BÖLÜM 2. FÂTIR SÛRESİNİN TAHLİLİ
2.22. Cennet ve Cennet Ehlinin Halleri
e o-minimal
Esta seção é o ponto alto deste trabalho. A nossa meta é estabelecer condições sobre uma expansão de R do tipo hR, { f : f ∈ R}i, que sejam suficientes para obter a modelo completude da teoria da expansão. Mais precisamente, veremos que se os conjuntos definíveis, livres de quantificadores, da expansão formam uma estrutura fraca o-minimal e se o fecho topológico de um conjunto existencialmente definível for também existencialmente definível, então a estrutura hR, { f : f ∈ R}i é modelo completa. Como consequência, concluímos que a coleção de todos os conjuntos definíveis é uma estrutura fraca o-minimal. Dessa forma, garantimos a o-minimalidade da estrutura.
Antes de qualquer desenvolvimento nesta seção, atentamos para a terminologia.
Aviso. Daqui em diante, ao declararmos que uma estrutura é o-minimal no sentido modelo- teórico, queremos dizer que é o-minimal nos moldes da Definição 1.2.4.
Notação. Ao longo desta seção,
• Rn denotará uma coleção de funções f : Rn → R, para cada n.
• R = S
n∈N+
Rn.
Conjuntos definíveis na estrutura hR, { f : f ∈ R}i têm o significado afirmado na Defini- ção 1.2.1, i. e., definível (com parâmetros) por uma fórmula da linguagem em questão, não por uma Ch-fórmula.
Usaremos a notação φ(¯x)∼ ψ(¯x) para simplificar hR, { f : f ∈ R}i |= ∀¯x (φ(¯x) ↔ ψ(¯x)). Considere a linguagem expandida ˜L = L∪ { f : f ∈ R } para a estrutura hR, { f }f∈Ri. En-
tão, nesta estrutura, um ˜L-termo t(¯x) pode ser escrito da seguinte forma p(¯x, f1(¯x(1)), . . . , fl(¯x(l))),
de sorte que p é um polinômio em R[z1, . . . , zn+l], f1, . . . , fl ∈ R e ¯x(i) é uma subsequência de
¯ x.
Lema 2.5.1. Sejam n ∈ N+ e A ⊆ Rn conjunto definido em hR, { f : f ∈ R}i por uma
Σ1-fórmula φ(¯x). Então, existem um polinômio p∈ R[z1, . . . , zm+n+l] e funções f1, . . . , fl ∈ R
tais que
φ(¯x)∼ ∃~y p(¯x, ~y, f1(¯x, ~y), . . . , fl(¯x, ~y)) = 0.
Demonstração. Seja φ(¯x) =∃z1· · · ∃zmθ(¯x, ~z) uma eL-fórmula existencial arbitrária, de modo
que eL = L∪ { f : f ∈ R } e θ(¯x, ~z) é aberta. Então, θ pode ser colocada na forma normal disjuntiva, i. e., θ(¯x, ~z)↔ N _ i=1 M ^ j=1 θij(¯x, ~z),
Esta bi-implicação é uma fórmula válida em todas as ˜L-estruturas, então, em particular, θ(¯x, ~z)∼ N _ i=1 M ^ j=1 θij(¯x, ~z).
Uma fórmula atômica em ˜L é igual a t1 = t2 ou a t1 < t2, que equivale, em hR, { f }f∈Ri, a
t = 0 e 0 < t, respectivamente, com t1, t2 e t ˜L-termos. Assim, podemos assumir que θij(¯x, ~z)
é do tipo
tij(¯x, ~z) = 0, tij(¯x, ~z) > 0, tij(¯x, ~z)6= 0 ou tij(¯x, ~z)≤ 0.
Logo, θ(¯x, ~z) pode ser escrito como
θ(¯x, ~z)∼ N _ i=1 M ^ j=1 tij(¯x, ~z)∗ 0, com ∗ ∈ { =, 6=, <, ≥ }.
Note que, para cada i, j, em hR, { f : f ∈ R}i,
tij(¯x, ~z)6= 0 ∼ ∃yij[yij · tij(¯x, ~z)− 1 = 0],
tij(¯x, ~z)≤ 0 ∼ ∃yij[tij(¯x, ~z) + yij2 = 0],
tij(¯x, ~z) > 0∼ ∃yij∃wij[(tij(¯x, ~z)− y2ij = 0)∧ (wij · yij− 1 = 0)]
tij(¯x, ~z) = 0∼ ∃yij∃wij[(yij · tij(¯x, ~z) = 0)∧ (wij · yij − 1 = 0)]
∼ ∃yij∃wij[(yij · tij(¯x, ~z))2+ (wij · yij− 1)2 = 0].
Lembrando que um ˜L-termo pode ser escrito como p(¯x, f1(¯x(1), . . . , fl(¯x(l)))), temos, por-
tanto, N _ i=1 M ^ j=1 (tij(¯x, ~z)∗ 0) ∼ N _ i=1 M ^ j=1 ∃˜yij(pij(¯x, ~z, ˜yij, f1ij, . . . , flijij) = 0), sendo que fij 1 , . . . , f ij
lij ∈ R e pij é um polinômio em R. Como as variáveis ˜yij, ¯x, ~z são diferentes
entre si, segue que os quantificadores comutam com disjunções e conjunções finitas. Dessa forma, podemos aceitar que
θ(¯x, ~z) =∃˜y11· · · ∃˜y1M· · · ∃˜yN1· · · ∃˜yN M N _ i=1 M ^ j=1 (pij(¯x, ~z, ˜yij, f1ij, . . . , f ij lij) = 0)
Para finalizar, observamos que
N _ i=1 M ^ j=1 pij = 0∼ N Y i=1 M X j=1 p2ij = 0
e, assim, temos a equivalência
φ(¯x)↔ ∃~z∃˜y11· · · ∃˜y1M· · · ∃˜yN1· · · ∃˜yN M N Y i=1 M X j=1 p2ij(¯x, ~z, ˜yij, f1ij, . . . , f ij lij) = 0,
válida na estrutura hR, { f : f ∈ R}i.
Em outros termos, esta última proposição afirma que os conjuntos ∃1-definíveis em hR, { f }if∈R
podem ser escritos como projeções de conjuntos de zeros de funções. Como podemos notar, algumas características destes conjuntos definíveis dependem apenas de quão suave são as
funções f1, . . . , fl20 que os definem. Assim, por exemplo, se as funções f1, . . . , fl são contí-
nuas, então p(¯x, ~y, f1(¯x, ~y), . . . , fl(¯x, ~y)) é também contínua e, consequentemente, o conjunto
{ (¯x, ~y) : p(¯x, ~y, f1(¯x, ~y), . . . , fl(¯x, ~y)) = 0} é fechado. Visto que estas caracterizações são de
nosso interesse, listamos, subsequentemente, suposições sobre o conjunto de funções R, das quais destacaremos algumas consequências.
Suposição 2.5.2. A coleção R de funções satisfaz as seguintes condições: (R1) Cada Rn consiste de funções C1.
(R2) A coleção dos conjuntos definíveis sem quantificadores em hR, { f : f ∈ R}i satisfaz (EF5).
(R3) Se A é ∃1-definível em hR, { f : f ∈ R}i, então A também o é.
Definição 2.5.3. Seja S = hSn : n ≥ 1i a sequência, em que cada Sn é a coleção dos
subconjuntos de Rn definíveis sem quantificadores em hR, { f : f ∈ R}i.
Então, S é uma estrutura fraca, conforme a Definição 2.1.3. Lema 2.5.4. S satisfaz (EF1)-(EF4).
Demonstração.
(EF1) Sejam A, B ∈ Sn definidos pelas fórmulas abertas φA(¯x, ~y) e φB(¯x, ˜z), respectiva-
mente. Logo, a conjunção φA(¯x, ~y)∧ φB(¯x, ˜z) é uma fórmula aberta que define A∩ B.
(EF2) É imediato da definição de conjunto semi-algébrico.
(EF3) Considere A ∈ Sn e B ∈ Sm e sejam φA(¯x, ˆy) e φB(~x, ˜z) as fórmulas abertas que
definem, respectivamente, tais conjuntos. Assim, a fórmula aberta φA(¯x, ˆy)∧ φB(~x, ˜z) define
A× B.
(EF4) Sejam A ∈ Sn e σ : Rn → Rn uma bijeção linear. Então, σ−1: Rn → Rn é também
bijeção linear.
20
Considere B = {e1, . . . , en} a base canônica de Rn. Então, Bσ ={σ−1(e1), . . . , σ−1(en)} é
uma base de Rn. Podemos, portanto, expressar os elementos de B
σ na base canônica B, σ−1(e 1) = λ11e1+ · · · +λn1en= (λ11, . . . , λn1) ... ... ... ... σ−1(e n) = λ1ne1+ · · · +λnnen= (λ1n, . . . , λnn)
Assim, para qualquer ¯y ∈ Rn, segue que
σ−1(y1, ..., yn) = (y1, . . . , yn)Bσ = (y1λ11+· · · + ynλ1n, . . . , y1λn1+· · · + ynλnn). Portanto, ¯ y∈ σ[A] ⇔ σ−1(¯y)∈ A ⇔ (y1λ11+· · · + ynλ1n, . . . , y1λn1+· · · + ynλnn)∈ A ⇔ n ^ i=1 (xi = y1λi1 +· · · + ynλin)∧ φA(¯x, ˜b),
sendo que ˜b ∈ R e φA define A.
Logo, σ[A] ∈ Sn.
Lema 2.5.5. Se cada Rn consiste de funcões C0, então S satisfaz (EF6).
Demonstração. Fixe n∈ N+. Seja A ∈ S
n. Então,
A ={ ¯x ∈ Rn
:hR, { f : f ∈ R}i |= φA(¯x, ˜b)}, com φA(¯x, ˜y) aberta e ˜b∈ Rk.
Pelo Lema 2.5.1, existem p ∈ R[z1, . . . , zm+n+l] e funções f1, . . . , fl ∈ R tal que
φA(¯x, ˜y)∼ ∃~y p(¯x, ~y, f1(¯x, ~y), . . . , fl(¯x, ~y)) = 0.
Portanto, A = { ¯x ∈ Rn :hR, { f : f ∈ R}i |= ∃~y p(¯x, ~y, f
Seja h: Rn+m→ Rm+n+l dada por
h = (idm+n, f1, . . . , fl),
em que idm+n é a identidade.
Uma vez que, as funções f1, . . . , fl são contínuas, segue que h é contínua. Logo, f = p ◦ h
também o é.
Seja Z(f) = { (¯x, ~y) ∈ Rn+m : f (¯x, ~y) = 0} o conjunto dos zeros de f.
Então, Z(f) ∈ Sn+m. Também, Z(f) pode ser escrito como f−1[{ 0 }]. Logo, Z(f) é um
fechado de Rn+m.
Como A = πn+m,n[Z(f )], então segue o resultado.
Como consequência imediata deste lema, temos que se (R1) vale, então S satisfaz (EF6). Assim, se ambas as condições (R1) e (R2) valem, então S é uma estrutura fraca o-minimal, de acordo com a Definição 2.1.6.
Já a condição (R3) acarreta o seguinte fato: a coleção Ch(S) corresponde a dos conjuntos ∃1-definíveis em hR, { f : f ∈ R}i, conforme mostra o próximo resultado.
Lema 2.5.6. Suponha que a condição (R3) valha. Então, Ch(S) = Spr.
Demonstração. Em primeiro lugar, lembremos, da Definição 2.1.10, que Ch(S) = [
i∈N
Si
, comSi+1 = (((Si
)u)pr)cl e S0 =S.
Basta, portanto, mostrarmos que Si =Spr, para todo i ∈ N+. Isto será feito por indução
em i.
Vejamos que S1 =Spr.
Afirmação 1. Su =
S.
Prova da Afirmação. Fixe n≥ 1. Então, diretamente da definição de Su
n, segue que Sn⊆ Snu.
Por outro lado, dado A ∈ Su
n, temos que A = p [ i=1 Ai, com p ≥ 1 e Ai, . . . , Ap ∈ Sn.
Seja φAi a fórmula aberta que define Ai. Então,
p _ i=1 φAi define A e é aberta. Assim, Su n ⊆ Sn. Portanto, S1 = (Spr)cl.
Observemos, agora, a asserção subsequente. Afirmação 2. (Spr)cl =Spr.
Prova da Afirmação. Seja A∈ (Spr)cl. Então,
A = A0∩ p \ i=1 Ai, com p ≥ 1 e A0, A1, . . . , Ap ∈ Spr.
Pela condição (R3), A1, . . . , Ap ∈ Spr. Pelo Lema 2.5.4, S goza das propriedades (EF1)-
(EF4) e, então, pelo Lema 2.1.9,
A = A0∩ p
\
i=1
Assim, (Spr)cl
⊆ Spr.
Por outro lado, fixando n ∈ N+ e A ∈ Spr
n , temos que A = πm,n[B], para algum m ≥ n e
B ∈ Sm.
Assim, A pode ser escrito da forma
A = A0∩ p \ i=1 Ai, em que A0 = πm,n[B] e p = 0. Portanto, A ∈ (Spr)cl e, assim, Spr ⊆ (Spr)cl.
Como consequência desta afirmação, temos que S1 =Spr.
Agora, suponha que Si =Spr. Vejamos, então, que Si+1 =Spr.
Por definição, Si+1 = (((Si)u)pr)cl. Logo, pela hipótese de indução, Si+1 = (((Spr)u)pr)cl.
Considere, então, o seguinte resultado. Afirmação 3. (Spr)u = (Su)pr.
Prova da Afirmação. Fixe n∈ N+.
Seja A ∈ (Spr)u n. Então, A = p [ i=1 Ai, com p ≥ 1 e A1, . . . , Ap ∈ Snpr. Consequentemente, Ai = πmi,n[Bi],
sendo que mi ≥ n e Bi ∈ Smi, para todo i.
Tome m = max{ m1, . . . , mp}. Então,
para qualquer i.
Uma vez que πmi,n[Bi] = πm,n[Bi× R
m−mi], então πm,n[ p [ i=1 (Bi× Rm−mi)] = p [ i=1 πm,n[Bi× Rm−mi] = p [ i=1 πmi,n[Bi] = p [ i=1 Ai = A. Portanto, A ∈ (Su)pr n. Inversamente, dado A ∈ (Su)pr n, temos que A = πm,n[B], com m ≥ n e B ∈ Su m. Consequentemente, B = p [ i=1 Di, de sorte que p ≥ 1 e Di ∈ Sm. Logo, A = πm,n h[p i=1 Di i = p [ i=1 πm,n[Di]. Assim, A ∈ (Spr)u n.
Portanto, Si+1 = (((Su)pr)pr)cl. Por conta da Afirmação 1, temos que Si+1 = ((Spr)pr)cl.
Além disso, (Spr)pr = Spr. Logo, Si+1 = (Spr)cl. Finalmente, pela Afirmação 2, temos que
(Spr)cl =Spr.
Por conseguinte, Si+1 =Spr.
Finalmente, juntando (R1), (R2) e (R3) obtemos a modelo completude da expansão hR, { f : f ∈ R}i.
completa.
Demonstração. Demonstraremos o item (d) do Teorema 1.3.5. Para isso, considere a seguinte afirmação.
Afirmação. Os conjuntos∃1-definíveis emhR, { f : f ∈ R}i são fechados sob complementos.
Prova da Afirmação. Sejam A, B ⊆ Rn definidos, em hR, { f : f ∈ R}i, por fórmulas
existenciais da linguagem ˜L = L∪ {f : f ∈ R}.
Pelo Lema 2.5.1, A e B podem ser expressos na forma { ¯x : ∃~y f(¯x, ~y) = 0 }, de modo que f é uma função C1 e Gr(f) ∈ S.
Uma vez que (R3) é válida, então, pelo Lema 2.5.6, segue que Spr = Ch(S). Logo,
A, B ∈ Ch(S).
Agora, visto que (R1) e (R2) valem, então S é uma estrutura fraca o-minimal. Desta forma, pelo Teorema 2.4.2, existe T ∈ Ch(S) tal que δ(A) ⊆ T e ˚T = ∅. Em outros termos, a Suposição 2.2.6 é válida. Por conseguinte, o Teorema da Decomposição Celular (i. e., Teorema 2.2.7) fica estabelecido para Ch(S).
Assim, pelo TDC, existe E = { C1, . . . , Cl}, decomposição de Rn que particiona A e B.
Considere, agora, os seguintes conjuntos finitos de índices
IA+ ={ j ≤ l : Cj ⊆ A } e IA−={ j ≤ l : Cj ∩ A = ∅ } e IB+={ j ≤ l : Cj ⊆ B } e IB− ={ j ≤ l : Cj∩ B = ∅ }. Então, A\ B =[{Cj : j ∈ IA+∩ I − B}.
Uma vez que Ch(S) é fechado por reunião finita, segue que A \ B ∈ Ch(S).
Novamente, como Ch(S) = Spr, então A \ B ∈ Spr. E, assim, segue a afirmação.
Considere, agora, uma fórmula β(¯x) da linguagem ˜L. Então, pelo Teorema 1.1.9, existe uma fórmula aberta ψ(¯x, ~y) tal que
⊢ β(¯x) ↔ Qmym· · · Q1y1ψ(¯x, ~y),
de forma que Qi ∈ {∃, ∀}.
É suficiente, então, mostrar por indução em m, que Qmym· · · Q1y1ψ(¯x, ~y) é equivalente,
em hR, { f : f ∈ R}i, a uma fórmula existencial.
De fato, o caso m = 0 é trivial, já que ψ(¯x, ~y) é, em particular, uma fórmula existencial. Suponha m > 0 e que o resultado valha para todo 0 ≤ j < m.
Então, para todo ¯x ∈ R,
hR, { f : f ∈ R}i |= Qm−1ym−1· · · Q1y1ψ(¯x, ~y)↔ ∃˜zθ(¯x, ym, ˜z),
com θ aberta.
Se Qm =∃, então
hR, { f : f ∈ R}i |= ∃ymQm−1ym−1· · · Q1y1ψ(¯x, ~y)↔ ∃ym∃˜zθ(¯x, ym, ˜z).
E, portanto, segue o resultado. Se Qm =∀, então
hR, { f : f ∈ R}i |= ∀ymQm−1ym−1· · · Q1y1ψ(¯x, ~y)↔ ∀ym∃˜zθ(¯x, ym, ˜z).
Note que,
Além disso, ¬∃˜zθ(¯x, ym, ˜z) define o complementar, em relação a Rn, do conjunto definido
por ∃˜zθ(¯x, ym, ˜z).
Logo, pela Afirmação, temos que ¬∃˜zθ(¯x, ym, ˜z) é equivalente, em hR, { f : f ∈ R}i, a
uma fórmula existencial ∃ ˆwθ1(¯x, ym, ˆw).
Consequentemente,
hR, { f : f ∈ R}i |= ∃ym¬∃˜zθ(¯x, ym, ˜z)↔ ∃ym∃ ˆwθ1(¯x, ym, ˆw).
De maneira análoga, segue, novamente pela Afirmação, que
hR, { f : f ∈ R}i |= ¬(∃ym∃ ˆwθ1(¯x, ym, ˆw))↔ ∃ˇtθ2(¯x, ˇt),
com θ2 aberta.
Portanto,
hR, { f }if∈R |= ∀ymQm−1ym−1· · · Q1y1ψ(¯x, ~y)↔ ∃ˇtθ2(¯x, ˇt),
para todo ¯x ∈ R.
A o-minimalidade (no sentido modelo-teórico) de hR, { f : f ∈ R}i segue, então, facil- mente.
Corolário 2.5.8. Suponha que as condições (R1)-(R3) sejam satisfeitas. Então, a estrutura hR, { f : f ∈ R}i é o-minimal (no sentido modelo-teórico).
Demonstração. Seja A⊆ R definido por φA, i. e. A = {x ∈ R : hR, { f : f ∈ R}i |= φA(x)}.
Então, pelo Teorema 2.5.7, T h(hR, { f : f ∈ R}i) é modelo completa. Logo, pela definição, existe ψ aberta de sorte que
Logo,
hR, { f : f ∈ R}i |= ∀¯x(φA(¯x)↔ ∃~yψ(¯x, ~y)),
ou seja
A ={x ∈ R : hR, { f : f ∈ R}i |= ∃~yψ(¯x, ~y))}. Em palavras, A pode ser escrito como um conjunto ∃1-definível.
Assim, pelo Lema 2.5.6, A ∈ Ch(S). Portanto, por (EF5), A = A ∩ R é união finita de intervalos e pontos.
Como conclusão desta seção, podemos afirmar, com base no Teorema 2.5.7, que a tenta- tiva em obter a modelo completude de uma expansão, por funções, do corpo ordenado dos reais e, consequentemente, sua o-minimalidade, se reduz a averiguar se a expansão goza das propriedades (R1)-(R3).
Condições alternativas para modelo completude
3.1
Condições adicionais para uma estrutura ser modelo completa
O propósito deste capítulo é explorar outras condições além das (R1)-(R3), mencionadas na última parte do capítulo anterior, que sejam suficientes para lograrmos a modelo completude de uma expansão de R.
Lema 3.1.1. Todo conjunto definível numa expansão o-minimal (no sentido modelo-teórico) de R satisfaz (EF5).
Demonstração. Seja A um conjunto definido (com parâmetros) por φA(¯x, ˜a) numa expansão
o-minimal M de R.
Seja p(¯x, ~y) ∈ Z[¯x, ~y] o polinômio com a propriedade:
se Z ⊆ Rn é afim, então existe ~b ∈ Rm tal que Z = { ¯x : p(¯x,~b) = 0 },
conforme o comentário após a Definição 2.1.4.
Considere φ(¯x, ˜a, ~y) = [φA(¯x, ˜a)∧ (p(¯x, ~y) = 0)]. Então, pelo Teorema 0.3 (pág. 593) em
[12], existe N ∈ N tal que
Em outros termos, para todo Z ⊆ Rn afim, A∩Z tem no máximo N componentes conexas.
Note que, o Lema 3.1.1 garante a validade de (R2). Assim, juntamente com o Teorema 2.5.7, qualquer estrutura o-minimal hR, { f : f ∈ R}i que satisfaz (R1) e (R3) é modelo completa. Isto pode ter algum proveito ao analisarmos a modelo completude de um reduto. Em geral, redutos de estruturas modelo completas não são modelo completas. Contudo, redutos de estruturas o-minimais são, obviamente, o-minimais. Caminharemos, portanto, na direção de determinar condições alternativas a (R3).
Notação. Suponha f ∈ Rn e σ : { 1, . . . , n } → { −∞, 0, +∞ }. Seja Iσ ⊆ [−1, 1]n definido
por
Iσ = Iσ(1)× · · · × Iσ(n),
de sorte que I−∞= [−1, 0[, I0 = [−1, 1] e I+∞ =]0, 1].
Então, para cada σ, definimos fσ : Iσ → R por
fσ(¯x) = f (¯xσ), sendo que ¯ xσ = (σ1(¯x), . . . , σn(¯x)) e σi(¯x) = ( xi se σ(i) = 0 1 xi se σ(i)6= 0 .
A seguir, listamos todas as condições sobre R nas quais estaremos interessados subsequen- temente.
(R1) Cada Rn consiste de funções C1.
(R2) A coleção dos conjuntos definíveis sem quantificadores em hR, { f : f ∈ R}i satisfaz (EF5).
(R3) Se A é ∃1-definível em hR, { f : f ∈ R}i, então A também o é.
(R4) Seja W ⊆ [−1, 1]n um conjunto da forma
W ={ ¯x ∈ [−1, 1]n : (f (¯x) = 0)∧ V σ(i)=+∞ (xi > 0)∧ V σ(i)=−∞ (xi < 0)},
em que f(¯x) é da forma p(¯x, f1(¯x), . . . , fl(¯x)), com p ∈ R[z1, . . . , zn+l]; f1, . . . , fl ∈ R e
σ :{ 1, . . . , n } → { −∞, 0, +∞ }.
Então, W é ∃1-definível em hR, { f : f ∈ R}i.
(R5) Sejam f ∈ Rn e σ : { 1, . . . , n } → { −∞, 0, +∞ }. Então, existe h ∈ Rn tal que
h ↾ Iσ = fσ.
(R6a) Todas as funções em R são C∞.
(R6b) hR, { f : f ∈ R}i é polinomialmente limitada, i. e. para cada função definível f : R → R, existem a > 0 e p ∈ N tal que
|f(x)| < xp, para todo x > a.
(R6c) R é fechado sob a derivação parcial, i. e. se f ∈ Rn, então ∂x∂f
i ∈ Rn, para i ∈ { 1, . . . , n }.
Note que, (R4) segue da afirmação: se A é definível sem quantificadores em hR, { f }f∈Ri,
então A também o é. Apresentamos a condição (R4) nesta forma “mais complicada”, numa tentativa de afirmar os resultados finais da maneira mais forte possível.
Estaremos interessados apenas no caso em que (R1) vale. Portanto, o fato da condição (R5) valer para cada f ∈ Rn implica que fσ deve ser sempre estendível a uma função C1 com
domínio Rn.
Aviso. Quando nos referirmos à conjunção das condições (R6a),(R6b) e (R6c), usaremos apenas (R6).
Mostraremos, primeiro, que (R3) pode ser enfraquecido para (R4), caso (R5) valha. Pos- teriormente, mostraremos que se (R6) vale, então (R4) vale.
Teorema 3.1.2. Suponha que (R1), (R2), (R4) e (R5) valham. Então, T h(hR, { f : f ∈ R}i) é modelo completa.
Demonstração. Pelo Teorema 2.5.7, é suficiente mostrar que (R3) vale. Com efeito, seja A ⊆ Rm um conjunto ∃
1-definível (em hR, { f : f ∈ R}i). Pelo Lema
2.5.1, A pode ser escrito na forma πn,m[B], de modo que
B ={ ¯x : p(¯x, f1(¯x), . . . , fl(¯x)) = 0}, com f1, . . . , fl∈ R e p ∈ R[z1, . . . , zn+l]. Considere os intervalos I−∞ = [−1, 0[ J−∞=]− ∞, −1] I0 = [−1, 1] e J0 = [−1, 1] I+∞ =]0, 1] J−∞= [1, +∞[.
Fixe σ : { 1, . . . , n } → { −∞, 0, +∞ }. Então, definimos Bσ por
Bσ = B∩ (Jσ(1)× · · · × Jσ(n)).
E, definimos B∗ σ por
Bσ∗ ={ ¯x ∈ Iσ : p(¯xσ, f1(¯xσ), . . . , fl(¯xσ)) = 0}.
Mas, fi(¯xσ) = fiσ(¯x), para i = 1, . . . , l e todo ¯x ∈ Iσ. Logo, por (R5), existem h1, . . . , hl
em R tais que
Dessa forma, podemos reescrever B∗ σ como
Bσ∗ ={ ¯x ∈ Iσ : p(¯xσ, h1(¯x), . . . , hl(¯x)) = 0}.
Uma vez que o polinômio p pode ser escrito na forma p =Xai1···in+lz i1 1 · · · zninz in+1 n+1 · · · z in+l n+l, temos, p(σ1(¯x), . . . , σn(¯x), h1(¯x), . . . , hl(¯x)) = 0 se, e somente se X ai1···in+lσ i1 1 (¯x)· · · σnin(¯x)h in+1 n+1(¯x)· · · h in+l n+l(¯x) = 0.
Pela definição de σi(¯x), temos que este é igual ou a xiou a x1i, com ¯x = (x1, . . . , xi, . . . , xn).
Sejam j1, . . . , jm ∈ { 1, . . . , n } tais que
σj1(¯x) = 1 xj1 , . . . , σjm(¯x) = 1 xjm .
Então, multiplicando pelo produtório, em todas as configurações i1· · · in+l, de 1/[σ ij1
j1 (¯x)· · · σ
ijm jm (¯x)]
ambos os lados da igualdade X ai1···in+lσ i1 1 (¯x)· · · σ in n(¯x)h in+1 n+1(¯x)· · · h in+l n+l(¯x) = 0. chegamos a X ai1···in+lx ik1 k1 · · · x ikp kpx ˜ij1 j1 · · · x ˜ijm jm h in+1 n+1(¯x)· · · h in+l n+l(¯x) = 0, em que { k1, . . . , kp} = { 1, . . . , n } \ { j1, . . . , jm} e ˜ijs = P
ijs (somatória sobre todas as
configurações distintas de i1· · · in+l), para s = 1, . . . , m.
Logo,
Bσ∗ ={ ¯x ∈ Iσ : q(¯x, h1(¯x), . . . , hl(¯x)) = 0}.
Como ¯x ∈ Iσ, então pela definição de Iσ, temos
xi < 0, sempre que xi ∈ Iσ(i) e σ(i) = −∞
e
xi > 0, sempre que xi ∈ Iσ(i) e σ(i) = +∞.
Portanto, Bσ∗ ={ ¯x ∈ [−1, 1]n : q(¯x, h1(¯x), . . . , hl(¯x)) = 0∧ ^ σ(i)=+∞ (xi > 0)∧ ^ σ(i)=−∞ (xi < 0)}. Logo, por (R4), B∗ σ é um conjunto ∃1-definível.
Seja ψ(¯x) a fórmula que define B∗
σ. Então, ∃y1· · · ∃yn−mψ(¯x, y1, . . . , yn−m) define πn,m B∗ σ . Agora, considere Aσ ={ ~x : ∃~y( ^ σ(i)6=0 (xiyi = 1)∧ ^ σ(i)=0 (xi = yi)∧ ~y ∈ πn,m B∗ σ )}.
Seja, também, Σ o conjunto de todas as funções σ : { 1, . . . , n } → { −∞, 0, +∞ }.
Afirmação. A = S
σ∈Σ
Aσ.
Prova da Afirmação. Vejamos que Aσ ⊆ A, para todo σ ∈ Σ.
(∗) yi = ( xi, se σ(i) = 0 1 xi, se σ(i) 6= 0 e ~y ∈ πn,m[Bσ∗].
Note que, de (∗), obtemos
(∗∗) ~yσ = (σ1(~y), . . . , σm(~y)) = (x1, . . . , xm) = ~x.
De ~y ∈ πn,m[Bσ∗], segue que existe ˆy = (y1, . . . , yn−m) ∈ Rn−m tal que ¯y = (~y, ˆy) ∈ Bσ∗.
Então, existe uma sequência (¯yj)j = (~yj, ˆyj)j em Bσ∗ tal que ¯yj → ¯y. Consequentemente,
¯
yj ∈ Iσ e f(¯yjσ) = p(¯yjσ, f1(¯yjσ), . . . , fl(¯yjσ)) = 0, para todo j.
Desta última afirmação, segue que
(∗ ∗ ∗) (¯yjσ)j ∈ B.
Vejamos, agora, que se ¯yj → ¯y, então ~yjσ → ~yσ.
De fato, pela definição, ~yjσ = (σ1(¯yj), . . . , σn(¯yj)), com
σi(~yj) = ( yji, se σ(i) = 0 1 yji, se σ(i) 6= 0 .
Assim, para todo i ∈ { 1, . . . , m }, σi(~yj)→ σi(~y).
Com efeito, fixemos i ∈ { 1, . . . , m }. Considere a sequência (σi(~yj))j.
Se σ(i) = 0, então σi(~yj) = yji, para todo j. Logo, pela hipótese (i. e., ¯yj → ¯y, que tem
Se σ(i) 6= 0, então σi(~yj) = y1ji, para todo j, e σi(~y) = y1i. Pela hipótese, lim j yji = yi. Logo, lim j 1 yji = 1 yi (= σi(~y)).
Agora, de (∗ ∗ ∗), temos que (~yjσ)j ∈ πn,m[B]. Portanto, ~yσ ∈ πn,m[B].
Então, de (∗∗), concluímos que ~x ∈ πn,m[B] = A.
Vejamos, agora, que A ⊆ S
σ∈Σ
Aσ.
Por conveniência, vamos dividir a demonstração deste caso em etapas. Etapa 1: Aσ é fechado, qualquer que seja σ ∈ Σ.
Com efeito, fixemos σ ∈ Σ. Seja ~x ∈ Aσ. Então, existe uma sequência (~xj)j em Aσ tal que
~xj → ~x.
Pela definição de Aσ segue que
(1∗) para todo j existe ~y
j tal que ~yj ∈ πn,m[Bσ∗] e yji = ( xji, se σ(i) = 0 1 xji, se σ(i) 6= 0 , ou seja ~yj = ~xjσ.
Como ~xj → ~x, então (~yj =) ~xjσ → ~xσ.
Chamemos ~xσ de ~y. Então, ~y ∈ πn,m[B∗σ].
De fato, de (1∗), temos que
Como B∗
σ é compacto, então (~yj, ˆyj)j possui subsequência convergente em Bσ∗, digamos
(~yjk, ˆyjk)→ (~z, ˆz) ∈ B
∗ σ.
Uma vez que ~yj → ~y, então lim
k yjk = ~y. Logo, ~z = ~y. Assim, ~y∈ πn,m[B ∗ σ].
Portanto, pela definição de Aσ, ~x ∈ Aσ.
Etapa 2: A ⊆ S
σ∈Σ
Aσ.
De fato, seja ~x ∈ A. Então, existe uma sequência (~xj)j em A tal que ~xj → ~x. Logo, para
todo j, existe ˆxj ∈ Rn−m tal que
(1**) x¯j = (~xj, ˆxj)∈ B.
Para cada i ∈ { 1, . . . , n }, temos xji ∈ R. Assim,
xji ≤ −1 | {z } xji∈J−∞ ou −1 ≤ xji ≤ 1 | {z } xji∈J0 ou xji ≥ 1 | {z } xji∈J+∞ .
De qualquer modo, existe σ : { 1, . . . , n } → { −∞, 0, +∞ } tal que ¯
xj ∈ Bσ = B∩ (Jσ1 × · · · × Jσ(n)).
Ou seja, para todo j, existe σ ∈ Σ tal que ¯xj ∈ Bσ.
Além disso,
(2**) x¯jσ ∈ Iσ,
já que, para cada i ∈ { 1, . . . , n },
se σ(i) 6= 0, então σi(¯xj) = x1 ji ∈ ( I−∞, caso xji ∈ J−∞ I+∞, caso xji ∈ J+∞ . Definamos, agora, ¯yj = (yj1, . . . , yjn) de sorte que
yji= ( xji, se σ(i) = 0 1 xji, se σ(i)6= 0 , para i∈ { 1, . . . , n } e todo j ∈ N. Então, ¯yjσ = ¯xj.
De (2**), temos que ¯yj ∈ Iσ.
De (1**), temos que ¯yjσ ∈ B, i. e.
f (¯yjσ) = p(f1(¯yjσ), . . . , fl(¯yjσ), ¯yjσ) = 0.
Logo, pela definição de B∗
σ, ¯yj ∈ Bσ∗ ⊆ Bσ∗.
Portanto, ~yj ∈ πn,m[Bσ∗]. Segue, então, da definição de Aσ, que ~xj ∈ Aσ.
Em resumo, para todo j,
~xj ∈ [ σ∈Σ Aσ. Portanto, ~x ∈ S σ∈Σ Aσ.
Para concluir o caso em questão, observamos que |Σ| < ω e, assim, [ σ∈Σ Aσ = [ σ∈Σ Aσ.
Da Etapa 1, segue que
[ σ∈Σ Aσ = [ σ∈Σ Aσ.
Finalmente, da Etapa 2, concluímos que
A⊆ [
σ∈Σ
Aσ.
Seja ∃~yσφσ a fórmula que define Aσ, para cada σ ∈ Σ. Seja p = |Σ|. Então, S
σ∈Σ
Aσ é
definido por
∃~yσ1φσ1 ∨ · · · ∨ ∃~yσpφσp,
que é equivalente, em hR, { f : f ∈ R}i, a
∃~yσ1· · · ∃~yσp(φσ1 ∨ · · · ∨ φσp).
Portanto, A é ∃1-definível (em hR, { f : f ∈ R}i).
Notação. Para cada f ∈ R, seja ˜f : Rn → R a função restrita dada por
˜ f (¯x) = ( f (¯x), se ¯x∈ [−1, 1]n 0, se ¯x∈ Rn\ [−1, 1]n . Escrevemos, também, ˜Rn={ ˜f : f ∈ Rn} e ˜R = S n∈N+ ˜ Rn.
O resultado seguinte (Teorema 3.1.3) é uma generalização de um resultado de Gabrielov em ([9], pág. 5), no qual ele assume que ˜R é uma coleção de funções analíticas restritas, que é fechado sob diferenciação parcial. Ele também assume que a coleção contém as funções coordenadas e as funções constantes e tal coleção forma um anel. No nosso caso, estas condições são omitidas.
Este resultado é mais forte do que precisa ser para nossos propósitos, que é obter (R4). Todavia, pode ser de algum interesse independente.
Antes de abordarmos, de fato, o Teorema 3.1.3, explicitamos abaixo uma proposição sobre a expansão de Taylor de funções do tipo f : Rn → R. Tal asserção é afirmada aqui de modo
idêntico à encontrada em ([13], pág. 360) e será usada no resultado subsequente.
Fato (Expansão de Taylor). Sejam κ ∈ N e f : Rn → R uma função que é Cκ+1 numa
vizinhança de uma bola fechada B(¯a, r)⊆ Rn. Então, para ¯x∈ B(¯a, r),
f (¯x) = X 0≤j1+···+jn≤κ ∂j1+···+jnf ∂xj1 1 · · · ∂x jn n (¯a)· (x1− a1) j1· · · (x n− an)jn (j1)!· · · (jn)! +Rκ,¯a(¯x), sendo que |Rκ,¯a(¯x)| ≤ C0k¯x − ¯ak κ+1 (κ + 1)! e C0 = sup ¯ y∈B(¯a,r) j1+···+jn=κ+1 ∂j1+···+jnf ∂xj1 1 · · · ∂x jn n (¯y) .
Teorema 3.1.3. Suponha que R satisfaça (R2) e (R6). Seja X ⊆ [−1, 1]n um conjunto da
forma X ={ ¯x ∈ [−1, 1]n: ˜f (¯x) = 0 ∧ ˜g1(¯x) > 0∧ · · · ∧ ˜gk(¯x) > 0}, de sorte que ˜ f é da forma p(¯x, ˜f1(¯x), . . . , ˜fl(¯x)),
com p∈ R[z1, . . . , zn+l] e ˜f1, . . . , ˜fl∈ ˜R, e cada ˜gi ou é um polinômio ou está em ˜R. Então,
X é definível sem quantificadores em hR, { ˜f : ˜f ∈ ˜R}i. Demonstração. Introduziremos alguma notação que nos será bastante útil. Notação.
• Sempre que uma propriedade for verdadeira para todos os ˜gi’s, diremos que é verdadeira
para ˜g. Por exemplo, X ={ ¯x : ˜f (¯x) = 0∧ ˜g(¯x) > 0 }. • A função k · k: Rn→ R denota a norma euclideana.
Para facilitar a demonstração, vamos proceder através de etapas. Etapa A: Seja A ={ (ε, δ) : ∃¯x[d(¯x, X) < ε 2∧ sup{˜gmin(¯y) : ¯y∈ B[¯x, ε]} = δ }, em que ˜
gmin(¯y) = min{ ˜g1(¯y), . . . , ˜gk(¯y)},
B[¯x, ε] ={¯y ∈ X : k¯y − ¯xk ≤ ε} e d é a função distância.
Note que A ⊆]0, ∞[×]0, ∞[. Vejamos que existem κ ∈ N+ e ρ
1 > 0, tal que
(1∗) se (ε, δ) ∈ A e ε ∈]0, ρ
1[, então εκ−1< δ.
Afirmação 1. Seja (ε, δ) ∈ A. Se δ = 0, então ε = 0. Prova da Afirmação. Suponha, por contradição, que ε > 0.
De (ε, 0) ∈ A, segue que existe uma sequência (εi, δi)i em A tal que εi → ε e δi → 0. Pela
definição de A, existe uma sequência ( ¯zi)i tal que
d(¯zi, X) < εi 2 e y∈B[¯¯ supzi,εi] ˜ gmin(¯y) = δi. Logo, (¯zi)i é limitada 1.
Por Bolzano-Weierstrass, (¯zi)i tem subsequência convergente. Por conveniência, vamos
escrever a subsequência como (¯zi)i ao invés de (¯zij)j.
1
Primeiro, X ⊆ [−1, 1]n
⊆ B(0,√n) (bola aberta de centro 0 e raio √n). Além disso, (εi)i é limitada,
pois é convergente. Consequentemente, existe s ∈ R+ tal que ε
i ∈] − s, s[, para todo i ∈ N. Portanto,
¯
Seja ¯z = lim
i z¯i. Então,
lim
i d(¯zi, X) = d(¯z, X).
Assim, tomando o limite de d(¯zi, X) < ε2i, obtemos
d(¯z, X)≤ ε 2. Uma vez que
d(¯z, X) = inf{ k ¯w− ¯zk : ¯w∈ X }, então existe ¯y0 ∈ X de sorte que
k¯y0− ¯zk ≤
ε 2.
Vejamos, agora, que para todo ¯w∈ X tal que k ¯w− ¯xk ≤ ε
2, segue que ˜gmin( ¯w)≤ 0.
Com efeito, fixemos ¯y ∈ X, tal que k¯y − ¯xk ≤ ε
2, e seja r > 0 arbitrário.
De δi → 0, segue que existe J0 ∈ N, de sorte que δi < r, para todo i > J0.
De ¯zi → ¯z, segue que existe J1 ∈ N de modo que k¯zi− ¯zk < 8ε, para qualquer i > J1.
Logo, k¯zi− ¯yk ≤ k¯zi− ¯zk + k¯y − ¯zk < ε 8+ ε 2 = 5ε 8 , para i > J1. De εi → ε, temos que existe J2 ∈ N tal que εi > 5ε8, qualquer que seja i > J2.
Agora, tome J3 > max{J0, J1, J2}.
Como J3 > J1, então k¯y − ¯zJ3k ≤
5ε
8. Logo,
˜
gmin(¯y) ≤ sup{˜gmin( ¯w) :k ¯w− ¯zJ3k ≤
5ε 8}. Já que εJ3 > 5ε 8, pois J3 > J2, então sup{˜gmin( ¯w) :k ¯w− ¯zJ3k ≤ 5ε 8} ≤ sup{˜gmin( ¯w) :k ¯w− ¯zJ3k ≤ εJ3} = δJ3.
Finalmente, dado que J3 > J0, temos δJ3 < r. Portanto, ˜gmin(¯y) < r.
Assim, ˜gmin(¯y)≤ 0.
Logo, pela definição de X, ¯y 6∈ X. (⇒⇐)
Portanto, ε = 0.
Seja θ : ]0, ∞[→ R dada por
θ(x) = inf Ax
Como A é definível em hR, { ˜f : ˜f ∈ ˜R}i, então θ também o é.
Uma vez que, para todo x ∈]0, ∞[, temos (x, θ(x)) ∈ A. Assim, pela Afirmação 1, θ(x) > 0. Dessa forma, podemos definir Ψ: ]0, ∞[→]0, ∞[ por
Ψ(x) = 1 θ 1x.
A função Ψ é definível em hR, { ˜f : ˜f ∈ ˜R}i, já que θ o é. Portanto, por (R6b), existem a∈ R+ e p ∈ N tal que Ψ(x) < xp, para x > a. Consequentemente, θ 1 x > 1 x p .
Tome ρ1 = 1a e κ = p + 1. Então, escrevendo ε = 1x, segue que
θ(ε) > εκ−1, para qualquer ε∈]0, ρ1[.
Para ε ∈]0, ρ1[ arbitrário, temos, pela definição de θ, que
θ(ε)≤ δ, qualquer que seja δ ∈ Aε.
Aviso. Fixemos κ e ρ1 como na Etapa A, daqui até o fim da demonstração.
Etapa B :
Seja ψ : [0, +∞[→ R com a propriedade:
para todo C > 0 existe a > 0 tal que |ψ(t)| ≤ C|tκ|, sempre que t ∈]0, a[.
Vejamos, então, que existe ρ > 0 tal que
(2∗) se (ε, δ) ∈ A e ε ∈]0, ρ[, então εκ+ ψ(ε) < δ.
De fato, para C = 1, temos que existe ρ2 > 0 de modo que
|ψ(t)| ≤ |tκ
| = tκ
, para todo t∈]0, ρ2[.
Tome ρ3 = min{ ρ1, ρ2,12 }.
Logo, para ε ∈]0, ρ3[ temos
εκ+ ψ(ε)≤ εκ+ εκ = 2 εκ−1ε≤ 2 εκ−11 2 = ε κ−1 (1 ∗ ) < δ. Etapa C :
Seja ˜gκ,x,i a soma dos termos que têm ordem no máximo κ e aparecem na expansão de
Taylor de ˜gi em torno do ponto x.
Novamente, sempre que uma propriedade é válida para todos os ˜gκ,¯x,i’s, escrevemos que é
Definimos φ(¯x, y) pela seguinte fórmula
(˜gκ,¯x(¯y)≥ kx − ¯ykκ)∧ (˜g(¯x) > 0 ∨ k¯x − ¯yk > 0).
O importante desta definição é que a variável ¯y ocorre livre na fórmula φ(¯x, ¯y), fato que usaremos na Etapa G.
Agora, considere
Gx¯ ={ ¯y : ˜f (¯y) = 0∧ φ(¯x, ¯y) }.
Afirmação 2. ¯a ∈ X se, e somente se, ¯a ∈ Ga¯.
Prova da Afirmação. Pela definição de X, segue que ¯a ∈ X se, e somente se, ˜f (¯a) = 0 e ˜
g(¯a) > 0.
Além disso, ˜gκ,¯a(¯a) = 0. Logo, φ(¯a, ¯a) vale e, assim, ¯a∈ G¯a.
Por outro lado, de ¯a ∈ G¯a, temos que ˜f (¯a) = 0, ˜gκ,¯a(¯a) = 0 e ˜g(¯a) > 0. Portanto, ¯a ∈ X.
Agora, seja ψ : [0, +∞[ → R a função dada por
ψg(t) = sup{ |˜gκ,¯a,i(¯y)− ˜gi(¯y)| : k¯y − ¯ak ≤ t, i = 1, . . . , k }.
Por (R6a), as funções ˜gi’s são C∞. Em particular, são Cκ+1.
Afirmamos que lim
t→0 ψg(t)
tκ = 0.
Com efeito, seja si > 0 tal que B(¯a, si)⊆ [−1, 1] n
, para cada i ∈ { 1, . . . , k }. Então, para todo ¯y ∈ B(¯a, si),
˜ g(¯y) = X 0≤j1+···+jn≤κ ∂j1+···+jn˜g i ∂xj1· · · ∂xjn(¯a)· (y1− a1)j1. . . (yn− an)jn j1!· · · jn!
+Rκ,¯a,i(¯y) = ˜gκ,¯a,i(¯y)+Rκ,¯a,i(¯y),
o que implica
com
|Rκ,¯a,i(¯y)| ≤
C0i
(κ + 1)!k¯y − ¯ak
κ+1.
Seja C0 = max{ C01, . . . , C0k}. Então,
|Rκ,¯a,i(¯y)| ≤
C0
(κ + 1)!k¯y − ¯ak
κ+1.
Seja, ainda, s = 1
2min{ s1, . . . , sk}. Então, para qualquer ¯y tal que k¯y − ¯ak ≤ s,
|Rκ,¯a,i(¯y)| ≤
C0
(κ + 1)!k¯y − ¯ak
κ+1, para i = 1, . . . , k.
Fixe t ∈ ]0, s]. Assim, dado ¯y, de sorte que k¯y − ¯ak ≤ t, |Rκ,¯a,i(¯y)| ≤ C0 (k + 1)!k¯y − ¯ak κ+1 ≤ C0 (κ + 1)!t κ+1.
Em resumo, para todo t ∈ ]0, s], ¯y ∈ { ¯w :k ¯w− ¯ak ≤ t } e todo i ∈ { 1, . . . , k }, |Rκ,¯a,i(¯y)| ≤ C0 (κ + 1)!t κ+1. Logo, ψg(t) = sup k¯y−¯ak≤t i=1,...,k |Rκ,¯a,i(¯y)| ≤ C0 (κ + 1)!t κ+1.
Portanto, segue que lim
t→0 ψg(t)
tκ = 0.
Como consequência imediata da definição de limite, existe ρ3 > 0 tal que
(⋆) |ψg(t)| < tκ, para todo t∈]0, ρ3[.
Prova da Afirmação. Sejam ¯a∈ G¯a e γ > 0. Então, existe ¯c ∈ X tal que k¯a − ¯ck < γ.
Com efeito, seja ¯c ∈ G¯a tal que k¯a − ¯ck < min{ γ, ρ3}2, sendo que ρ3 é o real positivo,
mencionado imediatamente antes do enunciado da Afirmação 3, que goza da propriedade (⋆). Então,
˜
gκ,¯a(¯c)≥ k¯a − ¯ckκ.
Como k¯a − ¯ck ∈]0, ρ3[, logo
|ψg(k¯a − ¯ck)| < k¯a − ¯ckκ.
Pela definição de ψg,
|˜gκ,¯a(¯c)− ˜g(¯c)| ≤ ψg(k¯a − ¯ck).
Combinando estas desigualdades, chegamos a
|˜gκ,¯a(¯c)− ˜g(¯c)| < ˜gκ,¯a(¯c).
Portanto, ˜g(¯c) > 0.
Visto que ˜f (¯c) = 0 (pois, ¯c∈ C¯a), então ¯c ∈ X.
Assim, para todo j > 0 existe ¯cj ∈ X tal que k¯cj − ¯ak < 1j.
Resta mostrar que lim
j ¯cj = ¯a.
De fato, dado r > 0 qualquer, temos que existe N0 ∈ N tal que N10 < r. Logo, para todo
j > N0, temos
k¯cj− ¯ak < 1j < N10 < r.
Ou seja, ¯a ∈ X.
2
De ¯a∈ G¯a, temos que existe uma sequência (¯cj)j em G¯a tal que ¯cj → ¯a. Pela definição de convergência,
para min{ γ, ρ3} existe J ∈ N de sorte que, para todo j > J, k ¯cj − ¯ak < min{ γ, ρ3}. Basta tomar ¯c = ¯cj,
Afirmação 4. Se ¯a ∈ X \ X, então ¯a ∈ G¯a.
Prova da Afirmação. Sejam ¯a∈ X \ X e γ > 0. Então, existe ¯c ∈ G¯a tal que k¯a − ¯ck < γ.
De fato, analogamente à Afirmação 3, seja ¯b ∈ X tal que k¯b − ¯ak < min{ γ, ρ }, de modo que ρ seja como na propriedade (2∗), na Etapa B, para a função ψ
g. Chamemos ε = k¯b − ¯ak. Seja, também, δ = sup ¯ y∈X k¯y−¯ak≤ε ˜ gmin(¯y). Então3, d(¯a, X) < ε
2. Portanto, pela definição de A, (ε, δ) ∈ A. Uma vez que ε ∈]0, ρ[,
segue, de (2∗), que
εκ+ ψ
g(ε) < δ.
Logo, da definição de supremo, existe ¯c ∈ X, com k¯a − ¯ck ≤ ε, tal que εκ+ ψ g(ε) < ˜gmin(¯c), ou seja εκ < ˜g min(¯c)− ψg(ε). Por definição de ψg, ψg(ε)≥ |˜gκ,¯a(¯c)− ˜g(¯c)|. Em particular, ˜ gκ,¯a(¯c)− ˜g(¯c) ≥ −ψg(¯ε), ou seja ˜ gκ,¯a(¯c)≥ ˜g(¯c) − ψg(¯ε). 3
De ¯a∈ X \ X temos que existe uma sequência (¯cj)j em X tal que ¯cj→ ¯a. Logo, para 2ε, existe J ∈ N tal
que∀j > J, k¯a − ¯cjk < 2ε. Portanto, pela definição de distância de um ponto a um conjunto, d(¯a, X) < ε 2.
Portanto,
˜
gκ,¯a(¯c) > εκ ≥ k¯a − ¯ckκ.
Uma vez que ˜f (¯c) = 0 e ˜g(¯c) > 0 (pois, ¯c∈ X), ¯c ∈ G¯a.
Analogamente à Afirmação 3, temos, portanto, que existe uma sequência (¯cj)j em G¯a de
sorte que lim
j ¯cj = ¯a. Assim, ¯a∈ G¯a.
Das afirmações 2, 3 e 4, segue, imediatamente, que ¯a ∈ X se, e somente se, ¯a ∈ G¯a.
Etapa D: Considere B ={ (ε, δ) : ε > 0 ∧ ∃¯x ∈ [−1, 1]n (d(¯x, X)≥ ε ∧ sup β∈]0,ε] min ¯
y∈Rn{ | ˜f (¯y)| : φ(¯x, ¯y) ∧ k¯x − ¯yk = β } = δ) }.
Note que B ⊆]0, ∞[×]0, ∞[.
Também, se ε é tal que existe δ, com (ε, δ) ∈ B, então
{ | ˜f (¯y)| : φ(¯x, ¯y) ∧ k¯x − ¯yk = β } 6= ∅, para todo β ∈ ]0, ε] . Vejamos que existem λ ∈ N+ e η
1 > 0 tais que
(3*) se (ε, δ) ∈ B e ε ∈]0, η1[, então ελ−1 < δ.
Afirmação 5. Seja (ε, δ) ∈ B. Se δ = 0, então ε = 0. Prova da Afirmação. Suponha, por absurdo, que ε > 0.
Logo, pela definição de B, existe uma sequência (¯zj)j em [−1, 1]n de sorte que d(¯zj, X)≥ εj e sup β∈]0,εj] min ¯ y∈Rn{ | ˜f (¯y)| : φ(¯zj, ¯y) ∧ k¯zj − ¯yk = β } = δj.
Como (¯zj)j é limitada (já que, ¯zj ∈ [−1, 1]n, para todo j), então possui subsequência
convergente. Por conveniência, chamemos tal subsequência de (¯zj)j.
Seja lim
j z¯j = ¯z.
Uma vez que d(¯zj, X)≥ εj, então d(¯z, X) ≥ ε.
Tome β ∈]0, ε[. Seja J ∈ N tal que β ∈]0, εj[, para todo j ≥ J4. Como
{ | ˜f (¯y)| : φ(¯z, ¯y) ∧ k¯zj− ¯yk = β } 6= ∅, para todo j ≥ J,
então existe uma sequência de testemunhas (¯uj)j≥J em Rn tal que, para j ≥ J:
(i) k¯zj− ¯ujk = β;
(ii) φ(¯zj, ¯uj) vale;
(iii) | ˜f (¯uj)| ≤ δj.
De (i), segue que (¯uj)j é limitada5. Portanto, possui subsequência convergente. Por
conveniência, escrevemos tal subsequência como (¯uj)j≥J.
Seja ¯u = lim
j u¯j.
Uma vez que ˜f é contínua, ˜f (¯uj) → f(¯u). Além disso, temos, de (iii), que | ˜f (¯uj)| ≤ δj,
para todo j ≥ J. Portanto,
| ˜f (¯u)| = | lim ˜f (¯uj)| ≤ lim δj = 0, ou seja| ˜f (¯u)| = 0.
4
Seja r = ε− β > 0. Então, de εj → ε, segue que existe J′ ∈ N tal que β = ε − r < εj < ε+ r, para todo
j > J′. Basta, portanto, tomarmos J = J′+ 1. 5
Logo,
˜
f (¯u) = 0.
De (i), segue que k¯zj − ¯ujk = β, para todo j ≥ J. Assim,