2 periyodik integrallenebilen bir f fonksiyonunun Fourier serisinin N nci k¬smi toplam¬

(1)

1

DIRICHLET ÇEK· IRDE ¼ G· I

2 periyodik integrallenebilen bir f fonksiyonunun Fourier serisinin N nci k¬smi toplam¬

S _N (f ) ( ) = a ₀ 2 +

X N n=1

(a _n cos n + b _n sin n )

= X N n= N

c _n e ⁱⁿ (1)

olur. Burada, N ! 1 iken S ^N (f ) dizisinin f ye yakla¸ s¬m¬n¬n ara¸ st¬r¬lmas¬

amaçlanmaktad¬r.

a _n = 1 Z

f ( ) cos n d ;

b _n = 1 Z

f ( ) sin n d ;

c _n = 1 2

Z

f ( ) e ⁱⁿ d

formülleri (1) de yerine konularak (örne¼ gin c n için)

S _N (f ) ( ) = 1 2

X N n= N

Z

f ( + ') e ^in' d'

bulunur. Burada

D _N (') :=

X N n= N

e ^in' (' 2 R) (2)

al¬narak, k¬saca

S _N (f ) ( ) = 1 2

Z

f ( + ') D _N (') d' (3)

(2)

2 yaz¬l¬r. D N (') fonksiyonuna N nci Dirichlet çekirde¼gi denir. D N (') nin fonksiyon olarak ifadesi a¸ sa¼ g¬daki gibi bulunur:

D _N (') = e ^{iN '} + ::: + e ^i' + 1 + e ^i' + ::: + e ^{iN '}

= e ^{iN '} 1 + e ^i' + ::: + e ^{2iN '}

= e ^{iN '} X 2N n=0

e ^in' :

Buradan, ' 6= 0 için

D _N (') = e ^{iN '} X 2N n=0

e ^{i' n}

= e ^{iN '} e ^{i(2N +1)'} 1 e ^i' 1

= e ^{i(N +1)'} e ^{iN '}

e ^i' 1 (4)

bulunur. Pay ve payda e ⁱ

^'²

çarp¬larak

D _N (') = e ⁱ ( ^{N +}

¹2

) ^' e ⁱ ( ^{N +}

¹2

) ^'

e ⁱ

^'²

e ⁱ

^'²

= sin N + ¹ ₂ '

sin ¹ ₂ ' (5)

elde edilir. (3) ve (5) den f nin Fourier serisinin N nci k¬smi toplam¬, S ₀ (f ) = a ₀

2 ve N 1 için

S _N (f ) ( ) = 1 2

Z

f ( + ') sin N + ¹ ₂ ' sin ¹ ₂ ' d' olarak yaz¬labilir.

5:1: • ORNEK: (2) formülünden, D n Dirichlet çekirde¼ginin

D _n (') = 1 + 2 X n k=1

cos k'; ' 2 R; n 2 N

¸

seklinde, n nci dereceden, çift bir trigonometrik polinom oldu¼gu elde edilir.

(3)

3 5:2: LEMMA: Herhangi bir n 2 N için

1 2

Z

D _n (') d' = 1

gerçeklenir.

Ispat: _ (2) formülünden, ispat kolayca elde edilir.

Böylece D n (t) Dirichletçekirde¼ gi, sürekli devam ettirilirse,

D _n (t) =

sin ( ⁿ⁺

¹2

) ^t

sin

¹₂

t ; t 6= 2k

2n + 1; t = 2k (k 2 Z)

¸ seklinde yaz¬labilir.

(3) formülü ve 5.2. Lemmadan, a¸ sa¼ g¬daki sonuç elde edilir:

5:3: SONUÇ:

S _n (1) ( ) = 1 2

Z sin n + ¹ ₂ t

sin ¹ ₂ t d' = 1:

2 periyodik integrallenebilen bir f fonksiyonunun Fourier serisinin N nci k¬smi toplam¬

1

DIRICHLET ÇEK· IRDE ¼ G· I

2 periyodik integrallenebilen bir f fonksiyonunun Fourier serisinin N nci k¬smi toplam¬

S N (f ) ( ) = a 0 2 +

X N n=1

(a n cos n + b n sin n )

= X N n= N

c n e in (1)

olur. Burada, N ! 1 iken S N (f ) dizisinin f ye yakla¸ s¬m¬n¬n ara¸ st¬r¬lmas¬

amaçlanmaktad¬r.

a n = 1 Z

f ( ) cos n d ;

b n = 1 Z

f ( ) sin n d ;

c n = 1 2

Z

f ( ) e in d

formülleri (1) de yerine konularak (örne¼ gin c n için)

S N (f ) ( ) = 1 2

X N n= N

Z

f ( + ') e in' d'

bulunur. Burada

D N (') :=

X N n= N

e in' (' 2 R) (2)

al¬narak, k¬saca

S N (f ) ( ) = 1 2

Z

f ( + ') D N (') d' (3)

2

yaz¬l¬r. D N (') fonksiyonuna N nci Dirichlet çekirde¼gi denir. D N (') nin fonksiyon olarak ifadesi a¸ sa¼ g¬daki gibi bulunur:

D N (') = e iN ' + ::: + e i' + 1 + e i' + ::: + e iN '

= e iN ' 1 + e i' + ::: + e 2iN '

= e iN ' X 2N n=0

e in' :

Buradan, ' 6= 0 için

D N (') = e iN ' X 2N n=0

e i' n

= e iN ' e i(2N +1)' 1 e i' 1

= e i(N +1)' e iN '

e i' 1 (4)

bulunur. Pay ve payda e i

çarp¬larak

D N (') = e i ( N +

) ' e i ( N +

) '

e i

e i

= sin N + 1 2 '

sin 1 2 ' (5)

elde edilir. (3) ve (5) den f nin Fourier serisinin N nci k¬smi toplam¬, S 0 (f ) = a 0

2 ve N 1 için

S N (f ) ( ) = 1 2

Z

f ( + ') sin N + 1 2 ' sin 1 2 ' d' olarak yaz¬labilir.

5:1: • ORNEK: (2) formülünden, D n Dirichlet çekirde¼ginin

D n (') = 1 + 2 X n k=1

cos k'; ' 2 R; n 2 N

¸

seklinde, n nci dereceden, çift bir trigonometrik polinom oldu¼gu elde edilir.

3 5:2: LEMMA: Herhangi bir n 2 N için

1 2

Z

D n (') d' = 1

gerçeklenir.

Ispat: _ (2) formülünden, ispat kolayca elde edilir.

Böylece D n (t) Dirichletçekirde¼ gi, sürekli devam ettirilirse,

D n (t) =

sin ( n+

) t

sin

t ; t 6= 2k

2n + 1; t = 2k (k 2 Z)

¸ seklinde yaz¬labilir.

(3) formülü ve 5.2. Lemmadan, a¸ sa¼ g¬daki sonuç elde edilir:

5:3: SONUÇ:

S n (1) ( ) = 1 2

Z sin n + 1 2 t

S _N (f ) ( ) = a ₀ 2 +

(a _n cos n + b _n sin n )

c _n e ⁱⁿ (1)

olur. Burada, N ! 1 iken S ^N (f ) dizisinin f ye yakla¸ s¬m¬n¬n ara¸ st¬r¬lmas¬

a _n = 1 Z

b _n = 1 Z

c _n = 1 2

f ( ) e ⁱⁿ d

S _N (f ) ( ) = 1 2

f ( + ') e ^in' d'

D _N (') :=

e ^in' (' 2 R) (2)

S _N (f ) ( ) = 1 2

f ( + ') D _N (') d' (3)

D _N (') = e ^{iN '} + ::: + e ^i' + 1 + e ^i' + ::: + e ^{iN '}

= e ^{iN '} 1 + e ^i' + ::: + e ^{2iN '}

= e ^{iN '} X 2N n=0

e ^in' :

D _N (') = e ^{iN '} X 2N n=0

e ^{i' n}

= e ^{iN '} e ^{i(2N +1)'} 1 e ^i' 1

= e ^{i(N +1)'} e ^{iN '}

e ^i' 1 (4)

bulunur. Pay ve payda e ⁱ

D _N (') = e ⁱ ( ^{N +}

) ^' e ⁱ ( ^{N +}

) ^'

e ⁱ

e ⁱ

= sin N + ¹ ₂ '

sin ¹ ₂ ' (5)

elde edilir. (3) ve (5) den f nin Fourier serisinin N nci k¬smi toplam¬, S ₀ (f ) = a ₀

S _N (f ) ( ) = 1 2

f ( + ') sin N + ¹ ₂ ' sin ¹ ₂ ' d' olarak yaz¬labilir.

D _n (') = 1 + 2 X n k=1

D _n (') d' = 1

D _n (t) =

sin ( ⁿ⁺

) ^t

S _n (1) ( ) = 1 2

Z sin n + ¹ ₂ t

sin ¹ ₂ t d' = 1: