tanımı daha gelen durumlarda kullanılmak üzere genişletelim.
x → 1 iken f(x) := √x− 1 fonksiyonunun limiti nedir? Makul bir cevap limitin sıfır olduğu yönündedir. Fakat, bu fonksiyon a = 1 noktasını içeren bir AÇIK aralıkta tanımlı olmadığından Tanım 3.1.1’in koşullarını gerçeklemez. Aslında f fonksiyonu sadece x ≥ 1 için tanımlıdır. Bu tip problemlerle başa çıkmak için “tek-yönlü limitler” kavramı kullanılmaktadır.
Tanım 3.2.1. a ∈ R ve f reel değerli bir fonksiyon olsun.
i) x noktası a noktasına sağdan yaklaşırken f(x) fonksiyonunun L’ye ya-kınsıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart, f fonksiyonu sol uç-noktası a olan bir I açık aralığında tanımlı ve her ε > 0 sayısına karşılık
a + δ∈ I ve a < x < a + δ olduğu müddetçe |f(x) − L| < ε (3.2) eşitsizliğini sağlayan bir δ > 0 (bu sayı genellikle ε, f, I ve a niceliklerine bağlıdır) sayısının var olmasıdır. Bu durumda
f (a+) := L =: lim
x→a+f (x)
yazılır ve fonksiyonunun a noktasındaki sağdan-limiti L’dir şeklinde oku-nur.
ii) x noktası a noktasına soldan yaklaşırken f(x) fonksiyonunun L’ye ya-kınsıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart, f fonksiyonu sağ uç-noktası a olan bir I açık aralığında tanımlı ve her ε > 0 sayısına karşı-lık a − δ ∈ I ve a − δ < x < a olduğu müddetçe |f(x) − L| < ε eşitsizliğini sağlayan bir δ > 0 (bu sayı genellikle ε, f, I ve a niceliklerine bağlıdır) sayısının var olmasıdır. Bu durumda
f (a−) := L =: lim
x→a−f (x)
yazılır ve fonksiyonunun a noktasındaki soldan-limiti L’dir şeklinde oku-nur.
İki-yönlü limitler için bir önceki kısımda verilen tüm limit teoremlerinin tek-yönlü limit söz konusu olduğunda da doğruluğu kolayca gösterilir. Bu anlamda gerektiğinde söz konusu teoremleri tek-yönlü limitler için kullanma hakkına sahibiz.
Tek-yönlü limitlerin varlığı limit teoremlerinden veya doğrudan tanımı kul-lanılarak gösterilebilir. Örnek 3.2.2. i) a = 0 noktasında f (x) = x + 1 x≥ 0 x− 1 x < 0
şeklinde tanımlanan fonksiyonun tek-yönlü limitleri olduğunu fakat limx→0f (x) limitinin mevcut olmadığını gösteriniz.
ii) Aşağıdaki limitin varlığını ispatlayınız: lim
x→0+
√ x = 0.
Kanıt. i) ε > 0 ve δ = ε olsun. Eğer 0 < x < δ ise |x − 0| = |x| < δ ol-duğundan |f(x) − 1| = |x + 1 − 1| = |x| < δ = ε gerçeklenir. Buna göre limx→0+f (x) limit değeri vardır ve 1’e eşittir. Benzer şekilde −δ < x < 0 ise |f(x) − (−1)| = |x − 1 + 1| = |x| < δ = ε sağlandığından limx→0−f (x) limiti var ve −1’e eşittir. Bununla beraber n → ∞ iken xn = (−1)n/n→ 0 sağlanır, fakat f(xn) = (−1)n(1 + 1/n) yakınsak değildir. Dolayısıyla, Limitlerin Dizisel Karakteristiği’nden ötürü limx→0f (x) limiti mevcut değildir.
ii) ε > 0 ve δ = ε2 olsun. Eğer 0 < x < δ ise |f(x) − L| = |√x| = √x < √
δ = ε elde edilir. Bu ise limx→0+√x = 0 demektir.
Her fonksiyonun tek-yönlü limitleri var olmak zorunda değildir (bkz Alıştır-ma 3.1.9). AlıştırAlıştır-ma 3.2.2’de bir fonksiyonun tek yönlü limitleri olsa da iki-yönlü limitinin olmayabileceği gösterilmektedir. Bununla beraber, aşağıdaki sonuç bir a noktasında tek-yönlü limitler var ve birbirine EŞİT ise a noktasında fonksi-yonun iki-yönlü limitinin var olduğunu ortaya koymaktadır.
Teorem 3.2.3. f bir reel değerli fonksiyon olsun. Buna göre lim
x→af (x)
limitinin var ve L değerine eşit olması için gerek ve yeter şart L = lim
x→a+f (x) = lim
x→a−f (x) (3.3)
ifadesinin sağlanmasıdır.
Kanıt. x → a iken f(x) fonksiyonunun limiti var ve L olsun. Verilen bir ε > 0 sayısı için 0 < |x − a| < δ olduğu müddetçe |f(x) − L| < ε eşitsizliğini sağlayan bir δ > 0 sayısı seçilsin. Ayrıca a < x < a + δ ve a − δ < x < a eşitsizliklerini sağlayan her x değeri için a − δ < x < a + δ yani −δ < x − a < δ olduğundan 0 <|x − a| < δ gerçeklenir. Buna göre f(x) fonksiyonunun x → a iken sağdan ve soldan limitlerinin her ikiside vardır ve (3.3) ifadesi doğrudur.
Tersine (3.3) ifadesi doğru olsun ve bir ε > 0 sayısı verilsin. Buna göre a < x < a + δ1 (sırası ile, a − δ2 < x < a) olduğu müddetçe |f(x) − L| < ε eşitsizliğini sağlayan bir δ1 (sırası ile, δ2) sayısı vardır. δ = min{δ1, δ2} olsun. 0 <|x − a| < δ ise ya a < x < a + δ1ya da 1 − δ2< x < a (x noktasının a’nın sağında ya da solunda yer almasına bağlı) sağlanır. Dolayısıyla (3.1) ifadesi gerçeklenir. Yani, x → a iken f(x) → L’dir.
Reel değerli fonksiyonların limitleri kavramı genişletilmiş reel sayılara aşa-ğıdaki şekilde uygulanabilir.
Tanım 3.2.4. a, L ∈ R ve f reel değerli bir fonksiyon olsun.
i) x → ∞ iken f(x) fonksiyonu L değerine yakınsıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart (c, ∞) ⊂ Dom(f) içermesini sağlayan bir c > 0 sayısının ve verilen ε > 0 sayısına karşılık x > M olduğu müddetçe |f(x) − L| < ε eşitsizliğini gerçekleyecek şekilde bir M ∈ R sayısının var olmasıdır. Bu durumda
lim
x→∞f (x) = L veya x→ ∞ iken f(x) → L
yazılır. Benzer şekilde x → −∞ iken f(x) fonksiyonu L değerine yakın-sıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart (−∞, −c) ⊂ Dom(f) içermesini sağlayan bir c > 0 sayısının ve verilen ε > 0 sayısına karşılık x < M olduğu müddetçe|f(x) − L| < ε eşitsizliğini gerçekleyecek şekilde bir M ∈ R sayısının var olmasıdır. Bu durumda
lim
x→−∞f (x) = L veya x→ −∞ iken f(x) → L yazılır.
ii) x → a iken f(x) fonksiyonu ∞ değerine yakınsıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart I\{a} ⊂ Dom(f) içermesini sağlayan a noktasını da içeren bir I açık aralığının ve verilen M ∈ R sayısına karşılık 0 < |x − a| < δ olduğu müddetçe f(x) > M eşitsizliğini gerçekleyecek şekilde bir δ > 0 sayısının var olmasıdır. Bu durumda
lim
x→af (x) =∞ veya x → a iken f(x) → ∞ 78
yazılır. Benzer şekilde, x → a iken f(x) fonksiyonu −∞ değerine ya-kınsıyor olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart I\{a} ⊂ Dom(f) içermesini sağlayan a noktasını da içeren bir I açık aralığının ve verilen M ∈ R sayısına karşılık 0 < |x − a| < δ olduğu müddetçe f(x) < M eşitsizliğini gerçekleyecek şekilde bir δ > 0 sayısının var olmasıdır. Bu durumda
lim
x→af (x) =−∞ veya x → a iken f(x) → −∞ yazılır.
Tanım 3.2.4 kullanılarak x → a+ ve x → a− iken f(x) → ±∞ ve x → ±∞ iken f(x) → ±∞ limitleri de tanımlanabilir ki bu durumlar öğrenciye ödev olarak bırakılmıştır.
Örnek 3.2.5. i) x → ∞ iken 1/x → 0 olduğunu ispatlayınız. ii) limx→1−f (x) := limx→1− x + 2
2x2− 3x + 1=−∞ olduğunu ispatlayınız. Kanıt. i) ε > 0 verilsin ve M = 1/ε olsun. Eğer x > M ise |1/x| = 1/x < 1/M = ε sağlanır. Buna göre x→ ∞ iken 1/x → 0 gerçeklenir.
ii) M ∈ R olsun. Göstermemiz gereken 1’in civarında fakat solunda yer alan x değerleri için f (x) < M (M sayısının ne kadar büyük ve negatif olduğu-nun önemi olmaksızın) eşitsizliğinin sağlandığıdır. Genelliği bozmadan M < 0 olduğu kabul edilsin. x, 1’e soldan yaklaşırken 2x2
− 3x + 1 negatif değerler alır ve 0’a yakınsar (dikkat edilirse aslında 2x2
− 3x + 1 kolları yukarı doğru uzanmış x eksenin 1/2 ve 1 noktalarında kesen bir paraboldür). Buna göre 1− δ < x < 1 aralığındaki x değerleri için 2/M < 2x2
− 3x + 1 < 0 olacak şe-kilde bir δ ∈ (0, 1) sayısı seçilebilir. Dolayısıyla −1/(2x2
− 3x + 1) > −M/2 > 0 gerçeklenir. Diğer taraftan 0 < x < 1 olduğundan 2 < x + 2 < 3 sağlanır. Bu ise −(x + 2)/(2x2
− 3x + 1) > −M yani her 1 − δ < x < 1 için f (x) = x + 2
2x2− 3x + 1 < M sonucu elde edilir.
Tek-yönlü, çift-yönlü ve sonsuz limitleri tek türlü belirli bir şekilde göster-mek için aşağıdaki notasyonu tanımlayalım. a bir genişletilmiş reel sayı, I ya a noktasını içeren ya da bir uç noktası a olan dejenere olmayan bir açık aralık ve f muhtemelen a noktasında olmasa da I açık aralığı üzerinde tanımlanmış reel değerli bir fonksiyon olsun. Eğer a sonlu ve I aralığı a noktasını içeriyor ise
lim
x→a x∈I
f (x) (3.4)
noktasyonu limx→af (x) (limitin olması durumunda); eğer a değeri sonlu ve I aralığının sol uç noktası ise (3.4) notasyonu limx→a−f (x) (limitin olması durumunda); eğer a değeri sonlu ve I aralığının sağ uç noktası ise (3.4) notas-yonu limx→a+f (x) (limitin olması durumunda); eğer a =±∞ ve I aralığının bir uç noktası ise (3.4) notasyonu limx→±∞f (x) (limitin olması durumunda) limitlerini temsil edecektir.
Yukarıdaki şekilde tanımlanan notasyon kullanılarak Limitlerin Dizisel Ka-rakterizasyonu çift-yönlü, tek-yönlü ve sonsuz limitler için aşağıdaki şekilde verilir.
Teorem 3.2.6. a bir genişletilmiş reel sayı ve I ya a noktasını içeren ya da bir uç noktası a olan dejenere olmayan bir açık aralık ve f muhtemelen a nokta-sında olmasa da I açık aralığı üzerinde tanımlanmış reel değerli bir fonksiyon olsun. Buna göre
lim
x→a x∈I
f (x)
limitinin var ve L değerine eşit olması için gerek ve yeter şart xn6= a ve n → ∞ iken xn→ a olan her xn ∈ I dizisi için f(xn)→ L limitinin gerçeklenmesidir. Kanıt. Bu teoremin doğruluğu hali hazırda iki-yönlü limitler için gösterildi-ğinden (3.4) ifadesinin temsil ettiği diğer limit durumları için ispatı yapmak yeter. Tüm durumlara ait kanıtlar benzer tarzda hareket ederek ortaya koyu-labileceğinden biz sadece a noktasının I aralığına ait ve L = ∞ olması halini inceleyeceğiz. Gösterilmesi gereken x → a iken f(x) → ∞ limitinin gerçeklen-mesi için gerek ve yeter şartın her n ∈ N için xn 6= a ve a değerine yakınsayan tüm xn∈ I dizileri için f(xn)→ ∞ olduğudur.
x→ a iken f(x) → ∞ olsun. Eğer xn∈ I, n → ∞ iken xn→ a ve xn6= a ise verilen bir M ∈ R sayısına karşılık 0 < |x − a| < δ olduğu müddetçe f(x) > M eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir δ > 0 sayısı ve n ≥ N için |xn − a| < δ eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir n ∈ N sayısı vardır. Sonuç olarak, n ≥ N eşitsizliğini sağlayan xn terimleri için f(xn) > M gerçeklenir. Bu ise istenildiği gibi n → ∞ iken f(xn)→ ∞ olduğu anlamına gelir.
Tersine, xn 6= a olan ve a değerine yakınsayan tüm xn ∈ I dizileri için f (xn) → ∞ limiti sağlansın, fakat x → a iken f(x) fonksiyonu ∞ değerine yakınsamasın. ∞’a “yakınsamanın” tanımına göre her n ∈ N için f(xn)≤ M0
ve |xn− a| < 1/n eşitsizliklerini gerçekleyen M0∈ R ve xn∈ I sayıları vardır. Dolayısıyla, n → ∞ iken xn → a sağlanır fakat f(xn) fonksiyonu∞ değerine yakınsamaz. Bu ise a ∈ I ve L = ∞ durumunda Teorem 3.2.6’te elde edilen sonuç ile çelişir.
Teorem 3.2.6 kullanılarak Teorem 2.2.7 ve Sonuç 2.2.8 ile verilen limit te-oremlerinin fonksiyonlar için analogları ispatlanabilir. Bu limit teoremleri kul-lanılarak sonsuz limitler ve ±∞’da limitler hesaplanır.
Örnek 3.2.7. limx→∞2x2− 1
1− x2 =−2 olduğunu ispatlayınız.
Kanıt. Çarpımın limiti limitlerin çarpımı olduğundan her m ∈ N için Örnek 3.2.5 i)’ye göre x → ∞ iken 1/xm
→ 0 sağlanır. Yukarıda verilen ifadenin payı ve paydası 1/x2 ile çarpılırsa
lim x→∞ 2x2 − 1 1− x2 = lim x→∞ 2− 1/x2 −1 + 1/x2 = limx→∞(2− 1/x2) limx→∞(−1 + 1/x2)= 2 −1 =−2 elde edilir.
Alıştırmalar
3.2.1. Aşağıda verilen ifadelerin hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunu tespit ediniz. Doğru olanları ispatlayıp yanlış olanlara ise birer ters örnek veriniz.
a) Eğer x → ∞ iken f(x) → ∞ ve g(x) > 0 ise x → ∞ iken g(x)/f(x) → 0 sağlanır.
b) Eğer x → a+ iken f(x) → 0 ve her x ∈ R için g(x) ≥ 1 ise x → a+ iken g(x)/f (x)→ ∞ sağlanır.
c) Eğer x → ∞ iken f(x) → ∞ ise x → ∞ iken sin(x2+ x + 1)/f (x)→ 0 sağlanır. d) Eğer P derecesi Q’nün derecesine eşit ya da küçük iki polinom ise (bkz Alıştırma
3.2.4) lim x→∞ P (x) Q(x) = limx→−∞ P (x) Q(x) = L olacak şekilde bir L ∈ R sayısı vardır.
3.2.2. Aşağıda verilen ifadelerin her biri için tanımları kullanarak (limit teoremleri yerine) limitlerin varlığını ispatlayınız. Limit değerlerini belirleyiniz.
a) limx→0−√ x2/x b) limx→∞sin x/x2 c) limx→−1+1/(x2 − 1) d) limx→1+(x− 3)/(3 − x − 2x2) e) limx→−∞(cos(tan x))/(x + 1) 3.2.3. Her a ∈ R için x → a iken ex
→ ea, sin x → sin a ve cos x → cos a olduğunu kullanarak aşağıdaki limitleri eğer varsa hesaplayınız.
a) limx→2−(x3 − x2 − 4)/(x2 − 4) b) limx→∞(5x2+ 3x− 2)/(3x2 − 2x + 1) c) limx→−∞e−1/x2 d) limx→0+ex2 +2x−1/ sin x e) limx→0−sin(x + π/2)/√3 cos x− 1 f) limx→0+√ 1− cos x/ sin x 81
3.2.4. Her j = 0, 1, 2, · · · , n için aj∈ R ve an6= 0 olmak üzere P (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0
formundaki bir fonksiyona n. dereceden polinom adı verilir.
a) Eğer 00 = 1 ise her n = 0, 1,· · · ve a ∈ R için limx→axn = an olduğunu ispatlayınız.
b) Eğer P bir polinom ise her a ∈ R için lim
x→aP (x) = P (a) olduğunu ispatlayınız.
3.2.5. a∈ R olmak üzere f ve g reel değerli fonksiyonlar için aşağıdaki karşılaştırma teoremlerini ispatlayınız.
a) Eğer x → a iken g(x) → ∞ ve f(x) ≥ g(x) ise x → a iken f(x) → ∞ sağlanır. b) Eğer f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ve
L := lim
x→∞f (x) = lim
x→∞h(x) ise x → ∞ iken g(x) → L sağlanır.
3.2.6. Teorem 3.2.6’ün şu özel durumunu ispatlayınız: a ∈ R için f : [a, ∞) → R olsun. x → ∞ iken f(x) → L limitinin gerçeklenmesi için gerek ve yeter şart n → ∞ iken ∞ değerine yakınsayan her xn∈ (a, ∞) dizisi için f(xn)→ L olmasıdır. 3.2.7. f : [0, 1] → R ve her a ∈ [0, 1] için f(a) = limx→af (x) olsun. Buna göre her q ∈ Q ∩ [0, 1] için f(q) = 0 eşitliğinin sağlanması için gerek ve yeter şartın her x∈ [0, 1] için f(x) = 0 ifadesinin gerçeklenmesi olduğunu ispatlayınız.
3.2.8. P bir polinom ve bir a ∈ R sabiti için P (a) > 0 olsun. Buna göre x → a+ iken P (x)/(x − a) → ∞ ve x → a− iken P (x)/(x − a) → −∞ olduğunu fakat
lim
x→a
P (x) x− a limitinin var olmadığını ispatlayınız.
3.2.9. [Cauchy] f : N → R olsun. Eğer lim
n→∞f (n + 1)− f(n) = L
ise limn→∞f (n)/n limitinin var ve L değerine eşit olduğunu ispatlayınız.