1
BÖLÜM III: DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
Bu bölümde 2. mertebeden çizgisel ve homojen denklemlerin seri çözümleri ele alınacak. En genel 2. mertebeden, değişken katsayılı, çizgisel, homojen olmayan denklem
( )
( )
( ) ( ) ( ) ile verilir. Bu denklem aşağıdaki gibi de yazılabilir:
( )
( ) ( ) Eğer ( ) ise bu denklem homojendir.
3.1 Analitik Katsayılı Denklemlerin Seri Çözümleri
2. mertebeden, değişken katsayılı, homojen, çizgisel denklemi ele alalım: ( )
( )
Eğer ( ) ve ( ), noktasında analitik ise bu denklemin düzgün noktasıdır ve ( ) ve ( ), noktası civarında Taylor serisi olarak ifade edilebilir. Bu durumda denklem iki tane çizgisel bağımsız analitik çözüme sahiptir: ( ) ve ( )
( ) ∑ ( )
Örnek: denkleminin genel çözümünü düzgün noktası civarında kuvvet serisi olarak bulunuz. Burada
2
( ) ∑
olarak verilir. Bu durumda ( ) ∑
( ) ∑ ( )
şeklindedir. Bu seri çözümü denklemde yerine yazılırsa,
( ) ( ) ( ) [( )( ) ]
elde edilir. ’in katsayılarını teker teker sıfıra eşitleyelim. Tekrarlama bağıntısı ( )( )
olarak bulunur ve buradan tüm katsayıları ve cinsinden ifade edilir. Böylece seri çözümü aşağıdaki gibi elde edilir:
( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
Burada, ( ) ve ( ) çizgisel bağımsız özel çözümlerdir.
Örnek: Legendre
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ve Hermite
( ) ( ) ( )