Denetim Planlaması

Neste capítulo defino a grade para realizar a análise dos exercícios propostos nos três livros didáticos referentes aos conteúdos “Razões e Proporções”. Também disponibilizo um esquema dos tópicos, seções e itens que compõem os conteúdos Razões e Proporções para servir de base na comparação dos livros com os documentos oficiais dos órgãos governamentais. O esquema de cada livro será elaborado no próximo capítulo, “Descrição dos tópicos dos conteúdos Razões e Proporções e análise dos exercícios propostos nos três livros didáticos”.

Para realizar esta tarefa, elaborei uma grade de análise em função dos três níveis de conhecimento esperados dos alunos segundo Aline Robert, pesquisado por mim no artigo da própria autora e na monografia de Kelly Mitie Kamiya (UNIFEO). São eles: nível técnico, nível mobilizável e nível disponível.

No nível técnico o aluno aplica de forma direta: teoremas, propriedades, definições, fórmulas, etc.

No nível mobilizável o aluno conta com a indicação explícita do que fazer para resolvê-los (neste nível, antes de aplicar o nível técnico, o aluno terá que mobilizar seus conhecimentos já adquiridos até o momento).

No nível disponível o aluno não conta com indicação explícita do que fazer para resolver o exercício, ele deverá disponibilizar seus conhecimentos, planejando sua solução, fazendo relações e podendo aplicar até métodos não

previstos, isto é, o aluno vai procurar em sua bagagem de conhecimentos anteriores aquele que melhor se aplica à situação. Espera-se que neste nível, o aluno disponibilize organizações associadas ao desenvolvimento de um exercício, isto é, planejar sua solução, aplicar as técnicas adequadas e voltar aos conceitos utilizados para controlar o resultado encontrado.

3.1 Grade de análise

A finalidade desta grade é facilitar a análise dos exercícios propostos nos três livros escolhidos para o estudo do tratamento dos conteúdos “Razões e Proporções”. Esta análise será feita considerando os níveis de conhecimento esperados dos alunos no ensino fundamental (6ª série). Para tanto, propõe-se a estrutura abaixo para organizar a análise:

• Em função das tarefas usuais encontradas nos livros didáticos;

• Em função das variáveis destas tarefas, para as quais darei ênfase ao nível de conhecimento pedido no enunciado e os diferentes níveis de conhecimento de outras noções que devem ser utilizadas para a solução dos exercícios propostos (KAMIYA, p. 80).

Para analisar os exercícios propostos consideram-se os diferentes níveis de conhecimento esperados dos alunos, conforme as variáveis definidas abaixo:

• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício;

• Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação às noções utilizadas.

3.1.1. Exemplo de funcionamento da grade em um exercício Divisão direta e inversamente proporcional

Modelo: Dividir N em partes diretamente proporcionais aos valores a, b, c, etc. Deve-se, pois, encontrar x, y, z, ... tais que:

I) x y z e

II) a b c sejam diretamente proporcionais ou _cz b y a x _{= = , donde} c b a N c b a z y x c z b y a x + + = + + + + = = = , donde c b a a.N x c b a N ax = _{+ +} ⇒ = _{+ +} c b a b.N y c b a N b y + + = ⇒ + + = c b a c.N z c b a N cz = _{+ +} ⇒ = _{+ +}

Dois sócios compraram um automóvel, um entrou com R$ 12.000,00 e o outro com R$ 8.000,00. Conseguiram vendê-lo com R$ 2.400,00 de lucro. Quanto deve receber cada sócio de lucro?

Neste exercício em particular, as variáveis são as seguintes: Analisando:

• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível • Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação

às noções utilizadas: disponível. Para utilizar o modelo acima tratado o aluno deve dispor de situações de referencia a ele associadas. O próprio aluno deve buscar no seu corpo de conhecimentos o modelo adequado para aplicar ao problema. Pode ainda esperar que o aluno que disponha de conhecimento de sociedade e seja capaz de aplicar um método

associado a esse conhecimento para resolver o problema. Em ambos os casos, o trabalho a ser explicitado fica totalmente a cargo do aluno.

Considerações: Por que não classificar o enunciado como mobilizável ou técnico? E quanto ao nível necessário para a solução do exercício?

A resposta desta questão está na definição dos níveis de conhecimento, isto é: não é mobilizável, pois a ferramenta em questão não está explicitamente solicitada; também não é nível técnico, pois o enunciado exige que o aluno identifique o modelo aqui enunciado para aplicar as técnicas correspondentes. Quanto ao nível conhecimento esperado na resolução, pode-se resolver este problema de várias formas sem utilizar o modelo, pois não há indicação de todas as noções a serem utilizadas o que deixa evidente tratar-se de uma tarefa em que o nível esperado para sua solução é o disponível.

No item seguinte, temos o esquema de análise das seções e ou itens usualmente encontrados em livros didáticos da 6ª série do ensino fundamental (ver p. 39). Os esquemas dos tópicos dos conteúdos “Razões e Proporções” de cada um dos livros didáticos, objetos de nosso trabalho disponibilizo no capítulo 6. 3.2 Esquema dos conteúdos Razões e Proporções

Considerações iniciais: Na seção “Grandezas” usualmente encontram-se as grandezas do SI (sistema internacional de Unidades) padronizadas pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). Quanto ao item “Razões cons- tantes”, eu me refiro, por exemplo, à razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida do seu diâmetro, que é representada pelo número conhecido pelo nome de pi, que é uma constante dentre outras constantes. No item “Densidade Demog.”, Demog. é a abreviação de demográfica.

ESQUEMA DOS CONTEÚDOS RAZÕES E PROPORÇÕES

Grandezas

Quantidades Unid. medidas Contínuas Discretas

Razões Proporções Conceito Propriedade fundamental Especiais Fração centesimal Definição Taxa Porcentual Porcentagem Constantes Divisão Proporcional Números Grandezas Diretamente Inversamente Proporcionais Regra de Três Simples Composta Juros Simples

Definição Capital_Taxa Tempo Outras Propriedades Escala Média aritmética Simples Ponderada Densidade Demog. Corpo Quarta Proporc. Terceira Proporc. Termo desconhecido

Capítulo 4 Descrição e classificação nos três livros

Nesse capítulo, descreverei a introdução, exemplos, exercícios resolvidos e escreverei/analisarei cada um dos exercícios propostos por mim selecionados dos três livros. Para a análise destes exercícios propostos aplicaremos a grade de análise definida no capítulo 3.

4.1 Livro das décadas 60/70

No livro da 2ª série ginasial, da coleção Matemática para escola Moderna, editora IBEP, 1967, Scipione di Pierro Neto destinou o capítulo VI para os conteúdos Razões e Proporções. O livro é composto de oito capítulos. O oitavo capítulo, “O Trabalho Dirigido”, traz sugestões, para o aluno e para o professor, assim descritas:

Apresentamos, a seguir, alguns modelos de Estudo Dirigido, ou Trabalho Dirigido. Servirão como exemplos para serem aplicados nas classes em que o professor disponha de horas suficientes e outros elementos para prepará-los (Datilografia, mimeografia, etc.). São especialmente adequados para desenvolver método ativo e possibilitam:

a) Ao aluno:

I) Participar ativamente de todas as etapas do aprendizado, experimentando e manipulando os entes que são os objetos da assimilação.

II) Ativar e desenvolver grande potencial que representa a capacidade criadora e descobridora do adolescente, formulando conclusões, inferindo leis, descobrindo propriedades.

III) Interiorizar o conhecimento por ações efetivas – O aprendizado sem ação não é autêntico.

b) Ao professor:

1) Verificar e avaliar individualmente as etapas da assimilação. II) Atender às diferenças individuais.

III) Dirigir o aprendizado antes e principalmente como mestre de uma equipe de trabalho.

A aplicação do T.D. (trabalho dirigido) ou E.D. (estudo dirigido) como se queira chamar, alcança resultados muito mais satisfatórios quando se puder observar os seguintes requisitos:

1º) Agrupar a classe em equipes de cinco ou seis alunos cada e trabalhar com três ou quatro equipes cada vez.

2º) Estabelecer um processo para determinar uma liderança em cada equipe, fixando as responsabilidades.

3º) Usar a correção do T.D. para encaminhar a lição do erro e às conclusões que se pretende obter.

Por outro lado, o T.D. pode ser preparado também para ser feito em casa ou individualmente e, neste caso, deve conter instruções precisas e tanto quanto possível suscintas para encaminhar a leitura do trabalho, A bem da verdade, deve-se dizer que em ambos os casos, a aplicação do T.D. requer do professor o dispêndio de um tempo que ele ainda não tem - salvo exceções raras - dentro das condições de trabalho que lhe são exigidas.

Ainda assim, entendemos que devemos apresentar alguns exemplos de Trabalhos Dirigidos que, certamente, poderão ser muito aperfeiçoados e adequados às condições de trabalho de cada um.

Insistimos que não são lições de Trabalho Dirigido o que apresentamos, mas simplesmente uma colaboração para ser ampliada.

(SCIPIONE, p.255-6).

O capítulo V, “As Equações do Primeiro Grau”, antecede ao capítulo objeto do nosso estudo, e esse, por sua vez é sucedido pelo capítulo VII, “Noções Intuitivas de Geometria”.

O desenvolvimento do conteúdo Razão inicia-se na página 149, tópico um, e foi dividido em quatro partes, são elas: Razões entre grandezas; Termos de uma Razão; Propriedade Fundamental das Razões e Exercícios.

Na primeira parte, “Razões entre grandezas”, ou seja, na introdução (item 93.), tem-se o seguinte problema introdutório: “Na sala de aula, consideremos a medida da largura da porta (1m), a medida do comprimento da parede onde a porta está (6m); a medida o comprimento do quadro negro (3m)”. O texto é ilustrado com a figura abaixo:

A seguir, relaciona razão entre comprimentos seguido da mesma razão igualada a uma outra razão estabelecida entre as letras a e b ou c e d. Na seqüência apresenta outros exemplos envolvendo, além do comprimento, a área e o volume, sem misturá-las no mesmo exemplo e faz as seguintes observações:

Observa-se facilmente que:

1 - Comparamos grandezas da mesma espécie ou natureza. (comprimentos com comprimentos)

(área com área)

(volumes com volumes)

2 - Essas grandezas estão sempre medidas numa mesma unidade. (p.151) Considerações: O autor utilizou um recurso gráfico e uma linguagem próxima do cotidiano do aluno, ou seja, medir comprimentos.

Com base no que foi feito anteriormente, no item 94, “Definição”, tem-se em uma caixa de texto, a seguinte definição: “Chama-se de razão de duas grandezas da mesma espécie ao quociente indicado dos números que medem essas grandezas numa mesma unidade” (p.151). Logo abaixo ele denomina a e b como antecedente e conseqüente respectivamente e usando um outro retângulo como caixa de texto ele disponibiliza o seguinte: “Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra”(p. 151).

No item 95, o autor introduz a “Propriedade fundamental das razões” usando dois segmentos, a e b, desenhados paralelamente e divididos pela mesma unidade. Neste momento o autor tem a preocupação de relacionar o novo conhecimento com o cotidiano do aluno utilizando noção geométrica de segmento associada a noção de medida. A seguir, os mesmos segmentos são divididos por uma outra unidade menor, mas múltipla da anterior e, finalizando o item, antes de descrever a propriedade algebricamente, uma igualdade relacionando as duas razões é destacada em uma caixa de texto.

Considerações: Verifica-se a preocupação do autor em trabalhar conhecimentos geométricos esperados dos alunos antes de introduzir a noção algebricamente, isto é, nota-se aqui uma real articulação entre geometria e álgebra fazendo apelo aos conhecimentos disponíveis da geometria para introduzir algebricamente a propriedade fundamental das razões.

Por fim, em uma outra caixa de texto, tem-se a propriedade fundamental: “Propriedade fundamental – Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número, diferente de zero, obtém-se uma razão equivalente à razão dada” (p.152).

No item 96, “Exemplos”, o autor apresenta alguns exemplos de como obter razões equivalentes a uma outra dada, como obter razão na forma irredutível, razão entre um número relativo e seu simétrico, de como obter uma incógnita (antecedente ou conseqüente) tendo somente a razão (quociente). Todos os exemplos estão demonstrados em detalhes.

No item 97, “Exercícios”, são propostos 22 exercícios semelhantes aos exemplos. Os exercícios 24, 25 e 26 envolvem problemas geométricos, como por exemplo, o de número 26, que tem o seguinte texto: “Um segmento de 21 cm de comprimento é dividido em duas partes tais que estão na razão 3:4. Qual o comprimento de cada parte?” (p. 156).

Analisando:

• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: disponível. • Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação

às noções utilizadas: disponível. O aluno necessita mobilizar a noção de segmento e articular com a propriedade de duas razões. Além disso, o

aluno deverá dispor de conhecimentos sobre equações para encontrar a solução.

O exercício 23 envolve uma situação próxima do cotidiano do aluno. “Se Olavo ganha NCr$ 0,80 por hora e seu pai ganha NCr$ 16,00 por jornada de 10 horas, então, qual a razão entre o que ganha Olavo e seu pai?”(p.156).

Analisando:

• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável. • Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação

às noções utilizadas: mobilizável. O aluno precisa mobilizar seu conhecimento de redução a unidade para depois aplicar a definição de razão.

Além dos exercícios que envolvem situações-problema em geral, associadas ao cotidiano, existem outros exercícios propostos, como por exemplo:

Determinar os valores das seguintes razões:

1) b) 0,4 3 1 1 ÷      + ;

Determinar o antecedente das seguintes razões, sabendo que: 11) o conseqüente é 2 3x x− e a razão é 3 1 3+ ;

Determinar o conseqüente das seguintes razões, sabendo que: 15) o antecedente é (x + 1)2 _{e a razão é (x + 1);} 16)o antecedente é 2 x x+ e a razão é 3 2_; Escrever razões equivalentes:

17) a 3 1

cuja soma dos termos seja 20.

(p. 155-156)

Analisando:

• Nível de conhecimento esperado nos enunciados dos exercícios: técnico. • Nível de conhecimento necessário para solucionar os exercícios em

relação às noções utilizadas: mobilizável. O aluno tem que mobilizar operações com números racionais nas formas decimal e fracionária, os conhecimentos com operações algébricas e aplicar a definição de razão.

Considerações: observo que o autor dedica o capítulo anterior a este ao estudo das equações. Sendo assim, podemos supor que a noção de equações é disponível para os alunos que seguem esse curso.

O 2º tópico “Proporções” é dividido em: Proporções, Propriedade Fundamental, A Recíproca da Propriedade Fundamental, Termo Desconhecido, Proporções Contínuas, Média Proporcional ou Geométrica, Quarta e Terceira Proporcional e Exercícios.

O item 98, “Definição”, inicia com a seguinte definição “Chama-se proporção à expressão de igualdade de duas razões” (p.158). Com base nesta definição, uma proporção numérica é apresentada e, em seguida, os termos são identificados, assim como os extremos e meios. No final deste item, tem-se a seguinte afirmativa: “o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”, com a devida resolução numérica.

No item 99, “Propriedade fundamental das proporções”, o autor demonstra a veracidade da afirmativa anterior com uso das letras a, b, c, d e a propriedade das igualdades, assim como a lei do cancelamento da multiplicação. A seguir, em destaque, numa caixa de texto, a propriedade fundamental das proporções é apresentada em forma de texto: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos” (p.159).

linguagem natural para a resposta numérica que permite ao estudante criar as imagens mentais antes de passar para a representação algébrica. Neste caso, mesmo não sendo explicito o autor vislumbra a importância do trabalho sobre representação.

Considerações sobre a prova da propriedade fundamental das proporções estão num item especial, o item 100. Toda explicação da demonstração é feita de modo detalhado como descrevo no que se segue: partiu da proporção:

d c b a ₌

com b ≠ 0 e d ≠ 0, aplicou a propriedade das igualdades, isto é, a.d = b.c, observou que: “Dizemos que fizemos uma demonstração, onde o ponto de partida (verdade inicial) é a HIPÓTESE e o que queremos é a TESE da propriedade” e indicou em símbolos numa caixa de texto, igual a apresentada a seguir

b.c a.d d

c b

a _{= ⇒ = , finalizando a demonstração. A última frase deste item tem}

como objetivo apresentar uma introdução para a recíproca da propriedade fundamental, descrita no próximo item, o 101.

O item 101, “Recíproca da propriedade fundamental”, apresenta de início o seguinte enunciado em uma caixa de texto e sua demonstração no desfecho do mesmo: “Se o produto, não nulo, de dois números for igual ao produto de outros dois, então esses quatro números formam uma proporção, onde os fatores de um produto são os meios (extremos) e os fatores do outro produto são os extremos (meios)” (p.160). Ao final deste item, em outra caixa de texto, a propriedade está também destacada em símbolos.

Considerações: Aqui, também é importante ressaltar a preocupação do autor em escrever em matemática antes de apresentar uma fórmula correspondente. Essa

atividade tem sido cada vez mais salientada por pesquisadores, pois trata-se de uma atividade importante e que conduz o aluno às práticas de produção, tão necessária para seu desenvolvimento cientifico e cultural.

As formas de se representar uma proporção foram enunciadas e demonstradas sob o item 102. “Aplicações da propriedade fundamental das proporções e sua recíproca”, assim como os devidos exemplos das oito formas diferentes de escrever uma proporção.

No item 103, “Termo desconhecido numa proporção”, em uma caixa de texto tem-se: “Um extremo desconhecido é igual ao quociente entre o produto dos meios e o extremo conhecido”. Em outra caixa de texto, tem-se: “Um meio desconhecido é igual ao quociente entre os produtos dos extremos e o meio conhecido” (p.163), as demonstrações foram apresentadas e um exemplo foi colocado ao lado de cada demonstração.

A seguinte conclusão: “Quando os meios de uma proporção contínua são desconhecidos, o seu valor comum é igual à raiz quadrada do produto da proporção” (p. 164), foi declarada no item 104.

“Proporções contínuas”. Este item apresenta um exercício numérico como introdução e logo a seguir, tem-se em uma caixa de texto, dentro dela em forma de símbolos, a seguinte igualdade: x= a.b , onde x recebe o nome “média proporcional”. Ao final deste item, em outra caixa de texto, tem-se: “Quando os

meios de uma proporção contínua são desconhecidos, o seu valor comum é igual à raiz quadrada do produto dos extremos da proporção” (p. 164).

ou proporcional de dois números”, teve seu desenrolar iniciando-se neste caso, com uma sentença algébrica, um exemplo e a conclusão, também destacada em uma caixa de texto, com os seguintes dizeres: “Numa proporção contínua, se o termo repetido é desconhecido, ele é igual a um dos valores da média geométrica proporcional dos extremos da proporção” (p.165). Na seqüência, o autor apresenta dois exemplos. O segundo exemplo recai em raiz quadrada de número negativo. A conclusão deste exemplo gerou a seguinte frase: “Não existe valor de y no campo real” (p.166).

No item 106, “Quarta proporcional e terceira proporcional”, as letras x e y são usadas como valores desconhecidos (incógnitas), nesta mesma ordem respectivamente, uma para a quarta proporcional (x) e a outra para terceira proporcional (y), assim descritas em símbolos:

a:b = c:x ou _ba = c_x e a:b= b:y ou _ba = _yb . Para cada conceito, um

exemplo foi proposto e desenvolvido.

O item 107, “Exercícios”, compõe-se de 25 exercícios propostos, como por exemplo:

Verifique se as igualdades, escritas sob a forma de proporções, são verdadeiras ou falsas, 4 320 3 5 1 4 6 5 6 1 2 15 2 4 15 5) = ÷ − − ÷ ;

Calcule o valor de x nas seguintes proporções: x 2 1 3 4 1 3 8 3 1 9) ÷      − =       − ÷ . (p.167) Analisando:

• Nível de conhecimento esperado no enunciado do exercício: mobilizável. • Nível de conhecimento necessário para solucionar o exercício em relação

às noções utilizadas: mobilizável, o aluno aplicará o conceito de proporção escrita na forma de igualdade entre razões e mobilizará seus conhecimentos sobre operações com números racionais na forma fracionária e noções de equação do 1º grau.

O 3º tópico, “Propriedades Gerais das Proporções” foi dividido em oito itens, sendo eles: Da Soma dos Termos, Da Diferença dos Termos, Da Soma dos Antecedentes e Conseqüentes, Da Diferença dos Antecedentes e Conseqüentes, Do produto dos Antecedentes e Conseqüentes, Do Quadrado dos Antecedentes e Conseqüentes, Do Quociente – Das Raízes, Exercícios.

O item 108, 1ª Propriedade – “Da Soma dos Termos”, na introdução há uma caixa de texto com a seguinte definição: “Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro ou segundo termo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro ou quarto termo” (p.172).

A seguir, usando letras como símbolos algébricos, ele escreve a propriedade acima em forma de proporção, descrevendo a hipótese, a tese e também as devidas provas.

Os mesmos procedimentos foram aplicados para os itens: 109, 2ª Propriedade – “Da diferença dos termos”, 110, 3ª Propriedade – “Da soma dos antecedentes e conseqüentes”, 111, 4ª Propriedade – “Da diferença dos antecedentes e conseqüentes”, 112, 5ª Propriedade – “Do produto dos antecedentes e conseqüentes”, 113, 6ª Propriedade – “Dos quadrados dos antecedentes e conseqüentes” e 114, 7ª Propriedade e 8ª Propriedade (estas duas propriedades não tiveram nenhuma denominação especial). O autor as

apresentou conforme exemplo a seguir (cópia parcial da página do livro):

(p.176) No item 115, “Exercícios Resolvidos”, três problemas foram resolvidos

Belgede MUHASEBE BİLGİ ÜRETİMİNDE KALİTE SORUNU (sayfa 66-70)