Analitik Geometri 2 / Doğru Denklemi matematikchi.net

(1)

1 Analitik Geometri 2 / Doğru Denklemi

1 - Eğim

matematikchi.net Anlatım

x y

O

A

B

x₁ x₂

y₂

y₁ C

D

β ∝

x₂ - x₁

y₂ - y₁

∝ d₁ d₂

= −

−

2 1

Eğim Formülü y y m x x

Doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır.

Bir doğrunun eğimi :

( )

=  

  

2

o o

2

m tan 0

90 180

Eğim negatif olur.

d doğrusu azalıyor

( )

=  

  

1

o o

1

m tan 0

0 90

Eğim pozitif olur.

d doğrusu artıyor.

x y

O d₃

d₄

= ^o = 

3

x eksenine dik doğruların eğimi

m tan90 ₄ = ^o =

x eksenine paralel doğruların eğimi m tan180 0

Örnekler (Eğim Formülü):

1 2 3 4

Aşağıdaki d ,d , d ,d doğrularının eğimini bulunuz.

3.

x y

O

d₂ d₃

d₄ -2

3

-3

(

⁻

) ( )

A 4, 1 ve B 0,5 noktalarından geçen doğru- nun eğimini bulun.

1.

x eksenini -6 da y eksenini 10 da kesen doğru- nun eğimi kaçtır?

2.

−3 5 ₁ ₂ = −3 ₃ =  ₄=0

1) 2) 3) m =3 m m m

2 3 2

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net d₁

(2)

2 ( ) ( )

( ) ( )

−

+

A 1,4 ve B 1,10 noktalarından geçen d1

doğrusu ile C 2,3 ve D 2k 1,12 noktala- rından geçen doğrunun eğimi aynı ise k kaçtır?

4.

6. ^A(1,7) ^B(5,-1)

D(0,2)

E

C

 

 

   

   

Yukarıda şekilde C noktası AB nin, D noktası CE nin orta noktasıdır. Buna göre BE nin eğimi kaçtır?

(

⁻

) ( )

−

A k 3,5 ve B 4,1 noktalarından geçen doğru- nun eğimi 2 ise A ve B nokaları arası uzaklık

3 kaç birimdir?

8.

(

⁻

) ( )

=

A 3,4 ve B 1,2 için AB doğrusunun dışında AB 2 BC olacak şekilde bir C noktası alınıyor.

Buna göre Orjinden ve C noktasından geçen doğ- runun eğimi kaçtır?

7.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

− →

A 3,1 , B 2,4 , C 4 ,7 ABC üçgeni

D 0,2 , E 1, 2 , F 4 ,9 , H x,y DEFH paralel kenar.

Bu durumda ABC üçgeninin ağırlık merkezi ve DEFH paralel kenarının H köşesinden geçen doğru- nu

9.

n eğimi kaçtır?

(

⁻

) ( ) (

⁺

)

A 2,3 , B 0,1 , C 4 ,4k 5 noktaları doğrusal ise k kaçtır?

5.

− − 1 1 9

2 2 2 13

4 3 2

4) 5) 6) 7) 8) 9)

matematikchi.net

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net

(3)

3

1.

x y

150^o

d₁

x y

40^o

d₂

1 2

Yukarıda ki d ve d doğrularının eğim açıları kaç derecedir ?

x y

d₁

x y

-2

-2 d₂

1 2

Yukarıda ki d ve d doğrularının eğim açıları kaç derecedir ?

3.

x y

𝟐ξ𝟑

A(3ξ𝟑 ,b) ¹

o

Yanda ki d doğrusunun eğim açısı 60 ise b kaçtır?

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{( ) ( )}

⁴

4.

a)

Aşağıdaki A ve B noktalarından geçen doğruların eğim açılarını bulun.

A 2,1 B 6,5 A 2,3 3 B 3,2 3

A 2 6,3 2 B 6,2 2 b)

c) A 2,4 d) B 6,

(

^{− −}

) ( )

o

A 5, 1 ve B 3,b noktalarından geçen doğru- nun eğim açısı 45 ise b kaçtır?

5.

( ) ( )

o

A 2,5 3 ve B a,4 3 noktalarından geçen doğrunun eğim açısı 120 ise a kaçtır?

6.

−𝟐

ξ𝟑

o o o o o o o o

30 ve 130 60 ve 135 6 45 120 30 180 7 3

1) 2) 3) 4) a) b) c) d) 5) 6)

2.

Örnekler (Eğim Açısı):

(4)

4

1 2 3

Aşağıdaki d , d , d doğrularının eğimleri m , m , m ün işaretlerini saptayın.

7.

x y

O d₁

d₂ d₃

1 2 3 4

Aşağıdaki d , d , d , d doğrularının eğimleri m , m , m , m ü küçükten büyüğe sırlayınız.

8.

x y

O d₁

d₂ d₃

d₄

( ) (

⁺

)

A 2,5 ve B 3,2k 1 noktalarından geçen doğ- ru artan bir doğru ise k tam sayısı en az kaç ola- bilir?

10.

(

⁻

) (

⁻

)

A 3k 2 ,1 ve B 1,5 noktalarından geçen doğ- runun eğim açısı geniş açı ise k en az kaç olabilir?

11.

   

1 2 3 4

1 2 3, 4

d doğrusunun eğimi 4, d doğrusunun eğimi 3, d doğrusunun eğimi -5, d doğrusunun eğimi -1 ise

bu doğruların eğim açıları , , açılarını küçükten büyüğe sıralayı

9.

n.

−     = −

1 2 3 2 1 4 3 2 1 3 4

m = m =0 m =+ m <m <m <m < < < 3 1 b=5 a 2

7) 8) 9) 10) 11) 12) a) b)

(

⁺ ⁻

) (

⁻

)

A 2a 7 ,3b 6 ve B 1 a,9 noktalarından geçen doğru

x eksenine paralel ise b kaçtır?

x eksenine dik ise a kaçtır?

12.

a) b)

(5)

5 2. İki Doğrunun Durumları ve Eğimleri :

= ⊥ = −

1 2 1 2 1 2 1 2

* İki doğru paralel ise * İki doğru dik ise eğimleri eşittir. eğimleri çarpımı -1 dir.

d d ise m m d d ise m .m 1

Örnekler :

( ) ( ) ( ) ( )

→

− →

1 2

3 4

Aşağıdaki noktalardan geçen doğruların eğimle- rini bularak birbirine göre durumlarını saptayın.

A 3,2 B 5,6 d C 5,5 D 4,3 d

E 0,7 F 2,4 d G 2,2 H 1,0 d

1.

a)

b)

c)

( ) ( ) ( ) ( )

− →

→

5 6

7 8

J 4, 2 K 1,13 d L 2,2 M 0, 1 d

N 7,5 P 3,5 d R 6,1 T 6,

) d

4 d

x y

d₁ d₂

∝ ∝

x y

d₁ d₂

𝛉 ^90+𝛉

= 

=

1 2

m tan

m m

( )

= 

= +  = − 

=  −  = −

1 2

m tan

m tan 90 cot

m .m tan . cot 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−

⊥

1 2 3

1 2 2 3

A 2,4 ve B 0,3 noktalarından d doğrusu C 2,1 ve D 2, y noktalarından d doğrusu E 1,3 ve B x,2 noktalarından d doğrusu geçiyor.

d d ve d d ise x+y toplamı kaçtır?

2.

( )

⊥ ⊥

1 2 3 4 5 6 7 8

5 4

d d d d d ile d kesişen d d 0,9

1) a) b) c

) d) 2) 3 5

2 ) 4)

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net 4.

x y

d₁

-1

A(4,1)

d₂

1 2

2

Yanda ki şekilde d ve d doğruları A noktasında dik kesişiyorsa d doğ- rusunun y eksenini kestiği nokta nedir?

x y

d₁ 2

d₂ A(a,a-2) 3

1 2

Yanda ki şekilde d ve d doğruları paraledir.

Buna göre a kaçtır?

3.

iki doğru

(6)

6 3. Doğru Denklemi :

A(x₀, y₀) d

Eğim = m

( )

− ₀ = − ₀

Doğru Denklemi Form ü

ül y

y m x x

Örnekler :

( )

A 5,4 noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğ- doğrunun denklemini bulun ve grafiğini çizin.

1.

3.

x y

4

3

Yandaki d doğrusunun denklemini bulun.

d

(

⁻

) (

⁻

)

A 3, 4 ve B 0, 2 noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun ve grafiğini çizin.

2.

 

− + = + + = + = = −  

 

1) y 2x 6 0 2x 3y 6 0 2) 3) 4x 3y - 12 0 4) a)y 3x 1 5) 11,0 2 x

y

-6 3

x y

-3 -2

5. ^A(1,2) ^C

3k 2k

D(0,7) F(-5,2)

G

E(-1,6)

d

Ağırlık merkezi

Yanda ki d doğrusunun x eksenini kestiği noktanın koordinatlarını

bulunuz.

x y

60⁰

A൫ξ𝟑, 𝟐൯

d

x y

135⁰ Aሺ−𝟒, 𝟐ሻ

d

Aşağıdaki doğruların denklemlerini bulun.

4.

a) b)

= − −

y x 2

b)

B(11,-3)

(7)

7

x y d₁

-1

2 Yanda ki d doğrusunun ²

denklemini bulun.

Yanda ki d 2

doğrusunun denklemini bulunuz.

6.

( ) (

⁻

)

A 3,5 ve B 7, 1 noktalarından geçen doğruya paralel olan ve x eksenini 4 de kesen doğrunun denklemini bulun.

8.

( ) (

⁻

) ( )

 

 

Köşeleri A 0,2 , B 3,6 , C 1,4 olan üçgenin BC kenarına ait

Kenarortayın denklemini bulun.

Yüksekliğin denklemini bulun.

10.

a) b)

( ) (

⁻

)

A 0,3 ve B 2,7 noktaları veriliyor.

Buna göre AB doğru parçasının orta dikmesinin denklemini bulun.

9.

x d₁

4 d₂

-3 ⁴⁵⁰

Yandaki d doğrusunun 2

y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

7.

11. ^y

d₂

CV

A(4,2)

= − + − = + − = 11 = − + = +

y 2x 6 3y 4x 33 0 3x 2y 12 0 y 3x 2 y 2x 2 11

6) 7) 8) 9) 10) a) b) 1)

2 1

(8)

8

“

4. Doğru Denkleminden Eğim :

+ + = = −

= + =

x y c 0 iç

m in Eğim a

y x n iç

b in

m Eğim

b a

Örnekler :

− + = =

+ − = =

− = =

= + =

= − =

Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulun.

3x 6y 5 0 m

y 2x 3 0 m

y x 0 m

y 2x 7 m

y 6 9x m 5

1.

a) b) c) d)

e)

= =

+ = =

y 7 m

x 4 0 f

)

g m

( ) (

⁻

)

− =

A 1,4 ve B 2,6 noktalarından geçen doğru, ax 9y 8 doğrusuna paralel ise a kaçtır?

2.

= − +

 −  − =

 

 

1

2

1 2

d y ax 3 d y= 5 a x 1 0

4

d ve d doğruları dik ise a kaç olabilir?

3.

( )

− + = − −

4y 3x 2 0 doğrusuna dik olan ve A 4, 6 noktasından geçen doğrunun x eksenini kes- tiği noktayı bulun.

5.

+

( )

=3x 1

y doğrusuna paralel olan ve A 1,4 2

noktasından geçen doğru denklemini bulun.

4.

− −  − − − = −

1 2 1 2 9 0 6 1 veya 4 2y 3x 5 0 17

2 5 2

1) a) b) c) d) e) f) g) 2) 3) 4) 5)

(9)

9

Yukarıdaki şekilde y=8x , y=4x , y= doğrularıx 2

ABCD dikdörtgeninin köşelerinden geçmektedir.

Buna göre C noktasının ordinatı kaçtır?

x 𝐲 = −𝟐𝐱

y

A

𝐲 =𝐱 𝟑

-3

B

O

x 𝐲 = 𝟒𝐱

𝐲 = 𝟖𝐱

4 A

y

𝐲 =𝐱 B 𝟐 D C

Yandaki şekildeki OAB üçgeninin alanını bulun.

x 𝐲 = −𝐱 + 𝟐 y

𝐲 = 𝐚𝐱 + 𝟔 A

O 4

d2

d1

2

Yandaki şekildeki d doğrusunun eğimi kaçtır?

( )

⁻ ^{+ =}

A 3,a noktası 3x 4y 7 0 doğrusu üzerinde ise a kaçtır?

1.

5. Nokta üzerindeki doğruyu sağlar : Örnekler:

= −

2y 3x 8 doğrusu üzerinde apsisi ordinatının iki katı olan noktanın orjine uzaklığı kaç birimdir?

2.

A

x y

𝟑𝐲 − 𝟐𝐱 + 𝐛 = 𝟎

-3 O 1

3.

6.

5.

4.

4 2 5 8 1 63 4

1) 2) 3) 4) 5

3 ) 6)

Yandaki şekilde A noktasının ordinatı kaçtır

(10)

10 = =

6. x a ve y b doğruları : 7. Çakışık Doğrular :

x y

O

x = 3

x y

O

y = 4

x eksenine dik y eksenine paralel x değerleri sabit

Eğimi tanımsız 1 -

2 - 3 - 4 -

y eksenine dik x eksenine paralel y değerleri sabit

Eğimi sıfır 1 -

2 - 3 - 4 -

= − −

=

= =

Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

x 4 doğrusu x eksenini 4 de keser.

y 2 doğrusunun eğimi tanımsızdır.

x 5 doğrusu ve y 3 doğrusu (5,3) noktasında kesişir.

1.

I) II) III)

( )

= =

=

x 1 doğrusu ile y 4 doğrusu arasındaki açı 90 derecedir.

A 2,3 noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğru y 3 doğrusudur.

IV) V)

Örnekler :

(

⁺

) (

⁺ ⁻

)

⁺ ⁼

a 1 x 2a 3 y 10 0 doğrusu y eksenine diktir. Buna göre bu doğru y eksenini hangi noktada keser?

2.

Daha fazla test ve konu anlatımı için matematikchi.net I,III,IV 2

1) 2)

+ + =

1

2

d : x y 0

d : d e 0

c x

b f a

y

= =

=  ₁ ₂

1 2

ise d ve d doğruları .

ise d ve d doğruları . a

d e f

d e f

b c R

a b c

PARALELDİ

ÇAKIŞIKTIR

Örnekler :

− + = + − =

+ − = + + =

− + = − + − =

= −

Aşağıdakilerden doğru çiftlerinden hangileri çakışıktır?

2x 3y 5 0 ve 4x 9y 11 0

3x y 2 0 ve 6x 2y 7 0

x 5y 3 0 ve 3x 15y 9 0

y 4x 1 1.

I)

II)

III)

IV) ve 8x 2y 2 0− + =

( ) (

⁻ ⁺ ⁻

)

⁼

+ =

a 1 x 2a 3 y 5 doğrusu ile

4x 6y b doğrusu çakışık ise b kaçtır?

2.

Sadece III 10

1) 2)

(11)

11 8. İki Doğrunun Kesişim Noktası:

(Ortak Çözüm)

Örnekler :

Yandaki iki doğrunun kesim noktası A nın koordinatları bulun.

A

3x – 2y – 10 = 0

2x + y – 9 = 0

1.

x y

-2 7

7

1 d

k d ve k doğrularının kesim noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir?

x - y + 3 = 0 2x + y + 6 = 0

A

d₁ d₂

d₄ d₃ 2x + 3y + 5 = 0

3 4

d doğrusuna paralel olan ve A noktasından geçen d doğrusunun denklemini bulun.

= + + + =

Birbirine dik olan

y x 3 ve ax y 5 0

doğrularının kesim noktası x eksenine kaç birim uzaklıktadır?

3.

A(6 , 4)

B

d₁ d₂

O

y = -x x y

4.

− + = + + =

+ − =

1 2

3

d : x 2y 7 0 d : 3y x 12 0 doğrularının kesim noktası

d : 2x ay 4 0 doğrusu üzerinde ise a kaçtır?

2.

5.

6. Yandaki şekilde

B noktasının y eksenine uzaklığı kaç birimdir?

( )

4,1 -22 1 5 3y 2x 6 0 1⁺ ^{+ =}

1) 2) 3) 4) 5) 6)

(12)

12

y = x+3

B

C A

y = -x+5 x

7. y

Yandaki şekilde ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

= + =

y 2x doğrusu, x y 9 doğrusu, y ekseni

arasında kalan alan kaç birimkaredir?

8.

= = = =

y 0, x 1, x 3, y 2x doğruları arasında kalan alan kaç birimkaredir?

9.

d₁ d₂

O

A x

y

B

C E

D

10.

+ =

− − + =

7x 14y - 1 0 11x 23y 2 0

doğrularının kesim noktasından ve orjinden geçen doğru denklemini bulun.

12.

+ − =

x y 6 0 doğrusunun A(3,5) noktasına en yakın noktasının koordinatlarını bulun.

11.

( )

⁺ ⁼

16 27 8 14 2,4 3x 5y 0

7) 8) 9

2 ) 10) 11) 6)

B (2 , 0)

C (-2 , 4)

Yandaki şekilde AODC dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

(13)

13

x y

-2 2

x y

-3 -3

x y

4

1 x

y

-4

x y

-2 O

A(2,4)

9. Eşitsizlik Grafikleri :

+



 + y ax b y ax b

için doğrunun üst tarafını tara

için doğrunun alt tarafını tara

Örnekler :

 −  +  

 −  y x 4 x y 0 x 2

 −

+ + 

− −  

−    −

Aşağıdaki eşitsizliklerin grafiklerini çiziniz.

y x 2

y x 3 0

4 x 4y 0 ve y 0

x y 0 x 0 y 4 1.

a)

b)

c)

d)

c) d) b)

a)

sisteminin belirtiği kapalı bölgenin alanını bulun?

2.

3. − +  

 

 

x y 6 0 x 2 y 0

sisteminin belitriği kapalı bölgenin alanını bulun?

4.

Yanda ki taralı bölgeyi ifade eden sistemi yazın.

− −  + − 



y x 2 0 y x 6 0 y 0 2) 8 24 3) 4)

3

(14)

14 Analitik Geometri 2 / Doğru Denklemi

10. Noktanın Doğruya Uzaklığı :

ax + by + c = 0 A(x_o, y_o)

B

Örnekler :

− + − =

A(2, 5) noktasının 3x 4y 6 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

1.

A(4,5)

H C(3,0)

B(2,1)

3. Yandaki şekilde ABC

Üçgenin yüksekliği AH kaç birimdir?

= =

= +

x 2 ve y 3 doğrularının kesim noktasının y 2x 4 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

2.

− − + =

A( 1,3) noktasının 12x 5y 3k 0 doğrusuna uzaklığı 9 birim ise k kaç olabilir?

4.

+ − =

= +

2x 3y 10 0 doğrusu üzerinde apsisi ordinatına eşit olan A noktasının y 4x c doğrusuna uzak-

2 lığı 5 birim ise c kaç olabilir?

5.

4 5 3 2 -30 veya 48 6 veya 14−

1) 2) 3) 4) 5)

+

= ₀ + ₀ +

2 2

a. b.y c a

B x A b

(15)

15 11. Doğrunun Doğruya Uzaklığı :

= −

2+ 2

1 c2

a B c A b

Örnekler :

− + = − + =

3x y 1 0 ve 3x y 11 0 doğruları arasın- daki mesafe kaç birimdir?

1.

ax + by + c₂ = 0 A

B

ax + by + c₁= 0

− + = − + =

2

3x 4y 10 0 ve 6x 8y 80 0 doğruları bir karenin karşılıklı iki kenarının denklemleridir.

Buna göre bu karenin alanı kaç br dir?

2.

1 2

Yandaki şekilde d ve d doğruları arasındaki mesafe kaç birimdir?

x y

O -2

2

A(5,1) d₁ d₂

3.

− + =

+ + =

6x 8y 20 0 doğrusu ile bu doğruya paralel 3x by c 0 doğrusu arasındaki mesafe 3 birim ise c kaç olabilir?

4.

− + =

12x 5y 1 0 doğrusuna 2 birim uzaklıktaki doğruların denklemini bulun.

5.

− + =

10 36 3 2 -5 veya 25 12x 5y 27 0

1) 2) 3) 4) 5)

− − =

12x 5y 25 0 matematikchi.net

(16)

16 13. İki Doğrunun Açıortayının Denklemi :

d₁ : a₁x + b₁x + c₁= 0

d₂ : a₂x + b₂x + c₂= 0 Açıortay

Açıortay

+ + + +

+ =  +

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

Açıortay Denklem Formülleri

Örnekler :

+ − = − + =

2x y 1 0 ve 2x 4y 3 0 doğrularının açıortay denklemlerini bulun.

1.

+ − = −

2x 6y 5 0 1 ve 1

1) 2)

− + = 6x 2y 1 0

Eğimleri ve 2 olan iki doğrunun açıortaylarının1 2

eğimleri kaçtır?

2.

12. İki Doğrunun Arasındaki Açı :

d₁

d₂

∝ −

 = +

1 2

tan m m

1 m .m

= − = +

+ − = = −

1 Aşağıdaki doğrular arasındaki açıyı veya açının tanjantını bulun.

y 2x 1 y 3x 1 x y 1 0

) c

a

)

y .

b

x 5−

Örnekler :

x y

-2 1 3

+ = − + =

2x y 0 ve ax y 1 0 doğrularının arasındaki açının tanjantı 3 ise a kaç olabilir?

2.

−3 ve 3 45 ve 135 75 ve 105 ô ô ô ô 1

1) a) b) c) 2) 7