Kristalin Denge S¸ekli

D¨uzg¨un kesilmis¸ bir boyutlu y¨uzeyin c¸ok k¨uc¸¨uk bir ac¸ı ile kesilmis¸ bir y¨uzeyini ele alalım (S¸ekil 3.2.). B¨oyle bir y¨uzey, kristal yapısı ac¸ısından daha kararlı d¨us¸¨uk indisli y¨uzeylerle c¸ok k¨uc¸¨uk bir ac¸ı (genellikle 3-5^o) yaptı˘gından, bu y¨uzeylere ’koms¸u’ (vicinal) y¨uzeyler denir. Bu y¨uzeyin T = 0’da y¨uzey serbest enerjisi γ⁽θ), basamak ve terasların yaratılması ic¸in gereken enerjilerin toplamıdır. Tamamlanmamıs¸ eksik atomlu kenarlara basamak (step) denir.

S¸ekil 3.2.’de n tane teras ve n tane basamak olup yatay uzunluk L ve y¨uzeyin y¨uksekli˘gi h kabul edilirse e˘gim

tanθ ^{= h/L (3.4)}

olur. Burada L =nλ ve h=na ile verilir. S¸ekilden g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi, y¨uzeyi yaratmak ic¸in gerekli enerji

ile verilir. Burada ε en yakın koms¸u atomların ba˘g enerjisi de˘geridir. Yukarıdaki

den-3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN

klemde birinci terim kristal (100) y¨on¨unde kesildi˘ginde harcanması gereken enerjiyi, ikinci terim ise y¨uzeyin basamaklı olmasından kaynaklanan fazladan kırılması gereken ba˘glardan kaynaklanan enerjiyi temsil eder. A olus¸turulan y¨uzeyin alanı olmak ¨uzere, y¨uzey serbest enerjisi (veya y¨uzey gerilimi)

γ ^{= W /A (3.6)}

olarak yazılabilir. Sadece iki boyuta yo˘gunlas¸arak y¨uzeyin A alanı (bu durum ic¸in aslında uzunlu˘gu) de˘geri,

A =√

h²+ L² (3.7)

olur. L c¸ekilip, 3.4 es¸itli˘gindeki e˘gim yerine yazılırsa A’nın de˘geri

A = L/ cosθ ^(3.8)

olur. Denklem 3.6’da W ve A de˘gerleri yerlerine yazılacak olursa γ ^{= W /2r}

γ ^{= [(L/a)}ε^{+ (h/a)}ε^{]/(2L/ cos}θ^{) (3.9)}

Denklem 3.9’da h yerine h = L tanθ de˘geri yazılacak olursa y¨uzey enerjisi ic¸in

γ ^{= (}ε^{/2a) cos}θ^{+ (}ε^{/2a) sin}θ ^(3.10)

es¸itli˘gi elde edilir. θ de˘geri 0 ve 90 derece de˘gerleri arasında de˘ger alır. γ0=ε^{/2a ve} β ⁼ε/2 tanımları yapılarak 3.10 denklemi daha da sadeles¸tirilebilir. Bu durumda

γ⁽θ^{) =}γ0cosθ^{+ (}β^{/a) sin}θ ^(3.11)

es¸itli˘gi elde edilir. Bu es¸itlikten anlas¸ıldı˘gı ¨uzere γ0, y¨uzeyde basamak olmadı˘gı zaman y¨uzey gerilimidir. A alanlı y¨uzey alanı olus¸turmak ic¸in gerekli enerji, θ’nın pozitif ve negatif de˘gerleri ic¸in aynıdır. 3.11 es¸itli˘gi daha genel olarak as¸a˘gıdaki gibi yazılabilir.

γ⁽θ^{) =}γ⁰|cosθ| + (β^/a)|sinθ| (3.12)

3.12 denkleminin grafi˘gi S¸ekil 3.3.a’da g¨osterilmis¸tir. Buradan da g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi y¨uzey gerilimi katılar ic¸in izotropik de˘gildir. Ayrıca θ ^{= 0,}π^/2,π. . . de˘gerlerinde

3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN

S¸ekil 3.3. T = 0 sıcaklı˘gındaki k¨ubik bir kristalin y¨uzey enerjisinin izotropik olmayıs¸ının en yakın koms¸u etkiles¸meleri ic¸in g¨osterimi. a) γ⁽θ)’ın en yakın koms¸u etkiles¸meler g¨oz ¨on¨une alınarak iki boyutlu model bir kristal ic¸in elde edilen de˘gerinin ac¸ıya g¨ore c¸izimi. b) γ⁽θ)’ın d¨uzlem kutupsal koordinatlarda iki boyutta g¨osterimi (γ⁽θ)-grafi˘gi) (Chernov, 1984).

S¸ekil 3.4. a)γ⁽θ)-grafi˘gi ve b) elde edilecek kristal denge s¸ekli.

3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN

γ⁽θ) analitik de˘gildir (fonksiyonun kendisi tanımlı fakat t¨urevi tanımlı de˘gildir). Bu-rada g¨osterilen sadece en yakın koms¸u etkiles¸melerinin g¨oz ¨on¨une alındı˘gı iki boyutlu, kare ¨org¨u simetrisine sahip basit bir model ic¸indir. E˘ger bir sonraki en yakın koms¸u etkiles¸meleri g¨oz ¨on¨une alınırsa bu durumda yukarıda belirtilen y¨onlere ek olarak θ ⁼ π^{/4, 3}π^{/4, 5}π/4 . . . y¨onlerinde de yeni analitik olmayan y¨onler ortaya c¸ıkacaktır. Bu s¸ekilde bir sonraki ve di˘ger sonraki etkiles¸meler g¨oz ¨on¨une alınmaya devam edilirse, T = 0’da elde edilenγ⁽θ) fonksiyonu her y¨onde tanımlı fakat hemen hemen hic¸ bir y¨onde analitik olmayan bir fonksiyon olacaktır. Fakat sıcaklık arttırıldı˘gında bu analitik olmayan noktaların b¨uy¨uk c¸o˘gunlu˘gu ortadan kalkar ve genellikle sadece y¨uksek simetri y¨onlerine kars¸ılık gelen noktalar kalır. B¨ut¨un sistemler gerekli kos¸ullar sa˘glandı˘gı taktirde olası en d¨us¸¨uk enerji durumuna geldiklerinden, kristalin denge s¸ekli serbest y¨uzey enerjisinin min-imize edilmesiyle elde edilir. S¸ekil 3.3.a’da g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi denge s¸ekli ¨uzerindeγ⁽θ^)’nın minimum oldu˘gu y¨ondeki y¨uzeylerin en c¸ok, maksimum oldu˘gu y¨ondeki y¨uzeylerin en az bulunması gerekir.

Daha ¨o˘gretici olması ac¸ısından y¨uzey enerjisi ic¸in elde edilen γ⁽θ) de˘geri bas¸ka t¨url¨u c¸izilebilir. γ⁽θ^{), (}θ) y¨on¨unde uzanan bir vekt¨or¨un uzunlu˘gu gibi d¨us¸¨un¨ulerek her ac¸ıya kars¸ılık gelen γ⁽θ) uzunlu˘gunda bir vekt¨or merkezden c¸izilirse, bu s¸ekilde c¸izilen vekt¨orlerin ucunun taradı˘gı s¸ekil γ⁽θ)-grafi˘gi olarak bilinir. S¸ekil 3.3.b en yakın koms¸u etkiles¸imleri g¨oz ¨on¨une alınarak c¸izilen b¨oyle bir grafi˘gi g¨ostermektedir. Buradaθ ^dikey eksen ile yapılan ac¸ıdır.

γ⁽θ)-grafi˘gi kullanılarak denge haline ulas¸mıs¸ bir kristalin alaca˘gı s¸ekil tahmin edilebilir. 1904 yılında Wulff tarafından ¨onerilen bu y¨onteme g¨ore γ⁽θ)-grafi˘ginde her ac¸ı ic¸in c¸izilen vekt¨ore dik bir vekt¨or c¸izgi c¸izilir. Bu c¸izgilerin kesis¸mesinden olus¸an ve ic¸eride kalan en k¨uc¸¨uk kapalı alanın aldı˘gı s¸ekil kristalin denge s¸ekli ile orantılıdır. Bu c¸izimden g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi, denge haline ulas¸mıs¸ kristalin y¨uzeyinin belirli bir y¨one kars¸ı gelen alanının b¨uy¨ukl¨u˘g¨u bu y¨one kars¸ı gelen y¨uzey enerjisinin b¨uy¨ukl¨u˘g¨u ile ters orantılı olacaktır, yani y¨uzey enerjisinin en k¨uc¸¨uk oldu˘gu y¨onelime kars¸ılık gelen y¨uzey alanları en b¨uy¨uk olacaktır. S¸ekil 3.4.’de S¸ekil 3.3.’de g¨osterilen γ-grafi˘gine kars¸ılık gelen iki boyutlu denge y¨uzeyi g¨osterilmis¸tir. Burada da g¨or¨uld¨u˘g¨u gibi sadece en yakın koms¸u etkiles¸mlerinin g¨oz ¨on¨une alındı˘gı bir durum ic¸in kare ¨org¨un¨un denge s¸ekli yine kare

3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN

S¸ekil 3.5. a-c. Basit k¨ubik yapı ic¸in y¨uzey g¨or¨un¨umleri. a) T > 0’da farklı tip atomların pozisyonları (C¸ izelge 3.1’e bakınız). Artı ve eksi is¸aretler basamaktaki pozitif ve negatif dirsekleri g¨ostermektedir. b) As¸ırı ilerlemis¸ basamak p¨ur¨uzl¨ul¨u˘g¨u

¨uzey ¨uzerinde c¸ıkıntı olus¸turarak kendi ¨uzerine sarkabilir (overhanging). c) Atomik olarak p¨ur¨uzl¨u bir y¨uzey.

olacaktır. Sıcaklık arttıkc¸a denge s¸ekli ¨uzerindeki keskin k¨os¸elerin e˘gimli hale gelmesi beklenir.