Bu tez... tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile kabul edilmiştir.

(1)

Ç UKUROVA ÜN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ÜS Ü

Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I

Aziz T ¨URKAN

BASAMAKLI Y ÜZEYLER˙IN DENGEYE ULAS¸ MASI VE B ÜY ÜT ÜLMES˙IN˙IN K˙INET˙IK MONTE CARLO Y ÖNTEM˙I ˙ILE B˙IR BOYUTTA ˙INCELENMES˙I

F˙IZ˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

ADANA, 2016

(2)

BASAMAKLI Y ÜZEYLER˙IN DENGEYE ULAS¸ MASI VE B ÜY ÜT ÜLMES˙IN˙IN K˙INET˙IK MONTE CARLO Y ÖNTEM˙I ˙ILE B˙IR BOYUTTA ˙INCELENMES˙I

Aziz T ¨URKAN Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I F˙IZ˙IK ANAB˙IL˙IM DALI

Bu tez ... tarihinde as¸a˘gıdaki jüri üyeleri tarafından Oybirli˘gi/Oyçoklu˘gu ile kabul edilmis¸tir.

...

Prof. Dr. Metin ¨OZDEM˙IR DANIS¸MAN

...

Prof. Dr. Y¨uksel UFUKTEPE UYE¨

...

Prof. Dr. Zeki YARAR UYE¨

...

Y. Doc¸. Dr. M. Zeki KURT UYE¨

...

Y. Doc¸. Dr. Mehmet ESEN 2. Danıs¸man

Bu tez Enstit¨um¨uz Fizik Anabilim Dalında hazırlanmıs¸tır.

Kod No:

Prof. Dr. Mustafa G ÖK Enstit ü M üd ür ü

Bu Ç alıs¸ma Ç . Ü. Bilimsel Aras¸tırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmis¸tir.

Proje No: FYL-2016 5373

Not:Bu tezde kullanılan özgün ve bas¸ka kaynaktan yapılan bildiris¸lerin, çizelge, s¸ekil ve foto˘grafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

(3)

OZ¨

Y ¨UKSEK L˙ISANS TEZ˙I

BASAMAKLI Y ÜZEYLER˙IN DENGEYE ULAS¸ MASI VE B ÜY ÜT ÜLMES˙IN˙IN K˙INET˙IK MONTE CARLO Y ÖNTEM˙I ˙ILE B˙IR

BOYUTTA ˙INCELENMES˙I Aziz T ¨URKAN

F˙IZ˙IK ANAB˙IL˙IM DALI Danıs¸man : Prof. Dr. Metin ¨OZDEM˙IR

Yıl: 2016, Sayfa: 53

Jüri : Prof. Dr. Metin ÖZDEM˙IR : Prof. Dr. Yüksel UFUKTEPE : Prof. Dr. Zeki YARAR : Y. Doç. Dr. M. Zeki KURT : Y. Doç. Dr. Mehmet ESEN

Bu tez çalıs¸masında bir boyutlu, farklı bas¸langıç s¸ekillerine sahip yarıiletken yüzeylerinin dengeye ulas¸ması ve yüzeye belirli bir parçacık akısının oldu˘gu durumda yüzeyin büyümesi süreçleri kinetik Monte Carlo yöntemi ile aras¸tırılmıs¸tır. Göz önüne alınan bas¸langıç yüzeyleri deneysel çalıs¸malarda sıklıkla kullanılan ”V” s¸ekli ve sinüssel yüzeylerdir. Bu çalıs¸mada bas¸langıç yüzeyinin bir atom yüksekli˘ginde basamaklar ve bunları birles¸tiren teraslardan olus¸tu˘gu kabul edilmis¸tir. Monte Carlo simülasyonlarında bir parçacı˘gın yüzey üzerinde serbest difüzyonu, bir parçacı˘gın bir basamak kenarından ayrılarak bir önündeki veya bir üstteki terasa salınması, bir parçacı˘gın bir basamak

önündeki terastan veya bir üstteki terastan basamak kenarına birles¸mesi olayları göz

önüne alınmıs¸tır. Ç alıs¸mada bu proseslere kars¸ılık gelen ba˘glanma enerjilerinin yüzey profili üzerine etkileri aras¸tırılmıs¸tır. Ust terastaki bir parçacı˘gın alttaki basamak¨ ile birles¸mesi için gereken fazladan enerji engelini temsil eden Ehrlich-Schwoebel enerji bariyerinin de etkisi çalıs¸malarda göz önüne alınmıs¸tır. Yüzeylerin dengeye ulas¸ması farklı bas¸langıç yüzeyleri kullanılarak farklı sıcaklıklarda incelenmis¸tir. Ayrıca parçacıkların etkiles¸im enerjilerinin yüzey profili ve yüzeyin evrimi üzerindeki etkileri de aras¸tırılmıs¸tır. Yüzeye belirli bir parçacık akısının oldu˘gu durumlarda yüzey profili ve büyüme kineti˘gi farklı sıcaklık ve farklı akı de˘gerleri için incelenmis¸tir.

Anahtar Kelimeler: Atomik basamaklar, Kinetik Monte Carlo, Y¨uzey Serbest Enerjisi, Ba˘g Enerjisi, Dif¨uzyon.

(4)

ABSTRACT MSc THESIS

INVESTIGATION OF EQUILIBRATION AND GROWTH OF STEPPED SURFACES BY KINETIC MONTE CARLO METHOD IN ONE DIMENSON

Aziz T ¨URKAN

DEPARTMENT OF PHYSICS

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF C¸ UKUROVA

Supervisor : Prof. Dr. Metin ¨OZDEM˙IR Year: 2016, Pages: 53 Jury : Prof. Dr. Metin ¨OZDEM˙IR

: Prof. Dr. Y¨uksel UFUKTEPE : Prof. Dr. Zeki YARAR : Assist. Prof. M. Zeki KURT : Assist. Prof. Mehmet ESEN

In this thesis study, the equilibration and in the case of a particle flux to the surface, the growth of a one dimensional semiconductor surface of various initial shapes are investigated by kinetic Monte Carlo method. The initial shapes that are considered are ”V”

and sine shapes that are commonly used in experimental studies. In this study the initial surface is assumed to consist of atomic height steps separated by terraces. In Monte Carlo simulations, the following processes are considered: the diffusion of free particles on the surface, the detachment of a particle from a step edge to a terrace in front of the terrace or to a terrace above the step, the attachment of a particle from a terrace (above or in front of the step) to a step. The effect the barrier energies associated with these processes on the surface profile is investigated. The effect of the extra energy barrier a particle must over- come in order to join a step edge from the upper terrace, known as Ehrlich-Schwoebell barrier is also taken into account. The equilibration of various initial shapes at various temperatures is investigated. Moreover, the effect of particle interaction energies on the surface profile and on the evolution of the surface are also investigated. In the case of a particle flux to the surface, the surface profile and its growth kinetics are investigated at various temperatures and flux values.

Key Words: Atomic steps, Kinetic Monte Carlo, Surface Free Energy, Bonding Energy, Diffusion.

(5)

TES¸ EKK ¨UR

Yüksek Lisans e˘gitimim boyunca ve tezimin hazırlanmasında bana yol gösteren, yanında çalıs¸maktan memnun kaldı˘gım tez danıs¸mamın ve hocam Prof.Dr. Metin OZDEM˙IR’e tes¸ekkürlerimi sunuyorum. Bilgisayar programı yazılması esnasında ve¨ grafik çizimlerinde yardımlarını hiç esirgemeyen birinci danıs¸manım sayın Prof.Dr. Metin OZDEM˙IR ve ikinci danıs¸manım sayın Yrd.Doç.Dr. Mehmet ESEN’e tes¸ekkür ederim.¨

Ayrıca bu günlere beni getiren canımdan çok sevdi˘gim aileme, sonsuz tes¸ekkürlerimi sunarım.

(6)

˙IC¸˙INDEK˙ILER SAYFA OZ¨ . . . I ABSTRACT . . . II TES¸EKK ¨UR . . . III

˙IC¸˙INDEK˙ILER . . . IV C¸ ˙IZELGELER D˙IZ˙IN˙I . . . VI S¸EK˙ILLER D˙IZ˙IN˙I . . . VIII S˙IMGELER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I . . . X

1. G˙IR˙IS¸ . . . 1

2. ONCEK˙I C¨ ¸ ALIS¸MALAR . . . 3

3. TEOR˙IK ALT YAPI . . . 5

3.1. Materyal . . . 5

3.2. Y¨uzey Serbest Enerjisi (Y¨uzey Gerilimi) . . . 5

3.3. Kristalin Denge S¸ekli . . . 8

3.4. Y¨uzeyin Atomik Yapısı ve Konfig¨urasyonları . . . 12

3.4.1. Y¨uzey Konfig¨urasyonları ve Enerjileri . . . 12

3.4.2. So˘gurma Tabakası (Adsorption layer) . . . 13

3.4.3. Yüzey Pürüzlülü˘gü (Surface Roughness) . . . 15

3.5. Y¨uzeylerin ˙Incelenmesinde Kullanılan Bir Teknik: Taramalı T¨unelleme Mikroskopu (STM) . . . 16

3.6. Kinetik Monte Carlo (KMC) . . . 18

3.6.1. KMC Algoritması . . . 21

3.7. Problemin Parametreleri . . . 25

4. BULGULAR VE TARTIS¸MA . . . 29

4.1. Bulgular ve Tartıs¸ma . . . 29

4.2. ”V”-S¸eklindeki Bir Y¨uzeyin Dengeye Ulas¸ması . . . 29

4.2.1. ”V” S¸ekline Sahip Bir Yüzeyi Büyütmek . . . 35

4.3. Sin¨us S¸ekline Sahip Bir Y¨uzeyin Dengeye Ulas¸ması . . . 38

4.3.1. Sinüssel S¸ekle Sahip Bir Yüzeyin Büyütülmesi . . . 39

4.4. Düz Bir Yüzeyin Büyütülmesi . . . 41

(7)

5. SONUC¸ LAR VE ¨ONER˙ILER . . . 47 KAYNAKLAR . . . 49 OZGEC¨ ¸ M˙IS¸ . . . 53

(8)

C¸ ˙IZELGELER D˙IZ˙IN˙I SAYFA

C¸ izelge 3.1.Bir kristaldeki atomların pozisyonları (Chernov, 1984) . . . 13

(9)

(10)

S¸ EK˙ILLER D˙IZ˙IN˙I SAYFA

S¸ekil 3.1. Basit bir k¨ubik kafesindeki periyodik zincir ba˘gları . . . 7

S¸ekil 3.2. Yüksek simetrili bir yüzeye koms¸u yüzey. . . 8

S¸ekil 3.3. γ grafi˘gi . . . 10

S¸ekil 3.4. γ grafi˘gi ve kristal denge s¸ekli. . . 10

S¸ekil 3.5. ˙Iki boyutlu bir y¨uzey . . . 12

S¸ekil 3.6. Potansiyel Engeli . . . 14

S¸ekil 3.7. STM ile elde edilen Si(001) y¨uzeyi . . . 17

S¸ekil 3.8. Yüksek ve düs¸ük enerji bariyeri . . . 19

S¸ekil 3.9. Olasılıkların kısmi toplamı. . . 22

S¸ekil 3.10. Atomik bir basamak ic¸in enerji parametreleri. . . 26

S¸ekil 3.11. Yüzey üzerinde olus¸abilecek olası parçacık konumlarının bazıları. . . . 27

S¸ekil 4.1. T = 600 K’da yüzeyin dengeye gelmesi esnasında farklı zamanlardaki görüntüsü. . . 30

S¸ekil 4.2. T = 400 , 600 ve 800 K’da farklı E_bde˘gerleri için yüksekli˘gin de˘gis¸imi. 31 S¸ekil 4.3. T = 400, 600 ve 800 K’da farklı E_b de˘gerleri için yüksekli˘gin logarit- mik de˘gis¸imi. . . 32

S¸ekil 4.4. T = 400 , 600 ve 800 K’da farklı E_kde˘gerleri için yüksekli˘gin de˘gis¸imi. 34 S¸ekil 4.5. T = 600 K’da farklı E_k de˘gerleri için yüksekli˘gin de˘gis¸imi. . . 36

S¸ekil 4.6. T = 600 K’da ”V” s¸ekline sahip yüzeylerin büyüme görüntüleri. . . . . 37

S¸ekil 4.7. T = 600 K’da ”V” s¸ekline sahip y¨uzeylerin taban y¨uksekli˘gi. . . . 39

S¸ekil 4.8. T = 600 K’da kosin¨us s¸ekline sahip bir y¨uzeyin dengeye gelmesi. . . . 40

S¸ekil 4.9. T = 600 K’da sinüssel bas¸langıç s¸ekline sahip bir yüzeyin farklı dalga boyları için yüksekli˘ginin zamanla de˘gis¸imi. . . 40

S¸ekil 4.10. T = 600 K’da sinüssel bas¸langıç s¸ekline sahip bir yüzeyin farklı dalga boyları için yüksekli˘ginin ölçeklenmis¸ zamanla de˘gis¸imi. . . 41

S¸ekil 4.11. T = 600 K’da sinüssel bir yüzeyin büyütülmesi esnasında yüzeyin farklı zamanlardaki görüntüsü. . . 42

S¸ekil 4.12. T = 400 ve 600 K’de düz bir s¸ekle sahip yüzeylerin büyütülmesi. . . . 43

(11)

S¸ekil 4.13. T = 400 K’de düz yüzey için pürüzlülük. . . . 44 S¸ekil 4.14. T = 600 ve 800 K’de düz yüzey için pürüzlülük. . . . 45

(12)

S˙IMGELER VE KISALTMALAR D˙IZ˙IN˙I

E_b : iki parc¸acı˘gın ba˘glanma enerji Es : y¨uzey engel enerjisi

E_k : Ehrlich-Schwoebel enerji bariyeri kB : Boltzmann sabiti

ρ : yüzey pürüzlülü˘gü u : rastgele sayı

γ : y¨uzey serbest enerjisi

(13)

(14)

1. G˙IR˙IS¸ Aziz T ¨URKAN

1. G˙IR˙IS¸

Kristal büyütme ve elde edilen yarıiletken kristallerin dengeye ulas¸ması süreçleri günümüzde önemli bir konudur. Kristal büyütme is¸leminin de˘gis¸ik yolları mevcut- tur. Yarıiletken teknolojisinin bize sundu˘gu olanaklar artık günlük hayatımızın ayrılmaz bir parçası olmus¸tur. Bu tez çalıs¸masının temel amacı belirli bir bas¸langıç s¸ekli olan bir yüzeyin dengeye ulas¸ması ve yüzeye gelen bir parçacık akısının varlı˘gında yüzeyin büyütülmesi is¸lemini kinetik Monte Carlo yöntemi ile bir boyutta detaylı incelemek- tir. Belirli bir bas¸langıç s¸ekline sahip bir yüzeyin kinetik Monte Carlo yöntemi ile simülasyonu elde edilecektir. Yüzeyin büyütülmesi sırasında dikkate alınacak atomik prosesler s¸öyledir: yüzey üzerinde serbest parçacık hareketi (difüzyon), bir parçacı˘gın bir dirsekten (bir boyutlu yüzey için bir basamak kenarından) ayrılması, bir parçacı˘gın basamak kenarından ayrılması ve üst basama˘ga çıkması, bir parçacı˘gın üst basamaktan inip basamak kenarı ile birles¸mesi, (bu parçacık serbest bir parçacık olabilir, bir dimerin parçası olabilir veya dimerden daha büyük bir basamak veya bir boyutlu bir adanın parçası olabilir), dimer hareketi ve dimerden ayrılma (step kenarından ayrılmadan farklı).

Yüzeydeki her bir parçacı˘gın konumu, koms¸u durumu, hareket kabiliyeti varsa hangi yönde ve hangi olaslıkla hareket edebilir gibi bilgiler tespit edilecek ve bu bilgiler dinamik olarak güncellenerek tutulacaktır. Yüzeyi bir x-y koordinat sistemi gibi ele alındı˘gında, apsis yüzeyin uzunlu˘gu ve y ordinatı malzemenin yüksekli˘gine kars¸ılık gelmektedir.

Kristalin büyümesi yyönünde olacaktır ve büyüme x-yönünde gerçekles¸meyecektir (1+1 boyutta). Yüzeyde bulunan her bir parçacı˘gın konumuna bir rakam tayin edilerek konumu ve koms¸u durumları çıkarıldı. Her bir parçacı˘gın konumu ve koms¸u durumu çıkarıldıktan sonra sıra parçacı˘gın hareket etme is¸lemi için yönler ve bu yön/yönlerde hareket etme olasılıkları bilinmesi gerekmektedir. Yukarıda bahsetti˘gimiz her bir atomik is¸lem için, parçacı˘gın hareket etme olasılı˘gı çıkarıldı. Bu süreçlerin hepsinin simülasyonunu elde edebilmek için her bir olaya kars¸ılık gelen ba˘glanma enerjilerinin bilinmesi gerekmektedir. Yüzeyin bas¸langıç s¸ekli bilindi˘ginden ve parçacı˘gın her bir adım hareketinden sonra yüzey konumları tekrar güncellenir. Bu yüzey tarama is¸lemi sürekli yapılarak yüzeyin zaman içindeki de˘gis¸imi gözlemlenmis¸ olur. Ç alıs¸mada parçacıkların yüzey

(15)

1. G˙IR˙IS¸ Aziz T ¨URKAN

ba˘glanma enerjilerinin, sıcaklı˘gın ve varsa yüzeye gelen parçacık akısının yüzeyin mor- folojik özelliklerine etkileri aras¸tırılmıs¸tır. ˙Ilk önce deneysel çalıs¸malarda çok kullanılan

”V” ve sinüssel bir s¸ekle sahip bir yüzeyin zamanla dengeye ulas¸ması incelenmis¸tir. Daha sonra aynı yüzeylere ve düz bir yüzeye parçacık akısı oldu˘gu durumda yüzeyin morfolo- jik ve zamanla de˘gis¸im özellikleri aras¸tırılmıs¸tır. Kullanılan modelin bir boyutlu basit bir model olmasına kars¸ın, kristal büyütme ve dengeye ulas¸ma çalıs¸malarının hemen hemen bütün biles¸enlerini barındırmaktadır.

(16)

2. ÖNCEK˙I Ç ALIS¸MALAR Aziz T ÜRKAN

2. ¨ONCEK˙I C¸ ALIS¸ MALAR

Wulff 1901’de, kristal yüzeyler için bir denge s¸ekli ve kristal yüzeyinin alanı ile yüzey enerjisi arasında bir orantı oldu˘gunu göstermis¸tir. Buna Wulff yapısı (Wulff- construction) denilmektedir (Wulff,1901).

1950’lere gelindi˘ginde kristal büyütme esnasında büyüme hızlarının beklenenden daha hızlı oldu˘gu anlas¸ıldı. Bunun sebebi bir süre anlas¸ılamadı. Daha sonra 1949 ve 1951’de Burton, Cabrera ve Frank tarafından yapılan konu ile ilgili çok önemli yayınlarda kristal yüzeylerinde bir veya daha çok atom yüksekli˘ginde basamakların olabilece˘gi ve kristallerin beklenenden daha hızlı büyümesinin bundan kaynaklanabilece˘gi belirtildi. 1949’da Burton ve Cabrera, kristal yapısını ve kristal yüzeyinin buhar altında dengeye gelmesini atomik boyutta incelemis¸lerdir (Burton ve Cabrera, 1949). 1951’de Burton, Cabrera ve Frank (BCF) bir kristal yüzeyinde bulunan bir basamak hareketini dengeye yakın kos¸ullar altında incelemis¸ler, basamakların termodinami˘gini ve basamak- ların hareketini difüzyon denkleminin iki boyutlu çözümündan faydalanarak açıklamaya çalıs¸mıs¸lardır. Ortaya attıkları büyüme teorisi kısaca BCF teorisi olarak bilinir (Burton ve ark., 1951).

1960’larda Mullins, Sekerka, Schwoebel ve di˘gerleri yüzey enerjisi, yüzey enerjisinin izotropik olmayıs¸ı, basamakların termodinami˘gi, basamak hareketleri, basamak- ların iki boyutlu teraslar üzerindeki parçacık alıs¸ veris¸i, parçacık alıs¸ veris¸inin üst basamak ve alt basamak için farklı oldu˘gu durumlar üzerine çok de˘gerli çalıs¸malar yapmıs¸lardır. Ayrıca yüzeylerin kararlılı˘gı, sıcaklık de˘gis¸imi ile yüzeylerde yeni yönlerde yeni yüzeylerin oratay çıkıs¸ı yine bu dönemde detaylı çalıs¸ılmıs¸tır. (Mullins, 1959;

Mullins, 1962; Mullins ve Sekerka, 1963, 1966; Ehrlich ve Hudda, 1966; Schwoebel, 1966; Schwoebel ve Shipsey, 1966).

Uwaha ve Nozieres kristal yüzeyleri üzerindeki basamakları ve basamak basamak etkiles¸melerini detaylı bir s¸ekilde göz önüne alarak (Marchenko ve Parchin, 1980) her bir basamak için kimyasal potansiyel yazmayı bas¸armıs¸lardır (Uwaha ve Nozieres, 1985).

Daha sonra 1990’da Özdemir ve Zangwill, bir kristal yüzeyinde bulunan bir burus¸uklu˘gun denge morfolojisini incelemis¸lerdir. Bu çalıs¸mada problem 2 boyutlu olmasına ra˘gmen,

(17)

2. ÖNCEK˙I Ç ALIS¸MALAR Aziz T ÜRKAN

yüzeyin geometrisi bir boyuta indirgenerek yüzeyde bulunan basamaklar için gerekli hareket denklemleri elde edilmis¸ ve bu denklemlerin sayısal çözümünden yüzeyin zamanla nasıl dengeye ulas¸aca˘gı bulunmus¸tur. Burada meydana gelen basamak hareketi basama˘gın önündeki veya arkasındaki basamaktan parçacık alarak olur (Ozdemir ve Zangwill, 1990). Benzeri problemler daha sonra iki boyutta sayısal olarak basamak denklemlerinin çözümünden (˙Izraeli ve Kandel, ) veya Monte Carlo simülasyonları ile yapılmıs¸tır (Esen ve ark., ). ˙Iki boyutlu basamak hareketlerinin simülasyonu Kato ve ark.

tarafından yapılmıs¸tır (Kato ve ark., 2004). Ayrıca basamak salınımları, burus¸ukluk, ko- relasyon, basamak-basamak etkiles¸meleri, difüzyon denkleminin çes¸itli geometriler için çözümü üzerine bir çok deneysel ve teorik çalıs¸ma yapılmıs¸tır. Bu ve benzeri konuları kapsayan, yüzey ve yüzey basamakları ile ilgili çok iyi bir derleme ve kaynak için Jeong ve Williams’ın makalesine bakılabilir (Jeong ve Williams, 1999).

Monte Carlo tekni˘gi rastgele sayıların kullanılarak stokastik süreçlerin simülasyonunun bilgisayar ile yapıldı˘gı bir yöntemdir. Bu yöntem ilk defa Fermi tarafından (Fermi, 1949) nötronların saçılmasında saçılma açısını tahmin etmek için kullanılmıs¸tır. Günümüzde ise fizik, tıp, ekonomi ve mühendislikte bir çok alanda kullanılan bir yöntemdir. Gereken ön s¸artlar sa˘glandı˘gında bir çok de˘gis¸ik sistemin simülasyonunun yapılması mümkündür. Konu ile ilgili detaylar Bölüm 3’de verilmis¸tir.

(18)

3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN

3. TEOR˙IK ALT YAPI

3.1. Materyal

Bu bölümde önce yüzeylerin olus¸turulması, yüzey serbest enerjisi, yüzeyler

üzerinde bulunan atomik basamaklar, bunların hareketi, basamaklara parçacık birles¸imi veya basamaklardan parçacık salınması konuları üzerinde durulacaktır. Daha sonra Monte Carlo yöntemi ve bu çalıs¸mada kullanılan kinetic MC yönteminin detayları açıklanacaktır.

Konunun detayları için (Chernov, 1984), (Zangwill, 1990), (Jacoboni ve Lugli, 1989) kay- naklarına bakılabilir. As¸a˘gıda, çalıs¸mamızda kullanılan metot ve yüzey s¸ekilleri hakkında ayrıntılı bilgi verilmis¸tir.

3.2. Y ¨uzey Serbest Enerjisi (Y ¨uzey Gerilimi)

Bir sistemde sabit sıcaklık ve hacimde A alanına sahip ara yüzey olus¸turmak için harcanması gereken minimum enerji yüzey alanı ile do˘gru orantıldır çünkü yüzeyi olus¸turmak için kırılması gereken ba˘g sayısı yüzeyin büyüklü˘gü ile orantıldır. Tersinebilir oldu˘gu kabul edilen bu is¸lemde yapılması gerekn is¸ ile yüzey büyüklü˘gü arasındaki orantı sabiti yüzey gerilimi (birim alan bas¸ına düs¸en serbest enerji) olarak bilinir ve γ ile gösterilir. Böylece yapılması gereken is¸ W

W =γ^A ^(3.1)

s¸eklinde yazılabilir. Varolan bir yüzeyi örne˘gin gerdirerek (elastik olarak biçimini bozma) veya belli parçacıklar yüzeye göndererek yüzey üzerinde birikmesi sonucu yumru, gir- inti ve çöküntülerin olus¸ması olayları ile yüzeyi keserek yeni yüzeylerin elde edilmesi süreçleri bir birlerine karıs¸tırılmamalıdır ( Chernov, 1984). Yüzey gerilimi keserek (ba˘g kırarak) yeni bir yüzeyin elde edilmesi ile ilgili bir kavramdır. T = 0 sıcaklı˘gında olus¸turulan bir yüzey için yapılması gereken is¸, katıbos¸luk ara yüzeyinde bulunan tüm atomik ba˘gların kırılması için gerekli enerjinin toplamının yarısına es¸ittir (bu is¸lemde es¸it alanlı iki yüzey olus¸turulur). Ba˘gın enerjisi, atomik ba˘gı koparmak için harcanan enerjidir. Normal s¸artlar altında yüzeydeki atomik ba˘gların kırılmasıyla, yüzey üzerindeki

(19)

atomlar yeni duruma göre yeniden konumlandıklarından T = 0 durumu için hesaplanan enerjiler genel olarak normal duruma göre %10-%20 kadar daha fazladır.

Bir kristalin içerisinde bulunan bir atoma onu çevreleyen di˘ger atomlar tarafından es¸it bir s¸ekilde kuvvet uyguladı˘gından bu atom üzerindeki biles¸ke kuvvet sıfırdır. Fakat kristalin yüzeyinde bir atom ele alındı˘gında, kristali bir buhar ortamında farz eder- sek, kristalin yüzeyindeki atoma buhar fazından uygulanan kuvvet ile kristalin atom- ları tarafından uygulanan kuvvet dengelenmemis¸ olur böylece yüzeydeki atomlar yeni duruma göre konumlarını yeniden düzenlerler ve böylece aralarındaki ba˘gların s¸iddeti de˘gis¸ir. Bunun nedeni kristalin yüzeyinde simetrinin bozulmasıdır. Yüzey simetriyi bozan bir olgu oldu˘gundan, yüzey ve yüzeye yakın atomların (3-5 atom tabakası kadar) yük da˘gılımlarında da simetrinin bozulmasına sebep olur. Bunun olası bir sonucu, örne˘gin yük ayrıs¸masından dolayı yüzeyde elektrik çift kutupların olus¸masıdır. Bunların dıs¸ında yüzeyin di˘ger bütün termodinamik özellikleri hacimsel özelliklerden farklılık gösterir.

Orne˘gin yüzey fononlar hacimsel fononlardan farklı titrs¸im ve kip özelliklerine sahip-¨ tir. Yüzeyin kesin olarak neresi oldu˘gu aslında tam olarak tanımlı de˘gildir. Örne˘gin bir katı-gaz arayüzünü göz önüne aldı˘gımızda kütle yo˘gunlu˘gu (veya birim hacim bas¸ına düs¸en atom yo˘gunlu˘gu) katı içinden gaz ortamına geçerken ani bir düs¸üs¸ gösterir. Bu geçis¸ esnasında yüzeyin tam olarak neresi oldu˘gunun bir öneminin olmadı˘gı çok önceleri Gibbs tarafından açıklı˘ga kavus¸turulmus¸tur. Termodinamikte hacimsel büyüklükler için tanımlanan bütün büyüklükler herhangi bir sorun olmadan yüzey için de tanımlanabilir (Zangwill, 1988).

Bir çift atom veya molekülün ba˘glanma enerjisi, aralarındaki uzaklı˘gın artmasıyla azalır. Atomlar arasındaki ba˘gı, atomları birles¸tiren belirli bir uzunlu˘ga sahip bir çizgi s¸eklinde temsil edilebilir. Daha sonra, bir kristaldeki es¸it uzunlu˘ga sahip tüm ba˘glar bir grup altında temsil ederek sınıflandırılabilir. Aynı uzunlu˘ga ve yönelime sahip çizgiler tek düz bir zincir üzerinde dizilmis¸ atomlar gibi düs¸ünülebilir. Belirli yön ve uzunluktan olus¸an zincirler kristalde periyodik olarak düzenlenir ve buna periyodik zincir ba˘gı (PZB) denir. Örne˘gin basit bir kübik kristal yapısına sahip bir malzeme içi atomlar arası uzaklık a olsun. [100] yönelimindeki birinci en yakın koms¸u uzaklı˘gı a, [110] yönelimindeki ikinci en yakın koms¸u uzaklı˘gı a/√

2 ve [111] yönelimi için ise üçüncü en yakın koms¸u

(20)

S¸ekil 3.1. Basit bir kübik kafesindeki periyodik zincir ba˘gları. Her bir daire bir atomu veya bir molekülü temsil eder. Her bir zincir en yakın koms¸u atomlarına yönelmis¸tir ve zincirin uzunlu˘gu ba˘g enerjisi ile orantılıdır. Bir zincir aynı sırada dizilmis¸ es¸ çizgiden olus¸maktadır (Chernov,1984).

uzaklı˘gı a/√

3 olacaktır. Bu s¸ekilde elde edilen iki boyutta bir kare örgünün PZB diya- gramı S¸ekil 3.1.’de gösterilmis¸tir.

Yüzey enerjisi, yüzeydeki parçacıkların periyodik zincir ba˘glarının enerjilerine ba˘glıdır. Bir basit kübik yapıya sahip bir kristalde, bir atomun en yakın birinci atom- larla etkiles¸me enerjisi E₁ ve ikinci en yakın koms¸u atomlarla etkiles¸me enerjisi E₂ olsun. (100) yüzeyine kars¸ılık gelen ve en yakın koms¸u etkiles¸melerinden kaynaklanan yüzey enerjisi γ100 = E₁/2a² olacaktır. ˙Ikinci koms¸u atomlarla olan etkiles¸melerin de dahil edildi˘gi durum için yüzey enerjisi ise γ¹⁰⁰ ^{= E}¹^/2a²^{+ 4E}²^/2a² olur. Bu es¸itli˘gi biraz açıklamak gerekirse, kenar uzunlu˘gu a olan basit kübik kristali [100] yönünde kesti˘gimizde A = L× L alanlı iki ayrı yüzey olus¸turmus¸ oluyoruz ve en yakın koms¸u etkiles¸imleri göz önüne aldı˘gımızda kırılması gereken ba˘g sayısı N = (L× L)/a²olmak- tadır. Bu is¸lem için gereken is¸ W = NE1= L²E1/a²olmaktadır.Böylece [100] yüzeyi için yüzey enerjisi

γ¹⁰⁰= W /2A = E₁/2a² (3.2)

olur. E˘ger ikinci en yakın koms¸u etkiles¸imleri göz önüne alınırsa yüzey enerjisi iki

(21)

S¸ekil 3.2. S¸ekilde düzgün kesilmis¸ düs¸ük simetrili bir yüzeye koms¸u (vicinal) bir

yüzey görülmektedir. Basamaklar atomik yüksekliktedir (a). Yüzeyin e˘gimi p = tan(θ^{) olup, C}ⁱile gösterilen terasların uzunlu˘guλ= a/p ile verilir (Cher- nov, 1984).

boyutlu kristal ic¸in,

γ100= E₁/2a²+ 4E₂/2a² (3.3)

elde edilir.

3.3. Kristalin Denge S¸ ekli

Düzgün kesilmis¸ bir boyutlu yüzeyin çok küçük bir açı ile kesilmis¸ bir yüzeyini ele alalım (S¸ekil 3.2.). Böyle bir yüzey, kristal yapısı açısından daha kararlı düs¸ük indisli yüzeylerle çok küçük bir açı (genellikle 3-5ô) yaptı˘gından, bu yüzeylere ’koms¸u’ (vicinal) yüzeyler denir. Bu yüzeyin T = 0’da yüzey serbest enerjisi γ⁽θ), basamak ve terasların yaratılması için gereken enerjilerin toplamıdır. Tamamlanmamıs¸ eksik atomlu kenarlara basamak (step) denir.

S¸ekil 3.2.’de n tane teras ve n tane basamak olup yatay uzunluk L ve y¨uzeyin y¨uksekli˘gi h kabul edilirse e˘gim

tanθ ^{= h/L} ^(3.4)

olur. Burada L =nλ ve h=na ile verilir. S¸ekilden görüldü˘gü gibi, yüzeyi yaratmak için gerekli enerji

W = (L

a )

ε⁺ (h

a )

ε ^(3.5)

ile verilir. Burada ε en yakın koms¸u atomların ba˘g enerjisi de˘geridir. Yukarıdaki den-

(22)

klemde birinci terim kristal (100) yönünde kesildi˘ginde harcanması gereken enerjiyi, ikinci terim ise yüzeyin basamaklı olmasından kaynaklanan fazladan kırılması gereken ba˘glardan kaynaklanan enerjiyi temsil eder. A olus¸turulan yüzeyin alanı olmak üzere, yüzey serbest enerjisi (veya yüzey gerilimi)

γ ^{= W /A} ^(3.6)

olarak yazılabilir. Sadece iki boyuta yo˘gunlas¸arak y¨uzeyin A alanı (bu durum ic¸in aslında uzunlu˘gu) de˘geri,

A =√

h²+ L² (3.7)

olur. L c¸ekilip, 3.4 es¸itli˘gindeki e˘gim yerine yazılırsa A’nın de˘geri

A = L/ cosθ ^(3.8)

olur. Denklem 3.6’da W ve A de˘gerleri yerlerine yazılacak olursa γ ^{= W /2r}

γ ^{= [(L/a)}ε^{+ (h/a)}ε^{]/(2L/ cos}θ⁾ ^(3.9)

Denklem 3.9’da h yerine h = L tanθ de˘geri yazılacak olursa y¨uzey enerjisi ic¸in

γ ^{= (}ε^{/2a) cos}θ^{+ (}ε^{/2a) sin}θ ^(3.10)

es¸itli˘gi elde edilir. θ de˘geri 0 ve 90 derece de˘gerleri arasında de˘ger alır. γ0=ε^{/2a ve} β ⁼ε/2 tanımları yapılarak 3.10 denklemi daha da sadeles¸tirilebilir. Bu durumda

γ⁽θ^{) =}γ0cosθ^{+ (}β^{/a) sin}θ ^(3.11)

es¸itli˘gi elde edilir. Bu es¸itlikten anlas¸ıldı˘gı üzere γ0, yüzeyde basamak olmadı˘gı zaman yüzey gerilimidir. A alanlı yüzey alanı olus¸turmak için gerekli enerji, θ’nın pozitif ve negatif de˘gerleri için aynıdır. 3.11 es¸itli˘gi daha genel olarak as¸a˘gıdaki gibi yazılabilir.

γ⁽θ^{) =}γ⁰|cosθ| + (β^/a)|sinθ| (3.12)

3.12 denkleminin grafi˘gi S¸ekil 3.3.a’da gösterilmis¸tir. Buradan da görüldü˘gü gibi yüzey gerilimi katılar için izotropik de˘gildir. Ayrıca θ ^{= 0,}π^/2,π. . . de˘gerlerinde

(23)

S¸ekil 3.3. T = 0 sıcaklı˘gındaki kübik bir kristalin yüzey enerjisinin izotropik olmayıs¸ının en yakın koms¸u etkiles¸meleri için gösterimi. a) γ⁽θ)’ın en yakın koms¸u etkiles¸meler göz önüne alınarak iki boyutlu model bir kristal için elde edilen de˘gerinin açıya göre çizimi. b) γ⁽θ)’ın düzlem kutupsal koordinatlarda iki boyutta gösterimi (γ⁽θ)-grafi˘gi) (Chernov, 1984).

S¸ekil 3.4. a)γ⁽θ)-grafi˘gi ve b) elde edilecek kristal denge s¸ekli.

(24)

γ⁽θ) analitik de˘gildir (fonksiyonun kendisi tanımlı fakat türevi tanımlı de˘gildir). Bu- rada gösterilen sadece en yakın koms¸u etkiles¸melerinin göz önüne alındı˘gı iki boyutlu, kare örgü simetrisine sahip basit bir model içindir. E˘ger bir sonraki en yakın koms¸u etkiles¸meleri göz önüne alınırsa bu durumda yukarıda belirtilen yönlere ek olarak θ ⁼ π^{/4, 3}π^{/4, 5}π/4 . . . yönlerinde de yeni analitik olmayan yönler ortaya çıkacaktır. Bu s¸ekilde bir sonraki ve di˘ger sonraki etkiles¸meler göz önüne alınmaya devam edilirse, T = 0’da elde edilenγ⁽θ) fonksiyonu her yönde tanımlı fakat hemen hemen hiç bir yönde analitik olmayan bir fonksiyon olacaktır. Fakat sıcaklık arttırıldı˘gında bu analitik olmayan noktaların büyük ço˘gunlu˘gu ortadan kalkar ve genellikle sadece yüksek simetri yönlerine kars¸ılık gelen noktalar kalır. Bütün sistemler gerekli kos¸ullar sa˘glandı˘gı taktirde olası en düs¸ük enerji durumuna geldiklerinden, kristalin denge s¸ekli serbest yüzey enerjisinin min- imize edilmesiyle elde edilir. S¸ekil 3.3.a’da görüldü˘gü gibi denge s¸ekli üzerindeγ⁽θ^)’nın minimum oldu˘gu yöndeki yüzeylerin en çok, maksimum oldu˘gu yöndeki yüzeylerin en az bulunması gerekir.

Daha ö˘gretici olması açısından yüzey enerjisi için elde edilen γ⁽θ) de˘geri bas¸ka türlü çizilebilir. γ⁽θ^{), (}θ) yönünde uzanan bir vektörün uzunlu˘gu gibi düs¸ünülerek her açıya kars¸ılık gelen γ⁽θ) uzunlu˘gunda bir vektör merkezden çizilirse, bu s¸ekilde çizilen vektörlerin ucunun taradı˘gı s¸ekil γ⁽θ)-grafi˘gi olarak bilinir. S¸ekil 3.3.b en yakın koms¸u etkiles¸imleri göz önüne alınarak çizilen böyle bir grafi˘gi göstermektedir. Buradaθ ^dikey eksen ile yapılan açıdır.

γ⁽θ)-grafi˘gi kullanılarak denge haline ulas¸mıs¸ bir kristalin alaca˘gı s¸ekil tahmin edilebilir. 1904 yılında Wulff tarafından önerilen bu yönteme göre γ⁽θ)-grafi˘ginde her açı için çizilen vektöre dik bir vektör çizgi çizilir. Bu çizgilerin kesis¸mesinden olus¸an ve içeride kalan en küçük kapalı alanın aldı˘gı s¸ekil kristalin denge s¸ekli ile orantılıdır. Bu çizimden görüldü˘gü gibi, denge haline ulas¸mıs¸ kristalin yüzeyinin belirli bir yöne kars¸ı gelen alanının büyüklü˘gü bu yöne kars¸ı gelen yüzey enerjisinin büyüklü˘gü ile ters orantılı olacaktır, yani yüzey enerjisinin en küçük oldu˘gu yönelime kars¸ılık gelen yüzey alanları en büyük olacaktır. S¸ekil 3.4.’de S¸ekil 3.3.’de gösterilen γ-grafi˘gine kars¸ılık gelen iki boyutlu denge yüzeyi gösterilmis¸tir. Burada da görüldü˘gü gibi sadece en yakın koms¸u etkiles¸mlerinin göz önüne alındı˘gı bir durum için kare örgünün denge s¸ekli yine kare

(25)

S¸ekil 3.5. a-c. Basit kübik yapı için yüzey görünümleri. a) T > 0’da farklı tip atomların pozisyonları (Ç izelge 3.1’e bakınız). Artı ve eksi is¸aretler basamaktaki pozitif ve negatif dirsekleri göstermektedir. b) As¸ırı ilerlemis¸ basamak pürüzlülü˘gü

üzey üzerinde çıkıntı olus¸turarak kendi üzerine sarkabilir (overhanging). c) Atomik olarak pürüzlü bir yüzey.

olacaktır. Sıcaklık arttıkça denge s¸ekli üzerindeki keskin kös¸elerin e˘gimli hale gelmesi beklenir.

3.4. Y ¨uzeyin Atomik Yapısı ve Konfig ¨urasyonları

3.4.1. Y ¨uzey Konfig ¨urasyonları ve Enerjileri

Basit kristal kübik bir yapının yüzey s¸ekli T > 0’da S¸ekil 3.5.’de gösterilmis¸tir.

S¸ekil 3.2.’nin aksine yüzey burada düzgün de˘gildir. Atomlar ve moleküller basamaklardan veya yüzeylerden ayrılabilir. Bunun sebebi termal harekettir. Atomlar kendi denge noktaları civarında belirli frekanslarda titres¸ir. Bu frekanslar genel olarak 10¹²⁻¹³ s⁻¹ mertebesindedir. Denge konumu civarında titres¸en bir atom veya molekül buradan kurtu- larak bir en yakın denge konumuna geçis¸ yapabilir. Bunun meydana gelmesinin as¸ılması gereken enerji engeline ve sıcaklı˘ga ba˘glı olmak üzere belirli bir olasılı˘gı vardır. Sıcaklık arttıkça yüzey morfolojisi de˘gis¸ikli˘ge u˘grar ve bunun sonucunda, basamak kenarındaki atomlar basamaktan ayrılarak teraslara gelebilir ve basamak kenarında kös¸eler olus¸abilir.

Bu durumda terastan ayrılan, konum de˘gis¸tiren veya tekrar basamak kenarına dönerek onun bir parçası olan atomlar olabilir. Ayrıca bu dinamikten dolayı bir parçacık konu- munu de˘gis¸tirerek sahip oldu˘gu ba˘g sayısını artırabilir veya azaltabilir.

Kübik taban yapı üzerinde olus¸mus¸ bir yüzeydeki atomlar için bulundukları kon-

(26)

C¸ izelge 3.1. Bir kristaldeki atomların pozisyonları (Chernov, 1984).

Pozisyon Numarası

S¸ekil 3.5a’de (En yakın Birinci en yakın

koms¸u numarası) Durum Adı koms¸u sayısı

1 Y¨uzeyin ¨uzerinde 1

2 Basama˘gın kenarında 2

3 K¨os¸eye birles¸mis¸ 3

4 Basama˘ga gömülü 4

5 Y¨uzey ic¸inde 5

6 Kristalin içinde (gömülü) 6

uma göre en yakın birinci koms¸u durumu Ç izelge 3.1’de gösterilmis¸tir. Basit kübik

örgüye sahip bir kristalde hacim içindeki bir atomun 6 tane birincil koms¸u atomu vardır.

Bir basamakta olus¸an dirsekte (kink) bulunan bir atomun 3 tane birincil koms¸u atomu vardır. Y¨uzeyin ¨uzerinde bulunan bir atomun birincil koms¸u sayısı ise 1 tanedir (Bkz.

C¸ izelge 3.1 ve S¸ekil 3.5.a).

3.4.2. So˘gurma Tabakası (Adsorption layer)

Bir kristalin yüzeyi basıncıP olan bir buhar ile çevrelenmis¸se, birim zamanda birim yüzeye m kütleli parçacıkların yüzeye çarpma sayısı P/√

2π^mkBT ile verilir (Chernov, 1984). Yüzeye gene parçacıkların henüz bir basamak kenarına veya bir kusur noktasına birles¸ip kristalin bir parçası olmayan parçacıklar yüzey üzerinde bir gaz olus¸tururlar. Buna yüzey tarafından so˘gurulan parçacıklar gözüyle bakılarak so˘gurma tabakası olarak adlandırılır. Bunlar yüzeyde serbest olarak hareket eden parçacıklardır.

Ç ok az bir kısmı elastik olarak buhara geri yansımasına ra˘gmen parçacıkların büyük ço˘gunlu˘gu yüzeye tutunur. Di˘ger bir taraftan, yüzeye tutunmus¸ her bir parçacık yüzey

üzerinde kendi denge noktası etrafında titres¸ir. Bu titres¸imler yüzeye dik bir do˘gru boyunca olabilece˘gi gibi herhangi bir yönde yüzey boyunca da olabilir. Bu titres¸imlerin mertebesi her iki yön içindeυ ^{= 10}¹²− 10¹³ Hz kadardır. Yüzeye dik yönde salınımlar parçacıkların yüzeyden ayrılarak tekrar buhar ortamına dönmesine sebep olur. Yüzey boyunca salınımlar ise parçacı˘gın bir denge noktasından di˘gerine geçerek oratalama bir

(27)

S¸ekil 3.6. Yüzey üzerinde serbestçe dolas¸an bir atomun geçti˘gi Es potansiyel engeli ve yüzeyi terk edecek bir atomun as¸ması gereken E_hpotansiyel engeli.

örgü sabiti a kadar yüzey üzerinde ilerlemesine sebep olur. Bu olay parçacık difüzyonu olarak bilinir. S¸ekil 3.6. yüzey üzerinde serbest hareket eden bir parçacı˘gı ve yüzeyden ayrılmak (E_h) veya yüzey boyunca difüzyon hareketi yapmak için (E_s) as¸ması gereken potansiyel engellerini göstermektedir. Yüzeye dik yönde titres¸imlerde exp(−Eh/k_BT ) ile orantılı bir olasılıkla parçacık yüzeyden ayrılır. E_h burada parçacı˘gın yüzeye tutunma enerjisidir veya durgun haldeki bir parçacı˘gı yüzeyden ayırmak için parçacı˘ga verilmesi gereken enerjidir. Parçacı˘gın yüzey üzerinde ortalama bulunma süresi

τs=υ⁻¹^exp(Eh/k_BT ) (3.13)

ile verilir. Yüzey üzerinde bulunan ve serbestçe hareket eden parçacık yo˘gunlu˘gunun n_s oldu˘gunu kabul edelim. Bu durmda yüzeyden ayrılan parçacık akısı (birim zamanda birim yüzeyden ayrılan parçacık sayısıs) ns/τ^s olacaktır. Yüzeye gelen parçacık akısı ile yüzeyden ayrılan parçacık akısı es¸itlendi˘ginde dengeye ulas¸ılmıs¸ olacaktır. Böylece

n_s= P

υ^√⁽²π^mk^B^{T )}^{exp (E}^h^/k^B^{T ))} ^(3.14) elde edilir. Parçacı˘gın yüzey boyunca ortalam difüzyon süresi ise

τD=υ⁻¹^exp(Es/k_BT ) (3.15)

ile verilir. Burada E_s yüzey üzerinde gezinen bir atomun as¸ması gereken potansiyel en- geldir (S¸ekil 3.6.). Yüzey difüzyon sabiti

D_s= a² 4τD

(3.16) ile verilir. Denklem 3.15’dakiτ^Difadesi yerine yazılacak olursa,

D_s= (a²υ

4 ) exp(−Es/k_BT ) (3.17)

(28)

elde edilir. τssüresi içinde molekülün alaca˘gı yola ortalama serbest difüzyon uzunlu˘gu x_s denir ve

x_s= 2√

D_sτs (3.18)

ile verilir (Einstein, 1907). Dsveτses¸itlikte yerine yazılırsa, x_s= a exp(E_h− Es

k_BT ) (3.19)

olacaktır.

3.4.3. Y üzey P ür üzl ül ü˘g ü (Surface Roughness)

Yüzey pürüzlülü˘gü çes¸itli kinetik veya dinamik süreçlerin sonucunda yüzeyde meydana gelen düzensizliktir. Bu düzensizlik yüzeyin dokusunu olus¸turur. Yüzeyin pürüzlülü˘gü yüzeye dik yöndeki ortalama yükseklikten olan sapma ile ölçülür. E˘ger sapma büyükse, yüzey pürüzlülü˘gü fazla, e˘ger sapma küçük ise yüzey daha düzgündür.

Yüzey pürüzlülü˘gü bazen yüzey burus¸uklu˘gu olarak da adlandırılır. Burada pürüzlülükten kasıt yarıiletken yüzeylerdeki atomik düzeydeki pürüzlülüktür. Bu anlamıyla yüzey pürüzlülü˘gü ile yüzey serbest enerjisi arasında do˘grudan bir ilis¸ki vardır. Yüzey pürüzlülü˘gü aslında sonsuz mertebede bir faz geçis¸idir (Zangwill, 1988). Bu geçis¸in oldu˘gu sıcaklık burus¸uk yüzey sıcaklı˘gı olarak bilinir. Bu sıcaklı˘gın altındaki yüzeyler atomik mertebedeki yüksekli˘ge sahip basamaklar ve bunları ayıran teraslardan olus¸ur.

Orne˘gin S¸ekil 3.5.a’da gösterilen yüzey bu duruma örnektir. Sıcaklık arttıkça yüzey¨

üzerindeki basamakların terasa parçacık vermeleri veya terastan parçacık yakalamaları neticesinde basamak kenarında genli˘gi sıcaklıkla artan salınımlar gözlenir. Sıcaklık daha da arttırılırsa basamak kenarındaki salınımların genli˘gi biraz daha artar ve artık bir basama˘gın tanılanması imkansız hale gelir. S¸ekil 3.5.c bu duruma örnektir. Bu geçis¸

sıcaklı˘gı burus¸uk y¨uzey sıcaklı˘gı olarak bilinir.

Yukarıda anlatılanlardan anlas¸ılabilece˘gi gibi burus¸uk yüzey sıcaklı˘gı ile bir atomik basama˘gın olus¸turulması için gerekli serbest enerji arasında do˘grudan bir ilis¸ki vardır. Basamak serbest enerjisi basama˘gı sıfır kelvin sıcaklı˘gında olus¸turmak için gereken enerji ile basamak kenarının salınımdan kaynaklanan konfigürasyonel entropinin

(29)

katkısının farkı olarak tanımlamak mümkündür. Burus¸uklu˘ga geçis¸ esnasında bu iki enerji de˘geri es¸it olur ve böylece basamak serbest enerjisi sıfıra gider. Aslında tam bu sıcaklık de˘gerinde yüzey serbest enerjisinde gözlenen analitik olmayan noktalar tamamen ortadan kalkar. Böylece burus¸uk yüzey sıcaklı˘gının farklı ama tamamen es¸de˘ger iki tanımı yapılabilir. Basamak serbest enerjisinin sıfıra gitti˘gi veya yüzey serbest enerjisinin göz önüne alınan yüzeyin yönelimine kars¸ılık gelen analitik olmama durumunun tamamen ortadan kalktı˘gı sıcaklık burus¸uk yüzey sıcaklı˘gıdır. Dikkat edilirse her yönelimin burus¸ukluk sıcaklı˘gı farklı olabilir.

Yüzey pürüzlülü˘günün çok kullanılan bir ölçüsü, yüzey yüksekli˘ginin ortalama yükseklikten farkının karelerinin toplamının kökü olarak tanımlanır (kare ortalama kök).

Yüzeyin ortalama yüksekli˘gi ¯h olmak üzere pürüzlülü˘gün matematiksel tanımı ρ ⁼

√ 1 N

∑

N i=1

(h_i− ¯h)² (3.20)

olarak tanımlanır. Burada N yüzey üzerinde bulunan örgü noktası sayısıdır veya yüzey

üzerinde seçilen örnek sayısıdır.

3.5. Y ¨uzeylerin ˙Incelenmesinde Kullanılan Bir Teknik: Taramalı T ¨unelleme Mikroskopu (STM)

Burada yüzeylerin yapısının ve özelliklerinin incelenmesi için çok kullanılan Tara- malı Tünelleme Mikroskopundan (STM) kısaca bahsedilecektir (Castell, 2015).

Bu teknikle bir malzemenin yüzeyi görüntülenebilir veya gerekti˘ginde yüzey ma- nipüle edilebilir. Aletin yapısı temel olarak kuantum tünelleme kavramı üzerine dayanır.

Bu alette çok özel tekniklerle üretilen bir uç (tip) kullanılır. Uçun en sivri tepe nok- tası ancak bir atomdan olus¸acak kadar incedir. ˙Ilk önce uç ve malzeme arasına voltaj uygulanıp uç malzemeye yeterince yaklas¸tırılır, genellikle 4-7 Aô kadar. Bu uç seramik piezoelektrik tutucular yardımı ile 1 mikrometre mertebesinde mesafelerle hareket et- tirilir. ˙Iletken uçun malzemeye yeterince yaklas¸tırılmasıyla uçtan malzemeye tünelleme akımı gözlenir ve ölçülebilen akım 1-10 nA civarındadır. Tünelleme akımı uç ile malzeme arasındaki potansiyel farkına üstel olarak ba˘glıdır, aletin hassas olmasını sa˘glayan da bu

özelliktir. Aletin iki çalıs¸ma modu vardır: sabit akım ve sabit yükseklik. En çok kul-

(30)

S¸ekil 3.7. STM ile elde edilen Si(001) y¨uzeyi (www-1).

lanılan sabit akım modunda uc¸ ile mazleme arasındaki t¨unelleme akımı sabit tutulur.

Uç yüzey üzerinde piezoelektrik tutucular ile hareket ettirildi˘ginde e˘ger bir atoma çok yaklas¸ırsa akımı sabitlemek için uç yukarı kalkar, e˘ger uç iki atom arasındaki bos¸lu˘ga denk gelirse akım azaldı˘gından uç yüzeye do˘gru biraz daha yaklas¸ır. Böylece uçun düs¸ey hareketi kaydedildi˘ginde yüzeydeki atomların da˘gılımını hassas bir s¸ekilde verir. Elde edilen yükseklik ham verisi is¸lenerek ve belirli bir persepektiften aydınlatılarak atomların yüzey üzerindeki konumları net bir s¸ekilde tespit edilebilir. Bu s¸ekilde elde edilmis¸ bir Si(001) yüzeyi S¸ekil 3.7.’de gösterilmis¸tir. Daha az kullanılan sabit yükseklik modunda uç yükseli˘gi sabitlenerek yüzey üzerinde gezdirilir ve akımda meydana gelen de˘gis¸imler kaydedilir. Akım yüksek ise ucun yüzey atomlarına yakın oldu˘gu, düs¸ük ise yüzey atom- larına uzak oldu˘gu varsayımından yüzeyin bir görüntüsü ham akım verisinin is¸lenmesi ile bulunabilir.

STM’in bir kullanım alanı da yüzey atom veya moleküllerinin manipülasyonudur.

STM’in ucu kullanılarak yüzey üzerinde bulanan parçacıklar veya parçacık öbekleri bir noktadan bas¸ka bir noktaya hassas bir s¸ekilde tas¸ınarak yüzey üzerinde istenilen kon- figürasyonlar elde edilebilir.

(31)

3.6. Kinetik Monte Carlo (KMC)

Rasgele olarak üretilen sayıların kullanımına dayanarak herhangi bir problemi çözme tekni˘gi Monte Carlo metodu olarak bilinir. Rasgele sayıları üretmek için bir çok yöntem vardır fakat hızlı ve etkin biçimde rasgele sayı üretimi ancak bilgisayar kullanılarak yapılabilir. Fakat bilgisayarlarda üretilen sayılar aslında tamamen rasgele olmayıp belirli bir dizinin elemanları olarak üretildiklerinden bunlara ço˘gunlukla ras- gelemsi sayılar denir (Kai Nordlund, 2006). Monte Carlo yöntemleri ilk defa Fermi tarafından reaktörlerde saçılan nötronların sapma açılarını bulmak için kullanılmıs¸tır (Fermi ve Richtmyer, 1948). Daha sonra özellikle bilgisayarların gelis¸mesi ile bu teknik hemen hemen her türlü problemin çözümünde ve çok de˘gis¸ik dallarda kul- lanılmaya bas¸lamıs¸tır. Monte Carlo teknikleri konusunda en önemli algoritma Metropolis tarafından gels¸tirilen Metropolis algoritmasıdır (Metropolis ve Ulam, 1949; Metropo- lis ve ark., 1953). Bu algoritma dengedeki veya dengeye çok yakın termodinamik bir sistem için gelis¸tirilmis¸ olmasına ra˘gmen daha sonra denge dıs¸ı problemlere de bas¸arıyla uygulanmıs¸tır. Bu yöntemin ana teması sistemin denge kos¸ullarına do˘gru evrim geçirece˘gi ve bu esnada sistemin toplam enerjsinin bir minimuma do˘gru gidece˘gi üzerine kuruludur. Bu yöntemde önce sistemin toplam enerjisi hesaplanır (Ei). Daha sonra rasgele sayılar kullanılarak bir parçacık rasgele seçilir. Bu parçacı˘gın gidebilece˘gi olası noktalar- dan bir tanesi yine rasgele olarak seçilir. Seçilen parçacı˘gın tayin edilen noktaya gitmesi durumunda sistemin sahip olaca˘gı toplam enerji yeniden hesaplanır (E_s). E˘ger iki enerji arasındaki fark∆^{E = E}^s− Ei< 0 ise bu hareket kabul edilir çünkü sistemin enerjisi azal- maktadır. Fakat sistemin enerjisi artsa bile (∆E > 0), bu hareket de e^−∆E/k^B^T olasılı˘gı ile kabul edilir. Bunun sebebi sistemin yerel bir minimumda çakılarak kalmasını engellemek, enerji artsa bile bu tür hareketlere izin vererek sistemin yerel minimumdan çıkmasına yardım etmektir. Sistemin simülasyonuna bu adımların milyonlarca kez tekrarlanması ile devam edilir. Böylece sistemin dengeye ulas¸tı˘gı ve enerjisisnin minimum oldu˘gu duruma kars¸ı gelen termodinamik de˘gerler hesaplanabilir.

Metropolis algoritması çok basit bir s¸ekilde programlanabilir fakat bazı isten- meyen özellikleri de vardır. Bu yöntemde yapılan deneyin süresi ile bir bilgi elde edile-

(32)

S¸ekil 3.8. a)Yüksek enerji bariyerini b)Düs¸ük enerji bariyerini göstermektedir (Kai Nord- lund, 2006).

mez. Sadece kac¸ defa MC adımı atıldı˘gından bahsedilebilir. Di˘ger bir dezavatajı ise sec¸ilen her hareketin mutlaka meydana gelece˘ginin garantisinin olmamasıdır. Bu nedenle kullanılan bilgisyar zamanı bazı durumlarda gereksiz adımlar nedeniyle fazlasıya uzun olabilir.

Daha sonra Fichthorn ve Weingerg tarafından gelis¸tirilen kinetik MC yönteminde olayların seçimi bir olayın meydana gelme olasılı˘gı ile orantılı olarak rasgele sayılar kullanarak seçildi˘ginden çok daha etkindir (Fichthorn ve Weingerg, 1991). Ayrıca bu yöntemde her seçimde gerçek bir olay seçildi˘ginden bos¸a harcanan MC adımı olmaz.

Bu yöntemin uygulanabilmesi için herhangi bir olayın meydana gelme olasılı˘gının veya meydana gelme oranının (birim zamanda olus¸an olay sayısı) bilinmesi gerekir. Bu konuyu detaylandırmak için bu tezin konusu olan yarıiletken yüzeylerin bir boyutta dengeye ulas¸ması veya büyütülmesi konusuna dönelim. Kristal yüzeyi üzerinde bulunan bir parçacık konumuna göre en yakın ve daha sonraki koms¸uları ile etkiles¸ir. Yerinde duran (titres¸imler yapan fakat net bir yer de˘gis¸tirmesi olmayan) bir parçacık belirli bir potansiyel çukuru içindedir ve bu potansiyelin özelliklerine göre belirli bir titres¸im frekansı vardır.

S¸ekil 3.8.’de rasgele bir potansiyel çukuru içinde bulunan bir parçacık gösterilmis¸tir.

Bu s¸ekilde gösterilen her iki durum için de parçacı˘gın bir konumdan di˘gerine gitmesi için as¸ması gereken potansiyel engeli aynı olup E_b’dir. ∆E parçacı˘gın bariyeri as¸masında hiçbir rol oynamamaktadır. Tipik olarak bir parçacı˘gın bariyeri as¸ması termal aktivasyonla gerçekles¸ir. Klasik limitte, bir parçacı˘gın bariyeri as¸ma olasılı˘gı Boltzmann

(33)

da˘gılımı ile verilir.

P∝ e^−E^b^/k^B^T (3.21)

Bir parçacı˘gın benzer s¸ekilde geçis¸ yapabilece˘gi bas¸ka durumlar da olabilir. Orne˘gin¨ kübik simetriye sahip bir kristalde yüzey üzerinde serbestçe hareket eden bir parçacık her dört yöne es¸it olasılıkla gitme e˘giliminde olacaktır ( S¸ekil 3.5.’de ”5” nolu parçacık bu duruma örnektir). Benzer s¸ekilde S¸ekil 3.5.’de ”2” nolu parçacık basamak boyunca iki yönde ilerleyebilir, veya basamaktan ayrılarak terasın üzerinde bir parçacık olabilir veya basamaktan ayrılarak bir üst terasa da geçebilir. Bu üç olayın oranları farklı farklı ola- caktır çünkü her bir olayın olus¸ması için as¸ılması gerekn enerji engeli farklıdır. Parçacık herhangi bir i durumuna bir r_ioranı ile geçecektir. Her bir r_ioranı genel olarak

r_i= w_ie^−Eⁱ^/k^B^T (3.22)

olacaktır. Burada w_i, i olayının meydana gelmesi için parçacı˘gın birim zamanda yaptı˘gı deneme sayısı olarak düs¸ünülebilir. Kristal yüzeyi üzerinde serbestçe dolas¸an bir parçacık aslında bir potansiyel çukurundan di˘gerine geçerek dolas¸ır. Bu geçis¸ler için parçacı˘gın yaptı˘gı deneme sayısı potansiyel çukuru içinde yatay yönde birim zamanda yaptı˘gı titres¸im sayısıdır. Parçacı˘gın birim zamanda yaptı˘gı titres¸im sayısı (frekans) w_i= 10¹²⁻¹³ s⁻¹ mertebesindedir. Ei bir durumdan i durumuna geçis¸ yapmak için as¸ılması gereken enerji bariyeridir. E_i’nin sıfır ve mutlak sıcaklı˘gın sonsuz büyüklükte olması durumunda her giris¸im bas¸arılı olacaktır. Bir yüzeyin simülasyonunu yapmak istedi˘gimizde, farklı oranlarda yüzeyin bir çok de˘gis¸ik geçis¸leri içerdi˘gini söyleyebiliriz. Denklem 3.22 kul- lanılarak yüzeydeki her bir parçacı˘gın hareket etme olasılı˘gı hesaplandıktan sonra yüzeyin simülasyonunu herhangi bir sıcaklık de˘gerinde, hatta sıcaklı˘gın süreç esnasında de˘gis¸mesi durumunda bile yapılabilir. Kinetik Monte Carlo metodunda

• T¨um Possion olaylarının sim¨ulasyonunun yapılabilmesi ve

• Simülasyon zamanı ile gerçek deney zamanın bir birlerine es¸it olması için

as¸a˘gıda verilen s¸artların göz önüne alınan sistem tarafından sa˘glanması gerekir (Fichthorn ve Weingerg, 1991).

1. Geçis¸ olasılıkları ’dinamik bir hiyerars¸i’ ye uyarlar. Yani sistemin bir durumdan di˘gerine geçis¸ olasılıkları belirli bir spektruma sahiptir ve uygun bir s¸ekilde nor- malizasyon yapıldı˘gında en yüksek olasılık ancak 1 olabilir.

(34)

2. Geçis¸ler arasındaki zaman hassas bir s¸ekilde ölçülebilir (Bunun nasıl yapılabilece˘gi as¸a˘gıda görülecektir).

3. Farklı s¨urec¸ler birbirinden ba˘gımsızdır. Birinin olus¸masının olasılı˘gı di˘gerinin meydana gelip gelmedi˘gine ba˘glı de˘gildir.

Böylece Metropolis algoritmasında veya bas¸ka MC yöntemlerinde ortaya çıkan zamanın ne oldu˘gu konusundaki belirsizlik ortadan kalkmıs¸ olur. Kinetik MC tekni˘ginin bu tezin konusuna uygulanabilmesi için yüzey üzerindeki bir parçacı˘gın yapabilece˘gi geçis¸lerin oranlarının bilinmesi gerekir. Her bir olası i olayına kars¸ılık gelen geçis¸ oranının r_ioldu˘gu kabul edilerek bir KMC algoritması hazırlanabilir. Böyle bir algoritma as¸a˘gıda verilmis¸tir.

3.6.1. KMC Algoritması

As¸a˘gıdaki algoritma Kinetik Monte Carlo (KMC) algoritması olarak adlandırılır 0. Zaman sıfırlanır t = 0

1. Sistemdeki t¨um olası gec¸is¸lerin (Wi), rioranlarının bir listesi olus¸turulur.

2. Kısmi toplam fonksiyonu hesaplanır. R_i = ∑ⁱj=1r_j burada i = 1, 2, . . . , N ve N toplam gec¸is¸ sayısıdır. Ayrıca R = RN olsun.

3. [0, 1] aralı˘gından rastgele bir sayı sec¸ilir (u∈ [0,1]).

4. Parc¸acı˘gın hangi i olayına g¨ore hareket ettirilece˘gi as¸a˘gıdaki es¸itsizlikte bulunur.

R_i−1< uR < R_i

5. i olayını gerc¸ekles¸tir.

6. Geçis¸ler sırasında olus¸an de˘gis¸imleri göz önüne almak üzere tüm olası Wi’lere (daha

önce sistemde olmayıp dinamik olarak yeni ortaya çıkanlar da dahil olmak üzere) kars¸ılık gelen ri’ler yeniden hesaplanır.

7. Yeni bir rastgele sayı elde edilir, u∈ [0,1].

(35)

S¸ekil 3.9. Olasılıkların kısmi toplamı.

8. Zamanı g¨uncelle t = t +∆^{t. Burada}∆^t

∆^{t =}−logu/R

ile verilir.

9. Birinci adıma geri dönülür.

Yukarıdaki algoritmayı basit bir örnek ile açıklayabiliriz. Göz önüne alınan sis- temde (A₁, A₂, A₃) olmak üzere 3 olay olsun. Bu duurmda sistemin listesi l_a= (A₁, A₂, A₃) olur. Olası geçis¸ler bas¸ka bir olaya A1→ B1 veya A2 → B2 veya A3→ B3 dönüs¸sün.

B¨oylece elimizde 3 tane gec¸is¸ oranı olur. Bu oranların de˘gerleri rastgele r₁ = 0.25, r2= 0.36 ve r₃= 1.23 olsun. Kısmi toplamlar alınırsa

R1= r₁= 0.25 R2= r₁+ r₂= 0.61 R = R3= r₁+ r₂+ r₃= 1.84

elde edilir. rive Ribir do˘gru üzerinde gösterilirse S¸ekil 3.9.’de gösterildi˘gi gibi bir da˘gılım elde edilir. (0, 1) aralı˘gında bir u rastgele sayısı seçilir ve uR = 1.84u çarpımı yapılırsa, yeni de˘ger yukarıdaki do˘gruda bir noktaya tekabül edecektir. Orne˘gin uR çarpımının¨ sonucu r₂bölgesinde bir nokta olsun (yani 0.25 < uR < 0.36 s¸artı sa˘glanıyordur) bu du- rumda r2 geçis¸ine kars¸ılık gelen olay gerçekles¸ecektir. Bu olay örne˘gin atılan bir zarın

üste gelen sayısının ”4” olması olabilir veya bir basamak kenarında bulunan bir parçacı˘gın basamaktan ayrılarak öndeki terasa geçmesi olabilir.

Burada bahsedilen rasgele sayıların (0, 1) aralı˘gında düzgün olarak rasgele seçildi˘gini kabul ediyoruz. Yani bu aralıktaki her sayının seçilme olasılı˘gı aynıdır. Bu

(36)

nedenle yukarıda verilen örne˘ge tekrar dönecek olursak, r₂ geçis¸ oranına kars¸ılık gelen olayın seçilmesi r₂büyüklü˘gü ile orantılıdır, veya S¸ekil 3.9.’de gösterilen eksen normalize edilirse, aynı olayın seçilmesi r₂/R oranı ile orantılı olur. Böylece kendi geçis¸ oranlarının büyüklü˘gü ile orantılı bir olasılıkla farklı olaylar seçilir. Yukarıdaki algoritmada, 3.22 es¸itli˘gini tartıs¸acak olursak, parçacı˘gın potansiyel bariyerini as¸mak için sıçrama oranı

sıçrama oranı(T ) = w(T ) = woe^−Eb/K^B^T (3.23) ile verilir. Sıçrama olasılı˘gının geçmis¸e ba˘glı olmadı˘gı ve bütün zamanlarda aynı oldu˘gu kabul edilirse, bu durumda bir durumdan di˘gerine geçis¸ olasılı˘gı zamanın düzgün de˘gis¸en bir fonksiyonu olur. Bu olay Poisson olayı olarak bilinir. Sürecin zamana nasıl ba˘glı oldu˘gunu çıkarmak için geçis¸ olasılı˘gı r olan bir tek parçacık göz önüne alalım. Bu parçacık için belirli bir t anında geçis¸ yapma olasılı˘gını veren olasılık yo˘gunluk fonksiy- onu f (t) olsun. Kısa bir zaman aralı˘gı dt içinde f (t)’de meydana gelen de˘gis¸im oranı d f (t)/dt

d f

dt =−r f (t)

s¸eklinde yazılabilir çünkü de˘gis¸imin oranı varolan yo˘gunlu˘gun kendisi ile orantıldır. Bu denklemin çözümünden f (t) = Ae^−rt bulunur. A sınır kos¸ulundan bulunması gereken bir sabittir ve f (0) = r oldu˘gundan

f (t) = re^−rt (3.24)

bulunur. Poisson süreçlerinin bir özelli˘gi, geçis¸ oranları ri olan N tane Poisson süreçlerinin de bas¸ka bir tek bir Poisson süreci gibi davranmasıdır. Böylece bu süreç

yo˘gunluk olasılı˘gı s¸eklinde, R =∑^Ni=1riolmak ¨uzere, as¸a˘gıdaki gibi yazılabilir.

F(t) = Re^−Rt (3.25)

F(t) tüm sistemin geçis¸ olasılık yo˘gunlu˘gunu göstermektedir. S¸imde yukarıda verilen kMC algoritmasındaki 8. adımda yapılan zaman güncellenmesinin nasıl yapılaca˘gını görelim. Herhangi bir olayın belirli birτ süresi içinde meydana gelme olasılı˘gı P olsun.

Bu olasılı˘gı F(t)’yi kullanarak P =

∫ _τ

0

F(t)dt =

∫ _τ

0

Re^−Rtdt = 1− e^−Rτ (3.26)

(37)

s¸eklinde yazabiliriz. Görüldü˘gü gibi P∈ [0,1] aralı˘gında bir sayıdır. τ sonsuz olursa, P = 1 olur, yani uzun bir süre beklenirse bir olayın meydana gelme olasılı˘gı kesindir.

E˘ger (0, 1) aralı˘gından bir u rasgele sayısı sec¸er ve bunu 3.26 es¸itli˘gindeki P’ye es¸itlersek, buradanτ bulunabilir. B¨oylece 1− e^−Rτ = u’dan

∆^{t =}τ ⁼−ln(u− 1)

R =−ln u

R (3.27)

bulunur. Bu süre yukarıda verilen kMC algoritmasındaki 8. adımdaki zaman güncellenmesi için gerekli∆t süresidir. Bu süre iki olay arasında geçen süredir.

Kinetik Monte Carlo metodunun c¸es¸itli avantajları vardır, bunları s¸¨oyle sıralayabiliriz:

1. Bu yöntemde olayların seçimi, o olayın meydana gelme olasılı˘gı ile orantılı seçildi˘ginden her seçim olası bir olaya (MC adımına) kars¸ılık gelir. Bu nedenle di˘ger bazı MC yöntemlerinde oldu˘gu gibi bos¸a harcanan bilgisayar zamanı olmaz.

2. Bu metotta Metropolis algoritmasının orijinal halinde gerekti˘gi gibi sistemin termodinamik dengede olması gerekli de˘gildir. Sadece geçis¸ oranları gerekti˘ginden herhangi bir geçis¸ oranları kümesinden bas¸lanabilir. Aslında sistemin termodinamik ile bir ilgisinin olması bile gerekmeyebilir.

3. Her bir olaya kars¸ılık gelen geçis¸ olayları her olaydan sonra yeniden hesap- landı˘gından, sisteme dahil olan yeni olaylar veya sistemde artık var olmayan olaylar varsa, bunlar kolayca göz önüne alınmıs¸ olur. Sistemin zamanı (∆^{t) bu yeni} de˘gis¸imlere kendili˘ginden uyacaktır.

4. Bir yukarıda 3. maddede belirtilen nedenden dolayı problemin parametreleri dinamik olarak de˘gis¸tirilebilir. Örne˘gin sıcaklık parametresi, yüzeye gelen parçacık akısı gibi de˘gis¸kenler programın akıs¸ı içinde de˘gis¸tirilebilir ve bunların etkileri kolayca gözlenebilir.

5. Sistemde çok hızlı veya çok yavas¸ meydana gelen olaylar olabilir. Her bir olay kendi geçis¸ oranı ile orantılı s¸ekilde göz önüne alındı˘gından bu olaylar gerçekçi bir s¸ekilde simülasyona dahil edilir. Bu durumda da hesaplanan ∆t zamanı sistemin

¨ozelliklerine uygun s¸ekilde davranır.

(38)

6. Kinetik Monte Carlo metodunda zaman ölçe˘gi femto saniyelerden, saniyelere, dakikalara, saatlara ve hatta bazen de yıllar mertebesine kadar sürebilir.

kMCnin dezavantajları olarak as¸a˘gıdakiler sıralanabilir: i) bu yöntemde tüm olası geçis¸lerin daha önceden hesaplanabilmesi gerekir. Dolayısı ile geçis¸ olaylarına kars¸ılık gelen enerji, sıcaklık gibi parametrelerin bilinmesi gerekir. ii) Di˘ger bir dezavantajı ise, tüm olabilecek olayların listesini elde ettikten sonra r_i geçis¸ oranlarının tekrar tekrar yeniden hesaplanmasının gerekmesidir. Bu bazı simülasyon olaylarında gerekmeyebilir.

Orne˘gin yarıiletkenlerde elektron tas¸ınım olayının simülasyonu için elektronların çes¸itli¨ mekanizmalardan saçılma oranlarının bir defa hesaplanması yeterlidir. Bu çalıs¸mada oldu˘gu gibi yüzey simülasyonlarında bir parçacık hareket etti˘ginde, yüzeyin tamamının profili de˘gis¸medi˘ginden sadece yerel de˘gis¸iklikler göz önüne alınıp ortaya çıkan geçis¸

oranları var olanlara uygun bir s¸ekilde eklenerek bütün parçacıkların geçis¸ oranlarının hesaplanmasına gerek kalmayabilir. Bu programlama as¸amasında çözülmesi gereken bir sorundur.

3.7. Problemin Parametreleri

Bu çalıs¸mada göz önüne alınan bir boyutlu, basamaklardan olus¸an yüzeyin enerji parametreleri S¸ekil 3.10.’da gösterilmis¸tir. Burada görülen üç enerji parametresinden ilki Es olup yüzey üzerinde serbestçe difüzyona u˘grayan bir parçacı˘gın as¸ması gereken enerji bariyeridir. Parçacık yüzey üzerinde potansiyel çukuru içinde yatay ve düs¸ey yönlerde salınır. Yatay salınıların sonucunda deneme bas¸arılı olursa parçacık bir potansiyel çukurundan koms¸u bir di˘gerine geçerek difüzyon hareketi yapar. Bu s¸ekilde parçacık yüzey üzerinde bir noktadan di˘gerine gider. Düs¸ey salınımların sonucunda parçacık yüzeyden ayrılır fakat bu olayın gerçekles¸mesi daha az olası oldu˘gundan bu çalıs¸mada ih- mal edilmis¸tir. Di˘ger bir enerji parametresi iki parçacı˘gın bir birleri ile etkiles¸me enerjisi E_b’dir. Aslında E_bve E_sbir birleri ile yakından ilis¸kilidir. Yüzey üzerinde serbest bulunan bir parçacık alt tabanda bulunan atomlarla (kübik simetriye sahip bir kristal için) ortalama bir ba˘g yapar. Bu nedenle E_bve E_s’nin tamamen es¸it de˘gilse de aynı mertebelerde oldu˘gu düs¸ünülebilir. En son enerji parametresi aynı zamanda Ehrlich-Schwoebel bariyeri olarak

(39)

S¸ekil 3.10. Bu çalıs¸mada kullanılan atomik bir basamak için enerji parametreleri. Es: Yüzey üzerinde serbestce difüzyon yapan bir parçacı˘gın as¸ması gereken en- erji engeli. E_b: Bir parçacı˘gın en yakın bir koms¸u ile ba˘glanma enerjisi. E_k: Bir basama˘gın üst tarafından kayarak basama˘ga birles¸mek için bir parçacı˘gın as¸ması gereken fazladan enerji bariyeri (Ehrlich-Schwoebel bariyeri olarak bilinir (Ehrlich ve Hudda, 1966; Schwoebel ve Shipsey, 1966)).

da bilinen E_k’dir. Yüzey üzerindeki basamaklar simetri kırılmasına sebep olur. Bu nedenle bir basamak kenarındaki bir atomun elektron da˘gılımı da de˘gis¸ir. Bunun sonucu olarak basamak kenarlarında dipoller olus¸abilir. Bu nedenle bir parçacı˘gın bir üst terastan basamak kenarına birles¸mesi için E_s’ye ek olarak as¸ması gereken bir E_k enerji bariyeri daha vardır. Bu çalıs¸mada bahsedilen enerji parametreleri rasgele fakat deneylerle verilen çes¸itli tahmini de˘gerlerin içinde kalmak üzere seçilmis¸tir. Herhangi bir malzemenin bir bir parametreleri kullanılmamaıs¸tır. kMC hesaplamaları açısından bakıldı˘gında burada

önemli olan her bir enerji parametresinin mutlak de˘geri de˘gil, bu enerji de˘gerlerinin bir birlerine göre de˘geridir. Ç ünkü simülasyonda bu enerjilere kars¸ılık gelen olayların geçis¸

olasılıklarının mutlak de˘gerleri de˘gil, g¨oreli de˘gerleri ¨onemlidir.

Son olarak S¸ekil 3.11.’de bu tezde kars¸ılas¸ılan parçacık konumlarının bazıları gösterilmis¸tir. S¸ekide bir parçacı˘gın gidebilece˘gi yön ok is¸areti ile gösterilmis¸tir. Dikkat edilirse bir atom boyutundan daha büyük bir yüksekli˘ge sahip bir basamaktan kopan bir parçacık basama˘gın alt kenarına yerles¸mektedir. Bu varsayım kendi üzerine sarkma olay- larını engellemek için yapılmıs¸tır.

(40)

S¸ekil 3.11. Yüzey üzerinde olus¸abilecek olası parçacık konumlarının bazıları gösterilmis¸tir. Parçacıkların gidebilece˘gi yönler ok is¸areti ile gösterilmis¸tir.

(41)