Algısal Öğrenme Stilleri 48 

As métricas para mensuração de riscos financeiros têm sido largamente empregadas em diversos setores como instrumentos para o gerenciamento de tais riscos. Grande parte delas tem origem no setor financeiro, no qual as incertezas sobre a evolução dos preços dos ativos (exemplo: ações) afetam diretamente as decisões e resultados.

Em Alexander (2010) são definidas as principais métricas de risco empregadas em finanças, com ênfase na aplicação do Value-at-Risk para a gestão de portfólio de ativos financeiros (ações), onde o autor ressalta a importância de que as métricas sejam escolhidas com cautela pelas instituições, pois devido à ampla gama de opções para seu emprego, muitas delas são utilizadas de forma equivocada em relação ao que se espera representar/resolver.

Na comercialização e geração de energia no setor elétrico, o enfrentamento de problemas envolvendo incertezas é comum, e modelos de programação estocástica têm sido desenvolvidos de forma a incorporar métricas de risco para o gerenciamento dessas e para subsidiar de informações os gestores em suas atividades comerciais de comercialização de contratos (cf. mais em Pilipovic, 2007).

Em Conejo et al. (2010) são definidas e formuladas, em linguagem de programação, as medidas de risco mais comumente empregadas em modelos de otimização estocástica aplicados para resolução de problemas do mercado de energia, a saber: média-variância (Teoria do Portfólio-Markowitz), probabilidade de déficit ou perdas (Shortfall probability), expectativa de perdas (Expected shortage), valor em risco (Value-at-Risk - VaR) e valor em risco condicional (Conditional Value-

at-Risk - CVaR).

Dentre estas, os autores destacam o CVaR como a principal e mais promissora métrica de risco a ser utilizada nesse tipo de programação. É definida como uma medida de risco coerente, isto é, atende às quatro principais propriedades matemáticas de acordo com Artzner et al. (1999):

i. Invariante por translação:

+ 𝛼. = − 𝛼: se adicionado a quantidade de ativo ‘alfa’ livre de risco ‘r’ a um portfólio X, necessariamente diminui o risco em ‘alfa’ (o contrário é verdadeiro).

ii. Subaditividade:

+ + : condiciona que o risco (ρ) de um conjunto de ativos X e Y seja menor ou igual à soma dos riscos individuais de cada ativo.

iii. Positivamente homogênea:

𝜆 = 𝜆 : se o ativo X for ampliado ou reduzido linearmente, o risco resultante também o será, pelo mesmo fator 𝜆 .

iv. Monotonicidade:

ã : dadas duas quantidades X e Y, o risco será menor para o ativo de menor quantidade (X≤Y).

A métrica de risco VaR não atende à propriedade de subaditividade na maioria dos casos e, por isso, não captura de maneira desejável a redução do risco ao se diversificar uma carteira, não sendo coerente do ponto de vista entre o efeito do binômio risco x retorno. O VaR somente é considerado uma métrica coerente no caso raro onde os retornos são normalmente distribuídos, conforme demonstrado em Alexander (2010).

Contudo, sendo o VaR a métrica base para o cômputo do CVaR, esta será objeto de estudo conforme explica-se a seguir com base nos estudos de Pflug (2007), Rockfellar e Uryasev (2010) e Conejo et al. (2010).

2.2.1 Value-at-Risk (VaR)

Com ampla aplicação na indústria de finanças, a metodologia Value-at-Risk

(VaR) é uma medida estatística que permite medir o risco inerente a cada carteira de

investimento, podendo ser definida como uma métrica capaz de aferir a mínima perda de uma posição (ou uma carteira) ativa ou passiva (comprada/vendida), em um determinado horizonte de tempo e com uma certa probabilidade de ocorrência (intervalo de confiança), Securato (1996). Por definição, o VaR também é capaz de mensurar o potencial de perda do Valor Presente (VP) de uma série de fluxos de caixa futuro.

Ao aplicar o VaR como métrica de risco, os gestores de carteiras visam obter respostas, por exemplo, aos questionamentos do tipo: (i) Quanto poderei perder com minha carteira atual, caso a mantenha por mais um período (1 dia, 1 semana)? (ii) Se eu adquirir outros ativos, aumentarei o risco global da carteira? Em quanto? (iii) Se estiver disposto a perder, no máximo, 5% do valor de minha carteira, como deverei estruturá-la?

Ao se exemplificar o conceito do VaR - considerando um investimento em horizonte de 20 dias e em um nível de confiança de 95% - um VaR de R$100.000,00 significa que a perda máxima da carteira nesse horizonte de tempo (20 dias) é de R$100.000,00 com 95% de confiança. Isso significa que há uma probabilidade de 5% (5 em cada 100 hipóteses) de que a perda nesse período supere os R$100.000,00.

A determinação do VaR pode ser obtida a partir da aplicação das principais metodologias, quais sejam, o método analítico; o método de simulação histórica; ou método de Monte Carlo.

A diferenciação básica entre as metodologias reside no fato de que o método analítico requer a estimação da matriz de correlações de volatilidades, assim como a decomposição e mapeamento de ativos/passivos para fatores de mercado previamente selecionados.

No método de simulação histórica, os dados são diretamente usados como cenários para o cálculo de risco; no método de simulação Monte Carlo, os cenários são gerados aleatoriamente, conforme a metodologia clássica largamente utilizada em várias áreas (ALEXANDER, 2010).

Segundo Conejo et al. (2010), o VaR pode ser definido, para um dado 𝛼 ∈ , , como aquele igual ao maior valor η que garante que a probabilidade de se obter um resultado menor que η é menor que 1- α. Em outras palavras, tem-se que o VaR (α,x) é o (1-α)-quantil da distribuição dos resultados; matematicamente, o VaR (α,x) é definido conforme a Equação (1):

𝛼, = {𝜂: 𝜔| , 𝜔 < 𝜂 − 𝛼}, ∀ 𝛼 ∈ , (1)

Observe-se que η não é um parâmetro dado, mas sim a medida de risco associada à variável randômica que representa o resultado (exemplo: receita, lucro, retorno, cenários, etc.). O índice ω representa cada cenário.

As principais limitações à aplicação do VaR consistem no fato de que (i) esse parâmetro não fornece a medida das perdas potenciais que excedem o valor do próprio VaR; (ii) quando empregada para otimização de carteiras, pode causar um alongamento na cauda da curva de distribuição de perdas, criando um potencial de perdas mais elevadas quando estas ultrapassam os próprios valores do VaR; e (iii) sua aplicação é de difícil otimização, exceto quando se assume uma distribuição normal para as variáveis de mercado na qual está sustentada. Além disso, tem-se o fato do VaR violar a propriedade de subaditividade de uma métrica de risco coerente.

2.2.2 Conditional Value-at-Risk (CVaR)

A métrica Conditional Value-at-Risk contorna as limitações do VaR ao indicar, de forma mais adequada, o potencial de perdas que ultrapassam o intervalo de confiança, definido ao se calcular a média das perdas que excedem o valor do VaR.

Nessa linha, o CVaR pode ser definido como o valor médio esperado do excedente das perdas que ultrapassam o valor do VaR; com efeito, sua aplicação permite que se obtenha uma carteira menos exposta a valores extremos do que aquela otimizada pelo VaR.

A equação do CVaR pode ser expressa matematicamente - segundo Acerbi (2002) - conforme equação (2), na qual o CVaR é descrito como uma variável aleatória R (Renda Líquida ou Lucro Operacional) com função de probabilidade acumulativa FR(r) = P (R≤r):

∝ = |Ψ = ∫ R. dF /ψ

ψ (2)

Onde:

Ψ = {R: R≤VaRα (R)}: Conjunto de resultados de Renda Líquida inferiores ao VaRα (R), que a variável aleatória R pode assumir.

F /ψ: É a função de probabilidade condicionada ao evento Ψ.

VaRα (R) = infr {r | FR(r)≥ 1-α}, com α entre 95% e 99% (intervalo de confiança).

Dessa forma, Acerbi (2002) expressa que a medida _𝛼(R) pode ser obtida através da esperança condicionada a valores de renda inferiores ao _𝛼, que pode ser visto como um quantil desta mesma variável aleatória.

E Pflug (2010) afirma que o VaR é definido como o (1-α)-quantil da distribuição dos resultados, enquanto o CVaR caracteriza o valor esperado da distribuição dos resultados abaixo do (1-α)-quantil.

Segundo Conejo et al. (2010), o CVaR para retorno pode ser definido, dado 𝛼 ∈ , , como o valor esperado dos resultados menores que o (1-α)-quantil da distribuição dos resultados. Se todos os cenários forem equiprováveis, o CVaR(α) é computado como o resultado esperado dos (1-α) x 100% piores cenários.

No caso do emprego em modelos de otimização, tem-se que o CVaR para uma distribuição discreta de retorno pode ser escrito, matematicamente, com base em Rockfellar e Uryasev (2000), conforme a equação (3) a seguir:

𝛼 = {𝜂 − − 𝛼Ε{ {𝜂 − , , }}} , ∀𝛼 ∈ , 𝜂 𝜖 ℛ (3)

Onde: representa o retorno em um período de tempo t; 𝜂 representa a variável de decisão que, no ponto ótimo, atinge o valor do VaR; _, representa o retorno no período de tempo e cenário ; e 𝛼, o nível de confiança.

A equação acima pode ser resolvida por meio de modelos de otimização linear. Nesse caso, por processo de iteração, a média de todas as parcelas reais positivas (Ε { {𝜂 − _, , }}) será multiplicada pelo inverso do nível de confiança (alfa) e subtraído da variável de decisão 𝜂, até que se obtenha o valor do CVaR no ponto máximo (ótimo). Ou seja, no referido ponto a média das parcelas positivas será subtraída do valor do VaR, obtendo-se o CVaR como a média de todos os valores abaixo do VaR, para um determinado nível de confiança adotado.

A principal vantagem do CVaR está em sua capacidade de quantificar um valor além daquele obtido pelo VaR, e também por sua modelagem em programação não requerer o uso de variáveis binárias para o cômputo dos resultados (CONEJO et al., 2010).

A crescente aplicação do CVaR em modelos de otimização estocástica se deve, além de sua potencialidade, ao fato de Rockfellar e Uryasev (2010) tê-la formulado matematicamente de modo a permitir sua otimização através de técnicas de programação linear. Tal feito alavancou a aplicação dessa medida de risco para resolução de problemas dessa natureza, que envolve decisões sob condições de incerteza, conforme se discute na presente Tese.