün sürekli (notasyon: f : E → R düzgün sürekli) olarak isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart her ε > 0 sayısına karşılık

|x − a| < δ ve x, a ∈ E olduğu müddetçe |f(x) − f(a)| < ε (3.9) eşitsizliğini sağlayacak şekilde δ > 0 sayısının var olmasıdır.

Dikkat edilirse Tanım 3.4.1’de söz konusu δ sayısı ε ve f niceliklerine bağlı fakat a ve x değerlerine bağlı değildir. Bu durum bir küme üzerinde verilen bir fonksiyonun düzgün sürekliliğini göstermek istendiğinde özellikle vurgulanması gereken temel noktadır.

Örnek 3.4.2. (0, 1) aralığında f(x) = x2fonksiyonunun düzgün sürekli oldu-ğunu ispatlayınız.

Kanıt. ε > 0 verilsin ve δ = ε/2 olsun. Eğer x, a ∈ (0, 1) ise |x+a| ≤ |x|+|a| ≤ 2 sağlanır. Dolayısıyla x, a ∈ (0, 1) ve |x − a| < δ ise

|f(x) − f(a)| = |x2

− a2

| = |x − a||x + a| ≤ 2|x − a| < 2δ = ε elde edilir.

Görüldüğü üzere süreklilik ve düzgün süreklilik tanımları birbirine benzer. Tek fark, sürekli fonksiyonlarda δ parametresi a sayısına bağlı olabilirken düz-gün sürekli fonksiyonlarda δ parametresi kesinlikle a’dan bağımsız seçilmelidir. Tanımdan hemen anlaşılan bir sonuç E kümesi üzerinde düzgün sürekli tüm fonksiyonların aynı zamanda E üzerinde sürekli olduğudur. Aşağıdaki örnek bu durumun tersinin, bazı kısıtlamalar yapılmaksızın, her zaman doğru olmadığını ortaya koymaktadır.

Örnek 3.4.3. Gösteriniz ki f(x) = x2 fonksiyonu R üzerinde düzgün sürekli değildir.

Kanıt. f fonksiyonu R üzerinde düzgün sürekli olsun. Buna göre her x, a ∈ R için |x−a| < δ olduğu müddetçe |f(x)−f(a)| < 1 eşitsizliğini sağlayan bir δ > 0 sayısı vardır. Archimedean Özelliği’ne göre nδ > 1 olacak şekilde yeterince büyük bir n ∈ N sayısı seçilebilir. a = n ve x = n + δ/2 olsun. Dolayısıyla |x − a| < δ ve 1 >|f(x) − f(a)| = |x2 − a2 | =  n + ^δ 2 2 − n2 = n²+ nδ + ^δ 2 4 − n²= nδ +^δ 2 4 ^{> nδ > 1} çelişkisi elde edilir. Bu çelişki f fonksiyonunun R üzerinde düzgün sürekli ol-madığını ortaya koymaktadır.

Aşağıdaki sonuç süreklilik ve düzgün süreklilik arasında kilit rol oynamak-tadır.

Lemma 3.4.4. E ⊆ R ve f : E → R düzgün sürekli olsun. Eğer xn ∈ E bir Cauchy dizisi ise f(xn)’de bir Cauchy dizisidir.

Kanıt. ε > 0 olsun ve (3.9) ifadesini gerçekleyen bir δ > 0 sayısı seçilsin. {xn} bir Cauchy dizisi olduğundan n, m ≥ N için |xn− xm| < δ eşitsizliğini sağlayan bir N ∈ N sayısı vardır. Buna göre n, m ≥ N için aynı zamanda |f(xn)− f(xm)| < ε ifadesi gerçeklenir.

Dikkat edilirse (0, 1) aralığında f(x) = 1/x fonksiyonu sürekli ve xn = 1/n bir Cauchy dizisi olmasına karşın f (xn) = n bir Cauchy dizisi değildir. Aslında, (0, 1) aralığında 1/x sürekli fakat düzgün sürekli değildir. Bu durumu y = 1/x fonksiyonunun grafiği doğrular. Aşağıdaki şekilde görüldüğü üzere a değeri 0’a yaklaştıkça δ değerleri küçülür (δ0ve δ1değerlerini mukayese ediniz). Dolayısıyla δ sayısı a’dan bağımsız seçilemez.

.

.

.

.

.

.

}

} x y δ1 δ0 f (x0)− ε f (x0) + ε f (x1) + ε f (x1)− ε x1 x0

Bir açık aralık üzerinde süreklilik ve düzgün süreklilik, her ne kadar ara-lık sınırlı olsa da, farklıdır. Aşağıdaki sonuç sınırlı kapalı araara-lıklar üzerinde durumun bu şekilde olmadığını göstermektedir.

Teorem 3.4.5. I kapalı ve sınırlı bir aralık olsun. Bu durumda eğer f : I → R fonksiyonu I üzerinde sürekli ise I üzerinde düzgün süreklidir.

Kanıt. Tersine, I üzerinde f fonksiyonu sürekli olsun fakat düzgün sürekli ol-masın. Buna göre bir ε0 > 0 sayısı ve xn, yn ∈ I noktaları |xn− yn| < 1/n ve

|f(xn)− f(yn)| ≥ ε0, n∈ N (3.10) eşitsizliğini sağlayacak şekilde mevcuttur. Bolzano-Weierstrass Teoremi ve Kar-şılaştırma Teoremi’ne göre xn dizisinin xnk şeklinde k → ∞ iken bir x ∈ I değerine yakınsayan bir alt dizisi mevcuttur. Benzer şekilde {ynk}k∈N dizisinin yn_kj şeklinde j → ∞ iken bir y ∈ I değerine yakınsayan bir alt dizisi mevcuttur. j → ∞ iken xn_kj → x ve f sürekli olduğundan (3.10) ifadesine göre |f(x) − f (y)| ≥ ε0, yani f(x) 6= f(y) sağlanır. Diğer taraftan her n ∈ N için |xn− yn| < 1/n olduğundan Teorem 2.2.1’e (Sıkıştırma Teoremi) göre x = y’dir. Bu ise f (x) = f (y) çelişkisini doğurur.

Sınırlı açık aralıklar üzerinde düzgün sürekliliğin kullanışlı fakat basit bir karakterizasyonu aşağıdaki teorem ile verilmektedir (Bu sonuç sınırsız aralıklar için geçerli değildir).

Teorem 3.4.6. a < b ve f : (a, b) → R olsun. f fonksiyonunun (a, b) üzerinde düzgün sürekli olması için gerek ve yeter şart f’in [a, b] kapalı aralığına sürekli genişletilebilmesi, yani

f (x) = g(x), x∈ (a, b) (3.11)

eşitliğini sağlayan bir g : [a, b] → R sürekli fonksiyonunun var olmasıdır. Kanıt. f fonksiyonu (a, b) üzerinde düzgün sürekli olsun. Diğer taraftan n → ∞ iken b değerine yakınsayan bir xn ∈ (a, b) dizisi göz önüne alınsın. Buna göre {xn} bir Cauchy dizisi olduğundan Lemma 3.4.4’e göre {f(xn)}’de bir Cauchy dizisidir ve ayrıca

g(b) := lim

n→∞f (xn)

limiti vardır. Bu değer b değerine yaklaşan başka diziler kullanılsa da değişmez. n→ ∞ iken b değerine yakınsayan bir başka yn∈ (a, b) dizisi göz önüne alınsın. ε > 0 sayısı verilsin ve E = (a, b) için (3.9) ifadesini gerçekleyecek şekilde bir δ > 0 sayısı seçilsin. xn − yn → 0 olduğundan n ≥ N için |xn − yn| < δ eşitsizliğini gerçekleyecek şekilde N ∈ N sayısı seçilebilir. Dolayısıyla (3.9)’a göre her n ≥ N için |f(xn)− f(yn)| < ε sağlanır. Her ε > 0 için bu ifadenin n→ ∞ iken limiti alınırsa

| lim

n→∞f (xn)− lim

n→∞f (yn)| ≤ ε elde edilir. Bu ise Teorem 1.2.9’ya göre

lim

n→∞f (xn) = lim

n→∞f (yn)

demektir. Benzer şekilde hareket ederek g(a) için istenilen gösterilebilir. Her x ∈ (a, b) için g(x) = f(x) olsun. Buna göre g fonksiyonu [a, b] üze-rinde tanımlıdır ve (3.11) ifadesini sağlar. Ayrıca Limitlerin Dizisel Karakte-rizasyonu’na göre [a, b] üzerinde süreklidir. Dolayısıyla, g’ye istenildiği şekilde “sürekli genişletilebilir”.

Tersine, [a, b] üzerinde sürekli ve (3.11) ifadesini sağlayan bir fonksiyon g olsun. Teorem 3.4.5’e göre [a, b] aralığı üzerinde g fonksiyonu düzgün süreklidir. Dolayısıyla, g fonksiyonu (a, b) aralığı üzerinde düzgün süreklidir. Bu ise f’in (a, b) üzerinde düzgün sürekli olduğu anlamına gelir.

Sınırlı, açık ve dejenere olmayan (a, b) aralığında f fonksiyonu sürekli olsun. Dikkat edilirse f’in [a, b] aralığına sürekli genişletilebilmesi için gerek ve yeter f fonksiyonunun tek-yönlü limitlerinin var ve a ve b sayılarına eşit olmasıdır. Aslında, limitlerin varlığı durumunda her zaman g fonksiyonunun a ve b nokta-larındaki değerleri söz konusu limitlere eşit olacak şekilde tanımlanabilir. Buna göre f fonksiyonunun düzgün sürekliliğini ε ve δ argümanlarını kullanılmadan göstermek mümkündür.

Örnek 3.4.7. (0, 1) üzerinde f(x) = (x − 1)/ log x fonksiyonunun düzgün sürekli olduğunu gösteriniz.

Kanıt. Açıkça x → 0+ iken f(x) → 0 sağlanır. Diğer taraftan l’Hôpital Ku-ralı’na göre lim x→1−f (x) = lim x→1− x− 1 log x ^{= lim}x→1− 1 1/x ^{= 1}

elde edilir. Yani f(x) fonksiyonunun 0 noktasında sağdan ve 1 noktasında sol-dan limitleri mevcut olduğunsol-dan f fonksiyonu [0, 1] aralığına sürekli genişleti-lebilir. Dolayısıyla Teorem 3.4.6’ya göre f fonksiyonu (0, 1) aralığında düzgün süreklidir.

Alıştırmalar

3.4.1. Aşağıda verilen ifadelerin hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu tespit ediniz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise birer ters örnek veriniz.

a) Eğer f fonksiyonu (0, ∞) aralığında düzgün sürekli ve g fonksiyonu (0, ∞) aralı-ğında pozitif ve sınırlı ise fg fonksiyonu da (0, ∞) aralıaralı-ğında düzgün süreklidir. b) x log(1/x) fonksiyonu (0, 1) aralığında düzgün süreklidir.

c) Her sıfırdan farklı m, b ∈ R için

cos x mx + b

şeklinde tanımlanan fonksiyon (0, 1) üzerinde düzgün süreklidir.

d) f ve g fonksiyonları [a, b] üzerinde düzgün sürekli ve her x ∈ [a, b] için g(x) 6= 0 ise f/g fonksiyonu da [a, b] üzerinde düzgün süreklidir.

3.4.2. Tanım 3.4.1’i kullanarak aşağıda verilen fonksiyonların (0, 1) aralığında düz-gün sürekli olduğunu gösteriniz.

a) f(x) = x2+ x b) f(x) = x3

− x + 2 c) f(x) = x sin x

3.4.3. Aşağıda verilen fonksiyonların (0, 1) aralığında düzgün sürekli olduğunu göste-riniz (sin x ve cos x fonksiyonlarının tanım bölgeleri üzerinde sürekli olduğu bilindiğine göre isteneni göstermek için l’Hôpital Kuralı kullanılabilir).

a) f(x) =sin x x b) f(x) = x cos 1 x2 c) f(x) = x log x d) f(x) = (1 − x2)1/x

3.4.4. sin x fonksiyonunun R üzerinde sürekli olduğu bilindiğine göre (0, 1) açık aralığı üzerinde xαsin(1/x) fonksiyonunun düzgün sürekli olduğu α reel sayısını tespit ediniz.

3.4.5. a) f : [0, ∞) fonksiyonu sürekli ve x → ∞ iken f(x) → L olacak şekilde bir L ∈ R sayısı var olsun. Buna göre f fonksiyonunun [0, ∞) üzerinde düzgün sürekli olduğunu ispatlayınız.

b) f(x) = 1/(x2+1) fonksiyonunun R üzerinde düzgün sürekli olduğunu gösteriniz. 3.4.6. Reel sayıların boştan farklı bir alt kümesi E, α ∈ R ve f, g : E → R fonksi-yonları E üzerinde düzgün sürekli olsun. α

a) f +g ve αg fonksiyonlarının da E üzerinde düzgün sürekli olduğunu ispatlayınız. b) f ve g fonksiyonları E üzerinde sınırlı ise fg fonksiyonun E üzerinde düzgün

sürekli olduğunu gösteriniz.

c) fg çarpım fonksiyonu R üzerinde düzgün sürekli olmadığı halde R üzerinde düzgün sürekli olan f ve g fonksiyonlarının varlığını gösteriniz.

d) f fonksiyonu E üzerinde sınırlı ve her x ∈ E için g(x) ≥ ε0 eşitsizliğini sağlaya-cak şekilde bir ε > 0 sayısı var olsun. Buna göre f/g fonksiyonunun E üzerinde düzgün sürekli olduğunu ispatlayınız.

e) Her x ∈ (0, 1) için g(x) > 0 olmak üzere f/g bölüm fonksiyonu (0, 1) üze-rinde düzgün sürekli olmadığı halde (0, 1) üzeüze-rinde düzgün sürekli olan f ve g fonksiyonlarının varlığını gösteriniz.

3.4.7. a) I bir sınırlı aralık olsun. Eğer f : I → R fonksiyonu I üzerinde düzgün sürekli ise f’in I üzerinde sınırlı olduğunu ispatlayınız.

b) a) şıkkında verilen ifadede I sınırsız veya sadece f sürekli olarak alınır ise sınırlılık hakkında verilen hüküm doğru olmayabilir.

3.4.8. E⊆ R olsun. f : E → R fonksiyonunun E üzerinde artan olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart x1< x2 koşulunu sağlayan her x1, x2∈ E için f(x1)≤ f(x2) eşitsizliğinin gerçeklenmesidir. f fonksiyonu boştan farklı, sınırlı ve açık (a, b) aralığı üzerinde artan olsun.

a) f(a+) ve f(a−) limitlerinin her ikisinin de var ve sonlu olduğunu ispatlayınız. b) Gösteriniz ki f fonksiyonunun (a, b) aralığında sürekli olması için gerek ve yeter

şart f’in (a, b) üzerinde düzgün sürekli olmasıdır.

c) Gösteriniz ki eğer f sınırsız ise b) şıkkı doğru değildir. Yani, (0, 1) aralığı üze-rinde sürekli fakat bu aralık üzeüze-rinde düzgün sürekli olmayan bir g : (0, 1) → R fonksiyonu vardır.

3.4.9. İspatlayınız ki n. dereceden bir polinomun R üzerinde sürekli olması için gerek ve yeter şart n = 0 ya da 1 olmasıdır.

4 R Üzerinde Diferansiyellenebilme

4.1 Türev

Tanım 4.1.1. Reel değerli bir f fonksiyonunun bir a noktasında diferansi-yellenebilir olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart f fonksiyonunun a noktasını içeren bir I açık aralığında tanımlı ve

f^′(a) := lim

h→0

f (a + h)− f(a)

h (4.1)

limitinin var olmasıdır. Bu durumda f′(a) değerine a noktasında f fonksiyo-nununtürevi denir.

f fonksiyonu a noktasını içeren bir I açık aralığı üzerinde tanımlı olduğun-dan yeterince küçük h 6= 0 için (4.1) ile verilen bölüm de tanımlıdır.

Biliyoruz ki y = f(x) fonksiyonunun bir (a, f(a)) noktasında düşey olmayan bir teğet doğrusunun (veya tanjat doğrusu) olması için gerek ve yeter şart f’in a noktasında türevi olmasıdır. Bu durumda x = a noktasında fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi f′(a)’dır. Bu bağlantının mantıklı olduğunu göz-lemlemek için (4.1) ifadesinin geometrik yorumunu verelim: f fonksiyonu a noktasında diferansiyellenebilir olsun. y = f(x) eğrisinin grafiği üzerindeki en az iki noktadan geçen doğruya secant doğrusu (veya kesen), eğrinin grafiği üzerindeki bir noktadan yine eğrinin üzerinde ki diğer bir noktaya çizilen doğru parçasına isekiriş adı verilir. x = a + h olsun. Buna göre (x, f(x)) ve (a, f(a)) noktalarından geçen kirişin eğimi (f(x)−f(a))/(x−a)’dır. x = a+h olduğundan (4.1) ifadesinden

f^′(a) := lim

x→a

f (x)− f(a) x− a

yazılabilir. x → a olduğundan aşağıdaki şekilde de görüldüğü üzere (x, f(x)) ve (a, f(a)) noktalarından geçen kirişlerin eğimi, x = a noktasından y = f(x) doğrusuna çizilen teğetin eğimine yaklaşmaktadır ve limit durumunda x = a noktasında y = f(x) eğrisine çizilen teğet doğrusunun eğimi tam olarak f′(a) değerine eşittir. Buna göre x = a noktasında y = f(x) eğrisinin grafiğinin (a, f (a)) noktasında tek türlü belirli bir teğet doğrusuna sahip olabilmesi için gerek ve yeter şart f′(a) türevinin var olmasıdır denir.

.

.

.

x y x1 x2 y = f (x) Teğet Kirişler a

f fonksiyonu E kümesi üzerindeki tüm noktalarda diferansiyellenebilir ise f′ türev fonksiyonu E üzerinde bir fonksiyondur. Bu fonksiyon pek çok şekilde gösterilebilir:

Dxf = ^df dx ^{= f}

(1)= f^′.

y = f (x) olması durumunda f′için dy/dx veya y′noktasyonları kullanılır. Yük-sek mertebeden türevler rekürsif olarak tanımlanır: yani, söz konusu türevlerin var olması durumunda n ∈ N için f(n+1)(a) := (f(n))′(a)’dır. Ayrıca, yüksek mertebeden türevleri ifade etmek için de çeşitli yollar kullanılır: Dn

xf , dnf /dxn

ve f(n) gibi. Eğer y = f(x) ise dny/dxn veya y(n)yazılır. f(2) (sırası ile, y(2)) ikinci türevi fonksiyonu f′′(sırası ile, y′′) ile gösterilir ve bir a noktasında var olması durumunda f fonksiyonu a noktasında iki kez diferansiyellenebilirdir denir.

Türevlerle çalışma söz konusu olduğundan diferansiyellenebilmenin iki ka-rakterizasyonunu verebiliriz. Bunlardan ilki türevleri

F (x) := ^{f (x)}− f(a)

x− a ^{, x6= a (4.2)}

“kiriş fonksiyonu” ile karakterize etmektir. Bu metot Zincir Kuralı’nı ortaya koyarken kullanılacaktır.

Teorem 4.1.2. Reel değerli f fonksiyonunun bir a ∈ R noktasında diferansi-yellenebilmesi için gerek ve yeter şart a ∈ I, I üzerinde tanımlı bir fonksiyon f , a noktasında sürekli bir fonksiyon F ve her x∈ I için

f (x) = F (x)(x− a) + f(a) (4.3)

eşitliğinin sağlandığı bir I açık aralığı ve F : I → R fonksiyonunun var olma-sıdır. Bu durumda F (a) = f′(a) gerçeklenir.

Kanıt. Dikkat edilirse her x ∈ I\{a} için (4.2) and (4.3) ifadeleri birbirlerine denktir. f fonksiyonu a noktasında diferansiyellenebilir olsun. Buna göre f fonksiyonu a noktasını içeren bir I açık aralığında tanımlıdır ve (4.1) ifadesinde

verilen limit vardır. F fonksiyonu I üzerinde x 6= a olması durumunda (4.2) eşitliği ile, a noktasında ise F (a) := f′(a) olarak tanımlansın. Dolayısıyla, her x∈ I için (4.3) eşitliği gerçeklenir ve f′(a) türevi var olduğundan (4.2)’ye göre F fonksiyonu süreklidir.

Tersine (4.3) ifadesi gerçeklensin. Buna göre her x 6= a, x ∈ I için (4.2) eşitliği sağlanır. x → a iken (4.2) ifadesinden limit alınırsa, F ’in a noktasında sürekli olduğu bilindiğine göre, F (a) = f′(a) elde edilir.

Diferansiyellenebilmenin ikinci karakterizasyonu iselineer yaklaşım (f(a + h)− f(a)’ya orijinden geçen doğrular ile ne kadar iyi yaklaşılabilir) ile verilir. Bu olgu çok değişkenli fonksiyonların türevleri tanımlanırken kullanılacaktır. Teorem 4.1.3. Reel değerli f fonksiyonunun bir a noktasında diferansiyelle-nebilmesi için gerek ve yeter şart T (x) := mx fomundaki bir T fonksiyonunun

lim

h→0

f (a + h)− f(a) − T (h)

h ^{= 0} (4.4)

eşitliğini sağlayacak şekilde var olmasıdır.

Kanıt. f fonksiyonu türevlenebilir ve m := f′(a) olsun. Dolayısıyla (4.1)’e göre h→ 0 iken f (a + h)− f(a) − T (h) h ⁼ f (a + h)− f(a) h − f′(a)→ 0 gerçeklenir.

Tersine, h 6= 0 ve T (x) := mx için (4.4) ifadesi sağlansın. Buna göre f (a + h)− f(a) h ^{= m +} f (a + h)− f(a) − mh h = m +^{f (a + h)}− f(a) − mh h

ifadesinden limit alınırsa (4.4)’e göre m elde edilir. Dolayısıyla, h → 0 iken (f (a + h)− f(a))/h → m sonucuna ulaşılır. Yani, f′(a) türevi vardır ve m’e eşittir.

Teorem 4.1.2’nin aşağıda verilen ilk uygulaması süreklilik ile diferansiyelle-nebilme arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktadır.

Teorem 4.1.4. f fonksiyonu a noktasında diferansiyellenebilir ise aynı za-manda bu noktada süreklidir.

Kanıt. f fonksiyonu a noktasında diferansiyellenebilir olsun. Teorem 4.1.2’ye göre her x ∈ I için f(x) = f(a) + F (x)(x − a) şeklinde tanımlı, a noktasında

sürekli bir F fonksiyonu ve I açık aralığı vardır. Bu ifadeden x → a iken limit alınırsa

lim

x→af (x) = f (a) + F (x)· 0 = f(a)

elde edilir. Yani, x → a iken f(x) → f(a) sonucuna ulaşılır ki bu f fonksiyonu a noktasında sürekli demektir.

Yukarıdaki teoreme göre a noktasında sürekli olmayan hiç bir fonksiyon a’da diferansiyellenebilir değildir. Örnek 4.1.5, Teorem 4.1.4’ün tersinin, yani bir a noktasında sürekli olan fonksiyonların bu a noktasında diferansiyellenmesini gerektirmediğini göstermektedir.

Örnek 4.1.5. f(x) = |x| fonksiyonunun 0 noktasında sürekli fakat diferansi-yellenebilir olmadığını gösteriniz.

Kanıt. Mutlak değer fonksiyonunun tanımına göre x → 0 iken |x| → 0 sağlan-dığından f fonksiyonu 0 noktasında süreklidir. h > 0 iken |h| = h ve h < 0 iken |h| = −h sağlandığından lim h→0+ f (0 + h)− f(0) h ^{= lim}h→0+ h− 0 h ^{= 1} ve lim h→0− f (0 + h)− f(0) h ^{= lim}h→0− −h − 0 h ⁼−1

elde edilir. Limitin var olması için tek-yönlü limitlerin mevcut ve birbirine eşit olması gerektiğinden (Teorem 3.2.3), a = 0 ve f(x) = |x| için (4.1) ifadesindeki limit yoktur. Buna göre f fonksiyonu 0 noktasında diferansiyellenebilir değildir.

.

x

y

y =|x|

Aslında Örnek 4.1.5 diferansiyellenebilme ve sürekli fonksiyonlar arasındaki fark hakkında ki en genel yanlış anlaşılmayı yansıtır. a noktasında diferansi-yellenebilen bir fonksiyon (a, f(a)) noktasında daima tek türlü belirli bir teğet

doğrusuna sahip olacağından, verilen bir aralıkta bu diferansiyellenebilir fonk-siyonun grafiği “düzgün”dür, yani bir köşe, bir sivri uç veya kırılma noktası içermez. Aksine, her ne kadar bir sürekli fonksiyonun grafiği verilen bir ara-lıkta kesintisiz (boşluk veya sıçrama içermeyen) olsa da bir köşe, bir sivri uç veya bir kırılma noktası içerebilir. Özel olarak, x = 0 noktasında f(x) = |x| fonksiyonu sürekli olmakla birlikte diferansiyellenebilir değildir. Ayrıca, y = |x| grafiği her ne kadar kesintisiz olsa da (0, 0)’da bir köşe içerir.

Tanım 4.1.1’e göre f fonksiyonu a noktasında diferansiyellenebilir ise f’in a noktasını (dolayısıyla a’nın her iki yanını da) içeren bir açık aralık ğzerinde tanımlanmış olması gerekir. Limit kavramındaki gibi tanım bölgesi kapalı ara-lıklar olan fonksiyonlar için “tek-yönlü” türevlerini tanımlamak uygun olur (bkz Örnek 4.1.9). Burada bir reel fonksiyonun bir aralık üzerinde diferansiyellene-bilmesi ne anlama gelir kısaca vurgulanmaktadır (bir aralık içindeki her nok-tada diferansiyellenebilmenin tersine). Bu konsept İntegral kavramı anlatılırken kullanılacaktır.

Tanım 4.1.6. I dejenere olmayan bir aralık olsun.

i) Bir f : I → R fonksiyonunun I aralığı üzerinde diferansiyellenebilir ola-rak adlandırılması için gerek ve yeter şart

f_I^′(a) := lim

x→a x∈I

f (x)− f(a) x− a limitinin mevcut ve her a ∈ I için sonlu olmasıdır.

ii) f fonksiyonunun I üzerinde sürekli diferansiyellenebilir olarak adlandı-rılması için gerek ve yeter şart f′

I türevinin mevcut ve I üzerinde sürekli olmasıdır.

Dikkat edilirse, I aralığının bir uç noktası a değil iken f′

I(a) ile f′(a) de-ğerleri aynıdır. Bu durumda genellikle f′

I notasyonundaki alt indis kullanılmaz. Ayrıca, f fonksiyonu [a, b] aralığında diferansiyellenebilir ise

f^′(a) := lim h→0+ f (a + h)− f(a) h vef′(b) := lim h→0− f (b + h)− f(b) h ifadeleri yazılabilir.

Örnek 4.1.7. i) Her x ∈ R ve n ∈ N için (xn)′= nxn−1 olduğunu ispatla-yınız.

ii) Her x ∈ (0, ∞) ve n ∈ −N∪{0} için (xn)′= nxn−1olduğunu ispatlayınız. Kanıt. i) Her c, d ∈ R ve n ∈ N için

cn

− dn = (c− d) (cn−1+ cn−2d + cn−3d2+· · · + cdn−2+ dn−1)

| {z }

n terim

şeklinde yazılabileceğini biliyoruz. f(x) = xn olsun. n = 1 ise her a ∈ R için f^′(a) = lim x→a f (x)− f(a) x− a ^{= lim}x→a x− a x− a ^{= 1} elde edilir. Eğer n > 1 ve x 6= a ise

f^′(a) = lim x→a f (x)− f(a) x− a ^{= lim}x→a xn − an x− a = lim x→a (x− a)(xn−1+ xn−2a + xn−3a2+· · · + xan−2+ an−1) x− a = lim x→a(xⁿ⁻¹+ xⁿ⁻²a + xⁿ⁻³a²+· · · + xaⁿ⁻²+ aⁿ⁻¹) = (aⁿ⁻¹+ aⁿ⁻²a + aⁿ⁻³a²+· · · + aan−2+ aⁿ⁻¹) | {z } n terim = naⁿ⁻¹ sonucuna ulaşılır.

ii) f(x) = xn olsun. n = 0 ise f(x) = x0= 1 olduğundan her x∈ R için f^′(a) = lim x→a f (x)− f(a) x− a ^{= lim}x→a 1− 1 x− a ^{= 0}

elde edilir. n ∈ −N ve a > 0 olsun. Bu durmda −n ∈ N olduğundan i) şıkkı kullanılarak f^′(a) = lim x→a f (x)− f(a) x− a ^{= lim}x→a xn− an x− a = lim x→a a−n− x−n x− a ^x nan = lim x→a  a−n− x−n x− a  lim x→a(xⁿaⁿ) = na⁻ⁿ⁻¹a²ⁿ = naⁿ⁻¹

elde edilir. Buna göre xn fonksiyonu a ∈ R noktasında diferansiyellenebilirdir ve türevi f′(a) = nan−1’e eşittir.

Örnek 4.1.8. i) n ∈ Z ve n ∈ N olmak üzere q = n/m ise

xⁿ− an= (x^q− aq)(x^q(m−1)+ x^2(m−2)a^q+· · · + xqa^q(m−2)+ a^q(m−1)) eşitliğinin gerçeklendiğini gösteriniz.

ii) [Kuvvet Kuralı] Her q ∈ Q için xq fonksiyonunun (0, ∞) aralığında dife-ransiyellenebilir ve (xq)′ = qxq−1 olduğunu ispatlayınız.

Kanıt. i) Örnek 4.1.7’de söylendiği üzere her c, d ∈ R ve m ∈ N için c^m− d^m= (c− d) (c^m−1+ c^m−2d + c^m−3d²+· · · + cd^m−2+ d^m−1)

| {z }

m terim

eşitliği geçerlidir. Burada q = n/m olmak üzere c = xq ve d = aq alınır istenilen gösterilmiş olur.

ii) f(x) = xq, x, a ∈ (0, ∞) ve q = n/m olsun. i) şıkkı kullanılarak f^′(a) = lim x→a f (x)− f(a) x− a ^{= lim}x→a xq− aq x− a = lim x→a xn − an x− a ^(x q(m−1)+· · · + a^q(m−1))⁻¹ = lim x→a  xn − an x− a  lim x→a  (xq(m−1)+· · · + aq(m−1))−1^ | {z } m terim = naⁿ⁻¹(ma^q(m−1))⁻¹= qa^n−1−qm+q = qa^q−1 elde edilir.

Aşağıdaki örnek Tanım 4.1.6’nın sürekli fonksiyonların ailelerine genişleti-lebileceğini ortaya koyar.

Örnek 4.1.9. f(x) = x3/2fonksiyonu [0, ∞) aralığında diferansiyellenebilirdir ve türevi her x ∈ [0, ∞) için f′(x) = 3√_{x/2’ye eşittir.}

Kanıt. Kuvvet Kuralı’na (Örnek 4.1.8) göre her x ∈ (0, ∞) için f′(x) = (x3/2)′ =³ 2^x (3/2)−1=³ 2^x 1/2= ³ 2 √_x sağlanır. Ayrıca, tanıma göre

f^′(0) = lim h→0+ f (0 + h)− f(0) h ^{= lim}h→0+ h^3/2− 0 h ^{= lim}h→0+ √ h = 0 gerçeklenir.

Tanım 4.1.6 ile bağlantılı olarak sıklıkla kullanılan bir notasyon verelim. I dejenere olmayan bir aralık olsun. Her n ∈ N için Cn fonksiyonlar ailesini

Cⁿ(I) :={f : f : I → R ve f⁽ⁿ⁾ türevi var ve türev I üzerinde sürekli} olarak tanımlayalım. Her n ∈ N için Cn(I)’ya ait olan f fonksiyonlarının ailesi C∞(I) ile gösterilir. Dikkat edilir iseC1(I) notasyonu I üzerinde sürekli dife-ransiyellenebilen reel değerli fonksiyonların ailesini gösterir. Üzerinde çalışılan aralık açık olarak verildiğinde bu notasyonda dışarıdaki parantezler ihmal edi-lecektir. Yani Cn([a, b]) yerineCn[a, b] yazımı kullanılacaktır.

Teorem 4.1.4 modifiye edilerek bir I aralığı üzerinde diferansiyellenebilir bir fonksiyonun I aralığı üzerinde sürekli olduğu sonucu elde edilebilir. Dolayısıyla, her m > n > 0 tamsayıları için C∞(I)⊂ Cm(I)⊂ Cn(I) içermesi doğrudur.

Aşağıdaki örnekte R üzerinde her diferansiyellenebilir fonksiyonun C1(R) ailesine ait olmadığı gösterilmektedir.

Örnek 4.1.10. f (x) =    x2sin(1/x) x6= 0 0 x = 0

şeklinde tanımlanan fonksiyon R üzerinde süreklidir. Fakat orijin noktasını içe-ren hiç bir reel sayı aralığında sürekli diferansiyellenebilir değildir.

Kanıt. Tanıma göre f^′(0) = lim h→0 f (0 + h)− f(0) h ^{= lim}h→0 h2sin(1/h)− 0 h ^{= lim}h→0h sin(1/h) = 0 ve x 6= 0 için f^′(x) = 2x sin(1/x)− cos(1/x)

olduğundan f fonksiyonu R’de diferansiyellenebilirdir, fakat lim_x→0f′(x) limiti yoktur. Buna göre f′ fonksiyonu orijin noktasını içeren hiç bir aralıkta sürekli değildir.

İki farklı aralık üzerinde diferansiyellenebilen bir fonksiyonunun bu iki ara-lığın birleşimi üzerinde diferansiyellenebilir olması gerekmez.

Açıklama 4.1.11. f(x) = |x| fonksiyonu [0, 1] ve [−1, 0] aralıkları üzerinde diferansiyellenebilir iken [−1, 1] aralığı üzerinde diferansiyellenemez.

Kanıt. x > 0 iken f(x) = x ve x < 0 iken f(x) = −x olduğundan açıkça f fonksiyonu [−1, 0) ∪ (0, 1] aralığında diferansiyellebenilir (x > 0 ise f′(x) = 1 ve x < 0 ise f′(x) =−1). Örnek 4.1.5’den biliyoruz ki f(x) fonksiyonu x = 0 noktasında diferansiyellenebilir değildir. Bununla beraber

f_[0,1]^′ (0) = lim h→0+ |h| h ^{= 1 ve f} ′ [−1,0](0) = lim h→0− |h| h ⁼−1

olduğundan f fonksiyonu [0, 1] ve [−1, 0] aralıkları üzerinde diferansiyellenebi-lirdir.

Alıştırmalar

4.1.1. f, g : [a, b]→ R olsun. Aşağıda verilen ifadelerin hangilerinin doğru, hangile-rinin yanlış olduğunu tespit ediniz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise birer ters örnek veriniz.

a) Eğer f = g2 ve [a, b] aralığında f diferansiyellenebilir ise (a, b) aralığında g diferansiyellenebilirdir.

b) Eğer [a, b] aralığında f diferansiyellenebilir ise [a, b] üzerinde düzgün süreklidir. c) Eğer (a, b) aralığında f(a) = f(b) = 0 ise f fonksiyonu [a, b] üzerinde düzgün

süreklidir.

d) Eğer f fonksiyonu (a, b] aralığında diferansiyellenebilir ve x → a+ iken f(x)/(x− a)→ 1 ise f fonksiyonu (a, b] üzerinde düzgün süreklidir.

4.1.2. Aşağıdaki her reel fonksiyon için Tanım 4.1.1’i kullanarak f′(a) tğrevinin var olduğunu gösteriniz. a) f(x) = x2+ x, a∈ R b) f(x) =√_{x, a > 0} c) f(x) = 1/x, a 6= 0 4.1.3. fα(x) =    |x|α 1 x x6= 0 0 x = 0

olsun. α > 0 ise x = 0 noktasında fα(x) fonksiyonunun sürekli ve α > 1 için x = 0 noktasında diferansiyellenebilir olduğunu gösteriniz.

4.1.4. 0 noktasını içeren bir aralık I ve f : I→ R olsun. Her x ∈ I için |f(x)| ≤ |x|α

eşitsizliğini gerçekleyecek α > 1 sayısı varsa f fonksiyonunun 0 noktasında diferansi-yellenebilir olduğunu ispatlayınız.α = 1 olması durumunu inceleyiniz.

4.1.5. a) y = x+sin x eğrisinin y = x+15 doğrusuna paralel olan tüm teğetlerinin y = x + sin x eğrisini kestiği yerlerin koordinatlarını belirleyiniz.

b) y = 3x2+ 2 eğrisine teğet olan ve (−1, 7) noktasından geçen tüm teğtlerinin y = 3x2+ 2 eğrisini kestiği yerlerin koordinatlarını belirleyiniz.

4.1.6. f fonksiyonu R üzerinde fα(x) :=    x³ x≥ 0 0 x < 0

olarak tanımlansın. Her R için f(n)var olmasını sağlayan tüm n ∈ N değerlerini tespit ediniz.

4.1.7. f : (0,∞) → R fonksiyonu her x, y ∈ (0, ∞) için f(x) − f(y) = f(x, y) ve f (1) = 0 koşullarını sağlasın.

a) f fonksiyonunun (0, ∞) aralığında sürekli olması için gerek ve yeter şart 1 noktasında sürekli olmasıdır, ispatlayınız.

b) f fonksiyonunun (0, ∞) aralığında diferansiyellenebilir olması için gerek ve yeter şart 1 noktasında diferansiyellenebilir olmasıdır, ispatlayınız.

c) Gösteriniz ki, f fonksiyonu 1 noktasında diferansiyellenebilir ise her x ∈ (0, ∞) için f′(x) = f′(1)/x’dir.

[Not: Eğer f′(1) = 1 ise f (x) = log x fonksiyonudur.]

4.1.8. I bir açık aralık, f : I→ R ve c ∈ I olsun. f fonksiyonunun c noktasında yerel maksimumu vardır olarak isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart her|x − c| < δ için f (c)≥ f(x) eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir δ > 0 sayısının var olmasıdır.

a) c noktasında f fonksiyonunun yerel maksimumu varsa u > 0 ve yeterince küçük t < 0 için

f (c + u)− f(c)

u ≤ 0 ve ^{f (c + t)}_t^{− f(c)}≥ 0 eşitsizliklerinin sağlandığını gösteriniz.

b) Yukarıdaki ifadeyi yerel minimum için yazınız.

c) Gösteriniz ki, f fonksiyonu 1 noktasında diferansiyellenebilir ise her x ∈ (0, ∞) için f′(x) = f′(1)/x’dir.

d) b) ve c) şıklarındaki ifadelerin terslerinin doğru olmadığını bir örnek ile gösteri-niz: 0 noktasında yerel maksimum ve yerel minimum içermediği halde f′(0) = 0 sağlayan bir f fonksiyonu bulunuz.

4.1.9. a > 0 için (−a, a) olsun. Bir f : I → R fonksiyonunun çift olarak isimlen-dirimesi için gerek ve yeter şart her x ∈ I için f(−x) = f(x) eşitliğinin, tek olarak isimlendirimesi için gerek ve yeter şart her x ∈ I için f(−x) = −f(x) eşitliğinin sağlanmasıdır.

a) Eğer f fonksiyonu tek ve I üzerinde diferansiyellenebilir ise I üzerinde f′türev fonksiyonunun çift olduğunu gösteriniz.

b) Eğer f fonksiyonu çift ve I üzerinde diferansiyellenebilir ise I üzerinde f′türev fonksiyonunun tek olduğunu gösteriniz.

Belgede MB1001 ANALİZ I (sayfa 96-112)