2. BÖLÜM: BASEL SERMAYE UZLAŞISI ve FİNANSAL RİSK
2.3. FİNANSAL RİSK YÖNETİM TEKNİKLERİ ve RİSKE MARUZ
2.3.3. Finansal Risk Yönetiminde Riske Maruz Değer Yaklaşımı…
2.3.3.2. RmD Parametrelerinin Belirlenmesi
2.3.3.2.1. Oynaklık Öngörüleri
Eğer Pr(x fc)fPr(y fc)ise, x’in y’den daha fazla oynaklığa sahip olduğu söylenir. Piyasa koşullarına uygun oynaklık hesaplama metodu ve RmD modellerinin seçiminin etkin bir risk yönetimi için ön şart olduğu düşünüldüğünde, sağlıklı oynaklık öngörüleri, özellikle bankalar açısından, hayati öneme sahiptir. Başka bir deyişle, daha etkin ve sonuç verici RmD ölçümleri için oynaklık ve oynaklık öngörü modellerinin anlaşılması gerekmektedir. Bu açıdan, oynaklığın doğru seçilmesi, ki bu kovaryans matrislerinin de doğru seçilmesi anlamına gelmektedir, RmD hesaplama metodlarının etkinliğinin en önemli göstergesidir.
Özer ve Türkyılmaz (2004) zaman serilerinin, genellikle tek bir zaman serisi unsurunun etkisi altında olmayıp, düzensiz dalgalanmaların yanında diğer unsurların değişik bileşimlerinin, ya da tamamının etkisi altında olabileceğini bu sebeple en iyi tek bir öngörü modelinin mevcut olmadığını vurgulamaktadır. Çünkü, öngörü sürecinde
analiz edilecek en önemli problem, ilgilenilen zaman serisi verilerinin yapısını en sağlıklı şekilde açıklayan öngörü modelini bulmaya çalışmaktır.
Piyasa riskinin ölçülmesinde kullanılan bir çok RmD modelinde bir oynaklık parametresi yer almaktadır. Mazıbaş (2005a) Brooks (2002)’a atfen, ilgili yazınında önemli bir yere sahip olan oynaklık modellemesinde kullanılan metodların; “Tarihi, Zımnî (Implied), Üssel Ağırlıklı Hareketli Ortalama (EWMA-Exponentially Weighted Moving Average), Otoregresif ve Hareketli Ortalama (ARMA-Autoregressive Moving Average), Otoregresif Koşullu Değişen Varyans/Genelleştirilmiş Otoregresif Koşullu Değişen Varyans (ARCH / GARCH-Autoregressive / Generalised Autoregressive Conditional Heteroscedastic), ve Stokastik modeller” olmak üzere başlıca 6 grupta incelendiğini belirtmektedir.
Burada çalışmanın kapsamı gereği, oynaklık ölçümünde yaygın olarak kullanılan belli başlı dört model üzerinde durulacaktır.
2.3.3.2.1.1. Geçmiş Veriler Dayalı Oynaklık Öngörüleri
Yüzdelik metot olarak da bilinen Geçmiş Verilere Dayalı Oynaklık Metodu, getirilerin dağılımı hakkında herhangi bir varsayım içermeyen, kullanımı ve anlaşılması son derece basit ve oynaklığın tahmininde belli bir denklemin kullanılmasına bile gerek olmayan bir metotdur ve oynaklığa tıpkı, Geçmiş Verilere Dayalı Simülasyon Metodu’nda RmD değerinin bulunması ile aynı şekilde ulaşılır (Best, 1999).
“Doğru” oynaklığın sabit olduğu varsayıldığında ve uygunluk için ölçeklendirme faktörleri ihmal edildiğinde, aşağıdaki hareketli-ortalama tahminine ulaşılır (Dowd, 2002): ) 1 /( ) ( 2 1 _ 2 =
∑
− − = − n x x n i i t t σ (61)Bu hareketli-ortalama tahmini oynaklığın yansız bir tahminini sağlar. Günlük verilerle ilgilenilen durumlarda ortalama getiri çok düşük olacağından ölçme işleminde sıfır olarak ele alınabilir. Ortalamayı sıfır olarak almak tahminlerimizde belirgin olmayan bir fark oluşturur ve genellikle tahminlerimizin standart hatalarını azaltır.
Büyük örneklemelerle, paydada n-1 yerine n ile çalışmak daha yaygındır. Bu değişim kullanıldığında volatile denklemi,
∑
= − = n i t i t x n 1 2 2 / σ (62)şeklinde yazılabilir. Bu denklemlerden herbiri hakkında dikkate alınacak önemli nokta, –(61) veya (62)- son n’inci gözleme kadar tüm gözlemlere eşit ağırlık vermeleri ve diğer daha mesafeli gözlemlere ağırlık vermemeleridir.
2.3.3.2.1.2. Üssel Ağırlıklı Hareketli Ortalama (EWMA)
Oynaklık öngörülerinde geçmiş verilere eşit ağırlık verilerek modelleme yapmak, günlük oynaklıkların belirlenmesinin önemi gözönüne alındığında yetersiz hale gelmektedir. Geçmiş verilere, yakın dönemlere doğru gelindikçe daha çok önem verilmesine dayanan bir varyans modellemesi olarak Üssel Ağırlıklı Hareketli Ortalama (EWMA) modeli ortaya konmuştur (Candan ve Özün, 2006). Bu model, geçmiş günlerde oluşmuş oynaklığın bugünkü oynaklık üzerinde gittikçe azalan bir etkiye sahip olduğunu varsayar (Yıldırak, 2004). JP Morgan tarafından geliştirilerek, 1994 yılında karşılıksız olarak yatırımcıların kullanımına sunulan RiskMetrics RmD modelinde oynaklık öngörüsü için kullanılan popüler bir tekniktir (Altıntaş, 2006).
Dowd’a göre (2002) eşit ağırlıklı hareketli ortalama yöntemindeki bazı olumsuzlukları düzeltmek için, azalan ağırlıklı hareketli ortalama kullanılabilir. Bu şekilde daha yakın gözlemlere daha fazla ağırlık verilirken, daha uzaktakilere daha az ağırlık verebilir. Bu tip ağırlıklandırma da oynaklığın durağan bir şekilde zamana karşı değiştiği varsayılır. Bu durumda, oynaklık öngörü modeli aşağıdaki hale dönüşür:
∑
= − = n i i t i t x 1 2 2 α σ (63)Burada α ağırlıkları i büyüdükçe azalır, toplamları ise 1’dir. Bu duruma örnek i olarak ağırlıkların zamana karşı üssel olarak azaldığı üssel ağırlıklı hareketli ortalama
modelleri (EWMA) verilebilir. Bu modelde λ’nın 0 ile 1 arasında bir sabit, αi+1/αi =λ şeklindedir . αi+1/αi =λ ve toplamı 1 olan α terimleri ile oynaklık tahmin denklemi i aşağıdaki gibi yazılabilir:
∑
= − − − ≈ n i t i i t x 1 2 1 2 (1 λ) λ σ (64)Yaklaşık tahmin, n’in yeterince büyük olması şartıyla geçerlidir. Üssel hareketli ortalamalar yönteminde, herhangi bir gözlemin etkisi zamana karşı sabit bir oranda azalmaktadır. Sadece bir parametreye (λ) bağlı olduğundan da uygulanması basit olan bir yöntemdir59.
EWMA ayrıca, çok açık bir oynaklık güncelleme formülüne uzanır. Denklem (64) bir adım geri alınır ve her iki tarafı λ ile çarpılırsa, aşağıdaki denklemi elde edilir:
∑
∑
= −− − − = − − ≈ − = − n i i t i i t n i i t x x 1 2 1 2 1 1 1 2 1 λ(1 λ) λ (1 λ) λ λσ (65)Denklem (65)’den Denklem (64) çıkartılırak yeniden düzenlenirse:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = − +(1− ) − −(1− ) n t−n− ≈ t− +(1− ) t− t t t λσ λ x λ λ x λσ λ x σ (66)
denklemine ulaşılır. Bu formül, t−1’inci gün sonunda t,σt gününe ait yapılan oynaklık öngörüsünün, σ bir önceki günün oynaklık öngörüsünden ve bir önceki günün getirisi t−1 olan xt−1 hesaplanabileceğini gösterir. EWMA kuralı, Denklem (66) böylelikle, en son günlük getiri esas alınarak her gün günlük oynaklık öngörüsünün güncellenmesine izin veren basit bir güncelleme kuralı olarak açıklanabilir. Yüksek bir λ, ağırlığın yavaşca, düşük bir λ, hızla azaldığı anlamına gelir. Değerin eldeki verilerle sık sık tayin edilebilmesi gerekir.
59Denklemde λ (Lambda) “decay (düşüş, eksilme) faktör” olarak adlandırılan ve oynaklık hesaplamalarında fiyat değişimleri serisinin son elemanlarına ne kadar ağırlık verileceğini belirleyen bir değerdir. RiskMetrics, λ değeri olarak fiyat değişim serileri için günlük %94, aylık %97 ağırlığını kullanmaktadır. λ ve (1- λ) değerleri toplamı, doğal olarak 1’e eşittir. λ değerinin 1’e yaklaşması geçmiş oynaklık bilgisine aksi ise, güncel piyasa hareketlerine daha fazla ağırlık verildiği anlamına gelir.
2.3.3.2.1.3. ARCH/GARCH Modelleri
ARCH ve GARCH tipi modeller ve türevleri esas itibariyle, zamana bağlı olarak, oynaklık akışlarının izlediği yolları saptamak amacıyla özellikle, finansal çalışmalarda kullanılan öngörü modelleridir60.
ARCH modelleri, doğrusal ve doğrusal olmayan bölümler olarak başlıca iki kısımda ele alınmaktadır (Mazıbaş, 2005a):
t t t t t x x x R =β1 +β2 2 +β3 3 +β4 4 +ε (0, 2) t t N σ ε ∼ (67) 2 2 2 2 2 1 1 0 2 t t ... q t q t =α +α ε − +α ε − + +α ε − σ (68)
Doğrusal bölüm, bağımlı değişken Rt’nin zaman içindeki değişimini gösteren koşullu ortalama denklemidir (67). Doğrusal olmayan bölüm ise, bağımlı değişken olan koşullu varyans 2
t
σ ile hata teriminin gecikmeli değerlerinin ilişkisini gösteren koşullu varyans denklemidir (68). Denklem (68)’de yer alan ARCH modeli gecikme değeri q’nun aldığı değer ile ARCH (1), ARCH (2) gibi adlandırılmaktadır.
Özer ve Türkyılmaz (2004), ARCH modelinin uygulanmasında, koşullu varyans denklemindeki parametrelere bazı kısıtlamalar getirildiğini, bu kısıtlamaların nisbî olarak uzun gecikmeler kullanılmak istenmesi ve modelde sabit gecikme yapısının önerilmesinden kaynaklandığını, bu ve negatif varyanslı parametre tahminlerine ulaşılması sakıncasını ortadan kaldırmak amacıyla, modelin genişletilmiş halini ifade eden ve daha fazla geçmiş bilgiye dayanan esnek bir gecikme yapısına sahip GARCH modelinin geliştirildiğini belirtmektedir.
60Temel ARCH modeli ilk olarak Engle (1982) tarafından ve GARCH genelleştirmesi Bollerslev (1986) tarafından öne sürülmüştür. Bunlar daha sonra, sadece en telaffuz edilebilir olanları adlandırmak üzere AGARCH, EGARCH, IGARCH, MARCH, NARCH, QTARCH, SPARCH, STARCH, SWARCH ve TARCH modellerini de kapsayan büyük bir GARCH-tipi modeller ailesine yol açmıştır. bk. Dowd (2002) age., ss. 246-248; Fabozzi, F.J., Focardi, S.M. ve.Kolm, P.N. (2006) “Financial Modeling of the Equity Market”, The Frank J. Fabozzi Series, Wiley Finance: New Jersey, ss. 402-404.
Fazla basıklığın ve oynaklık kümelenmelerinin gözlemlendiği piyasa verilerinde GARCH metodolojisi, finansal araçların oynaklık hesaplamalarında sıkça kullanılmaktadır (Uzunoğlu vd., 2005). Dowd’a göre (2002) getiri verilerinin gelenekselleşmiş olgularından oynaklık kümelenmesi ve leptokurtosis için GARCH modellerinin her ikisinin de kolaylıkla yer verdiğini vurgulamaktadır. Gerçekte, GARCH modelleri oynaklık kümelenmesi için oldukça uygundur ve bu kümelenme, değişimler (random shocks-hata terimi) normal olarak dağılmış olsa da, normal kuyruklardan daha kalın getiriler üretir. Temel GARCH (p,q) modeli, oynaklığın q adet geçmiş oynaklık ve p adet geçmiş getiriye bağlı olduğunu varsayar:
2 2 1 1 2 2 1 1 2 t ... p t p t ... q t q t =ω+aε − + +a ε − +βσ − + +β σ − σ 0 ,..., , ,..., , 0α1 αp β1 βq ≥ ω f (69)
Burada parametre değerlerindeki kısıtlar, koşullu sapmanın daima pozitif olmasının sağlanılması için gereklidir. Böylelikle GARCH modelleri, EWMA modellerine nazaran, mevcut oynaklığın bir veya daha fazla geçmiş oynaklığa ve getiriye, daha genel bir yolla bağlı olduğunu varsayar. GARCH modelleri, kullanılan geçmiş terimlerin sayısıyla çeşitlilik gösterir ve bu terimler hasislik ilkesine (principle of parsimony) göre, bir başka deyişle, verilere kabul edilebilir şekilde uyan en düşüğe göre seçilmelidir. GARCH modelleri ayrıca hata terimi olan ε ‘i etkileyen dağılıma t göre de ayrılır. Bu dağılım, tipik olarak koşullu normaldir ve koşullu normallik getirilerilerde, gözlemlenen getirilerin genellikle aşırı basıklık gösterdiği geleneksel gerçeğiyle uyumlu olarak, normal basıklıktan daha fazla olan sivrilik (leptokurtosis) üretir. Altıntaş (2006) GARCH ve varyasyonlarının kullanımında, uygulanmasındaki zorlukların yanında, sağlıklı öngörü için çok uzun tarihsel gözleme ihtiyaç duyulması, model parametrelerinin tahmin edildiği dönemin dışına çıkıldığında istikrar ve güvenilirliğin düşmesi gibi nedenlerden dolayı dikkatli olunmasını tavsiye etmektedir.
2.3.3.2.1.4. Zımnî Oynaklıklar
Oynaklık öngörülerine çok farklı bir yaklaşım, opsiyon fiyatlarında zımnî oynaklıkları kullanmaktır (Dowd, 2002). Altıntaş (2006) bu farkı, genel olarak oynaklık ölçüm metodları, geçmiş verilerle yaşanan andaki oynaklığın öngörülmesine
yönelikken, zımnî oynaklığın yatırımcıların belli bir zaman dilimindeki geleceğe ilişkin oynaklık beklentilerinin cari piyasa fiyatlarının analizi suretiyle ortaya konulması esasına dayandığını belirterek açıklamaktadır.
Örneğin, standart Avrupa Black-Scholes alım opsiyonlarının fiyatları hakkında verilere sahip olunduğu varsayılsın. Çeşitli Black-Scholes koşullarının gerçekleştiğini yani, söz konusu sürecin Geometrik Brownian Hareketi’ni izlediğini, temettü ödenmediği ve benzerlerinin gerçekleştiğini farzedilsin. Bu durumda temel Black-Scholes Teorisi, bu opsiyon fiyatının (C) 70’nolu eşitlikteki gibi olması gerektiğini gösterir: ) ( ) ( 1 1 0N d Ke N d t S C = − −rT −σ (70)
Burada, çalışmanın önceki bölümlerinde de ifade edildiği gibi, S geçerli hisse senedi fiyatı, K kullanım fiyatı, r risksiz faiz oranı, t opsiyonun vadeye yıl olarak kalan süresi, σ dayanak varlığın oynaklığı,
[
ln( / ) ( 2 /2)]
/( )1 S K r t t
d = + +σ σ ve N(·)
toplam standart normal dağılımının toplam değeridir. Burada oynaklık dışındaki tüm değişkenler bilinmekte, bu durumda model doğruysa, gösterdiği oynaklığı bulmak için yukarıdaki denklem kullanılabilmelidir. (Dowd, 2002). Bu açıdan, opsion fiyatlarının analizi ile ölçülebilen zımnî oynaklık, yatırımcıların opsiyona konu dayanak varlığın fiyatı ile ilgili geleceğe dair oynaklık beklentilerinin bir yansımasıdır.