3. TEOR˙IK ALT YAPI
3.6. Kinetik Monte Carlo (KMC)
3.6.1. KMC Algoritması
As¸a˘gıdaki algoritma Kinetik Monte Carlo (KMC) algoritması olarak adlandırılır 0. Zaman sıfırlanır t = 0
1. Sistemdeki t¨um olası gec¸is¸lerin (Wi), rioranlarının bir listesi olus¸turulur.
2. Kısmi toplam fonksiyonu hesaplanır. Ri = ∑ij=1rj burada i = 1, 2, . . . , N ve N toplam gec¸is¸ sayısıdır. Ayrıca R = RN olsun.
3. [0, 1] aralı˘gından rastgele bir sayı sec¸ilir (u∈ [0,1]).
4. Parc¸acı˘gın hangi i olayına g¨ore hareket ettirilece˘gi as¸a˘gıdaki es¸itsizlikte bulunur.
Ri−1< uR < Ri
5. i olayını gerc¸ekles¸tir.
6. Gec¸is¸ler sırasında olus¸an de˘gis¸imleri g¨oz ¨on¨une almak ¨uzere t¨um olası Wi’lere (daha
¨once sistemde olmayıp dinamik olarak yeni ortaya c¸ıkanlar da dahil olmak ¨uzere) kars¸ılık gelen ri’ler yeniden hesaplanır.
7. Yeni bir rastgele sayı elde edilir, u∈ [0,1].
3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN
S¸ekil 3.9. Olasılıkların kısmi toplamı.
8. Zamanı g¨uncelle t = t +∆t. Burada∆t
∆t =−logu/R
ile verilir.
9. Birinci adıma geri d¨on¨ul¨ur.
Yukarıdaki algoritmayı basit bir ¨ornek ile ac¸ıklayabiliriz. G¨oz ¨on¨une alınan sis-temde (A1, A2, A3) olmak ¨uzere 3 olay olsun. Bu duurmda sistemin listesi la= (A1, A2, A3) olur. Olası gec¸is¸ler bas¸ka bir olaya A1→ B1 veya A2 → B2 veya A3→ B3 d¨on¨us¸s¨un.
B¨oylece elimizde 3 tane gec¸is¸ oranı olur. Bu oranların de˘gerleri rastgele r1 = 0.25, r2= 0.36 ve r3= 1.23 olsun. Kısmi toplamlar alınırsa
R1= r1= 0.25 R2= r1+ r2= 0.61 R = R3= r1+ r2+ r3= 1.84
elde edilir. rive Ribir do˘gru ¨uzerinde g¨osterilirse S¸ekil 3.9.’de g¨osterildi˘gi gibi bir da˘gılım elde edilir. (0, 1) aralı˘gında bir u rastgele sayısı sec¸ilir ve uR = 1.84u c¸arpımı yapılırsa, yeni de˘ger yukarıdaki do˘gruda bir noktaya tekab¨ul edecektir. Orne˘gin uR c¸arpımının¨ sonucu r2b¨olgesinde bir nokta olsun (yani 0.25 < uR < 0.36 s¸artı sa˘glanıyordur) bu du-rumda r2 gec¸is¸ine kars¸ılık gelen olay gerc¸ekles¸ecektir. Bu olay ¨orne˘gin atılan bir zarın
¨uste gelen sayısının ”4” olması olabilir veya bir basamak kenarında bulunan bir parc¸acı˘gın basamaktan ayrılarak ¨ondeki terasa gec¸mesi olabilir.
Burada bahsedilen rasgele sayıların (0, 1) aralı˘gında d¨uzg¨un olarak rasgele sec¸ildi˘gini kabul ediyoruz. Yani bu aralıktaki her sayının sec¸ilme olasılı˘gı aynıdır. Bu
3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN
nedenle yukarıda verilen ¨orne˘ge tekrar d¨onecek olursak, r2 gec¸is¸ oranına kars¸ılık gelen olayın sec¸ilmesi r2b¨uy¨ukl¨u˘g¨u ile orantılıdır, veya S¸ekil 3.9.’de g¨osterilen eksen normalize edilirse, aynı olayın sec¸ilmesi r2/R oranı ile orantılı olur. B¨oylece kendi gec¸is¸ oranlarının b¨uy¨ukl¨u˘g¨u ile orantılı bir olasılıkla farklı olaylar sec¸ilir. Yukarıdaki algoritmada, 3.22 es¸itli˘gini tartıs¸acak olursak, parc¸acı˘gın potansiyel bariyerini as¸mak ic¸in sıc¸rama oranı
sıc¸rama oranı(T ) = w(T ) = woe−Eb/KBT (3.23) ile verilir. Sıc¸rama olasılı˘gının gec¸mis¸e ba˘glı olmadı˘gı ve b¨ut¨un zamanlarda aynı oldu˘gu kabul edilirse, bu durumda bir durumdan di˘gerine gec¸is¸ olasılı˘gı zamanın d¨uzg¨un de˘gis¸en bir fonksiyonu olur. Bu olay Poisson olayı olarak bilinir. S¨urecin zamana nasıl ba˘glı oldu˘gunu c¸ıkarmak ic¸in gec¸is¸ olasılı˘gı r olan bir tek parc¸acık g¨oz ¨on¨une alalım. Bu parc¸acık ic¸in belirli bir t anında gec¸is¸ yapma olasılı˘gını veren olasılık yo˘gunluk fonksiy-onu f (t) olsun. Kısa bir zaman aralı˘gı dt ic¸inde f (t)’de meydana gelen de˘gis¸im oranı d f (t)/dt
d f
dt =−r f (t)
s¸eklinde yazılabilir c¸¨unk¨u de˘gis¸imin oranı varolan yo˘gunlu˘gun kendisi ile orantıldır. Bu denklemin c¸¨oz¨um¨unden f (t) = Ae−rt bulunur. A sınır kos¸ulundan bulunması gereken bir sabittir ve f (0) = r oldu˘gundan
f (t) = re−rt (3.24)
bulunur. Poisson s¨urec¸lerinin bir ¨ozelli˘gi, gec¸is¸ oranları ri olan N tane Poisson s¨urec¸lerinin de bas¸ka bir tek bir Poisson s¨ureci gibi davranmasıdır. B¨oylece bu s¨urec¸
yo˘gunluk olasılı˘gı s¸eklinde, R =∑Ni=1riolmak ¨uzere, as¸a˘gıdaki gibi yazılabilir.
F(t) = Re−Rt (3.25)
F(t) t¨um sistemin gec¸is¸ olasılık yo˘gunlu˘gunu g¨ostermektedir. S¸imde yukarıda verilen kMC algoritmasındaki 8. adımda yapılan zaman g¨uncellenmesinin nasıl yapılaca˘gını g¨orelim. Herhangi bir olayın belirli birτ s¨uresi ic¸inde meydana gelme olasılı˘gı P olsun.
Bu olasılı˘gı F(t)’yi kullanarak
3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN
s¸eklinde yazabiliriz. G¨or¨uld¨u˘g¨u gibi P∈ [0,1] aralı˘gında bir sayıdır. τ sonsuz olursa, P = 1 olur, yani uzun bir s¨ure beklenirse bir olayın meydana gelme olasılı˘gı kesindir.
E˘ger (0, 1) aralı˘gından bir u rasgele sayısı sec¸er ve bunu 3.26 es¸itli˘gindeki P’ye es¸itlersek, buradanτ bulunabilir. B¨oylece 1− e−Rτ = u’dan
∆t =τ =−ln(u− 1)
R =−ln u
R (3.27)
bulunur. Bu s¨ure yukarıda verilen kMC algoritmasındaki 8. adımdaki zaman g¨uncellenmesi ic¸in gerekli∆t s¨uresidir. Bu s¨ure iki olay arasında gec¸en s¨uredir.
Kinetik Monte Carlo metodunun c¸es¸itli avantajları vardır, bunları s¸¨oyle sıralayabiliriz:
1. Bu y¨ontemde olayların sec¸imi, o olayın meydana gelme olasılı˘gı ile orantılı sec¸ildi˘ginden her sec¸im olası bir olaya (MC adımına) kars¸ılık gelir. Bu nedenle di˘ger bazı MC y¨ontemlerinde oldu˘gu gibi bos¸a harcanan bilgisayar zamanı olmaz.
2. Bu metotta Metropolis algoritmasının orijinal halinde gerekti˘gi gibi sistemin ter-modinamik dengede olması gerekli de˘gildir. Sadece gec¸is¸ oranları gerekti˘ginden herhangi bir gec¸is¸ oranları k¨umesinden bas¸lanabilir. Aslında sistemin termodi-namik ile bir ilgisinin olması bile gerekmeyebilir.
3. Her bir olaya kars¸ılık gelen gec¸is¸ olayları her olaydan sonra yeniden hesap-landı˘gından, sisteme dahil olan yeni olaylar veya sistemde artık var olmayan olay-lar varsa, bunolay-lar kolayca g¨oz ¨on¨une alınmıs¸ olur. Sistemin zamanı (∆t) bu yeni de˘gis¸imlere kendili˘ginden uyacaktır.
4. Bir yukarıda 3. maddede belirtilen nedenden dolayı problemin parametreleri di-namik olarak de˘gis¸tirilebilir. ¨Orne˘gin sıcaklık parametresi, y¨uzeye gelen parc¸acık akısı gibi de˘gis¸kenler programın akıs¸ı ic¸inde de˘gis¸tirilebilir ve bunların etkileri ko-layca g¨ozlenebilir.
5. Sistemde c¸ok hızlı veya c¸ok yavas¸ meydana gelen olaylar olabilir. Her bir olay kendi gec¸is¸ oranı ile orantılı s¸ekilde g¨oz ¨on¨une alındı˘gından bu olaylar gerc¸ekc¸i bir s¸ekilde sim¨ulasyona dahil edilir. Bu durumda da hesaplanan ∆t zamanı sistemin
¨ozelliklerine uygun s¸ekilde davranır.
3. TEOR˙IK ALT YAPI Aziz T ¨URKAN
6. Kinetik Monte Carlo metodunda zaman ¨olc¸e˘gi femto saniyelerden, saniyelere, dakikalara, saatlara ve hatta bazen de yıllar mertebesine kadar s¨urebilir.
kMCnin dezavantajları olarak as¸a˘gıdakiler sıralanabilir: i) bu y¨ontemde t¨um olası gec¸is¸lerin daha ¨onceden hesaplanabilmesi gerekir. Dolayısı ile gec¸is¸ olaylarına kars¸ılık gelen enerji, sıcaklık gibi parametrelerin bilinmesi gerekir. ii) Di˘ger bir dezavantajı ise, t¨um olabilecek olayların listesini elde ettikten sonra ri gec¸is¸ oranlarının tekrar tekrar yeniden hesaplanmasının gerekmesidir. Bu bazı sim¨ulasyon olaylarında gerekmeyebilir.
Orne˘gin yarıiletkenlerde elektron tas¸ınım olayının sim¨ulasyonu ic¸in elektronların c¸es¸itli¨ mekanizmalardan sac¸ılma oranlarının bir defa hesaplanması yeterlidir. Bu c¸alıs¸mada oldu˘gu gibi y¨uzey sim¨ulasyonlarında bir parc¸acık hareket etti˘ginde, y¨uzeyin tamamının profili de˘gis¸medi˘ginden sadece yerel de˘gis¸iklikler g¨oz ¨on¨une alınıp ortaya c¸ıkan gec¸is¸
oranları var olanlara uygun bir s¸ekilde eklenerek b¨ut¨un parc¸acıkların gec¸is¸ oranlarının hesaplanmasına gerek kalmayabilir. Bu programlama as¸amasında c¸¨oz¨ulmesi gereken bir sorundur.