Bilim ve Sanat Merkezlerinde Öğrenim Gören Ortaokul Öğrencilerinin Üçgen Eşitsizliğini Kavramalarına Yönelik Bir Ders Araştırması Süreci

Bilim ve Sanat Merkezlerinde Öğrenim Gören Ortaokul Öğrencilerinin

Avcı, Esat & Su, Gülcihan & Kılıç, Samet & Ergin Aydemir, Seyran; Bilim ve Sanat Merkezlerinde Öğrenim Gören Ortaokul Öğrencilerinin Üçgen Eşitsizliğini Kavramalarına Yönelik Bir Ders Araştırması Süreci

80 NCTM standartlarına göre, öğrenciler, geometri dersinde, geometrik şekil ve yapıların özelliklerini ve birbirleriyle olan ilişkilerini öğrenirler. Buna bağlı olarak bir geometrik şekli iki veya üç boyutlu uzayda zihinden yapılandırabilme ve farklı yönlerden bakabilme geometrik düşünmenin önemli bileşenlerinden biridir. Aynı zamanda geometri, öğrencilerin, akıl yürütmeyi öğrendikleri ve akıl yürütme becerilerinin gelişmesi için tanım ve gerçeklerden ispat yaptıkları bir alandır (Ersoy, 2003).

Geometri eğitiminde kavramların doğru şekilde yapılandırılmaması öğrencilerde kavram yanılgılarına neden olmaktadır. Öğretmenlerin kullandığı metafor ve analojiler, öğretim modelleri, öğretim modellerinin uygulanış biçimi, konu ve kavramları içeren ders kitapları ve bu konuların programlarda ele alınış biçimleri (Özmantar ve Bingölbali, 2009), mantıksal çıkarım düzeyinde açıklanan geometrik ispatları yaparken aksiyomatik yapıyı ve geometrik şekillerdeki özellikleri uygun biçimde kullanmamaları (İç ve Demirkol, 2008) kavram yanılgılarının nedenleri arasında gösterilebilir.

Öğrencilerin, küçük yaşlardan itibaren karşılaştıkları geometrik kavramlardan biri de üçgen kavramıdır. Bu durum, öğrencilerde üçgen ile ilgili genel bir şekil algısı oluşturmaktadır. Bu algı üçgenlere yönelik kavramlarda öğrencilerin zorluk yaşamasına neden olmaktadır. Öğrencilerin sahip oldukları üçgenin görüntüsü yatay bir tabana oturmakta ve bu durum öğrencilerin farklı üçgen türleri oluştururken zorluk yaşamalarına neden olmaktadır (Türnüklü, 2009). Öğrencilerin bu şekle sadık kalma eğilimleri, üçgen kavramında karşılarına çıkan üçgen eşitsizliği kavramı ve öğretiminde de zorluk yaşamalarının nedenlerinden biri olarak söylenebilir (Türnüklü, 2009).

Üçgen eşitsizliği kavramı, farklı araştırmacılar tarafından ele alınan ve üzerinde durulan bir kavram olarak karşımıza çıkmaktadır. Üçgen eşitsizliği kavramına yönelik, metrik yakınlığın ele alındığı (Dhillon, Sra ve Tropp, 2008), ispata dayalı yöntemlerin izlendiği (Saito, An, Mizuguchi ve Mitani, 2011; Sano, Izumida, Mitani, Ohwada ve Saito, 2014), iyileştirilmiş kestirimlerde bulunmaya yönelik (Minculete ve Paltanea, 2017) teorik çalışmaların yanında, sekizinci sınıf öğrencileri ile dört farklı yöntemle çalışılan (Smith, Shin, Kim ve Zawodniak, 2018) uygulamalı araştırmalar da bulunmaktadır.

Ülkemizde de üçgen eşitsizliği kavramına yönelik araştırmalar bulunmaktadır. Bu araştırmalar, sekizinci sınıf öğrencilerinden bazılarının, üçgen oluşumunun şartlarını ortaya koyma noktasında akıl yürütme düzeylerinin düşük kaldığını (Cantürk Günhan, 2014), üçgen eşitsizliği konusunda kavram yanılgılarına sahip olduklarını (Kaya, 2018), üçgenleri kavrama ile ilgili bazı öğrenci davranışlarının üçgen eşitsizliğini oluşturmada sorunlara yol açtığını (Türnüklü, 2009), öğrencilerin kağıt-kalem ortamında yorumlayamadıkları bazı durumları dinamik geometri yazılımları ile anlayabildiklerini ancak açıklayamadıklarını (Şengün, 2017) söylemektedir.

Türkiye’de örgün eğitim içinde yer alan eğitim kurumlardan biri bilim ve sanat merkezleridir.

Bilim ve sanat merkezleri özel yetenekli öğrencilerin okullarında gördükleri eğitime ek olarak yeteneklerinin desteklenmesi konusunda eğitim öğretim faaliyetleri yürüten kamu kurumlarıdır.

Genel yetenek, resim veya müzik alanlarında tanılaması yapılan öğrenciler bu kurumlara devam edebilmektedir. Özel yetenekli öğrenciler birçok açıdan akranlarına göre farklılık göstermektedir.

Öğrenciler genel olarak; özel akademik yeteneğe sahip, soyut fikirleri daha kolay anlayabilen, analiz ve sentez yetenekleri daha güçlü bireyler olarak görülmektedir (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2022).

Bu yönüyle özel yetenekli öğrenciler için uygulanan öğretim programlarının zenginleştirilmiş olması gerekmektedir. Bilim ve sanat merkezlerinde matematik alanında uygulanan öğretim programı incelendiğinde genel matematik öğretim programına benzer ve farklı yanlarının olduğu göze çarpmaktadır.

Genel matematik dersi öğretim programında ulaşılması beklenen genel amaçlar:

● Matematiksel okuryazarlık becerilerini geliştirebilmek, matematiksel kavramları ve matematik dilini doğru bir şekilde kullanabilmesini sağlamak,

● Matematik dilini kullanırken etrafındaki insanların ve nesnelerin birbirleriyle olan ilişkilerini anlamlandırabilmek,

● Problem çözme süreçlerinde kendini fikirlerini ve düşünme stratejilerini rahatlıkla ifade edebilmek,

● Üst düzey akıl yürütme ve düşünme becerilerini geliştirmek ve kendi öğrenme süreçlerini doğru bir şekilde anlamlandırabilmek,

● Zihinden işlem yapma ve tahmin etme becerilerinin gelişimine katkı sağlamak,

● Matematiğin sanat ve estetikle olan ilişkisini fark etmesini ve matematiğin insanlığın ortak bir değeri olduğunu fark etmesini sağlamak şeklinde ifade edilebilir (MEB, 2018).

Benzer şekilde Bilim ve Sanat Merkezi Matematik Dersi Öğretim Programı incelendiğinde problem kurma ve çözme, tahminde bulunma, ilişkilendirme, üst düzey akıl yürütme, eleştirel ve yaratıcı düşünme gibi ortak becerilerin olduğu amaçlar göze çarpmaktadır (MEB, 2021). Öte yandan bilim ve sanat merkezlerinde matematik öğretimi sürecinde içerik ve uygulanan yöntemler, genel matematik öğretiminden farklılaşmaktadır. Bilim ve sanat merkezlerinde içerik olarak her bir kazanımda öğrencilerin ihtiyaçları göz önüne alınarak gerekli zenginleştirmeler yapılıp etkinliklerin farklılaştırılması gereklidir. Bunun yanında bilgi ve iletişim teknolojileri, dinamik matematik yazılımları öğretim sürecinin doğal bir parçası olarak ele alınmaktadır.

Bu çalışma, geometri alanına ait bir kavram olan üçgen eşitsizliğini bilim ve sanat merkezlerine devam eden öğrencilerin anlamlandırma süreçleri ve bu süreçler doğrultusunda bir etkinlik geliştirilmesini ele almaktadır. Geometri öğretimiyle öğrencilerin, eleştirel düşünme, akıl yürütme, problem çözme, üç boyutlu tasarımları iki boyutlu hale indirgeyebilme ve ispat becerilerinin gelişmesine katkı sunulması amaçlanmaktadır (Jones, 2002). Aynı zamanda MEB’in (2018) de matematik öğretim programlarında benzer becerileri öğrencilere kazandırmak istediği görülmektedir. Öğretim programlarında her ne kadar bu becerilerin kazandırılması hedeflense de birçok ulusal ve uluslararası sınavlarda elde edilen sonuçlara bakıldığında öğrencilerin bu becerileri yeterince kazanamadığı görülmektedir. Bunun yanında matematik öğretiminde, bazı kavramların öğrenciler tarafından anlamlandırılmasında güçlükler yaşandığı birçok araştırmada ortaya konmaktadır. Bu doğrultuda, çalışmada, bilim ve sanat merkezine devam eden öğrencilerin, üçgen eşitsizliğini kavramlarına yönelik taslak bir etkinlik geliştirmek ve uygulama sonrası öğrencilerin üçgen eşitsizliği kavramını anlamlandırma süreci göz önüne alınarak etkinlik formuna son halini vermek amaçlanmıştır.

Öğrencilerin geometrik kavramları doğru bir şekilde anlamlandırması noktasında sıkıntı yaşadıkları farklı çalışmalarda ortaya konmaktadır. Bu çalışmada da öğrencilerin üçgen eşitsizliğini kavramalarına yönelik bir ders araştırma süreci gerçekleştirilmiştir. Böylelikle öğrencilerin üçgen eşitsizliği kavramını anlamlandırırken karşılaştığı sorunlar ortaya konmaya çalışılmış, bu doğrultuda bir etkinlik geliştirilmiş ve öğrenme ortamı tasarlanmıştır. Ders araştırması modeliyle yürütülen bu çalışmada zümre işbirliğinin esas olması, taslak bir etkinlik tasarımından yola çıkıp öğrenci düşünmeleri dikkate alınarak nihai etkinliğe ulaşılması araştırmanın önemli yanı olarak görülmektedir.

Bu doğrultuda, araştırmanın problem cümlesi “Ders araştırması kapsamında Bilim Sanat Merkezine devam eden öğrencilerin üçgen eşitsizliğini anlamlandırma süreçleri nasıldır ve bu süreçleri göz önünde bulundurarak nasıl bir etkinlik formu geliştirilebilir?” şeklindedir. Araştırma kapsamında alt problemlere de cevap aranacaktır.

82 1.Üçgen eşitsizliğini anlamlandırırken, öğrencilerin karşılaştığı benzer ve farklı sorunlar nelerdir?

2.Hazırlanan taslak etkinlik formu ile süreç sonunda elde edilen nihai etkinlik formu arasındaki farklar nelerdir?

Yöntem

Araştırmada, yöntem olarak bir mesleki gelişim modeli olan Ders Araştırması modeli benimsenmiştir. Japonya’dan birçok ülkeye yayılan Ders Araştırması (Lesson Study), öğretmenlerin mesleki gelişim çalışmalarında kullanılabilecek modellerden biridir. Japon ulusal eğitiminin şekillenmeye başladığı yıllardan bu yana, yaklaşık yüz yıldır, Japonya’da öğretmenlerin mesleki gelişiminde önemli bir rol oynar (Takahashi & Yoshida, 2004). Ders araştırması, birkaç öğretmenin gerçek bir dersi, kendi bağlamında öğretmeye ve öğrenmeye çalıştığı bir tür sınıf araştırmasıdır (Ono

& Ferreira, 2010). Ders Araştırması’nın, diğer öğretmenler tarafından gözlem yapılması, işbirliği ile uzun süreli planlanması, belirli bir hedef veya eğitim vizyonunu hayata geçirmek için planlanması, kayıt altına alınması ve tartışılması şeklinde beş temel özelliği bulunmaktadır (Lewis, 2000). Ders Araştırması, Şekil 1’de yer alan bir döngüye sahiptir. Bu döngü ikinci kez isteğe bağlı olarak tekrar edilebilmektedir.

Şekil 1. Ders Araştırması Döngüsü (Lewis, Perry ve Murata, 2006).

Ders Araştırması döngüsünün bileşenleri şu şekildedir:

1.Müfredat ve Hedef Belirleme: Öğrencilerin öğrenmesi ve gelişimi için uzun vadeli hedeflerin göz önünde bulundurulması. Konunun belirlenmesi, programın ve kazanımların incelemesi.

2.Planlama: Uzun vadeli hedefler, öngörülen öğrenci düşünmeleri, veri toplama planı, öğrenme gidişatı ve seçilen yaklaşımın gerekçesi dikkate alınarak planlama yapılması.

3.Araştırma Dersini Yürütme: Gruptan birinin dersi uygulaması, diğerlerinin araştırma dersini gözlemlemesi ve veri toplaması.

1.MÜFREDAT ve BELİRLEME

2.PLANLAMA

3.ARAŞTIRMA DERSİNİ YÜRÜTME 4.YANSITMA

83 4.Yansıtma: Araştırma dersinin, öğrenci öğrenmelerini, içeriği, dersi ve tasarımı, vb etrafında tartışılması. Döngünün belgelenmesi, öğrenmenin devam etmesi ve pekiştirilmesi, ders araştırmasının bir sonraki döngüsü için yeni sorular sorulması.

Araştırmanın amacı, bilim ve sanat merkezilerine devam öğrencilerin, üçgen eşitsizliğini kavramalarına yönelik taslak bir matematik etkinliği geliştirmek ve uygulama süreci sonrası öğrenci düşünmelerini dikkate alarak etkinliğe son halini vermektir. Araştırmanın amacı ve uygulama süreci göz önünde bulundurulduğunda Ders Araştırması modelinin araştırma deseni olarak benimsenmesi uygun görülmüştür.

Katılımcılar/Çalışma Grubu

Araştırmanın katılımcı grubu Mersin ilinde özel yetenekli öğrencilerin öğrenim gördüğü bir bilim ve sanat merkezine ortaokul beşinci ve altıncı sınıf seviyesinde devam eden 8 öğrencidir.

Çalışma grubu benzeşik örnekleme yöntemi ile oluşturulmuştur. Bu örnekleme yöntemini tercih etmekteki amaç, küçük, benzeşik bir örneklem oluşturmak yoluyla belirgin bir alt-grup tanımlamaktır (Yıldırım ve Şimşek, 2011). Çalışmada, bilim ve sanat merkezlerine devam eden ortaokul seviyesindeki öğrencilerin üçgen eşitsizliğini kavramalarına yönelik bir etkinlik geliştirilmiş olması, bilim ve sanat merkezlerinde öğrenim gören öğrencilerin özel yetenekli öğrenciler olması bu örnekleme yönteminin tercih edilmesine neden olmuştur.

Çalışma grubunun belirlenmesi aşamasında, araştırmacıların ortaokul beşinci ve altıncı sınıf seviyesinde ders verdikleri sınıflardaki öğrencilerin velilerine onam formu gönderilmiştir. Onam formunda araştırmanın amacı ve süreci anlatılmıştır. Velisi tarafından onam formu aracılığıyla çalışmada yer alabileceği belirtilen öğrenciler çalışma grubuna dâhil edilmiştir.

Veri Toplama Araçları

Veri toplama araçları, araştırmacılar tarafından geliştirilen “Etkinlik Formu”, gözlemci araştırmacıların gözlem notları ve uygulama dersi sırasında çekilen video kayıtlarıdır. “Etkinlik Formu” iki bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümünde öğrencinin rumuzunu yazacağı kısım ve işlem adımlarına dair yönerge bulunmaktadır. Bu bölümde ayrıca öğrencilerin elde ettikleri verileri kaydetmeleri ve karşılaştıkları durumları not etmeleri için Tablo 1’de “Etkinlik Formu”nda yer almaktadır.

Tablo 1. Etkinlik Formunun Birinci Bölümü

1.Kenar Uzunluğu 2.Kenar Uzunluğu 3.Kenar Uzunluğu

Karşılaşılan Durum(Üçgenin oluşup oluşmadığı durumu)

1.Üçgen 2.Üçgen 3.Üçgen 4.Üçgen

Etkinlik formunun ikinci bölümünde “Oluşturduğunuz ya da oluşturamadığınız üçgenlerin kenar uzunluklarını inceleyin. Bu kenar uzunluklarına bakarak üçgenin oluşma veya oluşmama durumu ile ilgili ne söyleyebilirsiniz?” sorusu yer almaktadır.

84 Veri Toplama Süreci

Ders araştırma döngüsünün aşamaları doğrultusunda veri toplama süreci şu şekilde yürütülmüştür:

Birinci Döngü

Birinci Aşama: Müfredat ve Hedef Belirleme

Müfredat ve hedef belirleme amacıyla Yenişehir Belediyesi Bilim ve Sanat Merkezi’nin dört matematik öğretmeni zümre toplantısı yapmıştır. Toplantıda öğrencilerin geometrik kavramları anlamlandırma süreçlerinde yaşadıkları sıkıntılardan yola çıkarak üçgen eşitsizliği kavramı çalışılacak kavram olarak belirlenmiştir.

İkinci Aşama: Planlama

Çalışılacak kavram belirlendikten sonra literatür taraması ile öğrencilerin üçgen eşitsizliği kavramını kavramaya yönelik sorunlar incelenmiş, öğrenci düşünmeleri öngörülmüş ve bunlardan yola çıkarak veri toplama planı oluşturulmuştur. Veri toplama planında etkinlik tasarımının yapılması, etkinlik materyallerinin hazırlanması, uygulama dersinin gün ve saatlerinin planlanması, ortam kaydının ne şekilde yapılacağı başlıkları ele alınmıştır.

Öğrencilerin üçgen eşitsizliğini kavramalarına yönelik tasarlanan etkinlik materyalleri 16 farklı uzunlukta karton şeritlerden oluşturulmuştur. 16 farklı uzunluktaki şeritlerden onar tane hazırlanmış ve her birinin üzerine uzunlukları yazılmıştır. Materyallere ait görsel Görsel 1’de yer almaktadır.

Görsel 1. Etkinlik Materyalleri

Etkinlik esnasında öğrencilerin elde ettikleri sonuçları not almalarını sağlayacak “Etkinlik Formu” her bir öğrenciye bir form verecek şekilde çoğaltılmıştır. Araştırma dersi 4 Haziran 2022 tarihinde iki ders saati yapılacak şekilde planlanmıştır. Araştırmacılardan biri gönüllü olarak uygulayıcı araştırmacı diğerleri ise gözlemci araştırmacı olarak belirlenmiştir. Öğrenci velilerinden alınan izin doğrultusunda araştırma dersinin video kaydının alınmasına karar verilmiş ve bununla ilgili planlama yapılmıştır.

Üçüncü Aşama: Araştırma Dersinin Yürütülmesi

Belirlenen gün ve saatte uygulayıcı öğretmen tarafından araştırma dersi gerçekleştirilmiştir. İki ders saatinde tamamlanan araştırma dersinde öncelikle öğrencilere “Etkinlik Form”ları dağıtılmıştır.

85 Sonrasında öğrenciler farklı uzunluklardaki şeritlerin bulunduğu masaya yönlendirilmiş ve öğrencilerden diledikleri uzunluklarda üç adet şeridi alarak yerlerine dönmeleri istenmiştir.

Uygulayıcı öğretmen öğrencilere ellerindeki şeritleri kullanarak bir üçgen oluşturmalarını ve karşılaştıkları durumu “Etkinlik Formu”nda ilgili bölüme yazmalarını söylemiştir. Birinci üçgenle ilgili karşılaşılan durum yazıldıktan sonra öğrenciler ellerindeki şeritleri yenileriyle değiştirerek ikinci bir üçgen oluşturmaya çalışmış ve karşılaştıkları durumu not etmişlerdir. Aynı işlem iki kere daha yapılmış ve öğrenciler farklı uzunluklarda şeritler kullanarak dört adet üçgen elde etmeye çalışmışlar ve karşılaştıkları durumları not etmişlerdir. Bu uygulama bir ders saati sürmüştür. İkinci ders saatinde öğrencilerden “Etkinlik Formu”nun ikinci bölümüne, ilk bölümde karşılaştıkları duruma dair düşüncelerini yazmaları istenmiştir. Yazım işlemi bittikten sonra uygulayıcı öğretmen, öğrencilerin üçgen oluşturma süreçlerini ve üçgenlerin bazısının oluşup bazısının oluşmaması durumunu, öğrenci düşüncelerinden yola çıkarak tartışmaya açmıştır.

Dördüncü Aşama: Yansıtma

Araştırma dersi sonrası öğrencilerin doldurduğu “Etkinlik Form”ları ve video kayıt görüntüleri incelenmiştir. Gözlemci araştırmacıların notları ile birlikte bir değerlendirme yapılmış ve uygulamada sıkıntı yaşanan kısımlar ve nedenleri, öğrenci düşünmeleri üzerine tartışma yürütülmüştür.

Veri Analiz Süreci

Veriler, betimsel analiz yöntemiyle analiz edilmiştir. Öğrencilerin “Etkinlik Formları”na verdikleri yanıtlar tablolaştırılmıştır. Video görüntülerinden elde edilen veriler incelenmiş ve öğrencilerin üçgen eşitsizliği kavramını anlamlandırma süreçlerinde uygulanan etkinliğin ve öğrencilere yönlendirilen sorular doğrultusunda oluşan tartışma ortamının kavramı anlamlandırmaya yarayıp yaramadığı ortaya konmaya çalışılmıştır. Video kayıtları metne dönüştürülmüş ve alıntı olarak bulgular kısmında yer verilmiştir.

Bulgular

Araştırmada ele alınan kavram üçgen eşitsizliği kavramıdır. Üçgen eşitsizliği, üçgenin herhangi bir kenarının diğer iki kenarının farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olması şeklinde ifade edilmektedir. Verilen üç doğru parçası bu kuralı sağlamıyorsa bu üç doğru parçası kullanılarak bir üçgen oluşturulamamaktadır. Yani uzunlukları a, b ve c birim olan doğru parçalarının üçgen oluşturabilmesi için,

Ia-bI < c < a+b Ia-cI < b < a+c Ib-cI < a < b+c

eşitsizliklerinin sağlanması gerekmektedir.

Birinci uygulamada öğrencilere üçgen eşitsizliği kuralı verilmeden öğrencilerden seçtikleri farklı uzunluklardaki şeritlerle üçgen oluşturmaları istenmiştir. Öğrencilere amacın üçgeni oluşturmak olmadığı herhangi üç kenar ile üçgen oluşturulup oluşturulamayacağı durumunu gözlemlemeleri belirtilmiştir. Öğrenciler üçgen oluşturma işlemini dört kez her seferinde farklı şeritler seçerek denemişler ve etkinlik formuna karşılaştıkları durumları not etmişlerdir. Öğrencilerin dört farklı üçgen oluşturma durumları ile ilgili elde edilen veriler Tablo 2’de yer almaktadır.

86 Tablo 2. Üçgen Oluşturma Durumu

Üçgen Elde Etme Durumu Öğrenciler

Bir uygulamada üçgen elde edememiş, üç uygulamada üçgen elde etmiş Ö1, Ö2, Ö3, Ö4, Ö5 İki uygulamada üçgen elde edememiş, iki uygulamada üçgen elde etmiş Ö6

Dört uygulamada üçgen elde etmiş Ö7, Ö8

Tablo 2’deki verilere göre iki öğrenci dört uygulamada üçgen oluşturmuş, bir öğrenci iki uygulamada üçgen oluşturmuş iki uygulamada oluşturamamış, beş öğrenci üç uygulamada üçgen oluşturmuş bir uygulamada üçgen oluşturamamıştır. Böylece öğrenciler seçtikleri herhangi üç uzunlukla üçgen oluşamadığını gözlemlemişlerdir. Tüm uygulamalarında üçgen oluşturabilen öğrenciler oluşturamayan arkadaşlarının durumlarını gözlemleyerek verilen üç kenarla her zaman üçgen oluşamayacağının farkına varmışlardır. Öğrencilerin tamamı etkinlik formunun karşılaşılan durum kısmına “Üçgen oluştu” veya “Üçgen oluşmadı” şeklinde notlar almıştır.

Öğrencilere herhangi bir geri bildiri vermeden elde ettikleri sonuçları göz önünde bulundurarak etkinlik formunun ikinci kısmına herhangi üç uzunluk ile üçgen elde edilip edilmeme durumuna yönelik düşüncelerini yazmaları istenmiştir. Öğrencilerden elde edilen verilerden benzer olanlar bir araya getirilerek Tablo 3’te verilmiştir.

Tablo 3. Üçgen Oluşma veya Oluşmama Durumu İle İlgili Düşünceler

Öğrencilerin Düşünceleri Öğrenciler

“İki kenarın toplamının üçüncü kenarla eş olması veya daha küçük

olması durumunda üçgen oluşmaz” doğrultusunda cevaplar. Ö1, Ö2, Ö4, Ö5, Ö8

Net olarak ifade edilemeyen cevaplar. Ö3, Ö7

Anlamlandırmanın doğru şekilde yapılmadığı cevaplar. Ö6

Tablo 3’e göre öğrencilerden beşi karşılaştıkları durumu anlamlandırırken iki kenar toplamının, üçüncü kenara eşit olması ya da üçüncü kenardan küçük olması durumunda üçgen oluşmadığını fark etmişler ve bunu ifade edebilmişlerdir. Öğrencilerden bazılarının yanıtları Görsel 2 ve 3’te yer almaktadır.

87 Görsel 2. Ö1 rumuzlu öğrencinin yanıtı

Görsel 3. Ö5 rumuzlu öğrencinin yanıtı

Öğrencilerden ikisi karşılaştıkları durumu net olarak ifade edemese de üçgen oluşma durumunu kenar uzunlukları ile bağdaştırmışlardır. Bir öğrencinin yanıtı Görsel 4’te yer almaktadır.

Görsel 4. Ö3 rumuzlu öğrencinin yanıtı

Bir öğrenci ise karşılaştığı durumu doğru şekilde anlamlandıramamıştır. Öğrencinin yanıtı Görsel 5’te yer almaktadır.

Görsel 5. Ö6 rumuzlu öğrencinin yanıtı

Yanıtlarından görüldüğü üzere öğrencilerin çoğunluğu iki kenar toplamının üçüncü kenara eşit ya da üçüncü kenardan kısa olması durumunda üçgen oluşmayacağının farkına varmışlardır.

Ancak herhangi bir kenarın uzunluğunun diğer iki kenarın farkının mutlak değerinden büyük olması gerektiğine dair herhangi bir çıkarımda bulunan öğrenci bulunmamaktadır.

İkinci kısımda elde edilen sonuçlar sınıf içi tartışmaya açılmıştır. Uygulayıcı öğretmen öğrencilere “Üçgen oluşturabilmek için şartımızın ne olması lazım?” sorusunu yöneltmiştir.

Öğrencilerin verdikleri ilk cevaplar yine iki kenar uzunluğunun toplamının üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olması gerektiği üzerine olmuştur. Ancak uygulayıcı öğretmenin üçgenin kenarlarını, en uzun kenar, en kısa kenar, ikinci en kısa kenar şeklinde nitelendirmesi öğrencilerin üçgen eşitsizliğini sadece en uzun kenar üzerinden yorumlamalarına neden olmuştur. Uygulayıcı

88 öğretmen ve öğrenciler arasında gelişen tartışma sürecinde aralarında geçen konuşmalar şu şekildedir:

Uygulayıcı Öğretmen: Üçgen oluşturabilmek için şartımızın ne olması lazım?

Ö1: Bence oluşmama durumu 12, 13, ve 25’i aldım. 12 ve 13’ün toplamı 25’e eşit olduğu için olmadı.

Ö2: Niye oluşmadığını bilmiyorum. Benim en küçük kenarım 7’diydi. Aradaki fark az kaldı. Belki 8, 9 olsaydı üçgen olabilirdi.

Ö3: İki kenarın toplamı diğerine eşitti. Önce olduğunu düşündüm. Ama olması için açının çok büyük olması lazım.

Uygulayıcı Öğretmen: Ne kadar büyük?

Ö3:Neredeyse 180 derece yaklaşık olarak. Ama üçgen olmaz o zaman.

Ö4: Hocam birinci kısa kenarla ikinci kısa kenarının toplamının en uzun kenardan fazla olması lazım.

Ama belli bir yere kadar. Sonrasında değişir.

Buradaki tartışma sürecinden, öğrencilerin, iki kenar toplamının üçüncü kenara eşit ya da üçüncü kenardan kısa olması durumunda üçgen oluşmayacağının farkına vardıkları görülmektedir.

Uygulayıcı öğretmen bu noktadan sonra tartışmanın yönünü herhangi bir kenarın uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük olması durumuna yöneltmek istemiştir. Uygulayıcı öğretmen ve öğrenciler arasında gelişen tartışma sürecinde aralarında geçen konuşmalar şu şekildedir:

Uygulayıcı Öğretmen: Burada şuna geliyoruz. İki kenarın toplamı şuradaki kenarın toplamından büyük olması lazımmış diye söyledik. Peki hep uzun kenar için konuştuk. Birinci kısa kenar yani en kısa kenar için düşünecek olursak onun uzunluğu ne olmalı

Ö3: En uzun kenardan ikinci kısa kenarı çıkartırsak birinci kısa kenarı buluruz.

Uygulayıcı Öğretmen: Birinci kısa kenar eşittir diyorsun Ö3: En uzun kenar eksi ikinci kısa kenar.

Ö1: Hayır olmuyor öyle. Çünkü en kısa kenar 4. Çıkarılan 6.

Uygulayıcı Öğretmen: O olmayan üçgende mi?

Ö3: Hı tamam o zaman orada üçgen olmuyor. Bunu örneğe bakarak söylemiştim.

Uygulayıcı Öğretmen: Onun üçgen olamayacağını söylemiştik zaten.

Ö3: Doğru.

Ö4: Hocam Ö3’ün dediği gibi. İkinci kısa kenara artı 1 yapsak. Maksimum olabileceği değer olabilir mi acaba?

Uygulayıcı Öğretmen: Artı 1 eklesek? Şuraya artı 1 diyorsun.

Ö5: Artı n diyelim hocam.

Uygulayıcı Öğretmen: n ney?

Ö5: x gibi. 0 olmayan herhangi bir sayı.

Uygulayıcı Öğretmen: Neye göre ekleyeceksin? Uzatıyor musun yani?

Ö6: Hocam, üçgen oluşmamasının sebebi kenarların toplamının tam 3’e bölünmemesi.

Uygulayıcı Öğretmen: Oluşturduğumuz üçgenlere baktığımızda toplamı hepsinin 3’e bölünüyor mu?

89 Ö6: Bir sayı denk geldi olmadı hocam.

Uygulayıcı Öğretmen: Peki + herhangi bir değer eklediğimizde ne olacak?

Sessizlik

Uygulayıcı Öğretmen: Bulduğunuz üçgenlerden hareket edin.

Ö5: Hocam biz ikinci kısa kenara eklediğimiz x ya da n her neyse birinci kısa kenar en uzun kenarla toplandığı zaman ikinci kısa kenarın altına geçmemesi gerekiyor. Yani bir değer olması gerekiyor.

Uygulayıcı Öğretmen: Şu ikisini topladığımızda…

Ö5: İkinci kısa kenarın onların uzunluğunu geçmemesi gerekiyor.

Ö3: Hocam diyoruz ya hocam. Birinci kısa kenarı bulmak için bunları birbirinden çıkaracağız. Bunlara 1 eklemek gerekiyor. Ama nasıl anlatsam buradan sayı çıkarmamız gerekiyor. Şimdi birinci kısa kenarı soruyor ya bize en uzun kenar eksi ikinci kısa kenar artı bişe bişe. Hocam bunların artı değil eksi olması lazım benim bişe yaptığıma göre.

Ö5: Çıkaratadabiliriz ekleyedebiliriz.

Uygulayıcı Öğretmen: Neye göre belirleyeceğiz?

Ö3: Kenarların uzunluklarına göre.

Ö5: Dediği doğru. Kenarları numaralandırmak biraz saçma oluyor. Çünkü yani artırdığımız en kısa kenar en uzun kenar kadar da olabiliyor.

Uygulayıcı Öğretmen: Hangi durumda?

Ö5: Ya hocam artırdığımız zaman.

Uygulayıcı Öğretmen: Aslında durum şeye kayıyor. Olmayan üçgeni nasıl oldururuzdan ziyade olmayan neden olmuyor olan nasıl olmuş? O sayılar arasındaki ilişkiye odaklanabilirsiniz.

Ö3: Birinci kısa kenar büyüktür en uzun kenar eksi ikinci kısa kenar olabilir mi?

Uygulayıcı Öğretmen: Bilmem olabilir mi?

Sürecin sonunda Ö3 rumuzlu öğrencinin herhangi bir kenarın uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük olması durumunu yakaladığı görülmektedir.

Buradan hareketle verilen herhangi üç doğru parçasının bir üçgen oluşturma koşullarını bazı öğrencilerin anlamlandırabildiği görülmüştür. Ancak yine de herhangi bir kenarın uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük olması durumu öğrenciler tarafından yeteri kadar anlaşılamamıştır.

Sonuç, Tartışma ve Öneriler

Araştırmanın birinci alt problemi “Üçgen eşitsizliğini anlamlandırırken, öğrencilerin karşılaştığı benzer ve farklı sorunlar nelerdir?” şeklindedir. Bulgulardan yola çıkarak bu alt probleme yönelik elde edilen sonuçlar şu şekildedir:

Öğrencilerin üçgen eşitsizliğini kavramalarına yönelik geliştirilen etkinliğin uygulamasında ve yürütülen sınıf içi tartışma ortamında, somut materyal kullanımı ile öğrencilerin üçgen eşitsizliğini kavramaları sürecinin anlamlı olduğu görülmüştür. Üçgen eşitsizliği kavramını ve kuralını bilmeyen öğrenciler, kavramı yapılandırma noktasında belli aşamaya kadar başarılı olmuşlardır. Etkinlik materyallerini kullanarak karşılaşılan durumları not eden öğrencilerden elde edilen bulgular, sınıf içi tartışma ortamına gerek kalmadan, üçgen eşitsizliğinin “Bir üçgende herhangi bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır” kuralının öğrenciler tarafından

Belgede Dijital gazete/gazetecilik konulu lisansüstü tezlerin bibliyometrik analizi (sayfa 79-94)