Bütün lineer programlama problemlerinde birçok de¼ gi¸ skenin lineer fonksiyonundan olu¸ san bir gaye denklemi bulunur. Bu lineer fonksiyon Z; de¼ gi¸ skenler x

L· INEER PROGRAMLAMA

I¸ · sletme problemlerinin matematiksel modeller yard¬m¬yla analizinde lineer program- lama teknikleri önemli bir yer kaplar. · I¸ sletme problemleri aç¬s¬ndan lineer program- lama : para, malzeme, makine, zaman, insan gücü, teçhizat vb. kaynaklar¬n çe¸ sitli s¬n¬rlay¬c¬¸ sartlar alt¬nda maksimum fayday¬sa¼ glayacak ¸ sekilde kombine edilmelerini sa¼ glayan tekniklerdir. Daha genel bir tan¬m olarak lineer programlama, belirli ortak özellikleri bulunan problemlere uygulanan bir optimizasyon tekni¼ gidir. Bütün lineer programlama problemlerinde üç temel özellik vard¬r:

1) Lineer Gaye Denklemi

Bütün lineer programlama problemlerinde birçok de¼ gi¸ skenin lineer fonksiyonundan olu¸ san bir gaye denklemi bulunur. Bu lineer fonksiyon Z; de¼ gi¸ skenler x

; x

; :::; x

ve sabit katsay¬lar c

; c

; :::; c

olmak üzere gaye denklemi

Z = c

x

+ c

x

+ ::: + c

x

¸ seklinde tan¬ml¬d¬r. Problemin amac¬ Z yi maksimum (veya minimum) yapan x

; x

; :::; x

de¼ gerlerinin bulunmas¬d¬r. Örne¼ gin, gaye denklemi kâr¬ ifade ediy- orsa Z yi maksimum, masra‡ar¬ veya maliyeti gösteriyorsa Z yi minimum yapan x

; x

; :::; x

de¼ gerleri aran¬r.

2) Lineer S¬n¬rlay¬c¬¸ Sartlar

Lineer programlamada de¼ gi¸ skenler üzerindeki s¬n¬rlay¬c¬¸ sartlar, a

; a

; a

; :::; a

; :::; a

1

ve b

; b

; b

; :::; b

sabit say¬lar olmak üzere

a

x

+ a

x

+ ::: + a

x

b

a

x

+ a

x

+ ::: + a

x

b

.. . a

x

+ a

x

+ ::: + a

x

b

¸ seklindeki lineer e¸ sitsizliklerden meydana gelen bir sistem ile ifade edilir.

3) Poziti‡ik ¸ Sartlar¬:

Lineer programlama teknikleri gerçek i¸ sletme problemlerine uyguland¬¼ g¬ndan de¼ gi¸ sken- lerin negatif de¼ gerler almas¬n¬n bir anlam¬ yoktur. Örne¼ gin, stok seviyesi gibi bir problemde ilgili büyüklükler daima pozitiftir. Bu nedenle lineer programlama model- lerinde bütün de¼ gi¸ skenlerin pozitif olmas¬ko¸ sulu daima mevcuttur. Bu ko¸ sul matem- atiksel olarak

x

; x

; :::; x

0

e¸ sitsizlikleri ile ifade edilir. Poziti‡ik ¸ sart¬lineer programlama problemlerinin birçok geçersiz çözümünü yoketti¼ gi için optimum çözüme ula¸ smay¬kolayla¸ st¬r¬r.

I¸ · sletme Problemlerinin Lineer Programlama Modellerinin Kurulmas¬

Bu k¬s¬mda bir lineer programlama modeli kurulurken takip edilecek sistematik dü¸ sünce tarz¬n¬göstermek amac¬yla bir örnek verilecektir.

Örnek: Üretim Programlama Modeli

Bir …rma üretti¼ gi A; B ve C tipindeki ürünlerin üretimini programlamak istiyor.

Ürünlerin maliyetleri ve sat¬¸ s …yatlar¬bilindi¼ ginden herbirinin bir adetinden sa¼ glanan kâr belli olup s¬ras¬yla 6 lira, 3 lira ve 8 lirad¬r. Ürünlerin üretiminde kullan¬lan 4 farkl¬ malzeme vard¬r. Bunlar¬n stok seviyeleri ve her tip ürünün bir adetinde

2

kullan¬lmas¬gereken miktarlar a¸ sa¼ g¬da verilmi¸ stir.

Malzeme A B C Malzeme Stok Seviyesi

I 0 1 2 100

II 2 2 1 180

III 3 5 9 360

IV 0 0 3 150

Firman¬n üretim faaliyetleri üzerinde ba¸ ska bir s¬n¬rlay¬c¬ko¸ sul bulunmad¬¼ g¬na göre, maksimum kâr¬hesaplamaya yarayan lineer programlama modelini kurunuz.

Çözüm: Problemin çok basit oldu¼ gu, kâr¬maksimum yapmak için en fazla kâr ge- tiren C ürününden mümkün olan en fazla miktarda üretmek gerekti¼ gi dü¸ sünülebilir.

Eldeki malzemeye göre C ürününden en fazla 360/9=40 adet üretilir. Böylece toplam kâr 40.8=320 lirad¬r. Ancak birim kâr¬daha az olan A ürününden en fazla 180/2=90 adet yap¬labildi¼ ginden bu durumda sa¼ glanacak toplam kâr 90.6=540 lirad¬r. O halde, maksimum kâr¬ sa¼ glayacak çözümü bulmak için mümkün olan bütün alternati‡eri ayr¬ ayr¬ incelemek gerekmektedir. Say¬s¬z denecek kadar çok seçene¼ gi sistematik ve çözüme en k¬sa yoldan ula¸ sacak ¸ sekilde incelemek ancak bir matematiksel model yard¬m¬yla mümkündür. Bunun için, ürünlerin üretim miktarlar¬n¬de¼ gi¸ sken kabul ederek x

; x

; x

ile gösterelim. Her ürünün bir tanesinden elde edilen kâr bilindi¼ gin- den toplam kâr

Z = 6x

+ 3x

+ 8x

(1)

denklemi ile ifade edilir. Di¼ ger yandan stokta 100 ünite bulunan I malzemesi için;

A, B ve C ürünlerinin her bir adetinde s¬ras¬yla 0, 1 ve 2 ünite kullan¬ld¬¼ g¬ndan,

0x

+ x

+ 2x

100 (2)

3

yaz¬labilir. Benzer ¸ sekilde

2x

+ 2x

+ x

180

3x

+ 5x

+ 9x

360 (2)

0x

+ 0x

+ 3x

150

¸ sartlar¬ yaz¬labilir. Ayr¬ca x

; x

ve x

üretim miktarlar¬n¬ gösterdi¼ gi için daima pozitif olmak zorundad¬r. Yani,

x

; x

; x

0 (3)

¸ sartlar¬mevcuttur. Böylece (1) denklemi ile (2) ve (3) ¸ sartlar¬bir lineer proglam- lama probleminin tüm ko¸ sullar¬n¬sa¼ glamaktad¬r. Maksimum kâr¬sa¼ glayan üretim program¬bu modelin çözümü ile bulunacakt¬r.

4