1. Bir noktadan bir noktaya bir do˘ gru ¸cizilebilir (ve bu do˘ gru tektir).

Tarihte bilindi˘ gi kadarıyla d¨ uzlem geometrisinin ilk kez sistemli bir bi¸cimde inceleni¸si, ¨ Oklid’in Elementler kitabının (M. ¨ O. 300) birinci cildinde yapıldı.

Oklid bu kitapta d¨ ¨ uzlem geometrisini be¸s belit (aksiyom, post¨ ula) ¨ ust¨ une kurar. Bu belitlerden ba¸slayarak ve sıraladı˘ gı birka¸c mantıksal olguyu kul- lanarak d¨ uzlem geometrisinin teoremlerini ispatlar. Bu belitler nokta, do˘ gru ve ¸cember denen nesnelerin var ve a¸cı ve dik a¸cı denen kavramların tanımlı oldu˘ gu durumda ¸su kabulleri yapar:

1. Bir noktadan bir noktaya bir do˘ gru ¸cizilebilir (ve bu do˘ gru tektir).

2. Bir do˘ gru i¸cinde bir do˘ gru par¸cası (tek bir bi¸cimde) geni¸sletilebilir.

3. Merkez noktası ve yarı¸capı verilmi¸s bir ¸cember ¸cizilebilir (ve bu ¸cember tektir).

4. T¨ um dik a¸cılar birbirlerine e¸sittir.

5. ˙Iki do˘ gruyu kesen bir do˘ grunun aynı tarafında olu¸san iki a¸cı da dik a¸cıdan k¨ u¸c¨ ukse o iki do˘ gru o tarafta er ya da ge¸c bir noktada kesi¸sir.

Bu be¸s belitten ilk d¨ ord¨ u yerel ¨ ozelliklidir, yani bu belitlerde ge¸cen nes- neler verildi˘ gi anda d¨ uzlemde yeterince b¨ uy¨ uk bir daire i¸cinde bu nesneler yerle¸stirilip belitin inandırıcılı˘ gı sınanabilir. Oysa be¸sinci belitteki a¸cılar ve do˘ gru par¸caları verildi˘ ginde, varlı˘ gı iddia edilen kesi¸sim noktası belirsiz uzaklıklarda olabilir. Be¸sinci belite mantıksal olarak denk ba¸ska bir ¨ onerme ¸s¨ oyle:

(5 ⁰ ) Bir do˘ gruya dı¸sındaki bir noktadan ge¸ cen bir ve yalnız bir paralel do˘ gru ¸ cizilebilir.

Be¸sinci belitin yerel olmayan bir ifade ta¸sıdı˘ gı bu c¨ umlede a¸cık¸ca g¨ or¨ ul¨ uyor.

Buradaki paralellik kavramı sınanabilir bir ¸sey de˘ gil. Bu y¨ uzden be¸sinci be- lit (paralel beliti) y¨ uzyıllar boyunca di˘ gerlerinden ayrı tutuldu ve ¸s¨ upheyle kar¸sılandı. Di˘ ger belitler kullanılarak ispatlanmaya ¸calı¸sıldı. 19. y¨ uzyılda tam anlamıyla kurulan ba¸ska geometriler, paralel belitinin di˘ gerlerinden ba˘ gımsız oldu˘ gunu ve bir geometri i¸cin vazge¸cilmez olmadı˘ gını g¨ ostermi¸s oldu. ˙I¸ste biz de bu derslerde paralel belitini sa˘ glamayan, yani ¨ Oklit dı¸sı bir geometri ku- raca˘ gız. ˙Izd¨ u¸s¨ umsel geometri adı verilen bu geometride birbirinden farklı iki do˘ gru mutlaka bir ve yalnız bir noktada kesi¸secek, paralellik olası olmayacak.

Bu geometriyi do˘ grusal cebiri temel alan bir model aracılı˘ gıyla in¸sa edece˘ giz.

˙Ilk be¸s derste in¸sa edilen bu geometrinin sa˘gladı˘gı temel ¨ozellikleri ¸calı¸saca˘gız.

Bu arada bir miktar topoloji konu¸sup bazı izd¨ u¸s¨ umsel geometrileri topolo-

jik olarak inceleyece˘ giz. Altıncı derste bir izd¨ u¸s¨ umsel geometriyi belitlerle

kurmanın yollarını konu¸saca˘ gız ve sonlu tane noktadan olu¸san geometrilere bakaca˘ gız. Sonraki iki derste, ¨ Oklit geometrisindeki elips, parabol, hiper- bolle ili¸skili konik denen e˘ grileri tanıyaca˘ gız. Dokuz ve onuncu derslerde y¨ on¨ um¨ uz biraz reel cebirsel geometriye kayacak. ˙Izd¨ u¸s¨ umsel geometride ce- birsel e˘ grilerin topolojisi hakkında konu¸saca˘ gız.

Birka¸c ana kayna˘ gımız var. Ders, N. Hitchin’in ders notları izinden gidiyor [Hitc]. ¨ Ozellikle sentetik ve belitsel yakla¸sım i¸cin Coxeter’i kullanıyoruz [Coxe].

Reel cebirsel geometri kayna˘ gımız Kharlamov-Rokhlin-Viro’nun bitmemi¸s kitabı [KRV]. ˙Izd¨ u¸s¨ umsel geometri kayna˘ gı olarak zaman zaman Veblen [Vebl], Hartshorne [Hart] ve Baer’i [Baer] kullandık. Temel topolojide Munkres [Munk]

yeterli. Derslerin belki ba¸sında gerekli kaynakları anaca˘ gız. Sık sık referans vermeyece˘ giz ama bilinmeli ki anlatılanların yukarıdaki listede mutlaka bir kayna˘ gı var.

Bu ders notları Bo˘ gazi¸ci ¨ Universitesi’nde iki kez verdi˘ gim ˙Izd¨ u¸s¨ umsel Ge- ometri dersinde yo˘ grulup bir b¨ ut¨ un haline gelen d¨ u¸s¨ unceleri i¸ceriyor. Burda teorinin yalnızca temellerini kuruyoruz. Daha ayrıntılı ¸calı¸smalar ba¸ska bir dersin konusu. Bu ders Do˘ grusal Cebir almı¸s ve Topoloji ile biraz tanı¸sıklı˘ gı olan ¨ o˘ grencilerin kolaylıkla izleyebilece˘ gi d¨ uzeyde. Bu metnin bir ders kitabı de˘ gil ders notu oldu˘ gu unutulmamalı. Dolayısıyla okuyucuyu aktif okumaya ve d¨ u¸s¨ unmeye y¨ onlendirmeye ¸calı¸stık. Derslerin akı¸sı sırasında (sınıfta oldu˘ gu gibi) bir¸cok k¨ u¸c¨ uk teknik bo¸sluk ¸cıkıyor. Bunların kimilerini alı¸stırma olarak ayırdık. Kimi zaman akı¸sın kenarında kalmı¸s soruları da alı¸stırma olarak bıraktık. Derslerin aralarında d¨ ort sınav var. T¨ um bunlarla birlikte bu not- lar, lisans d¨ uzeyinde bir izd¨ u¸s¨ umsel geometri dersinin -kayna˘ gı olmasa da- rehberi olabilecek nitelikte.

Bu derslerin verili¸si sırasında sınıfta dersi dikkatle dinleyen, sorular soran ve yanlı¸sları d¨ uzelten ¨ o˘ grenciler olmasa bu notların ortaya ¸cıkması zor olurdu.

Bu y¨ uzden derslerime aktif olarak katılan t¨ um ¨ o˘ grencilere ¸cok te¸sekk¨ ur ediy-

orum. Elbette bu ders notları geli¸smeye ve d¨ uzeltilmeye a¸cık. Bunları kul-

lanırken kar¸sıla¸stı˘ gınız hataları iletmeniz notların kalitesini y¨ ukseltecektir.

˙I¸cindekiler

Ders 1: ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel geometri i¸ cin bir model 5 1.1 Do˘ grusal cebirle izd¨ u¸s¨ umsel geometri . . . . 5 1.2 Homojen koordinatlar . . . . 7 Ders 2: RP ¹ ve RP ² - Reel izd¨ u¸ s¨ umsel do˘ gru ve d¨ uzlem 9 2.1 RP ¹ . . . . 9 2.2 B¨ ol¨ um uzayı . . . . 10 2.3 RP ⁿ bir manifolddur . . . . 12

Sınav 1 15

Ders 3: ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel d¨ on¨ u¸ s¨ umler 16

3.1 M¨ obius d¨ on¨ u¸s¨ umleri . . . . 17 3.2 Bir noktadan izd¨ u¸s¨ um . . . . 18 3.3 ˙Izd¨u¸s¨umsel geometrinin temel teoremi . . . 19

Ders 4: Desargues ve Pappus teoremleri 21

4.1 Desargues’ın teoremi . . . . 21 4.2 Pappus’un teoremi . . . . 23 Ders 5: ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel geometride e¸ sleklik 25 5.1 E¸slek vekt¨ or uzayı . . . . 25 5.2 ˙Izd¨u¸s¨umsel e¸sleklik . . . 26

Sınav 2 30

Ders 6: Belitlerle in¸ sa ve sonlu geometriler 31 6.1 Geometrinin belitlerle in¸sası . . . . 31 6.2 Sonlu geometriler . . . . 32

Ders 7: Konikler - Tanım 35

7.1 Homojen fonksiyon . . . . 35

7.2 Simetrik ¸cift-do˘ grusal form ve kuadratik form . . . . 38

7.3 Kuadratik formların sınıflandırılması . . . . 40

Ders 8: Konikler - Do˘ grularla kesi¸ sim 43

8.1 Nokta k¨ umesi olarak konik . . . . 43

8.2 Konik-do˘ gru kesi¸simi . . . . 44

8.2.1 Dik uzay ve yutan uzay . . . . 44

8.2.2 CP ² ’de konik-do˘ gru kesi¸simi . . . . 46

Sınav 3 48 Ders 9: B´ ezout teoremi 49 9.1 Polinomların bile¸skesi . . . . 49

9.2 B´ ezout Teoremi I . . . . 52

Ders 10: D¨ uzlemde cebirsel e˘ griler 54 10.1 Cebirsel e˘ grilerin topolojisi . . . . 54

10.2 Yuvarlaklar ve tek taraflı par¸calar . . . . 55

10.3 Yuvarlakların d¨ uzeni ve izotopi problemi . . . . 56

Sınav 4 59

Kaynak¸ ca 60

UADMK - A¸ cık Lisans Bilgisi

Bu ders malzemesi ¨ o˘ grenme ve ¨ o˘ gretme yapanlar tarafından a¸ cık lisans kapsamında

¨

ucretsiz olarak kullanılabilir. A¸ cık lisans bilgisi b¨ ol¨ um¨ u yani bu b¨ ol¨ umdeki, bil- gilerde de˘ gi¸stirme ve silme yapılmadan kullanım ve geli¸stirme ger¸ cekle¸stirilmelidir.

˙I¸cerikte geli¸stirme de˘gi¸stirme yapıldı˘gı takdirde katkılar b¨ol¨um¨une sadece ekleme yapılabilir. A¸ cık lisans kapsamındaki malzemeler do˘ grudan ya da t¨ urevleri kul- lanılarak gelir getirici faaliyetlerde bulunulamaz. Belirtilen kapsam dı¸sındaki kul- lanım a¸cık lisans tanımına aykırı oldu˘ gundan kullanım yasadı¸sı olarak kabul edilir, ilgili a¸cık lisans sahiplerinin ve kamunun tazminat hakkı do˘ gması s¨ ozkonusudur.

Katkılar:

Do¸c. Dr. Ferit ¨ Ozt¨ urk, Bo˘ gazi¸ci ¨ Universitesi Matematik B¨ ol¨ um¨ u, 1/9/2010, Metnin

hazırlanması, revizyonu, g¨ orsellerin tasarımı

Ders 1: ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel geometri i¸ cin bir model

Bir geometriyi ya belitleriyle ya da bir modelle kurabiliriz. ˙Izd¨ u¸s¨ umsel ge- ometrinin belitlerle in¸sasını sonraya bırakarak bu derste bir izd¨ u¸s¨ umsel ge- ometri modeli ¨ uzerine konu¸saca˘ gız. Bu modeli ¨ u¸c boyutlu bir vekt¨ or uzayında do˘ grusal cebir kullanarak kuraca˘ gız. ¨ Once bu modelde nokta ve do˘ gru nes- nelerini tanımlayarak ba¸slıyoruz.

1.1 Do˘ grusal cebirle izd¨ u¸ s¨ umsel geometri

F bir cisim, V ise F ¨ uzerinde bir vekt¨ or uzayı olsun.

Tanım 1. V ’nin 1 boyutlu do˘ grusal altuzaylarının k¨ umesine V ’nin izd¨ u¸s¨ umsel uzayı diyece˘ giz ve P (V ) olarak g¨ osterece˘ giz. P (V )’nin her bir elemanı, izd¨ u¸s¨ umsel geometride bir nokta olacak. l, V ’nin 1 boyutlu bir altuzayı olsun. P (V )’de tarif etti˘ gi noktayı n _l olarak g¨ osterece˘ giz.

V uzayı n + 1 boyutlu iken P (V )’nin boyutuna n diyece˘ giz. n = 1 iken P (V )’ye izd¨ u¸s¨ umsel do˘ gru, n = 2 iken P (V )’ye izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlem denir.

U uzayı V ’nin k + 1 boyutlu bir altuzayı olsun. U ’nun t¨ um 1 boyutlu do˘ grusal altuzaylarının k¨ umesi P (U )’ya P (V )’nin k boyutlu bir do˘ grusal al- tuzayı denir. k = 1 durumunda P (U )’ya P (V )’de bir do˘ gru denir. k = 2 durumunda P (U )’ya P (V )’de bir d¨ uzlem denir.

1 boyutlu l altuzayı 2 boyutlu U altuzayının bir altuzayı ise izd¨ u¸s¨ umsel geometride n _l noktası P (U ) do˘ grusunun ¨ uzerinde, ya da P (U ) do˘ grusu n _l noktasını i¸ceriyor diyece˘ giz.

Bundan b¨ oyle yalnızca altuzay dendi˘ ginde V ’nin altuzayı anla¸sılmalı.

Sıklıkla F cismini R ya da C olarak d¨u¸s¨unece˘giz. S¸imdi bu yeni nesnelerle birka¸c g¨ ozlem yapalım.

Sav 1. E˘ ger boyut(V ) = n ≥ 3 ise P (V )’de bir do˘ gru ve do˘ grunun ¨ ust¨ unde olmayan bir nokta vardır.

Kanıt. {v ₀ , v ₁ , v ₂ , . . . , v _n−1 } k¨ umesi V i¸cin bir taban olsun. {v ₀ , v ₁ }’in gerdi˘ gi altuzay U ve v ₂ ’nin gerdi˘ gi altuzay l i¸cin P (U ) do˘ grusu n _l noktasını i¸cermez.

Yukarıdaki kanıtta n _l noktasını tarif eden v ₂ ∈ V vekt¨ or¨ une n _l ’nin bir

temsilcisi denir ve n _l = [v ₂ ] diye yazılır.

Sav 2. E˘ ger boyut(V ) = n ≥ 2 ise P (V )’de herhangi bir izd¨ u¸s¨ umsel do˘ gru en az ¨ u¸ c farklı nokta i¸ cerir.

Kanıt. {v ₀ , v ₁ , . . . , v _n−1 } k¨ umesi V i¸cin bir taban olsun. [v ₀ ], [v ₁ ] ve [v ₀ + v ₁ ] P (V )’de ¨ u¸c ayrı noktadır.

Sav 3. Bir izd¨ u¸s¨ umsel uzayda farklı iki noktadan bir ve yalnız bir do˘ gru ge¸ cer.

Kanıt. n _p ve n _q izd¨ u¸s¨ umsel geometride farklı iki nokta olsun, yani p ve q, V ’nin 1 boyutlu altuzayları olsun. v _p , v _q ∈ V sırasıyla p ve q uzaylarını geren birer vekt¨ or olsun. p ve q birbirinden farklı oldu˘ gundan, v _p ve v _q do˘ grusal ba˘ gımsızdır. Bunların birlikte gerdi˘ gi U altuzayı 2 boyutludur, p ve q’yu i¸cerir; ¨ ustelik p ve q’yu i¸ceren her 2 boyutlu altuzay U ile ¸cakı¸sır. Dolayısıyla izd¨ u¸s¨ umsel geometride P (U ) do˘ grusu n _p ve n _q ’dan ge¸cen do˘ grudur ve tektir.

P (V )’de x ve y noktalarından ge¸cen do˘ gruyu xy olarak g¨ osterece˘ giz.

Alı¸ stırma 1. Yukarıdaki sav P (V )’de iki farklı noktanın her zaman e¸sdo˘ grusal oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyor. Oysa ¨ u¸ c farklı nokta her zaman e¸s do˘ grusal olmak zorunda de˘ gil. ¨ U¸ c noktanın e¸sdo˘ grusal olması i¸ cin bir gerek yeter ko¸sul yazın. P (V )’de e¸sdo˘ grusal olmayan ¨ u¸ c noktanın e¸sd¨ uzlemsel oldu˘ gunu g¨ osterin.

S ¸imdi paralel belitinin izd¨ u¸s¨ umsel geometride artık ge¸cersiz oldu˘ gunu g¨ orelim.

Sav 4. ˙Izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemde farklı iki do˘ gru tek bir noktada kesi¸sir.

Kanıt. Burada P (V ) 2 boyutlu oldu˘ gundan V , 3 boyutlu bir vekt¨ or uzayı.

P (U ) ve P (W ) iki farklı do˘ gru ise U ve W uzayları V ’nin 2 boyutlu farklı altuzaylarıdır. U i¸cin bir taban {u 1 , u 2 }, W i¸cinse {w 1 , w 2 } olsun. M = [u ₁ u ₂ w ₁ w ₂ ] _3×4 matrisinin rankı 3’t¨ ur. Yani

au ₁ + bu ₂ + cw ₁ + dw ₂ = 0

e¸sitli˘ gini sa˘ glayan en az biri sıfırdan farklı a, b, c, d ∈ F vardır. Bu durumda

y = au ₁ + bu ₂ = −cw ₁ − dw ₂

olur. u ₁ ve u ₂ do˘ grusal ba˘ gımsız oldu˘ gundan y vekt¨ or¨ u sıfırdan farklı. Ayrıca y hem V hem W ’nun i¸cinde. ¨ Ustelik U ∩ V ’de yer alan her y yukarıdaki e¸sitli˘ gi sa˘ glayan a, b ve c, d’lerle veriliyor. Ba¸ska a, b, c, d’ler i¸cin bulunacak vekt¨ orler y ile do˘ grusal ba˘ gımlı olacak, ¸c¨ unk¨ u, a, b, c, d ¸su e¸sitli˘ gi sa˘ glamalı:

M [a b c d] ^T = 0

yani [a b c d] ^T vekt¨ or¨ u M matrisinin sıfır uzayında olmalı. M’nin rankı 3 oldu˘ gundan sıfır uzayı 4−3 = 1 boyutlu. Dolayısıyla [y] noktası, P (U )∩P (V ) i¸cindeki biricik nokta.

Sav 3 ve Sav 4’teki ¨ onermelerin birbirilerine ¸cok benzedi˘ gini g¨ ozden ka¸cırmayın.

Buna ileride ikilik diyece˘ giz. Sav 4’¨ un bir sonucu olarak hemen ¸sunu yazabil- iriz.

Sonu¸ c 5. Herhangi bir izd¨ u¸s¨ umsel uzayda farklı iki do˘ gru en fazla tek bir noktada kesi¸sir.

Sav 6. Herhangi bir izd¨ u¸s¨ umsel uzayda d¨ ort farklı nokta x, y, z, w olsun. E˘ ger xy ve zw do˘ gruları kesi¸siyorsa xz ve yw do˘ gruları da kesi¸sir.

Alı¸ stırma 2. Sav 6’yı kanıtlayın.

Alı¸ stırma 3. Bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemde en az 4 nokta oldu˘ gunu kanıtlayın.

Alı¸ stırma 4. Bir izd¨ u¸s¨ umsel do˘ gruda ne zaman en az d¨ ort nokta vardır?

1.2 Homojen koordinatlar

V vekt¨ or uzayı F cismi ¨uzerinde ve n + 1 boyutlu olsun. [v] ∈ P (V ) nok- tasını daha a¸cık anlatmak i¸cin g¨ osterimde v’nin koordinatlarını kullanaca˘ gız.

{v ₀ , v ₁ , . . . , v _n } k¨ umesi V i¸cin bir taban olsun. E˘ ger v = a ₀ v ₀ + . . . + a _n v _n = (a ₀ , a ₁ , . . . , a _n ) ise [v] ∈ P (V ) noktasını aynı zamanda [a ₀ : a ₁ : . . . : a _n ] diye yazaca˘ gız. Herhangi bir λ ∈ F i¸cin [λv] = [v] olur ¸c¨unk¨u λv = (λa 0 , λa ₁ , . . . , λa _n ) vekt¨ or¨ uyle v vekt¨ or¨ u V ’nin aynı 1 boyutlu altuzayını geriyor. Burada a ₀ , a ₁ , . . . , a _n ’ye homojen koordinatlar denir; b¨ oylece

P (V ) = {[a ₀ : a ₁ : . . . : a _n ] | a ₀ , a ₁ , . . . , a _n ∈ F, en az bir a i 6= 0}

yazabiliriz. Dikkat: [0 : 0 : . . . : 0] bir ¸sey ifade etmiyor ¸c¨ unk¨ u 0 = (0, 0, . . . , 0)

vekt¨ or¨ u 1 boyutlu bir altuzay germiyor.

Homojen koordinatlar yardımıyla P (V )’nin elemanlarını inceleyece˘ giz.

P (V )’nin ¸su alt k¨ umesine bakalım:

A ₀ = {[a ₀ : a ₁ : . . . : a _n ] | a ₀ , . . . , a _n ∈ F, a 0 6= 0}.

S ¸imdi, [λv] = [v] oldu˘ gu i¸cin

A ₀ = {[1 : a ₁ /a ₀ : . . . : a _n /a ₀ | a ₀ , . . . , a _n ∈ F, a 0 6= 0]}

= {[1 : b ₁ : . . . : b _n ] | b _i ∈ F}

olur. Bu son k¨ ume F ⁿ ile k¨ ume olarak birebir e¸slenebilir.

P (V )’de A ₀ ’ın t¨ umleyenine bakalım:

P (V ) \ A ₀ = {[0 : a ₁ : . . . : a _n ] | en az bir a _i 6= 0}.

V ₀ ⊂ V vekt¨ or uzayı v ₁ , . . . , v _n tarafından gerilen altuzay olsun. Bu durumda P (V ₀ ) ile P (V ) \ A ₀ k¨ ume olarak birebir e¸slenebilir. Dolayısıyla

P (V ) = A ₀ [

P (V ) \ A ₀ = F ⁿ [ P (V ₀ )

imi¸s. Yani P (V )’nin i¸cinde k¨ ume olarak bir F ⁿ cismi ve t¨ umleyeni olarak n−1 boyutlu bir izd¨ u¸s¨ umsel uzay oturuyormu¸s. Burdaki A ₀ k¨ umesine bir yama, P (V 0 ) k¨ umesine sonsuzdaki altuzay denir.

T¨ um bu bilgiler F = R durumunda P (V ) ¨uzerine koyaca˘gımız bir topolo- jiyle birlikte anlam kazanacak ve m¨ ukemmel bir resme d¨ on¨ u¸secek.

Alı¸ stırma 5. RP ² = [x0 : x1 : x2]|x _i ∈ R d¨uzleminde sonsuzdaki l = {z 2 =

0} do˘ grusunu ve a ₂ 6= 0 olmak ¨ uzere P = [a ₀ : a ₁ : a ₂ ] ve Q = [b ₀ : b ₁ : 0] ∈

L noktalarını alalım. P ’den ge¸ cen t¨ um do˘ gruların homojen koordinatlarda

denklemlerini yazın. Aynı ¸seyi Q i¸ cin yapın; Q’dan ge¸ cen do˘ gruları R ² =

(x ₀ , x ₁ ) d¨ uzleminde ¸ cizin. Tabii ki Q resimde g¨ or¨ unmeyecek ¸ c¨ unk¨ u sonsuzda.

Ders 2: RP ¹ ve RP ² - Reel izd¨ u¸ s¨ umsel do˘ gru ve d¨ uzlem

Ge¸cen ders do˘ grusal cebir aracılı˘ gıyla izd¨ u¸s¨ umsel geometri i¸cin bir model kurduk. S ¸imdi bu modeli daha somut bir ¸sekle sokalım, F = R durumunda kurdu˘ gumuz geometrinin nasıl kolayca g¨ orselle¸sebildi˘ gini fark edelim. ˙Ileriki derslerde kuraca˘ gımız kuramda bu dersteki somut modeli sık sık hatırlayaca˘ gız.

V vekt¨ or uzayının F ⁿ⁺¹ = F×F×· · ·×F oldu˘gu durumda P (V ) izd¨u¸s¨umsel uzayı yerine FP ⁿ yazaca˘ gız. F = R durumunda P (R ⁿ⁺¹ ) uzayına b¨ ol¨ um topolojisi koyarak reel izd¨ u¸s¨ umsel uzay diyece˘ giz ve bu uzayı RP ⁿ olarak g¨ osterece˘ giz. RP ² uzayına reel izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlem, RP ¹ uzayına reel izd¨ u¸s¨ umsel do˘ gru diyoruz. Benzer bi¸cimde CP ⁿ uzayına karma¸sık izd¨ u¸s¨ umsel uzay, CP ² uzayına karma¸sık izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlem, CP ¹ uzayına karma¸sık izd¨ u¸s¨ umsel do˘ gru diyoruz.

S ¸imdi RP ¹ ve RP ² uzaylarını daha yakından tanıyalım.

2.1 RP ¹

P (R ² ), R ² ’de orjinden ge¸cen do˘ gruların k¨ umesi. Bu k¨ umeyi S ¸ekil 1’de g¨ oster- ilen S k¨ umesiyle birebir e¸sleyebiliriz:

P (R ² ) → S, [v] = [x : y] 7→ (x, y)/ p

x ² + y ² .

0000 00 1111 11

S ¸ekil 1: RP ¹ bu renkli k¨ umeyle birebir e¸slenebilir.

S ¸imdi bundan daha fazlasını s¨ oyleyece˘ giz. P (R ² )’yi topolojik bir uzay olarak g¨ or¨ up onun tanıdık bir uzaya homeomorf oldu˘ gunu ispatlayaca˘ gız.

R ² \ {0} ¨ uzerinde ∼ denklik ba˘ gıntısı,

x ∼ y ⇔ bir λ ∈ R \ {0} i¸cin y = λx

olarak tanımlansın. Bu durumda P (R ² ) = R ² \ {0}/ ∼ olur. Bir v ∈ R ² \ {0}

i¸cin v’nin denklik sınıfı tam da ge¸cen ders tanımladı˘ gımız [v] ∈ P (R ² )’dir.

p : R ² \ {0} → R ² \ {0}/ ∼ izd¨ u¸s¨ um g¨ onderimini bir b¨ ol¨ um g¨ onder- imi yapacak bi¸cimde, R ² \ {0}/ ∼ k¨ umesi ¨ uzerine b¨ ol¨ um topolojisi koyarak olu¸sturulan topolojik uzay RP ¹ olarak g¨ osterilir. Tanım gere˘ gi, RP ¹ ’de U a¸cık bir altk¨ ume demek, R ² ’de p ⁻¹ (U ) k¨ umesi a¸cık demektir.

˙Iddiamız RP ¹ uzayının R ² ’deki birim ¸cember S ¹ ’e homeomorf oldu˘ gu.

Bundan ¨ once b¨ ol¨ um g¨ onderimleri ve topolojisiyle ilgili birka¸c topoloji teo- remini hatırlayalım.

2.2 B¨ ol¨ um uzayı

X ve Y topolojik uzaylar olsun. ¨ Orten bir p : X → Y g¨ onderimi her U ⊂ Y a¸cık ⇔ p ⁻¹ (U ) ⊂ X a¸cık

ko¸sulunu sa˘ glarsa p’ye b¨ ol¨ um g¨ onderimi denir. Bir b¨ ol¨ um g¨ onderimi do˘ grudan do˘ gruya s¨ urekli olur.

A bir k¨ ume, h : X → A ¨ orten bir g¨ onderim olsun. A ¨ uzerine h’yi b¨ ol¨ um g¨ onderimi yapacak bi¸cimde konan topolojiye b¨ ol¨ um topolojisi denir.

Bu topolojide h ⁻¹ (U ) ters g¨ or¨ unt¨ us¨ u X’te a¸cık olan her U ⊂ A a¸cık olacaktır.

Teorem 7. X, Y, Z topolojik uzaylar, p : X → Y bir b¨ ol¨ um g¨ onderimi, g : X → Z s¨ urekli olsun. E˘ ger g g¨ onderimi her bir y ∈ Y i¸ cin p ⁻¹ ({y}) ters g¨ or¨ unt¨ us¨ unde sabitse f : Y → Z ve f ◦ p = g olacak ¸sekilde s¨ urekli bir f vardır.

Kanıt. f g¨ onderimini her bir y ∈ Y i¸cin ¸s¨ oyle tanımlayalım:

f (y) = g(p ⁻¹ ({y})).

Bu durumda her x ∈ X i¸cin (f ◦ p)(x) = g(p ⁻¹ ({p(x)})) = g(x) olur. ¨ Ote

yandan f s¨ ureklidir: her U ⊂ Z a¸cık i¸cin (f ◦ p) ⁻¹ (U ) = g ⁻¹ (U ) a¸cıktır

(g s¨ urekli). (f ◦ p) ⁻¹ (U ) = p ⁻¹ (f ⁻¹ (U )) k¨ umesi a¸cık ve p b¨ ol¨ um g¨ onderimi

oldu˘ gundan f ⁻¹ (U ) k¨ umesi de a¸cık olacaktır. Tam istedi˘ gimiz sonu¸c.

Teorem 8. X, Y, Z topolojik uzaylar, p : X → Y bir b¨ ol¨ um g¨ onderimi, g : X → Z ¨ orten s¨ urekli olsun. g’nin sabit oldu˘ gu eleman ¨ obeklerinin k¨ umesine X ^∗ diyelim, yani:

X ^∗ = {g ⁻¹ (z)|z ∈ Z}.

p : X → X ^∗ bariz izd¨ u¸s¨ um g¨ onderimi olsun. X ^∗ uzerine b¨ ¨ ol¨ um topolojisi konmu¸s olsun. Bu durumda g g¨ onderimi birebir ¨ orten s¨ urekli bir f : X ^∗ → Z g¨ onderimi tarif eder. ¨ Ustelik g’nin b¨ ol¨ um g¨ onderimi olmasıyla f ’nin homeo- morfi olması denk durumlardır.

Kanıt. Teorem 7 s¨ urekli bir f g¨ onderiminin var oldu˘ gunu s¨ oyl¨ uyor. Ayrıca f

¨

orten ve birebir. f homeomorfi ise b¨ ol¨ um g¨ onderimidir. Dolayısıyla g = f ◦ p de b¨ ol¨ um g¨ onderimidir. Tersten gidersek, g’nin b¨ ol¨ um g¨ onderimi oldu˘ gu du- rumda, X ^∗ ’da a¸cık bir U alalım. f (U )’nun da a¸cık oldu˘ gunu g¨ osterece˘ giz.

g ⁻¹ (f (U )) = p ⁻¹ (U ) oldu˘ gundan ve p b¨ ol¨ um g¨ onderimi oldu˘ gundan g ⁻¹ (f (U )) da a¸cıktır. Ama g de b¨ ol¨ um g¨ onderimi idi.; dolayısıyla f (U )’yu a¸cık bul- duk.

Teorem 8’de X ^∗ uzayı X’in bir b¨ ol¨ umlenmesi ve herbir par¸cayı bir ele- man kabul ediyor. Bu durumun yaygın bir ¨ orne˘ gi, X’in ¨ uzerinde bir denklik ba˘ gıntısı, ve X ^∗ ’ın denklik sınıflarının k¨ umesi oldu˘ gu durum. ¨ Orne˘ gin Teo- rem 8’in hemen bir sonucunu yazabiliriz:

Sonu¸ c 9. RP ¹ uzayı S ¹ ’e homeomorftur.

Kanıt. S ¹ ¨ uzerindeki her noktayı orjine g¨ ore simetri˘ giyle ¨ ozde¸sle¸stiren den- klik ba˘ gıntısı  olsun. Teorem 8’i kullanmak i¸cin ¸su diyagrama bakalım:

R ² \ {0}

p



g

K %%K K K K K K K K

RP ¹ _f ^// S ¹ /  Burada g g¨ onderimini ¸s¨ oyle tanımladık:

g : (x, y) 7→ h

x/ p

x ² + y ² , y/ p

x ² + y ² i

 .

g g¨ onderimi ¨ orten ve aynı zamanda b¨ ol¨ um g¨ onderimi. B¨ oylece Teorem 8

bir f homeomorfisinin varlı˘ gını garanti ediyor. S ¹ /  uzayı S ¹ ’e homeomorf

oldu˘ gundan sonucu kanıtlamı¸s oluyoruz.

Alı¸ stırma 6. Yukarıdaki g’nin b¨ ol¨ um g¨ underimi oldu˘ gunu kanıtlayın.

Alı¸ stırma 7. S ¹ /  uzayının S ¹ ’e homeomorf oldu˘ gunu kanıtlayın. Bunu Teorem 8’i ¸sık bir bi¸ cimde kullanarak yapabilir misiniz?

2.3 RP ⁿ bir manifolddur

Teorem 8’in kanıtındaki tartı¸sma hemen ¨ ust boyutlara genelle¸stirilebilir:

Teorem 10. S ⁿ ¨ uzerindeki her noktayı orjine g¨ ore simetri˘ giyle ¨ ozde¸sle¸stiren denklik ba˘ gıntısı  olsun. RP ⁿ uzayı S ⁿ /  ’e homeomorftur.

Dolayısıyla, RP ² izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemi S ³ /  b¨ ol¨ um uzayına homeomorftur.

S ¸imdi daha fazlasını kanıtlayaca˘ gız. ¨ Once bir tanım:

Tanım 2. • X bir topolojik uzay olsun. X’in herhangi iki noktası x 1 , x 2

i¸ cin x ₁ ’i i¸ ceren a¸ cık U ₁ ve x ₂ ’yi i¸ ceren a¸ cık U ₂ k¨ umeleri varsa ve bu k¨ umeler birbirinden ayrık se¸ cilebiliyorsa X uzayına Hausdorff denir.

• X Hausdorff bir uzay ve topolojisinin tabanı sayılabilir olsun. E˘ ger X’in herbir noktası, R ⁿ ’de a¸ cık bir k¨ umeye homeomorf bir a¸ cık k¨ umenin i¸ cindeyse, X uzayına (topolojik) manifold denir. Bu durumda n’ye manifoldun boyutu denir.

Teorem 11. RP ⁿ izd¨ u¸s¨ umsel uzayı n boyutlu bir manifolddur.

Kanıt. RP ⁿ Hausdorff’tur: x, y ∈ S ⁿ ⊂ R ⁿ⁺¹ olmak ¨ uzere RP ⁿ ’de iki nokta [x] ve [y] olsun. S ⁿ ’de [x]’i i¸ceren a¸cık bir k¨ ume U x ve [y]’yi i¸ceren a¸cık bir k¨ ume U _y olsun. U _x k¨ umesi U _y ve −U _y = {−z|z ∈ U _y } ile kesi¸smeyecek bi¸cimde k¨ u¸c¨ ult¨ ulebilir. B¨ oylece elde edilen U ₁ = U _x ∪ −U _x ve U ₂ = U _y ∪ −U _y k¨ umeleri a¸cıktır dolayısıyla [U x ] ve [U y ] k¨ umeleri tanım gere˘ gi RP ⁿ ’de a¸cıktır, birbirlerinden ayrıktır ve sırasıyla [x] ve [y]’yi i¸cerirler.

[x] = [x ₀ : x ₁ : . . . : x _n ] ∈ RP ⁿ olsun. Diyelim ki x ₀ 6= 0 olsun. Sonsuzdaki izd¨ u¸s¨ umsel uzay

L ₀ = {[0 : a ₁ : . . . : a _n ] ∈ RP ⁿ }

olmak ¨ uzere, R = RP ⁿ \ L ₀ yamasının R ⁿ ile birebir e¸slendi˘ gini biliyoruz.

˙Iddiamız R yamasının RP ⁿ ’de a¸cık ve R ⁿ ’ye homeomorf oldu˘ gu.

p : S ⁿ → RP ⁿ b¨ ol¨ um g¨ onderimini d¨ u¸s¨ unelim. R’nin RP ⁿ ’de a¸cık olması p ⁻¹ (R)’nin S ⁿ ’de a¸cık olması demek.

p ⁻¹ (R) = {(a ₀ , a ₁ , . . . , a _n ) ∈ S ⁿ , a ₀ 6= 0}

iki yarımk¨ urenin birle¸simi oldu˘ gundan ve herbir yarımk¨ ure S ⁿ ’de a¸cık oldu˘ gundan iddiayı kanıtlamı¸s oluyoruz. ¨ Ustelik herbir yarımk¨ ure hem R’ye hem de R ⁿ ’ye homeomorf.

S ₊ = {(a ₀ , a ₁ , . . . , a _n ) ∈ S ⁿ , a ₀ > 0}

yarımk¨ uresi R’ye p ile homeomorf ¸c¨ unk¨ u p| S

g¨ onderimi hem birebir hem

¨

orten hem s¨ urekli hem de tersi s¨ urekli.

Kanıtı bitirmek i¸cin a¸sa˘ gıdaki alı¸stırmaları yapın.

Alı¸ stırma 8. Yukarıdaki p| _S

: S ₊ → R g¨ onderiminin tersinin de s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ osterin.

Alı¸ stırma 9. R ⁿ ’de ¨ Oklit topolojisi i¸ cin sayılabilir bir taban vardır, g¨ osterin.

Sonra RP ⁿ ’nin topolojisine sayılabilir bir taban se¸ cilebilece˘ gini g¨ osterin.

00 00 11 11

00 00 11 11

00 00 11 11

z

x

y

x

y z

x

y z

[a : b : c]

S ¸ekil 2: Aynı [a : b : c] noktası i¸cin RP ² ’de ¨ u¸c ayrı yama

Ornek. Yukarıdaki ispatı RP ¨ ² i¸cin incelemekte yarar var. Verilen herhangi bir [a : b : c] ∈ RP ² noktası i¸cin a 6= 0 ise noktayı S ¸ekil 2(a)’daki R ₀ ⊂ RP ² k¨ umesinde, b 6= 0 ise S ¸ekil 2(b)’deki R ₁ k¨ umesinde, c 6= 0 ise S ¸ekil 2(c)’deki R ₂ k¨ umesinde g¨ orebiliriz. Herbir R _j (j = 0, 1, 2) R ² ’ye homeomorftur.

Bu dersi ¸su alı¸stırmayla bitirelim:

Alı¸ stırma 10. ϕ : X → Y iki topolojik uzay arasında bir g¨ onderim, σ _Y Y ’nin topolojisi i¸ cin bir taban olsun. Diyelim ki ϕ’nin s¨ urekli oldu˘ gunu g¨ oster- mek istiyoruz. Bunu g¨ ostermekle ¸sunu g¨ ostermenin denk oldu˘ gunu kanıtlayın:

herbir V ∈ σ _Y i¸cin ϕ ⁻¹ (V ) k¨ umesi X’te a¸cık.

Alı¸ stırma 11. CP ¹ uzayının 2 boyutlu bir manifold oldu˘ gunu, CP ¹ ’in S ² ’ye homeomorf oldu˘ gunu g¨ ostererek kanıtlayın. (C ² ’den S ² ’ye, kompleks do˘ grularda sabit bir b¨ ol¨ um g¨ onderimi yazın. Sonra Teorem 8’i kullanın.)

Alı¸ stırma 12. CP ⁿ uzayının 2n boyutlu bir manifold oldu˘ gunu kanıtlayın.

Sınav 1

V uzayı F cismi ¨uzerine n + 1 boyutlu bir vekt¨or uzayı olsun. P (V )’de iki do˘ gru birlikte bir d¨ uzlemin i¸cinde yatıyorsa bu do˘ grulara e¸sd¨ uzlemsel denir.

Birka¸c nokta aynı do˘ gru ¨ uzerindeyse bu noktalara e¸sdo˘ grusal denir.

1. ˙Iki farklı do˘ grunun ortak bir noktası varsa bu iki do˘ gru d¨ uzlemseldir.

G¨ osterin.

2. P (V )’nin boyutu b¨ uy¨ uke¸sit 2 olsun. P (V )’de ¨ oyle d¨ ort nokta vardır ki herhangi ¨ u¸c¨ u e¸sdo˘ grusal de˘ gildir. G¨ osterin.

3. S ¸u k¨ umeye bakalım: C = {[x : y : z] ∈ RP ² | y ² = x ² + z ² }. RP ² izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemiyle a¸sa˘ gıdaki S ¸ekil’de g¨ or¨ ulen ve birim k¨ ure S ² ⊂ R ³ ’te yatan H k¨ umesi arasında 1-1 ¨ orten a¸sikar bir e¸sleme oldu˘ gunu biliyoruz. H ¨ uzerinde C k¨ umesini dikkatlice ¸cizin ve ¨ onemli noktalarının yerini tam olarak belirleyin (sonsuzdaki do˘ gru ¨ uzerindeki noktaları vs).

4. (a) RP ¹ izd¨ u¸s¨ umsel do˘ grusundan (−1, 1] aralı˘ gına 1-1 ¨ orten bir h g¨ onde- rimi yazın. Bu g¨ onderim RP ¹ ’in noktalarını homojen koordinatlarda almalı ve bu koordinatlara ba˘ glı olarak (−1, 1]’in bir noktasını vermeli.

(b) Yukarıda tanımladı˘ gınız h’nin bir homeomorfi olmadı˘ gını g¨ osterin.

((−1, 1]’de akıllıca bir U a¸ cık k¨ umesi se¸ cin ve h ⁻¹ (U ) k¨ umesinin RP ¹ ’de a¸ cık olmadı˘ gını g¨ osterin. Nasıl?)

x

x

y y

ku¸s bakı¸sı

H

Ders 3: ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel d¨ on¨ u¸ s¨ umler

V ve W aynı F cismi ¨uzerinde iki vekt¨or uzayı ve T : V → W do˘grusal bir d¨ on¨ u¸s¨ um olsun. Hangi durumlarda T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u P (V )’den P (W )’ya bir g¨ onderim tanımlar? Bunun i¸cin tek sa˘ glanması gereken ko¸sul 1 boyutlu al- tuzayların 1 boyutlu altuzaylara gitmesi, yani T ’nin ¸cekirde˘ ginin 0 olması.

Tanım 3. C ¸ ekirde˘ gi 0 olmak ¨ uzere T : V → W do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u cinsinden τ : P (V ) → P (W ), [v] 7→ [T (v)]

olarak tanımlanan τ g¨ onderimine izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um denir.

C ¸ ekirde˘ gi 0 olan T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u g¨ or¨ unt¨ us¨ u ¨ uzerine izomorfidir. Yalnızca 1 boyutlu altuzayları 1 boyutlu altuzaylara g¨ ot¨ urmekle kalmaz, k boyutlu al- tuzayları k boyutlu altuzaylara g¨ ot¨ ur¨ ur. Dolayısıyla τ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u izd¨ u¸s¨ umsel do˘ gruları izd¨ u¸s¨ umsel do˘ grulara, izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemleri izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemlere g¨ ot¨ ur¨ ur.

Sav 12. T ve T ⁰ : V → W aynı izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u tarif etmesi bir λ ∈ F i¸ cin T ⁰ = λT olmasına denktir.

Kanıt. T ve T ⁰ ’n¨ un tarif etti˘ gi d¨ on¨ u¸s¨ umler τ ve τ ⁰ olsun. E˘ ger bir v ∈ V i¸cin τ ([v]) = τ ⁰ ([v]) ise yani [T (v)] = [T ⁰ (v)] ise v’ye ba˘ glı bir λ _v ∈ F i¸cin T (v) = λ v T ⁰ (v) olmalı. Bu λ v ’nin v’den ba˘ gımsız oldu˘ gunu g¨ osterirsek i¸simiz bitiyor.

{v ₁ , v ₂ , . . . , v _n } k¨ umesi V i¸cin bir taban olu¸stursun. Her bir v _i (i = 1, . . . , n) i¸cin

T (v _i ) = λ _i T ⁰ (v _i ) e¸sitli˘ gini sa˘ glayan λ _i ∈ F var. Bir v = P n

i=1 v _i vekt¨ or¨ u alalım.

n

X

i=1

λ _v T ⁰ (v _i ) = λ _v T ⁰ (v) = T (v) =

n

X

i=1

T (v _i ) =

n

X

i=1

λ _i T ⁰ (v _i )

elde ederiz. {T ⁰ (v _i )} ⁿ _i=1 k¨ umesi T ⁰ (V ) ⊂ W uzayı i¸cin bir taban oldu˘ gundan, e¸sitli˘ gin en sol ve en sa˘ gı her bir λ _i ’nin birbirine ve λ _v ’ye e¸sit oldu˘ gunu kanıtlar. Dolayısıyla λ _v v’den ba˘ gımsızdır.

Sav 13. τ : P (V ) → P (V ) d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u bir do˘ grunun ¨ u¸ c farklı noktasını sabit

bırakıyorsa, o do˘ grunun t¨ um noktalarını sabit bırakır.

Kanıt. τ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u tarif eden do˘ grusal izomorfi T : V → V olsun.

P (U ) do˘ grusu ¨ uzerinde, τ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un sabitledi˘ gi e¸sdo˘ grusal ¨ u¸c nokta [v i ] ∈ P (V ), i = 1, 2, 3 verilmi¸s. Bu durumda

T (v _i ) = λ _i v _i , λ _i ∈ F

olmalı. U ’nun boyutu 2 oldu˘ gundan, v 3 = a 1 v 1 + a 2 v 2 e¸sitli˘ gini sa˘ glayacak a ₁ , a ₂ ∈ F vardır. ¨ Oyleyse

λ ₃ a ₁ v ₁ + λ ₃ a ₂ v ₂ = λ ₃ v ₃

= T (v ₃ ) = T (a ₁ v ₁ + a ₂ v ₂ )

= a 1 T (v 1 ) + a 2 T (v 2 )

= λ ₁ a ₁ v ₁ + λ ₂ a ₂ v ₂

oldu˘ gundan sol ve sa˘ g taraflardan λ 3 = λ 1 ve λ 3 = λ 2 sonucu ¸cıkar. Dolayısıyla herhangi v ∈ P (U ) i¸cin v = b ₁ v ₁ + b ₂ v ₂ e¸sitli˘ gini sa˘ glayan b ₁ , b ₂ ∈ F alınırsa τ ([v]) = [T (v)] = [λ ₁ b ₁ v ₁ + λ ₂ b ₂ v ₂ ] = [λ ₁ (b ₁ v ₁ + b ₂ v ₂ )] = [v] olur.

Alı¸ stırma 13. P (V ) = {[x : y : z]|x, y, z ∈ F} d¨uzleminde geli¸sig¨uzel bir l do˘ grusu alalım. P (V )’nin ¨ oyle bir d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u in¸sa edin ki l do˘ grusu {z = 0}

do˘ grusuna gitsin. Bunu g¨ osterdi˘ ginizde, artık d¨ uzlemde herhangi bir do˘ gruyu sonsuzdaki do˘ gru olarak alıp onun dı¸sındaki noktaları bir yama olarak d¨ u¸s¨ unmek konusunda endi¸se kalmayacak.

Alı¸ stırma 14. V ’nin bir izomorfisince tarif edilen izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un P (V )’nin bir homeomorfisi oldu˘ gunu g¨ osterin.

3.1 M¨ obius d¨ on¨ u¸ s¨ umleri

Alı¸stırma 11’de kompleks izd¨ u¸s¨ umsel do˘ gru CP ¹ ’in S ² ’ye homeomorf oldu˘ gunu g¨ orm¨ u¸st¨ uk. CP ¹ = R ² ∪ CP ⁰ ve CP ⁰ bir tek nokta oldu˘ guna g¨ ore buna inanmak kolay. Bu b¨ ol¨ umde CP ¹ ’in R ² ’ye homoemorf o b¨ uy¨ uk par¸casını C olarak ve t¨ um CP ¹ ’i geni¸sletilmi¸s C olarak g¨orece˘giz ve C ¨uzerindeki M¨obius d¨ on¨ u¸s¨ umleriyle CP ¹ uzerindeki izd¨ ¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ umler arasında ili¸ski ku- raca˘ gız.

CP ¹ ¨ uzerindeki izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ umler, bu dersin ba¸sında tanımladı˘ gımız uzere, C ¨ ² ’den kendisine kompleks do˘ grusal izomorfiler (¨ ozd¨ on¨ u¸s¨ umler). Yani C ² ’nin ¨ ozd¨ on¨ u¸s¨ umlerini standart tabanında matris olarak ifade edersek, t¨ um

¨

ozd¨ on¨ u¸s¨ umler k¨ umesini n  a b

c d



| a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0 o

diye yazabiliriz. B¨ oylece herhangi bir [x : y] noktasını bir CP ¹ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u [ax+

by : cx + dy] noktasına g¨ ot¨ ur¨ ur.

Diyelim y 6= 0 olsun. Bu durumda [z : 1] = [x/y : 1] = [x : y] noktası [az + b : cz + d] noktasına gider. Yani d¨ on¨ u¸s¨ um C ⊂ CP ¹ ¨ uzerinde z 7→

az+b

cz+d olarak ¸calı¸sır. Bu C’de M¨obius d¨on¨u¸s¨um¨unden ba¸ska bir ¸sey de˘gil. E˘ger cz + d 6= 0 ise, yani z = −d/c de˘ gilse her z ∈ C, yine C’de bir noktaya gider.

E˘ ger cz + d = 0 ise, c = 0 olamayaca˘ gından z = −d/c ∈ C olur ve izd¨u¸s¨umsel d¨ on¨ u¸s¨ um [z : 1] noktasını [1 : 0] noktasına, yani sonsuzdaki noktaya g¨ ot¨ ur¨ ur.

D¨ on¨ u¸s¨ um sonsuzdaki nokta [1 : 0]’ı da [a : c] noktasına g¨ ot¨ ur¨ ur. c = 0 ise bu nokta [1 : 0]’dır; yani c = 0 durumunda sonsuz sonsuza, C kendisine gider. c 6= 0 ise [1 : 0] noktası [a/c : 1] noktasına gider.

3.2 Bir noktadan izd¨ u¸ s¨ um

P (V ) bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlem, P (U ) ve P (W ) i¸cinde iki do˘ gru, A ∈ P (V ) ne P (U )’da ne P (W )’da yer almayan bir nokta olsun. P (U )’dan P (W )’ya ¸s¨ oyle bir g¨ onderim tanımlayalım:

π _A : P (U ) → P (W ), Q 7→ AQ ∩ P (W ).

Burada AQ, A ve Q’dan ge¸cen do˘ gruyu anlatıyor.

Bu π _A bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. Bunu g¨ ostermek i¸cin π _A g¨ onderiminin bir T : U → W do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ unden geldi˘ gini kanıtlamak gerek. B¨ oyle bir T ’yi U ’nun taban vekt¨ orlerinde tanımlayaca˘ gız. {u ₁ , u ₂ } k¨ umesi U ’nun bir tabanı ve [a] = A olsun. {a, u _j } vekt¨ orlerinin gerdi˘ gi altuzayla W ’nun kesi¸simi 1 boyutludur (j = 1, 2). Bu kesi¸simi geren bir vekt¨ or w _j olsun. T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u, taban vekt¨ orlerinde T (u _j ) = w _j olarak ¸calı¸san ve U ’ya do˘ grusal olarak geni¸sletilen d¨ on¨ u¸s¨ um olarak tanımlayalım.

Bu T aradı˘ gımız d¨ on¨ u¸s¨ umd¨ ur. ¨ Once, T ’nin ¸cekirde˘ gi 0’dır ¸c¨ unk¨ u {a, u _j } vekt¨ orlerinin gerdi˘ gi d¨ uzlem W ile hep 1 boyutta kesi¸sir. Ayrıca, in¸sa gere˘ gi π _A ([u]) = [T (u)]’dur.

B¨ oylece tarif etti˘ gimiz π _A : P (U ) → P (W ) d¨ on¨ u¸s¨ um¨ une P (V )’de A nok- tasından izd¨ u¸s¨ um ya da A’dan perspektif denir.

Alı¸ stırma 15. π _A : P (U ) → P (W ) d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un birebir ¨ orten oldu˘ gunu

g¨ osterin. ¨ Ozel olarak, RP ² ya da CP ² ’de bir noktadan perspektifin iki do˘ gru

arasında bir homeomorfi oldu˘ gunu g¨ osterin.

Alı¸ stırma 16. D¨ uzlemde iki do˘ gru her zaman bir noktadan perpektiftir, a¸sikar. Herhangi bir izd¨ u¸s¨ umsel uzayda iki do˘ gru verildi˘ ginde, ¨ oyle birka¸ c noktadan perspektif bulunabilir ki bu perspektifler dizisi do˘ grulardan birini di˘ gerine g¨ ot¨ ur¨ ur.

3.3 ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel geometrinin temel teoremi

Bir do˘ gruyu kendisine g¨ ot¨ uren bir d¨ on¨ u¸s¨ um 3 noktayı sabitliyorsa do˘ grunun her noktasına sabitler (Sav 13). S ¸imdi daha fazlasını kanıtlayaca˘ gız. Bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un ka¸c noktadaki de˘ gerini biliyorsak d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u tam olarak biliyoruz demektir? n boyutlu bir vekt¨ or uzayından kalkan bir do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un n tane do˘ grusal ba˘ gımsız vekt¨ or ¨ uzerindeki de˘ geri biliniyorsa d¨ on¨ u¸s¨ um tam ve tek olarak biliniyor demektir. Temelde aynı olgu izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ umler i¸cin de ge¸cerli. ¨ Once do˘ grusal ba˘ gımsızlı˘ gın izd¨ u¸s¨ umsel geometrideki kar¸sılı˘ gını tanımlayalım:

Tanım 4. P (V )’nin boyutu n ve [v ₀ ], [v ₁ ], . . . , [v _n+1 ] P (V )’de verilmi¸s n + 2

tane nokta olsun. E˘ ger bu noktaların her n+1 tanesini temsil eden v _σ(0) , v _σ(1) , . . . , v _σ(n) ∈ V vekt¨ orleri do˘ grusal ba˘ gımsızsa bu n + 2 noktaya genel konumda denir.

Teorem 14. (˙Izd¨ u¸ s¨ umsel Geometrinin Temel Teoremi) P (V ) ve P (W )’nun boyutu n olmak ¨ uzere [v ₀ ], [v ₁ ], . . . , [v _n+1 ] P (V )’de, [w ₀ ], [w ₁ ], . . . , [w _n+1 ] P (W )’da genel konumda noktalar olsun. Bu durumda

V → W, [v i ] 7→ [w i ], (i = 0, 1, . . . , n + 1) ko¸sulunu sa˘ glayan biricik izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um vardır.

Kanıt. {v ₁ , . . . , v _n+1 } k¨ umesi P (V )’nin bir tabanıdır. Genelli˘ gi bozmadan, v ₀ = v ₁ +. . .+v _n+1 diye kabul edebiliriz. Benzer bi¸cimde w ₀ = w ₁ +. . .+w _n+1 olsun. T : V → W, v i 7→ w i , (i = 1, . . . , n + 1) olarak tanımlanan do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um i¸cin T (v ₀ ) = w ₀ olur ve T d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u teoremde istenen ¸ce¸sit bir d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u tarif eder.

S ¸imdi v i ve w i ’lerin gerdi˘ gi do˘ grular ¨ uzerinde T gibi ¸calı¸san her d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un aynı izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u anlattı˘ gını kanıtlamalıyız. Diyelim T ⁰ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u de teoremde istenen ¸ce¸sit bir d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u tarif etsin; yani T ⁰ (v _i ) = λ _i w _i , λ _i ∈ F, i = 0, . . . , n + 1 olsun. Bu durumda

λ ₀ w ₀ = T ⁰ (v ₀ ) = λ ₁ w ₁ + . . . + λ _n+1 w _n+1

oldu˘ gundan

λ ₀ w ₀ = λ ₀ w ₁ + . . . + λ ₀ w _n+1 = λ ₁ w ₁ + . . . + λ _n+1 w _n+1

elde ederiz. Dolayısıyla λ ₀ = λ ₁ = . . . = λ _n+1 olmalı. B¨ oylece T ⁰ = λ ₀ T olur;

yani T ve T ⁰ ’n¨ un anlattı˘ gı izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ umler aynıdır (Sav 12).

Sav 13 bu b¨ uy¨ uk teoremin bir sonucu olarak g¨ or¨ ulebilir. ¨ Oncelikle, bir do˘ gruda 3 nokta her zaman genel konumdadır. Teoreme g¨ ore, bir do˘ grunun 1 + 2 = 3 noktasını sabitleyen bir d¨ on¨ u¸s¨ um tek olmalı. Dolayısıyla birim d¨ on¨ u¸s¨ um bunu yapan tek d¨ on¨ u¸s¨ um.

Alı¸ stırma 17. Bir do˘ grudan kendisine giden ve do˘ grunun iki noktasını sabitleyen bir d¨ on¨ u¸s¨ um bir tek olmak zorunda de˘ gil. ¨ Ornek verin.

Alı¸ stırma 18. Benzer bi¸ cimde, n boyutlu P (V )’den P (W )’ya giden bir d¨ on¨ u¸s¨ um

T olsun. Temsilcileri do˘ grusal ba˘ gımsız n + 1 nokta verilsin. T ’nin bu nokta-

ları nereye g¨ ot¨ urd¨ u˘ g¨ un¨ u bilmek T ’yi bilmeye yetmez. G¨ osterin.

Ders 4: Desargues ve Pappus teoremleri

Bu derste geometrik y¨ on¨ u g¨ u¸cl¨ u iki eski teoremi, Desargues ¹ ve Pappus ² teoremlerini kanıtlayaca˘ gız. ¨ Once Desargues teoreminin iki kanıtını verece˘ giz.

Sonra Desargues teoreminin tersini ve Pappus teoremini kanıtlayaca˘ gız.

4.1 Desargues’ın teoremi

Aynı noktadan ge¸cen do˘ grulara e¸snoktasal denir.

Teorem 15. (Desargues’ın Teoremi) ABC ve A ⁰ B ⁰ C ⁰ d¨ uzlemde iki ¨ u¸ cgen olsun. AA ⁰ , BB ⁰ ve CC ⁰ do˘ gruları e¸snoktasal ise P = AB ∩ A ⁰ B ⁰ , Q = AC ∩ A ⁰ C ⁰ ve R = BC ∩ B ⁰ C ⁰ noktaları e¸sdo˘ grusaldır.

Bu teoremin iki kanıtı a¸sa˘ gıda. Bunlardan ilki do˘ grusal cebir kullanıyor.

Kanıt. B¨ uy¨ uk harfler izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemde (P (U )) noktaları, k¨ u¸c¨ uk harfler bu noktaları anlatan (U ’da) vekt¨ or temsilcilerini g¨ ostersin. AA ⁰ , BB ⁰ ve CC ⁰ do˘ grularının ortak noktası X olsun. x vekt¨ or¨ u, a ve a ⁰ ’n¨ un ya da b ve b ⁰ ’n¨ un ya da c ve c ⁰ ’n¨ un do˘ grusal birle¸simi olarak yazılabilir. Bu durumda temsilcileri

¨

oyle se¸celim ki

x = a + a ⁰ = b + b ⁰ = c + c ⁰

e¸sitlikleri sa˘ glansın. Temsilcileri Teorem 14’¨ un kanıtına ba¸slarken de b¨ oyle se¸cmi¸stik.

S ¸imdi P i¸cin temsilci bir vekt¨ or bulalım. Hem d¨ uzlem(a, b)’de hem d¨ uzlem(a ⁰ , b ⁰ )’de bir vekt¨ or bulmalıyız. a + a ⁰ = b + b ⁰ oldu˘ gundan a − b = b ⁰ − a ⁰ e¸sitli˘ gini

elde ederiz. Bu e¸sitli˘ gin sol tarafı d¨ uzlem(a, b)’de sa˘ g tarafı d¨ uzlem(a ⁰ , b ⁰ )’de.

Oyleyse p’yi bu vekt¨ ¨ orler olarak se¸cebiliriz. Benzer bi¸cimde q = a − c = c ⁰ − a ⁰ , r = b − c = c ⁰ − b ⁰

olsun. p − q + r = (a − b) − (a − c) + (b − c) = 0 oldu˘ gundan p, q, r do˘ grusal ba˘ gımlı, farklı ¨ u¸c vekt¨ ord¨ ur; yani bu vekt¨ orler e¸sd¨ uzlemseldir; yani P , Q ve R noktaları e¸sdo˘ grusaldır.

Verece˘ gimiz ikinci kanıt do˘ grusal cebir alemine inmeden, ¸su ana kadar kanıtladı˘ gımız savlar ve teoremleri kullanacak. Kanıtın kalbi, ˙Izd¨ u¸s¨ umsel Geometrinin Temel Teoremi. ¨ Once Desargues Teoremini ba¸ska terimlerle yeniden yazalım.

1 G´ erard Desargues, 1591-1661

2 ˙Iskenderiyeli Pappus, 290- 350

Tanım 5. D¨ uzlemde iki ¸sekilden birincisinden alınan noktalar ve ikincisinden alınan kar¸sılık gelen noktaların anlattı˘ gı do˘ grular bir X noktasında kesi¸siyorlarsa, bu ¸sekillere X’e g¨ ore perspektif denir.

Benzer bi¸ cimde birinci ¸sekilden alınan do˘ grularla ikinci ¸sekilde kar¸sılık gelen do˘ grular hep aynı l do˘ grusu ¨ uzerinde kesi¸siyorsa bu ¸sekillere l’ye g¨ ore perspektif denir.

A

C

R

B

B

A

C

Q X

M P

N

S ¸ekil 3:

Desargues’ın Teoremi yeniden. D¨ uzlemde iki ¨ u¸ cgen bir noktaya g¨ ore per- spektifse bir do˘ gruya g¨ ore de perspektiftir.

Kanıt. ABC ve A ⁰ B ⁰ C ⁰ u¸cgenleri X notasına g¨ ¨ ore perspektif olsun. P Q do˘ grusunun AA ⁰ , BB ⁰ ve CC ⁰ do˘ grularını kesti˘ gi noktalar sırasıyla K, M ve N olsun. S ¸ekil 3’te ¨ oyle ¸cizilmemi¸s olsa da R noktasının P Q do˘ grusu

¨

uzerinde oldu˘ gunu g¨ osterece˘ giz ve b¨ oylece iki ¨ u¸cgen P Q do˘ grusuna g¨ ore per- spektif olmu¸s olacak. P , Q ve R noktalarına g¨ ore ¸su perspektif g¨ onderimlerini tanımlayalım:

π _P : BB ⁰ → AA ⁰ , π _Q : AA ⁰ → CC ⁰ , π _R : BB ⁰ → CC ⁰ .

Bu perspektifler noktalar ¨ uzerinde ¸s¨ oyle ¸calı¸sıyor:

π _P : X 7→ X π _Q : X 7→ X π _Q ◦ π _P : X 7→ X π _R : X 7→ X

B 7→ A A 7→ C B 7→ C B 7→ C

B ⁰ 7→ A ⁰ A ⁰ 7→ C ⁰ B ⁰ 7→ C ⁰ B ⁰ 7→ C ⁰

M 7→ K K 7→ N M 7→ N M 7→ ?

Teorem 14’e g¨ ore π _Q ◦ π _P ve π _R aynı d¨ on¨ u¸s¨ um olmalı. Dolayısıyla π _R (M ) = N olmalı; yani R, M, N noktaları e¸sdo˘ grusal imi¸s. M N do˘ grusu P ve Q’yu i¸cerdi˘ gine g¨ ore P, Q, R noktaları da e¸sdo˘ grusal olmalı.

Bu kanıta dikkat: do˘ grusal cebir modeli ¨ uzerine oturdu˘ gumuzu a¸cık¸ca kullanmadan daha ¨ once kanıtlanmı¸s ger¸cekleri kullanarak ilerledi. Bu durum bize ¸su hissi veriyor. Kullandı˘ gımız kanıtlanmı¸s ger¸ceklerden bazılarını belit olarak kabul edip izd¨ u¸s¨ umsel geometriyi bir belitler sistemi olarak kurabil- iriz. Desargues’ın teoremini bu sistemin i¸cinde kanıtlayabiliriz. ˙Izd¨ u¸s¨ umsel geometriyi bir belitler sistemi olarak kurma konusunu ileride konu¸saca˘ gız.

Desargues’ın teoreminin tersi de do˘ gru:

Alı¸ stırma 19. D¨ uzlemde iki ¨ u¸ cgen bir do˘ gruya g¨ ore perspektifse bir noktaya g¨ ore de perspektiftir. Yukarıdaki gibi iki ayrı y¨ ontemle g¨ osterin.

4.2 Pappus’un teoremi

Teorem 16. (Pappus’un Teoremi) A, B, C e¸sdo˘ grusal ve A ⁰ , B ⁰ , C ⁰ e¸sdo˘ grusal altı farklı nokta olsun. O zaman D = AB ⁰ ∩ A ⁰ B, E = AC ⁰ ∩ A ⁰ C ve F = BC ⁰ ∩ B ⁰ C noktaları da e¸sdo˘ grusaldır.

Bu teoremin daha ¨ once oldu˘ gu gibi iki ¸ce¸sit kanıtı yapılabilir. Do˘ grusal cebirle kanıtı alı¸stırma olarak bırakıyoruz. Bunun yerine do˘ grusal cebir mod- elini kullanmayan bir kanıt yapalım.

Kanıt. A, B, C noktalarının ¨ ust¨ unde bulundu˘ gu α do˘ grusuyla A ⁰ , B ⁰ , C ⁰ nok- talarının ¨ ust¨ unde bulundu˘ gu α ⁰ do˘ grusu X noktasında kesi¸ssinler. E˘ ger bu 6 noktadan biri X ise teoremin sonucunda s¨ oz¨ u ge¸cen 3 noktadan ikisi X olacak ve g¨ osterecek bir ¸sey kalmayacak. Dolayısıyla bu 6 noktadan hi¸cbiri X olmasın diye kabul edelim.

S ¸u do˘ grular arasında perspektifleri g¨ orelim:

ADM B ^{0 π} → ABCX

^π → N F CB

⁰ .

A

A ⁰

B

C

B ⁰ C ⁰

D E F

M

X N

S ¸ekil 4:

Ote yandan ¨

AM B ^{0 π} → N CB

⁰

oldu˘ gunu da g¨ or¨ uyoruz. Dolayısıyla yine Teorem 14 sayesinde π _E = π _C

◦

π A

olmalı ve bu y¨ uzden π E (D) = F elde ediyoruz; yani E, D, F noktaları

e¸sdo˘ grusal imi¸s.

Ders 5: ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel geometride e¸ sleklik

Bu derste izd¨ u¸s¨ umsel geometride her kavrama kar¸sılık gelen bir kavram oldu˘ gunu ve bu e¸sleklik (duality) sayesinde her ¨ onermenin bir karde¸s ¨ onermesi oldu˘ gunu g¨ orece˘ giz.

5.1 E¸ slek vekt¨ or uzayı

Birka¸c do˘ grusal cebir kavramını anımsayalım.

V ’den F’ye, F’ye g¨ore do˘grusal t¨um g¨onderimlerin k¨umesini V ^∗ olarak g¨ osterelim. f, g ∈ V ^∗ olmak ¨ uzere f + g’yi u ∈ V ’de (f + g)(u) = f (u) + g(u) olarak tanımlarsak (V ^∗ , +) de˘ gi¸smeli bir grup olur. c ∈ F olmak ¨uzere (cf )(u) = cf (u) olarak tanımlanan skaler ¸carpmayla birlikte V ^∗ k¨ umesi F

¨

uzerinde bir vekt¨ or uzayı olur. Bu uzaya V ’nin e¸slek (dual) uzayı denir. P (V ^∗ ) uzayına da e¸slek izd¨ u¸s¨ umsel uzay diyece˘ giz.

{v ₁ , . . . , v _n } V ’nin bir tabanı ve f ₁ , . . . , f _n ∈ V ^∗ olsun.

f _i (v _j ) = δ _ij =  1, i = j

0, i 6= j , i, j = 1, . . . , n ise {f 1 , . . . , f n } k¨ umesine e¸slek taban denir.

Alı¸ stırma 20. Yukarıdaki ko¸sulu sa˘ glayan {f ₁ , . . . , f _n } k¨ umesinin V ^∗ ’ın ger¸ cekten bir tabanı oldu˘ gunu kanıtlayın.

B¨ oylece V ^∗ ’ın boyutu V ’nin boyutuna e¸sit olur.

Ote yandan, iki vekt¨ ¨ or uzayı arasında her do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um, e¸slek uzay- ları arasında bir do˘ grusal d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u do˘ gallıkla tarif eder. T : V → W olsun.

T ^∗ : W ^∗ → V ^∗ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ u herhangi bir f ∈ W ^∗ i¸cin ve herhangi v ∈ V

¨

ust¨ unde ¸s¨ oyle tanımlayalım:

T ^∗ (f )(v) .

= f (T (v)).

Alı¸ stırma 21. Yukarıdaki gibi tanımlanan T ^∗ g¨ onderiminin ger¸ cekten de do˘ grusal oldu˘ gunu g¨ osterin.

Oyleyse, her T : V → W d¨ ¨ on¨ u¸s¨ um¨ u bir τ : P (V ) → P (W ) izd¨ u¸s¨ umsel

d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u tanımladı˘ gı gibi, T ^∗ aracılı˘ gıyla bir de τ ^∗ : P (W ^∗ ) → P (V ^∗ )

d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u tanımlıyor.

V ^∗ bir vekt¨ or uzayı oldu˘ guna g¨ ore onun da e¸slek uzayı (V ^∗ ) ^∗ ’dan s¨ oz ede- biliriz. V ^∗∗ olarak g¨ osterece˘ gimiz bu uzay bir vekt¨ or uzayı olacak ve boyutu V ’ninkine e¸sit oldu˘ gundan V ’ye izomorf olacak tabii ki. S ¸imdi bu iki uzay arasında do˘ gal bir izomorfinin var oldu˘ gunu g¨ osterece˘ giz.

Teorem 17. S : V → V ^∗∗ , v 7→ S(v) g¨ onderimi, her bir f ∈ V ^∗ i¸ cin S(v)(f ) .

= f (v) olarak tanımlansın. Bu S bir vekt¨ or uzayı izomorfisidir.

Kanıt. S do˘ grusal, g¨ ormek kolay:

S(av + bu)(f ) = f (av + bu) = af (v) + bf (u)

= aS(v)(f ) + bS(u)(f ) = (aS(v) + bS(u))(f ).

S’nin birebir oldu˘ gunu da ¸s¨ oyle g¨ orelim:

S(v) = S(u) ⇔ her f ∈ V ^∗ i¸cin S(v)(f ) = S(u)(f )

⇔ her f ∈ V ^∗ i¸cin f (v) = f (u)

⇔ her f ∈ V ^∗ i¸cin f (v − u) = 0

⇔ v = u.

Dolayısıyla S d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u, P (V )’den P (V ^∗∗ )’a bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um tanımlıyor.

5.2 ˙Izd¨ u¸ s¨ umsel e¸ sleklik

P (V ) izd¨ u¸s¨ umsel uzayında (ya da V vekt¨ or uzayında), uzayın boyutundan bir d¨ u¸s¨ uk boyutlu izd¨ u¸s¨ umsel (do˘ grusal) bir altuzaya hiperd¨ uzlem denir.

Teorem 18. (˙Izd¨ u¸ s¨ umsel e¸ sleklik) P (V ) uzayındaki hiperd¨ uzlemlerle P (V ^∗ ) uzayındaki noktalar arasında birebir e¸sleme vardır.

Kanıt. Kanıtta tabii ki bu e¸slemeyi in¸sa edece˘ giz. P (V )’nin boyutu n olsun.

F ∈ P (V ^∗ ) ve bir temsilcisi f ∈ V ^∗ olsun. f her ¸seyi sıfıra g¨ ot¨ uren d¨ on¨ u¸s¨ um olamayaca˘ gından f ¨ orten olmalı; yani f ’nin g¨ or¨ unt¨ u uzayı 1 boyutlu. ¨ Oyleyse f ’nin ¸cekirde˘ gi n − 1 boyutlu bir altuzay, yani V ’de bir hiperd¨ uzlem. Bu hiperd¨ uzlemi U _f olarak g¨ osterelim ve ¸su g¨ onderimi tanımlayalım:

ψ : P (V ^∗ ) → {P (V )’deki hiperd¨ uzlemler}, F 7→ P (U _f ).

Oncelikle, ψ iyi tanımlı, yani se¸cilen temsilci f ’den ba˘ ¨ gımsız ¸c¨ unk¨ u f yerine λf se¸cilse bile (λ ∈ F \ {0}), ¸cekirdek de˘gi¸smeyecek; yani U λf = U _f .

˙Ikincisi, ψ ¨orten: P (V )’de verilen her P (U) hiperd¨uzlemi i¸cin bunu ¸cekirdek kabul eden bir f ∈ V ^∗ g¨ onderimi in¸sa edelim. U i¸cin se¸cilmi¸s herhangi {u _i } ⁿ _i=1 tabanına bir v ∈ V vekt¨ or¨ u ekleyerek V ’ye bir taban bulunabilir. E¸slek taban {f 1 , . . . f n , f } olsun. v’ye kar¸sılık gelen f : V → F d¨on¨u¸s¨um¨u tanım gere˘gi f (u _i ) = 0, f (v) = 1 e¸sitliklerini sa˘ glar; yani f ’nin ¸cekirde˘ gi verilen U olur.

Son olarak, ψ birebir: ψ([f ]) = ψ([g]) olsun. O zaman ¸cekirdekleri aynı, yani U = U f = U g . Demin in¸sa etti˘ gimiz e¸slek tabanı kullanalım. Uygun se¸cilmi¸s λ ₁ , . . . , λ _n , λ ∈ F i¸cin

g = λ ₁ f ₁ + . . . + λ _n f _n + λf

olmalı. Her u ∈ U i¸cin g(u) = 0 oldu˘ gundan her i i¸cin λ i = 0 buluruz.

Dolayısıyla g = λf ve [g] = [f ] olur.

V ^∗∗ da V ^∗ ’ın e¸slek uzayı oldu˘ gundan P (V ^∗ )’deki hiperd¨ uzlemlerle P (V ^∗∗ ) uzayındaki noktalar arasında da do˘ gal bir birebir e¸sleme var ama P (V ^∗∗ ) uzayı S aracılı˘ gıyla P (V )’ye izomorf oldu˘ gundan P (V )’deki hiperd¨ uzlemlerle P (V )’nin noktaları birebir e¸slenebilir.

Hemen ¸sunu g¨ orelim:

Sonu¸ c 19. E˘ ger P (V )’de bir nokta bir hiperd¨ uzlemin ¨ ust¨ undeyse P (V ^∗ )’da kar¸sılık gelen hiperd¨ uzlem kar¸sılık gelen noktayı i¸ cerir.

Oyleyse e¸sleklik sayesinde bir ¸ceviri listesi yapabiliriz. ¨ ¨ Orne˘ gin bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlem ve e¸slek uzayı arasında ¸s¨ oyle bir e¸sleklik s¨ ozl¨ u˘ g¨ u olacak:

1) nokta do˘ gru

2) do˘ gru nokta

3) nokta do˘ grunun ¨ uzerinde do˘ gru noktayı i¸ ceriyor

4) iki nokta bir do˘ grunun ¨ uzerinde iki do˘ gru bir noktayı i¸ ceriyor, yani o noktada kesi¸siyor

5) birka¸ c nokta e¸sdo˘ grusal birka¸ c do˘ gru e¸snoktasal 6) bir noktadan ge¸ cen t¨ um do˘ grular

(deste)

bir do˘ grunun i¸ cerdi˘ gi t¨ um noktalar (i¸ cerik)

7) iki do˘ grunun i¸ cerikleri arasında bir noktadan perspektif

iki noktanın desteleri arasında bir do˘ grudan perspektif

Aslında bu s¨ ozl¨ ukte iki k¨ u¸c¨ uk iddia var. ¨ Once 3. satırdaki e¸sle¸smeyi a¸cık¸ca

yazalım:

Alı¸ stırma 22. ψ : P (V ^∗ ) → P (V ) d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u Teorem 18’deki gibi olsun; ψ ^∗ : P (V ^∗∗ ) → P (V ^∗ ) de P (V ^∗∗ ) uzayının noktalarını P (V ^∗ ) uzayının hiperd¨ uzlem- leriyle e¸sleyen benzer d¨ on¨ u¸s¨ um; S d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u de Teorem 17’deki gibi olsun.

P (V ) d¨ uzleminde bir L do˘ grusu ¨ uzerinde bir x noktası alalım. Bu durumda P (V ^∗ ) uzayında ψ ⁻¹ (L) noktası ψ ^∗ (S(x)) do˘ grusu ¨ uzerindedir, kanıtlayın.

S¨ ozl¨ ukte 7. satıra da a¸cıklık getirelim. ˙Iki do˘ grunun i¸cerikleri arasında bir E noktasından perspektifi ¸s¨ oyle kuruyoruz. α do˘ grusundan alınan bir G noktası β do˘ grusundaki EG ∩ β noktasına gider. Bunun e¸slek re¸cetesi ¸s¨ oyle olmalı:  bir do˘ gru olmak ¨ uzere, A noktasını i¸ceren bir γ do˘ grusu B noktasını i¸ceren ( ∩ γ)B do˘ grusuna gider. Bu g¨ onderime  do˘ grusundan perspektif demi¸stik (Tanım 5).

Artık bu s¨ ozl¨ uk sayesinde ¸simdiye kadar yazdı˘ gımız ve kanıtladı˘ gımız

¨

onermelere e¸slek ¨ onermeler yazabiliriz.

• D¨ uzlemde Sav 1’in e¸slek ¨ onermesi kendisi.

• D¨ uzlemde Sav 2’nin e¸slek ¨ onermesi: Bir noktadan en az 3 do˘ gru ge¸ cer.

Alı¸ stırma 23. Sav 2’nin e¸slek ¨ onermesini kanıtlayın.

• Sav 3 ve Sav 4 birbirine e¸slek ¨ onermeler.

• Desargues’ın Teoremi ile tersi ¨ onerme, yani Alı¸stırma 19’daki ¨ onerme birbirlerine e¸slek ¨ onermeler. Bu y¨ uzden birini kanıtlamak yeterli. O kanıtı uygun bir bi¸cimde e¸sleklik s¨ ozl¨ u˘ g¨ unden ge¸cirerek di˘ ger sav i¸cin bir kanıt ¨ uretebilirsiniz.

Alı¸ stırma 24. Desargues’ın Teoremi i¸ cin yaptı˘ gımız ikinci kanıtı uy- gun bir ¸ ceviriyle tersi i¸ cin bir kanıta d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un.

• Pappus’un Teoreminin e¸slek ¨ onermesini yazalım: α, β, γ e¸snoktasal ve α ⁰ , β ⁰ , γ ⁰ e¸snoktasal altı farklı do˘ gru olsun. O zaman D = (α∩β ⁰ )(α ⁰ ∩β), E = (α ∩ γ ⁰ )(α ⁰ ∩ γ) ve F = (β ∩ γ ⁰ )(β ⁰ ∩ γ) do˘ gruları da e¸snoktasaldır.

E¸snoktasal oldu˘ gu iddia edilen do˘ grular, S ¸ekil 5’deki aynı renkli nokta

¸ciftlerini birle¸stiren do˘ grular. Bunların e¸snoktasal olması demek, DE

do˘ grusunun F ’den ge¸cmesi demek ki bu da tam Pappus’un Teoreminin

iddiası. Dolayısıyla Pappus’un e¸slek ¨ onermesi kendisi.

A ⁰ A

β ⁰ α

γ ⁰

α ⁰ β γ

D E F

S ¸ekil 5:

• S ¸imdi hi¸c de bariz olmayan bir sonuca, Sav 13’¨ un e¸slek ¨ onermesine bakalım: P (V ) d¨ uzleminde τ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ u bir noktadan ge¸ cen ¨ u¸ c farklı do˘ gruyu sabit bırakıyorsa, o noktanın t¨ um destesini sabit bırakır. Bu- rada sabit bırakmak derken nesne olarak sabit bırakmak kastediliyor.

Bir do˘ gruyu sabit bırakan, her noktasını sabit bırakmak zorunda de˘ gil.

Alı¸ stırma 25. Sav 13’¨ un e¸slek ¨ onermesini kanıtlayın.

Sınav 2

1. Desargues’ın Teoreminin e¸slek ifadesini yazın ve do˘ grusal cebir y¨ ontem- leriyle kanıtlayın.

2. (a) α ve β, bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemde X noktasında kesi¸sen iki do˘ gru ve τ : α → β bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ on¨ u¸s¨ um olsun. τ d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un¨ un bir nok- tadan perspektif olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun τ (X) = X oldu˘ gunu kanıtlayın.

(b) ¨ Onceki ¸sıktan d¨ uzlemde iki do˘ gru arasındaki her d¨ on¨ u¸s¨ um¨ un bir perspektif olmak zorunda olmadı˘ gını ¨ o˘ grendik. S ¸imdi RP ² ’de K = {[0 : y : z]} do˘ grusundan L = {[x : 0 : z]} do˘ grusuna ¨ oyle bir d¨ on¨ u¸s¨ um yazın ki bir perspektif olmasın.

3. (a) D¨ uzlemde bir A noktası ve A’yı i¸cermeyen bir l do˘ grusu olsun. l do˘ grusunun noktalarıyla A’dan ge¸cen do˘ gruların birebir e¸slenebilece˘ gini g¨ osterin.

(b) Bu e¸slemeyi A = [1 : 0 : 0] ve l = {[x : y : z]|x + y + z = 0} i¸cin a¸cık¸ca yazın.

4. K, L, M, N ¨ Oklit d¨ uzleminde d¨ ort ayrı nokta olsun. κ ve λ do˘ gruları, sırasıyla K ve L’den ge¸cip M N do˘ grusuna paralel olsun. µ ve ν do˘ gruları, sırasıyla M ve N ’den ge¸cip KL do˘ grusuna paralel olsun. S ¸u ¨ u¸c noktanın e¸sdo˘ grusal oldu˘ gunu g¨ osterin: A = κ ∩ µ, B = λ ∩ ν, C = KN ∩ M L (¸sekle bakın).

x

x

y y

ku¸s bakı¸sı H

5. F = Z 2 ¨ ust¨ unde V ¨ u¸c boyutlu bir vekt¨ or uzayı olsun. (a) P (V )’de ka¸c

nokta var? (b) P (V )’de ka¸c do˘ gru var?

Ders 6: Belitlerle in¸ sa ve sonlu geometriler

Bu derste ¸simdiye kadar ¨ ust¨ unde durmadı˘ gımız ama mutlaka tartı¸sılması gereken iki konu ¨ ust¨ unde duraca˘ gız. ¨ Oncelikle bir an i¸cin do˘ grusal cebirle izd¨ u¸s¨ umsel geometri in¸sasını bir kenara bırakıp, benzer bir geometrinin be- litlerle nasıl kurulabilece˘ gini konu¸saca˘ gız. Daha sonra sonlu bir cisim ¨ ust¨ unde izd¨ u¸s¨ umsel geometrinin neye benzedi˘ gini anlamaya ¸calı¸saca˘ gız. Bir do˘ grusal cebir modeline atıfta bulunmadan bir geometri kurarak bunun izd¨ u¸s¨ umsel geometri belitlerini sa˘ gladı˘ gını g¨ orece˘ giz. Bu konulara ileriki derslerde atıfta bulunmayaca˘ gız.

6.1 Geometrinin belitlerle in¸ sası

Bu derse kadar ¨ ust¨ unde d¨ u¸s¨ und¨ u˘ g¨ um¨ uz izd¨ u¸s¨ umsel geometri, do˘ grusal ce- birle kurulmu¸s modellerdi ve bu nedenle en temelden ba¸slayarak her savı kanıtlayabiliyorduk. Oysa bu en temel savları belit kabul ederek daha son- raki kimi teoremleri hala kanıtlayabiliriz. Bu belitler se¸cimini de tutarlı ve birbirinden ba˘ gımsız bir bi¸cimde yapabiliriz. Burada yalnızca izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlemi tartı¸salım. Belitleri se¸cmenin ve sıralamanın t¨ url¨ u yolları var. Biz bu- rada Hartshorne’u izliyoruz [Hart]. Daha ayrıntılı bir tartı¸sma i¸cin bu kitaba bakılmalı.

˙Izd¨u¸s¨umsel d¨uzlem, elemanlarına nokta denen ve do˘gru adında altk¨umeleri olan bir k¨ umedir; ¸su belitleri sa˘ glar:

Belit 1. Bir do˘ gru ve dı¸sında bir nokta vardır (Sav 1).

Belit 2. Her do˘ gruda en az ¨ u¸c nokta vardır (Sav 2).

Belit 3. ˙Iki ayrı nokta bir ve yalnız bir do˘ gru tarafından i¸cerilir (Sav 3).

Belit 4. ˙Iki ayrı do˘ grunun bir ve yalnız bir ortak noktası vardır (Sav 4).

Bu d¨ ort beliti sa˘ glayan bir k¨ umede Desargues’ın ya da Pappus’un Teo- remi do˘ gru olmak zorunda de˘ gil. Nitekim, Belit 1-4’¨ un do˘ gru oldu˘ gu ama Desargues’ın Teoreminin olmadı˘ gı geometriler var ([Hart]). Dolayısıyla De- sargues’ın Teoremi ya da Pappus’un Teoremi istenirse, bunları bir belit olarak eklemek gerekiyor.

Belit 5. Desargues’ın Teoremi (Teorem 15).

Belit 6. Pappus’un Teoremi (Teorem 16).

Belit 5’in var oldu˘ gu bir d¨ uzleme Desargues d¨ uzlemi, Belit 6’nın var oldu˘ gu bir d¨ uzleme Pappus d¨ uzlemi deniyor.

Alı¸ stırma 26. Bu altı belitin ˙Izd¨ u¸s¨ umsel Geometrinin Temel Teoremini (Teo-

rem 14) gerektirdi˘ gini kanıtlayın.

Ote yandan, Temel Teoremi bir belit olarak kabul edersek (Belit TT diye- ¨ lim), Belit 1-4 ve Belit TT, Pappus Teoremini gerektiriyor. Pappus Teo- remini kanıtlarken tam da bunu yapmı¸stık; do˘ grusal cebir de˘ gil, daha ¨ once kanıtladı˘ gımız paket¸cikleri kullanmı¸stık.

Bir de e¸sleklik var. E¸slek uzayı, yukarıdaki gibi tanımlanan bir P izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzleminin do˘ grularını nokta kabul eden, P ’nin bir noktasındaki do˘ gru destesini de bir do˘ gru kabul eden bir k¨ ume olarak tanımlayalım ve P ^∗ diye g¨ osterelim Alı¸ stırma 27. P ^∗ ’ın da Belit 1-4’¨ u sa˘ gladı˘ gını ve b¨ oylece bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlem oldu˘ gunu g¨ osterin.

Ayrıca g¨ osterilebilir ki P Desargues d¨ uzlemi (ya da Pappus d¨ uzlemi) ise P ^∗ da ¨ oyledir. Geometride e¸sleklik kavramının var olabilmesi i¸cin, geometriye katılan her yeni belitin e¸slek d¨ uzlem tarafından da sa˘ glanması gerek. ¨ Orne˘ gin Belit 1-6 ile kurulan bir d¨ uzlemde e¸sleklik ilkesinin ¸calı¸sacaktır.

Bir d¨ uzlem modeli kuruldu˘ gunda, bunun nasıl bir izd¨ u¸s¨ umsel d¨ uzlem oldu˘ gunu anlamak i¸cin yukarıdaki belitlerden hangilerini sa˘ gladı˘ gı denetlen- meli. ¨ Orne˘ gin bir F cismi ¨uzerinde ¨u¸c boyutlu bir V vekt¨or uzayı aracılı˘gıyla kurulan P (V ) d¨ uzleminin yukarıdaki t¨ um belitleri sa˘ gladı˘ gını ilk be¸s der- ste kanıtladık. S ¸imdi F’nin ¸carpmaya g¨ore de˘gi¸smeli olmasından vazge¸celim;

F’yi bir b¨ ol¨ um halkası olarak alalım. Bu durumda P (V ) k¨ umesinin bir Desar- gues d¨ uzlemi oldu˘ gu, yani Belit 1-5’i sa˘ gladı˘ gı g¨ osterilebilir. Hatta P (V )’nin Pappus olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun da F’nin bir cisim olması oldu˘gu kanıtlanabilir [Hart].

6.2 Sonlu geometriler

S ¸imdiye kadar yaptı˘ gımız ve ilerki derslerde yapacaklarımızın ¸co˘ gu sonlu ya da sonsuz, herhangi bir F cismi ¨uzerine do˘grusal cebir aracılı˘gıyla kurulmu¸s geometriler i¸cin ge¸cerli. Yine de, ¸su ana kadar sonlu bir F i¸cin in¸sa edilmi¸s bir geometriyi a¸cık a¸cık g¨ ormedik. Bu dersin kalan b¨ ol¨ um¨ unde bunu yapaca˘ gız.

F sonlu bir cisim olsun. Cebirden biliyoruz ki F’nin eleman sayısı bir asal sayının bir ¨ uss¨ unden ba¸ska bir ¸sey olamaz.

Sonlu bir F ¨uzerine kurulmu¸s sonlu boyutlu bir geometride tabii ki her-

hangi bir do˘ grunun ¨ ust¨ unde sonlu sayıda nokta olacak. ˙Iki do˘ gru, her za-

man dı¸slarındaki bir dizi noktadan perspektif oldu˘ guna (Alı¸stırma 16) ve bu

g¨ onderim birebir ¨ orten oldu˘ guna g¨ ore (Alı¸stırma 15), sonlu bir geometride

do˘ gruların ¨ uzerindeki nokta sayıları sabit olmalı. Bu sabit sayı, q ∈ Z ⁺ ol-

mak ¨ uzere q + 1 olsun. Boyut 1’den b¨ uy¨ ukse, q en az 2 olmalı (Sav 2). n > 1