BÖLÜM VI: BESSEL FONKSİYONLARI Bessel diferansiyel denklemi

1

BÖLÜM VI: BESSEL FONKSİYONLARI

Bessel diferansiyel denklemi

2 _{( ) ( ) (} 2 2_{) ( )}

şeklindedir. Bu denklem de hipergeometrik formda bir denklemdir. Sınır koşulları ( ) ( ) ile birlikte Sturm-Liouville problemi olarak ifade edilebilir. Bu denkleme karşılık gelen işlemci de Hermitik değildir ancak ağırlık fonksiyonu yardımıyla Hermitik forma dönüştürülebilir.

tamsayı olmadığında, ( ) birinci tipte Bessel fonksiyonu olmak üzere ( ) ( ) ( )

ile verilir. Ancak tamsayı ise, ( ) ( ) ( ) çizgisel bağımlıdır ve ( ) ( ) ( )

Bu çözüm tüm ’ler için geçerlidir. Burada ( ) ikinci tipte Bessel fonksiyonu olarak adlandırılır ve

( ) ( ) ( ) ( )

şeklinde tanımlıdır.

( ) çözümleri, Bessel diferansiyel denklemi Frobenius seri yöntemi ile çözülerek bulunabilir.

2 6.1 Üretici Fonksiyon

Bessel fonksiyonları için üretici fonksiyon ( , ) 2( 1 ) ile verilir. ’ye göre seri açılımı yapıldığında

2( 1 ) ∑ ( ) elde edilir. 6.2 İndirgeme Bağıntıları i) ( ) ₁( ) ( ) ii) ( ) ( ) ₁( ) iii) ( ) 1 2 ( 1( ) 1( )) iv) ₁( ) ₁( )=2 ( ) v) ( ( )) 1( ) 6.3 Diklik Bağıntısı

Bessel fonksiyonları için diklik bağıntısı

∫ ( ) ( ) 2 0

( ₁( ))2