1−x+ xe√1−x −1 2√ 1− x = e √ 1−x− xe √ 1−x 2√ 1− x sonucuna ulaşılır.
4.4 Ortalama Değer Teoremi
Ortalama Değer Teoremi, bir fonksiyonunu türevi ile bu fonksiyona ait kirişlerin bir tanesinin eğimi arasındaki ilişkiyi ortaya koyar. Şimdi özel bir durumu içeren aşağıdaki sonucu verelim.
Lemma 4.4.1 (Rolle Teoremi). a < b olmak üzere a, b ∈ R reel sayıları göz önüne alınsın. Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli, (a, b) aralığında dife-ransiyellenebilir ve f(a) = f(b) ise f′(c) = 0 olacak şekilde bir c∈ (a, b) sayısı vardır.
Kanıt. Ekstremum Değer Teoremi (Teorem 3.3.8) gereği f fonksiyonunun [a, b] kapalı aralığında sonlu bir M maksimum ve m minimum değeri vardır. Eğer M = m ise f fonksiyonu (a, b) üzerinde sabit sabit fonksiyon olmak zorundadır ve bu durumda her x ∈ (a, b) için f′(x) = 0 sağlanır.
M 6= m olsun. f(a) = f(b) eşitliği gerçeklendiğinden bir c ∈ (a, b) nok-tasının fonksiyon altındaki değeri M veya m’e eşit olacak şekilde seçilebilir.
Genelliği bozmadan f(c) = M olsun (eğer f(c) = m ise benzer tarzda hare-ket ederek istenilen gösterilebilir). M noktası [a, b] aralığında f fonksiyonunun maksimumu olduğundan c + h ∈ (a, b) koşulunu sağlayan tüm h değerleri için
f (c + h)− f(c) ≤ 0 eşitsizliği gerçeklenir. Eğer h > 0 ise
f′(c) = lim h→0+ f (c + h)− f(c) h ≤ 0 ve h > 0 ise f′(c) = lim h→0− f (c + h)− f(c) h ≥ 0
olduğundan f′(c) = 0 eşitsizliğinin doğruluğu elde edilir.
Açıklama 4.4.2. Rolle Teoremi’ndeki süreklilik hipotezi [a, b] aralığındaki bir nokta için bile sağlanmasa teorem doğruluğunu yitirir.
Kanıt. Aşağıdaki f (x) = x x∈ [0, 1) 0 x = 1
fonksiyonu göz önüne alınsın. Bu fonksiyon açıkça [0, 1) aralığında sürekli, (0, 1) üzerinde diferansiyellenebilir ve f(0) = f(1) = 0 olduğu halde f′(x) değeri hiç bir zaman sıfıra eşit değildir.
Açıklama 4.4.3. Rolle Teoremi’ndeki diferansiyellenebilirlik hipotezi (a, b) aralığındaki bir nokta için bile sağlanmasa teorem doğruluğunu yitirir. Kanıt. Biliyoruz ki f(x) = |x| fonksiyonu [−1, 1] aralığında sürekli, (−1, 1)\{0} üzerinde diferansiyellenebilir ve f(−1) = f(1) = 1 olduğu halde f′(x) değeri hiç bir zaman sıfıra eşit değildir.
Teorem 4.4.4. a < b olmak üzere a, b ∈ R reel sayıları göz önüne alınsın. i) [Genelleştirilmiş Ortalama Değer Teoremi] Eğer f ve g fonksiyonları [a, b]
aralığında sürekli ve (a, b) aralığında diferansiyellenebilir ise g′(c)(f (b)− f(a)) = f′(c)(g(b)− g(a)) eşitliğini sağlayacak şekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır.
ii) [Ortalama Değer Teoremi] Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında diferansiyellenebilir ise
f (b)− f(a) = f′(c)(b− a) eşitliğini sağlayacak şekilde bir c ∈ (a, b) sayısı vardır. Kanıt. i)
h(x) = f (x)(g(b)− g(a)) − g(x)(f(b) − f(a)) olsun. Bu fonksiyonun
h′(x) = f′(x)(g(b)− g(a)) − g′(x)(f (b)− f(a))
türev fonksiyonu açıkça [a, b] üzerinde sürekli ve (a, b) üzerinde diferansiyelle-nebilirdir. Ayrıca
h(a) = f (a)(g(b)− g(a)) − g(a)(f(b) − f(a))
= f (a)g(b)− f(a)g(a) − g(a)f(b) + g(a)f(a) = f(a)g(b) − g(a)f(b) ve
h(b) = f (b)(g(b)− g(a)) − g(b)(f(b) − f(a))
= f (b)g(b)− f(b)g(a) − g(b)f(b) + g(b)f(a) = g(b)f(a) − f(b)g(a) sağlandığından h(a) = h(b) eşitliği gerçeklenir. Dolayısıyla Rolle Teoremi’ne göre h′(c) = 0 olacak şekilde bir c∈ (a, b) sayısı vardır.
ii) Eğer i) şıkkında g(x) = x alınır ise istenilen gösterilmiş olur.
Rolle Teoremi c ∈ (a, b) için eğriye (c, f(c)) noktasından çizilen teğetin x-eksenine paralel olduğunu söyler. Bununla beraber Ortalama Değer Teoremi benzer koşullarda bir c ∈ (a, b) için (c, f(c)) noktasından çizilen teğetin (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarını birleştiren kirişe paralel olacağını belirtir. Genelleştiril-miş Ortalam Değer Teoremi aynı zamanda Cauchy Ortalama Değer Teoremi olarak da bilinir. x x y y a c b a c b f (a) f (b) y = f (x) y = f (x) Teğet Kiriş 122
Tanım 4.4.5. R reel sayıların bir alt kümesi E göz önüne alınsın ve f : E → R olsun.
i) f fonksiyonunun E üzerinde artan (sırası ile kesinlikle artan) olarak isim-lendirilmesi için gerek ve yeter şart x1< x2koşulunu sağlayan x1, x2∈ E için f(x1)≤ f(x2) (sırası ile f (x1) < f (x2)) eşitsizliğinin sağlanmasıdır. ii) f fonksiyonunun E üzerinde azalan (sırası ile kesinlikle azalan) olarak
isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart x1< x2koşulunu sağlayan x1, x2∈ E için f (x1)≥ f(x2) (sırası ile f (x1) > f (x2)) eşitsizliğinin sağlanması-dır.
iii) f fonksiyonunun E üzerinde monoton (sırası ile kesinlikle monoton) ola-rak isimlendirilmesi için gerek ve yeter şart ya artan ya da azalan (sırası ile ya kesinlikle artan ya da kesinlikle azalan) olmasıdır.
Dikkat edilirse f(x) = x2 fonksiyonu [0, 1] ve [−1, 0] üzerinde kesinlikle monotonken [−1, 1] aralığında monoton değildir.
Teorem 4.4.6. a < b olmak üzere a, b ∈ R, f fonksiyonu [a, b] üzerinde sürekli ve (a, b) aralığında diferansiyellenebilir olsun.
i) Eğer her x ∈ (a, b) için f′(x) > 0 (sırası ile f′(x) < 0) ise f fonksiyonu [a, b] üzerinde kesinlikle artandır (sırası ile kesinlikle azalandır).
ii) Eğer her x ∈ (a, b) için f′(x) = 0 ise f fonksiyonu [a, b] üzerinde sabittir. iii) Eğer g fonksiyonu [a, b] üzerinde sürekli, (a, b) aralığında diferansiyelle-nebilir ve her x ∈ (a, b) için f′(x) = g′(x) sağlanıyor ise [a, b] üzerinde f− g fonksiyonu sabittir.
Kanıt. i) a ≤ x1 < x2 ≤ b olsun. Ortalama Değer Teoremi’ne göre f(x2)− f (x1) = f′(c)(x2− x1) eşitliğini sağlayacak şekilde bir c∈ (a, b) sayısı vardır. Buna göre eğer f′(c) > 0 ise f (x2) > f (x1) ve eğer f′(c) < 0 ise f (x2) < f (x1) gerçeklenir. Dolayısıyla istenilen gösterilmiş olur.
ii) Eğer f′ = 0 ise i) şıkkının istapına göre f fonksiyonu hem artan hem de azalandır. Dolayısıyla [a, b] üzerinde sabit olmak zorundadır.
iii) Yıkarıda verilen ii) şıkkının ispatı f −g için uygulanırsa istenilen gösterilmiş olur.
Teorem 4.4.6 i) şıkkı diferansiyellenebilir fonksiyonların monotonluğu hak-kında yorum yapma imkanı sağlar. Bununla birlikte monoton olduğu halde diferansiyellenebilir olmayan fonksiyonlar da vardır. Örneğin
f (x) =⌊x⌋ := n, n ≤ x < n + 1, n ∈ Z 123
en büyük tamsayı fonksiyonu R üzerinde artan olmakla birlikte ne sürekli ne de diferansiyellenebilir değildir.
Peki bu diferansiyellenemeyen monoton fonksiyonların davranışları ne şekilde-dir. Aşağıdaki sonuç tıpkı en büyük tamsayı fonksiyonunda olduğu gibi bir aralıkta monoton olan herhangi bir fonksiyonun daima sağdan ve soldan limit-lerinin var olduğunu ortaya koyar. Bu sonuç Monoton Yakınsaklık Teoremi’nin (Teorem 2.3.2) fonksiyonlar için analoğudur.
Teorem 4.4.7. f fonksiyonu [a, b] aralığında artan olsun.
i) Eğer c ∈ [a, b) ise f(c+) limiti mevcuttur ve f(c) ≤ f(c+) eşitsizliği sağlanır.
ii) Eğer c ∈ (a, b] ise f(c−) limiti mevcuttur ve f(c−) ≤ f(c) eşitsizliği sağlanır.
Kanıt. Simetriden ötürü verilen bir c ∈ (a, b] için f(c−) limitinin var ve f(c−) ≤ f (c) olduğunu göstermek yeter. E = f ((a, c)) ve s = sup E olsun. f fonksiyonu artan olduğundan f(c) değeri E’nin bir üst sınırıdır. Buna göre s bir sonlu sayı olarak s ≤ f(c) eşitsizliğini gerçekler. Supremum için Yaklaşım Özelliği’nden (Teorem 1.3.5) s − ε < f(x0)≤ s olacak şekilde bir x0∈ (a, c) sayısı vardır. f fonksiyonunun artan olduğu göz önüne alındığında her x0< x < c için
s− ε < f(x0)≤ f(x) ≤ s
eşitsizliği gerçeklenir. Buna göre f(c−) limiti vardır ve f(c−) = s ≤ f(c) eşitsizliği gerçeklenir.
Örnek 3.3.14’den biliyoruz ki hiç bir yerde sürekli yani sayılamayan sonsuz noktada süreksizliği olan fonksiyonlar mevcuttur. Peki bir monoton fonksiyon kaç tane süreksizlik noktasına sahip olabilir?
Teorem 4.4.8. Eğer f fonksiyonu bir I aralığında monoton ise I üzerinde f fonksiyonunun en fazla sayılabilir sayıda süreksizlik noktası olabilir.
Örnek 4.4.9. Her x > 0 için 1 + x < ex olduğunu ispatlayınız. Kanıt. f(x) = ex
− x olsun. Her x > 0 için f′(x) = ex
− 1 > 0 olduğundan Te-orem 4.4.6 i) şıkkına göre f(x) fonksiyonu (0, ∞) aralığında kesinlikle artandır. Dolayısıyla her x > 0 için ex
− x = f(x) > f(0) = 1 gerçeklenir. Yani, x > 0 için ex> x + 1 gerçeklenir.
Teorem 4.4.10 (Türevler için Ara Değer Teoremi). f fonksiyonu f′(a)6= f′(b) olmak üzere [a, b] aralığında diferansiyellenebilir olsun. Eğer y0 sayısı f′(a) ile f′(b) arasında yer alıyor ise f′(x0) = y0 eşitliğini sağalayacak şekilde bir x0∈ (a, b) sayısı vardır.
Strateji: F (x) := f(x) − y0x olsun. Buna göre F′(x0) := f′(x0)− y0 = 0 eşitliğini sağlayacak şekilde bir x0 ∈ (a, b) sayısı bulmamız gerekir. Diferan-siyellenebilir bir F fonksiyonunun lokal ekstremumları F′ türevinin sıfıra eşit olduğu yerlerde bulunduğundan F fonksiyonunun bir x0 ∈ (a, b) noktasında lokal ekstremumu olduğunu göstermek yeter.
Kanıt. y0 değeri f′(a) ile f′(b) arasında yer alsın. Simetriden ötürü f′(a) < y0 < f′(b) olduğunu farz edebiliriz. Her x ∈ (a, b) için F (x) = f(x) − y0x olarak tanımlansın. Buna göre F fonksiyonu [a, b] aralığında diferansiyellene-bilirdir. Dolayısıyla, Ekstremum Değer Teoremi’ne (Teorem 3.3.8) göre [a, b] üzerinde F fonksiyonunun bir mutlak maksimum, F (x0) değeri vardır. Diğer taraftan F′(a) = f′(a)−y0< 0 olduğundan F fonksiyonu azalandır. Dolayısıyla yeterince küçük h > 0 için F (a + h) − F (a) < 0 yani F (a + h) < F (a) sağ-lanır. Bu ise bize F (a)’nın [a, b] üzerinde F fonksiyonunun mutlak minimumu olmadığını gösterir. Dolayısıyla mutlak minimum F (x0) değeri mutlaka (a, b) üzerinde olmalıdır. Yani F′(x0) = 0 olacak şekilde bir x0∈ (a, b) sayısı vardır. Bu ise isteneni ispatlar.