1
BÖLÜM 1: BİR ve İKİ SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI
1.2 Çizgisellik ve Üst Üste Gelme
Harmonik salınıcı için hareket denklemi (Newton’un 2. yasasından): 𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝑤2 𝑥(𝑡) = 0
şeklindedir. Burada, 𝑘: yay sabiti
𝑥(𝑡): kütlenin denge konumundan olan uzaklığı (yerdeğiştirme) 𝐹 = −𝑘𝑥: yay kuvveti (geri çağırıcı kuvvet)
olarak verilir. Kütle-yay sitemi için elde edilen bu diferansiyel denklem homojen, 2. mertebeden, çizgisel bir denklemdir ve aşağıdaki gibi daha genel olarak ifade edilebilir (harmonik salınıcı denklemi):
𝑑2𝜓(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝑤2 𝜓(𝑡) = 0 (1)
2
Pek çok fiziksel durum, iki ya da daha fazla titreşimin aynı sisteme eş zamanlı olarak uygunlanmasını içerir. Bu durumda bu iki titreşimin birleşimi ikisinin basitçe toplamasıdır.
Basit harmonik hareket için (1) denklemini ele alalım:
i) Aynı frekanslı iki titeşimin üst üste gelmesi 𝜓1(𝑡) = 𝐴1cos(𝜔𝑡 + 𝛼1) 𝜓2(𝑡) = 𝐴2cos(𝜔𝑡 + 𝛼2)
𝜓(𝑡) = 𝜓1(𝑡) + 𝜓2(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛼)´ Geometrik yol kullanılarak 𝐴 ve 𝛼 bulunablilir:
𝐴2 = 𝐴12+ 𝐴22− 2𝐴1𝐴2 cos (𝜋 − 𝛿) Burada, 𝛿 = 𝛼2 − 𝛼1 faz farkıdır ve 𝛼 = 𝛽 + 𝛼1. Eğer 𝐴1 = 𝐴2 = 𝐴 ise, 𝜓(𝑡) = 𝐴′cos(𝜔𝑡 + 𝛼) 𝐴′ = 2 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛿 2 , 𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 2
olarak bulunur. Bu durumda eğer 𝛿 = 2𝑛𝜋 ise yapıcı girişim, eğer 𝛿 = (2𝑛 + 1)𝜋 ise yıkıcı girişim oluşur.
ii) Farklı frekanslı aynı genlikli iki titeşimin üst üste gelmesi 𝜓1(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔1𝑡)
3 𝜓(𝑡) = 𝜓1(𝑡) + 𝜓2(𝑡) = 2𝐴 cos (𝜔1− 𝜔2 2 𝑡) cos( 𝜔1+ 𝜔2 2 𝑡) 𝜓(𝑡) = 𝐴′cos(𝜔1+ 𝜔2 2 𝑡) Burada, 𝐴′ = 2 𝐴 cos(𝜔1−𝜔2
2 𝑡) zamanla değişen genliktir.
𝜔1 ve 𝜔2 birbirlerine yakın frekanslar iseler, bu iki basit harmonik hareketin birleşimi ‘vuru’ olayı olarak adlandırılır.