Betimleyici İstatistik ve İlişki Tahminleri

Yatırımın ödülü olarak elde edilen getiri oranı (verim), tek bir elde tutma dönemi için ölçülebileceği gibi, birden çok dönem için de ölçülebilir. Tek bir döneme ait getiri oranının hesaplanması, yatırımcının servetindeki artış hızını göstermesi bakımından önemlidir. Bu oran, temel olarak yatırımın dönem sonundaki değeri ile dönem başındaki değeri arasındaki farkın yine dönem başındaki değerine yani, başlangıç yatırım tutarına oranlanması ile bulunur (Konuralp, 2005):

R= (Dönem sonundaki değer – Dönem başındaki değer)/Dönem başındaki değer (5)

Hisse senedi ve tahvil gibi finansal varlık yatırımlarında yatırımcılar temelde iki çeşit getiri elde ederler. Birincisi, söz konusu finansal varlığın piyasa fiyatındaki artıştan kaynaklanan ve sermaye kazancı olarak adlandırılan getiri, ikincisi ise, hisse senedi için temettü, tahvil gibi sabit getirili borçlanma araçları için faiz ödemelerinde oluşan getiridir.

Yukarıda genel şekli ile verilen formül bu iki tür getiriyi içerecek şekilde (R_t)

elde tutma dönemindeki getiri oranı, (P_t) elde tutma dönemi sonundaki piyasa fiyatı, (P_t−1) elde tutma dönemi başındaki piyasa fiyatı ve (C_t) elde tutma döneminde temettü, ya da faiz gibi nakit olarak elde edilen tutar olmak üzere tekrar yazılacak olursa, yatırımcının oluşturduğu portföyün getirisi (Fabozzi ve Modigliani, 2003; Konuralp, 2005): 1 1) / ( − ₋ + ₋ = _{t t t t} t P P C P R (6) olur.

Bir yatırım birden fazla dönem için elde tutulursa, birbirini izleyen getiri oranlarının ortalamalarının nasıl hesaplandığını bilmek gerekir. Bu konuda iki tür ortalama kullanılır. Bunlar; aritmetik ve geometrik ortalamalardır. Ayrıca bazen medyan (ortanca) da hesaplanır (Tevfik ve Tevfik, 1996). Aritmetik ortalama, birbirini takip eden getiri oranlarının basit aritmetik ortalaması alınarak aşağıdaki gibi hesaplanır (Melicher vd., 2007):

R ⁿ

[ ]

R n t t / 1 _

∑

= = (7) Burada; t

R = t dönemi boyunca her bir elde tutma döneminin getirisini, n = zaman dönemi sayısını ifade etmektedir.

Serideki aşırı değerlerden aritmetik ortalama kadar etkilenmemesi geometrik ortalamanın önemli bir avantajıdır (Köksal, 1995). Bu açıdan, çok dönemli getirilerin ortalamasını hesaplamada daha doğru bir ölçüdür (Konuralp, 2005):

) 1 ( 1 1 _ t n n t t R R

∏

= + = + (8)

Diğer taraftan, serideki bütün değerleri küçükten büyüğe, ya da büyükten küçüğe sıralayarak bir dizi oluşturursak serinin tam ortasındaki değer medyan olarak tanımlanmaktadır. Özellikle çok büyük ve çok küçük değerlerin de bulunduğu serilerde aritmetik ortalamaya kıyasla, medyan seriyi daha iyi temsil edebilmektedir (Köksal, 1995). Örneklem içinde uç değerlerden etkilenmeyen merkezi eğilim ölçülerinden biridir ve şu şekilde hesaplanır (Black, 2006):

Medyan Sıra No= (n+1)/2 (9)

Risk koşulları altında yatırımcılar, yatırımlarının çeşitli getiriler getirebileceğini bilir ve her muhtemel getiri ile bu getirinin gerçekleşme olasılığı arasında bir tahmin yaparlar. Bu olasılıklar, geçmiş verilere dayanılarak nisbî sıklık dağılımı (relative frequency distributions) şeklinde çıkarılabileceği gibi, tamamen yatırımcının ya da finansal analizcinin geleceğe ait tahminleri şeklinde öznel olarak da verilebilir. Getirilerin olasılık dağılımı bir yatırımın toplam riskini temsil eder. Dağılım ne denli geniş ve dağınık ise, yatırım o kadar risklidir.

Herhangi bir menkul kıymetin beklenen getirisi, olası getirilerin ağırlıklı ortalaması şeklinde hesaplanmaktadır. Ortalama hesabında ağırlık olarak getirilere ait

olasılıklar kullanılır. Buna göre beklenen getiri (R ), şu şekilde hesaplanır (Konuralp, ^_ 2005): N NR P R P R P R P R^_ = _{1 1} + _{2 2} + _{3 3} +... + (10)

∑

= = ^N t t tR P R 1 _ Burada; t

P = N durumunda getiri oranının bağlı olduğu olasılığı,

t

R = N durumuna ait getiri oranını,

N = Olasılıkları verilmiş farklı durum sayısını temsil etmektedir.

Yatırımcılar, karar verirken, yalnızca tek başına beklenen getiriye bakarak karar veremezler. Örneğin, iki farklı finansal varlığın her birisinden aynı getiriyi bekleyen yatırımcının, tercihini beklenen getiriye göre yapması mümkün değildir. Bu nedenle, varlıkların riskinin hesaplanması gerekir.

Muhtemel getirilerden oluşan bir olasılık dağılımının dağınıklığını ölçen ilk ve en basit istatistiksel ölçü, getirilerin değişim aralığı (range) dır. Değişim aralığı, bir veri setinin en düşük ve en yüksek değerleri arasındaki farktır (Mann, 2007). Örneğin, yapılacak bir yatırım sonucunda elde edilebilecek en kötü sonuç %10 kayıp, en iyi sonuç %30 kazanç ise, aralık %40 olarak hesaplanacaktır. Burada, geleceğe yönelik iyimser ve kötümser tahminler arasındaki fark dikkate alınmakta, geçmişe ilişkin bilgilerin mevcut olması ve geleceğe yönelik tahminlerde bu verilerden yararlanılabileceğinin düşünülmesi halinde değişim aralığı; gözlemlenmiş en düşük sonuç ile en yüksek sonuç arasındaki fark olarak tanımlanabilecektir. Değişim aralığı ölçüsü, geçmişte elde edilmiş olan uç değerlere karşı çok hassastır. Bu sebeple uç değerlerden daha az etkilenecek bir ölçü kartillerarası farktır (Bolak, 2004). Bir veriler kümesinin kartil sapması, Q₁ ve Q₃ veriler için, birinci ve üçüncü kartiller olmak üzere,

2 / ) (Q₃ Q₁ Fark rası Kartillera = − (11) şeklinde tanımlanır.

Olası getirilerin, beklenen getiriden sapmasının ölçüsü olarak kullanılan en geçerli istatistiksel ölçü varyans, ya da varyansın karekökü standart sapmadır. Varyans, serideki elemanların aritmetik ortalamadan sapmalarının karesinin toplamının örnek sayısının bir eksiğine bölünmesi suretiyle hesaplanır (Melicher vd., 2007):

∑

= − − = ⁿ t t R n R 1 2 2 ( ) /( 1) σ (12)

Oynaklık olarak da adlandırılan standart sapma, varyansın kareköküne eşittir:

2

σ

σ = (13)

Yorumlama açısından bakıldığında, standart sapmanın küçük olması; ortalamadan sapmaların ve riskin düşük olduğunun bir göstergesidir. Örneğin; spot döviz piyasalarında fiyatlar durgun bir seyir izlerken standart sapma düşük çıkmakta, fiyatlar dalgalanmaya başladığında sapma büyümektedir. Yine, örneğin bir hisse senedinin standart sapmasının yüksek olması, söz konusu menkul kıymet fiyatının ortalamadan fazla saptığını ve riskli olduğunu gösterirken, tam tersi standart sapmasının düşük olması, o menkul kıymete ait fiyatın, standart sapmasının hesaplandığı dönemde, ortalamadan fazla uzaklaşmadığını, diğer bir ifadeyle, menkul kıymetin söz konusu dönem içinde düzgün bir seyir izlediğini gösterir.

Standart sapmayı oynaklık ölçüsü olarak kullanmak, zımnî olarak fiyattaki değişmelerin, ya da getirilerin normal dağılıma sahip olduğunu ileri sürmektedir. Her ne kadar, olasılık dağılımlarında görüleceği gibi, getirilerin dağılımının kalın kuyruk (fat tail) ve çarpıklığa (skewness) sahip olduğu bir gerçek ise de, bu yöntemle oynaklık ve RmD hesaplaması bir referans (benchmark) oluşturmaktadır (Şahin, 2004; Dowd, 2002). Öte yandan standart sapma, yalnızca mutlak bir risk ölçüsü olup, beklenen getirilere göre sonuçların riskini göstermediği için risk karşılaştırmaları kullanımında yanıltıcı olabilir. Farklı beklenen getirileri olan menkul kıymetleri karşılaştırmak için genellikle değişim katsayısı (coefficient of variation) adı verilen bir ölçü kullanılır ve söz konusu menkul kıymetin standart sapması(σ) beklenen getirisine (R bölünerek ^_) hesaplanır (Sarıkamış, 1995; Van Horne ve Wachowicz, 2005):

_

/ R

CV =σ (14)

İki, ya da daha fazla menkul kıymet söz konusu olduğunda risk, kovaryans (covariance) ile ifade edilir. (Van Horne ve Wachowicz, 2005). Kovaryans, birlikte hareket eden herhangi bir tesadüfi değişkenler grubunun eğilimini, diğer bir ifadeyle, iki tesadüfi değişken arasındaki bağlantıyı ölçer ve negatif veya pozitif bir değer olabilir. Kovaryans katsayısının sıfır, ya da sıfıra yakın bir değerde olması menkul kıymetler arasında doğrusal bir ilişkinin bulunmadığını gösterir. Örneğin finansda, faiz oranları beklenmeyen bir şekilde yükseldiğinde hisse senedi endeksi düşme eğilimindedir. Bu negatif kovaryansı olan iki değişkene bir örnektir (Kolb ve Rodriguez, 1996). Geçmiş veriler kullanılarak hesaplanan kovaryans, getirilerdeki sapmaların çarpımları toplamının (N-1) ile bölünmesiyle hesaplanır:

[

( ( ).( ( )

]

/ 1 1 , =

∑

− − − = N R E R R E R COV ^N j k kj i ij R Ri k (15)

Kovaryansın iki önemli sakıncası vardır. Birincisi; kovaryansın sınırları yoktur ve büyük, ya da küçük herhangi bir sayı olabilir. İkincisi; kovaryansın sayısal değeri tesadüfü değişkenleri ölçmek için kullanılan birimlerin sayısına dayanır. Bu sorunlar farklı kovaryansların kıyaslanmalarını güçleştirir. Bu nedenle, portföye dahil edilecek menkul kıymetlerin getirileri arasındaki ilişkinin yönünün belirlenmesinde kullanılan ölçütlerden biri de korelasyon katsayısı (correlation coefficent)dır (Kolb ve Rodriguez, 1996). Hisse senetlerinin getirileri arasındaki ilişkinin derecesini ölçmekte kullanılan korelasyon katsayısı, kovaryansın, iki menkul kıymetin standart sapmalarının çarpımına bölünmesiyle bulunur (Sharpe, 1988):

k i R R k i COV _{i k} σ σ ρ _, = _, / . (16)

Kovaryans değeri, + ile ∞∞ − arasında bir değer alırken, korelasyon katsayısı her zaman +1 ile -1 arasında bir değerdir. Korelasyon katsayısının (+1) veya yakın bir değer olması pozitif tam korelasyon olarak ifade edilir. Bir portföydeki varlık getirileri aynı yönde ve aynı derecede artıyorsa, pozitif tam korelasyondan söz edilebilir. Korelasyon katsayısının (-1) olması, portföy riskinin de sıfır olduğu anlamındadır ve risk azalırken portföy getirisi artmaktadır. Finansal varlık getirileri arasında herhangi bir

ilişki mevcut değilse, getiriler birbirinden bağımsız ve korelasyon katsayısı sıfır, ya da sıfıra yakın bir değer almaktadır.

Finansal varlıkları değerlemede yatırımcı, sistematik ve sistematik olmayan risklerin altında yatırım yapar. Çalışmanın birinci bölümünde değinildiği gibi, finansal varlık portföyünde çeşitlendirme yapılarak sistematik olmayan risk azaltılabilir hatta ortadan kaldırabilir (Grafik 2.4).

Grafik 2.4. Toplam Riskin Bileşenleri

Bu durumda, iyi çeşitlendirilmiş bir portföyde, yatırımcı tek bir risk ile karşı karşıya kalmaktadır ki, bu da piyasanın yapısından kaynaklanan sistematik risktir. Saunders ve Cornett (2006) ve Gitman (2006), her hangi bir menkul kıymet için sistematik ve sistematik olmayan riski; yatırım yapılan menkul kıymetin toplam riski

) ( 2

p

R

σ ; menkul kıymetin piyasa riskine karşı duyarlılığı ( 2 i

β ), piyasa portföyünün oynaklığı ( 2 )

M

R

σ ve sistematik olmayan risk ( 2 p

e

σ ) olmak üzere şu şekilde ifade etmişlerdir:

Toplam risk (portföy varyansı) = Sistematik risk + Sistematik olmayan risk (17)

) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 p M p i R e R β σ σ σ = + şeklinde gösterilebilir.

Menkul kıymetlerin sistematik risk unsurlarına tepkisini gösteren ve sistematik risk ölçüsü olarak adlandırılan beta (β) katsayısı (beta coefficient), özellikle portföy

analizinde büyük önem taşımaktadır. Çünkü, yatırımcılar daha ziyade menkul kıymetler özellikle de hisse senedi analizleri yaparken, her bir hisse senedinin kendine özgü, yani piyasadan bağımsız koşulları yanında, portföyün verimi açısından, piyasa ile olan bağımlılık derecelerini de incelemelidirler. Bu açıdan beta katsayısı, incelenen menkul kıymetin fiyat hareketleri ile genellikle borsa endeksi gibi seçilmiş bir piyasa göstergesinin değişimi arasındaki ilişkiyi ortaya koyar ve aşağıdaki formül aracılığı ile hesaplanabilir (Sarıkamış, 1995; Lumby ve Jones, 2005):

2 ,_M / _M

j

j COV σ

β = (18)

Burada, j hisse senedi ve piyasa portföyü (borsa endeksi) (M) arasındaki kovaryansın, piyasa portföyü varyansına ( 2

M

σ ) oranı beta katsayısını vermektedir. Bir varlığın betası COV_j,M =σ_jσ_Mρ_j,M eşitliğine dayanılarak alternatif bir biçimde de ifade edilebilir;

β_j =σ_jρ_j,M /σ_M (19)

Piyasa portföyü varyansı ( 2 M

σ ), bunu oluşturan münferit menkul kıymetlerin betalarının ağırlıklı ortalaması olduğundan aşağıdaki gibi yazılabilir (Kolb ve Rodriguez, 1996);

[

_{N N}

]

M

M σ wβ w β w β

σ2 = 2 _{1 1}+ _{2 2} +...+ (20)

Yukarıdaki eşitliğin doğrudan bir sonucu piyasa portföyündeki bütün betaların ağırlıklı ortalamasının 1’e eşit olduğudur:

1 1 =

∑

= N i ^{j j} w β (21)

Piyasa porföyünün betası (β_M)’nın 1’e eşit olması diğer menkul kıymetlerin, ya da portföylerin ölçülebilmesi için bir standart sağlar. 1β f ’e sahip bir menkul kıymet veya portföy, piyasa portföyünden daha büyük riski olduğu için agresif; β p1’e sahip

bir menkul kıymet veya portföy ise, piyasa portföyünden daha düşük bir riske maruz olduğundan defansiftir. Beta katsayısı negatif olan varlıklar piyasayla ters yönde ilişki gösterirler ve piyasa portföyünün değeri artarken bu varlıkların değeri düşer, piyasa portföyünün değeri düşerken bu varlıkların değeri artar.

Belgede İŞ-DR-2007-0002 TİCARÎ BANKALARDA RİSK YÖNETİMİ ve MONTE CARLO VaR SİMÜLASYON YÖNTEMİYLE PORTFÖY RİSKİNİN HESAPLANMASI (sayfa 150-157)