·Iki Tür Modeli Orbitler
Otonom bir sistemin yörüngesi asla kendini kesmez. Bunun nedeni, dx /dt ve dy /dt bir noktada bütünüyle o noktan¬n koordinatlar¬ile belirlenir.
E¼ ger yörünge bu noktaya ileriki bir zamanda tekrar geri dönerse, dy /dx e¼ gimi bu noktada iki farkl¬zamanda ayn¬olur. Böylece hareket do¼ grultusu her iki zamanda da ayn¬d¬r. Sonuç: e¼ ger bir yörünge bir düzgün noktada ba¸sl¬yorsa; yörünge asla ba¸slama noktas¬na dönmez, veya ayn¬noktaya döner ve ayn¬kapal¬e¼ griden tekrar tekrar geçer.
¸
Sekil: E¼ ger yörünge P de ba¸slarsa, S ye ilk ula¸st¬¼ g¬nda te¼ get do¼ gru pozitif e¼ gime,
ikinci defa ula¸st¬¼ g¬nda ise negatif e¼ gime sahip olur. Bu e¼ gri bir otonom sistemin
·Iki Tür Modeli Orbitler
Example
dx
dt = y , dy
dt = x; x ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 0
sisteminin yörüngesini bulal¬m. Sistemden, dy /dx = x /y olup, çözümü
x
2+ y
2= c dir. Ba¸slang¬ç ko¸sullar¬n¬kullan¬rsak c = 1 buluruz. Böylece
sistemin yörüngesi x
2+ y
2= 1 çemberidir.
·Iki Tür Modeli Orbitler
E¼ ger bir yörünge bir kritik noktadan ba¸slam¬yorsa, asla bir kritik noktaya ula¸samaz, fakat düzgün bir noktada ba¸slay¬p, kritik noktaya asimptotik olarak yakla¸sabilir.
Example
dx
dt = x, dy dt = y sisteminin kritik noktas¬ ( 0, 0 ) d¬r ve
f x y 0, ∞ < t < ∞ g
çözümüne kar¸s¬l¬k gelir. Bir ba¸ska çözüm
x ( t ) = e
t= y ( t ) , ∞ < t < ∞
olup, bu çözüm de x, y 0 bölgesinde y = x yörüngesini verir.
t
Yar¬¸sma Modeli
Yar¬¸sma Modeli
Farkl¬türlerin ayn¬yiyecek kayna¼ g¬n¬payla¸st¬¼ g¬lojistik durumu iki tür için gözönüne alal¬m. Türlerin nüfusunu P
1ve P
2ile gösterirsek, lojistik model
olarak 8
> >
> <
> >
> : dP
1dt = r
1P
1( 1
PK11
)
dP
2dt = r
2P
2( 1
PK22
)
sistemini yazabiliriz. Bu denklemler birbirlerinden ba¼ g¬ms¬z olup asimptotik
olarak P
1! K
1ve P
2! K
2dir. E¼ ger P
1nüfusu K
1den ve P
2nüfusu da
K
2den çok küçük ise bu durumda çevrede her iki tür için de yeterince
yiyecek kayna¼ g¬var olup, nüfuslar r
1ve r
2oran¬nda üstel olarak büyürler.
Yar¬¸sma Modeli
E¼ ger türler yar¬¸s halindelerse, bir türün nüfusunun büyümesi, di¼ ger türün yiyecek kaynaklar¬n¬azalt¬r. Bu nedenle modeli türlerin birbirlerine etkisini de göz önüne alarak
8 >
<
> : dP
1dt = r
1P
1( 1 P
1+ αP
2K
1) dP
2dt = r
2P
2( 1 βP
1+ P
2K
2)
(31)
¸seklinde yenileyebiliriz. Burada α ve β boyutsuz parametreler olup, bir türün di¼ ger türün kayna¼ g¬n¬kullanmas¬n¬modellemektedirler. Örne¼ gin iki tür de ayn¬kaynaktan besleniyorlarsa ve örne¼ gin birinci tür di¼ gerinin iki kat¬
yiyecek tüketiyorsa, bu durumda α = 1 ve β = 2 olur.
Yar¬¸sma Modeli
E¼ ger tüketimin e¸sit oldu¼ gunu varsayarsak, model 8 >
> <
> >
: dP
1dt = r
1P
11 P
1+ P
2K
1dP
2dt = r
2P
21 P
1+ P
2K
2(32)
¸seklini al¬r. Genelli¼ gi bozmaks¬z¬n K
1> K
2kabul edersek, denge nüfuslar¬
( P
1, P
2) = ( 0, 0 ) , ( P
1, P
2) = ( K
1, 0 ) ve ( P
1, P
2) = ( 0, K
2) olur.
Yar¬¸sma Modeli
Sistemin kararl¬l¬k analizi için;
g ( P
1, P
2) = r
1P
11 P
1+ P
2K
1f ( P
1, P
2) = r
2P
21 P
1+ P
2K
2olup, ( P
1e, P
2e) = ( K
1, 0 ) için
a = ∂g ( P
1e, P
2e)
∂P
1= r
1, b = ∂g ( P
1e, P
2e)
∂P
2= r
1,
c = ∂g ( P
1e, P
2e)
∂P
1= 0, d = ∂g ( P
1e, P
2e)
∂P
1= r
2( 1 K
1/K
2) ve böylece
p = a + d = r
1+ r
2( 1 K
1/K
2) < 0, q = r
1r
2( 1 K
1/K
2) > 0,
∆ = p
24q = ( r
1+ r
2( 1 K
1/K
2))
2> 0
Yar¬¸sma Modeli
