G C C  ,, yxivyxuzfw ,  sabityxT ,  sabityxS yxTgradyxNKyxNyxV  0,,,, C ,  TyxT C ,  TyxT , yxT , CC

(1)

2.3. Sınırı Üzerinde Yalıtılmış Bir Parça Olan Bölgelerdeki Sıcaklıklar

Bu kesimde sınırı C₁, C₂ ve C₃ gibi uç uca birleştirilmiş üç eğriden oluşan basit bağlantılı bir D bölgesinin içinde T

 

x,y kararlı durum sıcaklık fonksiyonunu bulma problemini inceleyeceğiz. Burada C₁ boyunca T

 

x,y  , T₁ C₂ boyunca T

 

x,y  dir ve T₂ bölge C₃ boyunca yalıtılmıştır. C₃ boyunca ısı akışının sıfır olması

   

x,y N x,y KN

 

x,y gradT

 

x,y 0 V

olmasını gerektirir, burada N

 

x,y , C₃ e diktir. Böylece ısı akışının yönü sınırın bu parçasına paralel olmalıdır. Başka bir deyişle, C₃ bir S

 

x,y sabit ısı akış doğrusunun bir parçası olmalı ve T

 

x,y sabit izotermallerini dik olarak kesmelidir.

Bu problemi, D den G:0u1, v0 yarı-sonsuz şeridi üzerine bir

   

z u x y iv

 

x y f

w  ,  ,

konform dönüşümü bularak çözebiliriz öyle ki C₁ eğrisinin görüntüsü u0 , v0 ışınıdır, 2

C eğrisinin görüntüsü u1, v0 ile verilen ışınıdır ve termal olarak yalıtılmış C₃ eğrisi u ekseninin termal olarak yalıtılmış 0 u1 parçası üzerine dönüştürülür.

Şekil 16

(2)

sınır koşulları sağlanır. Sınırın bir parçasının yalıtılmış olma koşulu matematiksel olarak

 

u v

T* , nin normal türevinin sıfır olması ile ifade edilebilir. Yani,

 

,0 0 * *     u T n T v

dir, burada n , doğru parçasına dik bir koordinat ölçüsüdür. Kolayca görülür ki

 

u v T



T T



u T* ,  ₁ ₂  ₁

fonksiyonu G bölgesi için aranan sıcaklık fonksiyonunun şartlarını sağlar. Dolayısıyla, D deki çözümü w f

 

z den

 

x y T



T T

  

u x y T ,  ₁ ₂  ₁ ,

olarak buluruz. T

 

x,y sabit izotermalleri ve onların w f

 

z altındaki görüntüleri yukarıda Şekil 16 da gösterilmiştir.

Örnek 2.3.1. D:Imz0 üst yarı-düzlemi için T

 

x,y kararlı durum sıcaklığını bulunuz öyle ki

 

,0 0 , 1 1 1 , 1 0 , 1 , 1 0 ,              x x T n T x x T x x T y sınır koşulları sağlansın.

Çözüm. Örnek 0.2.4 den bilinmektedir ki wArcsinz dönüşümü D yi , 0

2

2   

 u  v

yarı-sonsuz şeridi üzerine dönüştürür, burada yeni problem T*

 

u,v kararlı durum sıcaklığını bulmaktır öyle ki

 

2 2 , 0 0 , 0 , 1 , 2 0 , 1 , 2 * * * *                             u u T n T v v T v v T v

sınır koşulları sağlanır. Örnek 1.2.1 in sonucunu kullanarak kolayca T

 

u v u 

2 ,

(3)

 













2 1 1 sin 2 sin Re 2 , 2 2 2 2 y x y x Arc z Arc y x T          Şekil 17 Burada 2 sin 2 , sint   Arc t

Arc değerlerine sahip olan ters sinüs fonksiyondur. Bu durumda T

 

x,y sıcaklığı

 

,0 0 , 1 1 1 , 1 0 , 1 , 1 0 ,           x x T x x T x x T y sınır koşullarını sağlar. Problemler.

1.



z xiy: 0 y



yatay sonsuz şeridinde öyle bir T( yx, ) sıcaklığı bulunuz ki aşağıdaki sınır koşulları sağlansın.

0 , 50 ) , ( 0 , 50 ) 0 , (      x x T x x T  ve 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) 0 , (           x x T n T x x T n T y y  .

sınır koşulları sağlansın. (Yol gösterme: z

e w dönüşümünden yararlanınız.) 2.       _ _ _ _ _ 2 0 , 2 1 :    r re

z i bölgesinde öyle bir T( yx, ) sıcaklığı bulunuz ki aşağıdaki sınır koşulları sağlansın.

(4)

3. 0 1, 0

3

r Argz 

    bölgesinde öyle bir T x y( , ) sıcaklık fonksiyonu bulunuz ki

3 ( ,0) 100, 0 1, ( , ) 50, i , 0 1 T x x T x y z re r         ve 0 , ,0 3 i T z e n  _   _ _ _{ }  sınır koşulları sağlansın. 4. 1 2, 0 2 r  

    bölgesinde öyle bir T x y( , ) sıcaklık fonksiyonu bulunuz ki