BÖLÜM III: DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 3.2 Frobenius Yöntemi 2. mertebeden, değişken katsayılı, homojen, çizgisel denklemi ele alalım:

1

BÖLÜM III: DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

3.2 Frobenius Yöntemi

2. mertebeden, değişken katsayılı, homojen, çizgisel denklemi ele alalım:

( )

( ) bu denklemin düzgün tekil noktası olsun ve

( ) ∑

( ) ∑

ifadeleri sağlansın. Bu denklem için seri çözümü aşağıdaki formda önerilebilir:

( ) ∑ ∑

Bu denkleme karşılık gelen indis (karakteristik) denklemi ( ) şeklindedir. Burada,

( ) ( ) ( ) ( ) olarak tanımlıdır.

2

( ) ve ( )

şeklindedir ve bu diferansiyel denklemin düzgün tekil noktasıdır. ( ) ( )

( ) ( ) İndis denklemi aşağıdaki gibidir:

( ) ( ) ⇒

İndis denklemin kökleri olduğundan, diferansiyel denklemin iki tane çizgisel bağımsız çözümü vardır:

( ) ∑ ( )

( ) ( ) ( ) ∑ ( )

için bu denklemin seri çözümü ( ) (

) olarak bulunur. İkinci çizgisel bağımsız çözüm ise

( ) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ( )) bağıntısından elde edilir:

( ) ( ) (

) Böylece genel çözüm

3

Örnek: Bessel

_{( ) ( ) ( ) ( )}

ve hipergeometrik

( ) _{( ) ( ) ( ) ( )}