ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER KÜMELER TEORİSİ

İÇİNDEKİ LE R • Küme Kavramı

• Kümelerin Gösterimi

• Kümeler ile İşlem

• Kümelerin Kartezyen Çarpımı

HEDE FL ER

• Bu üniteyi çalıştıktan sonra;

• Kümenin ne olduğunu açıklayabilecek,

• Verilen elemanların oluşturduğu kümeyi gösterebilecek,

• Verilen topluluklar arasından küme olanları seçebilecek,

• Kümelerle ilgili işlemleri

yapabileceksiniz. ÜNİTE

1

KÜMELER TEORİSİ

MATEMATİK-1

Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU

Kümeler Teorisi

Kümenin hangi elemanları içerdiği ve

hangi elemanları içermediği açık şekilde

ortaya konmalıdır.

GİRİŞ

Matematikte “belirli bir topluluk” göz önüne alınarak bunun üzerinde çalışmalar yapılır. İşte bu “belirli bir topluluk” bizim küme dediğimiz kavramdır. Bu yüzden kümenin, matematiğin temel kavramlarından birisi olduğu söylenir.

Matematikte hemen hemen her konu küme ile başlar.

Bu konunun amacı, dersimizde kullanılacak olan küme kavramını tanıtmak ve bu ders için yeterli olacak kadar küme kavramı hakkında bilgi vermektir.

Daha önce de kullanılan ama isimlendirilmeyen küme kavramı, Alman matematikçi Georg Cantor (1845-1918) tarafından belirli bir disiplin içerisinde sunulmuş ve esasları ortaya konulmuştur.

KÜME KAVRAMI

Önemine rağmen, küme kavramını net bir şekilde tanımlayamıyoruz. Ancak bir açıklama vererek kümenin nelerden ve nasıl oluştuğu hakkında bir sınır çizebiliyoruz.

Bu açıklama şudur: Küme, tekrarsız ve iyi tanımlanmış nesnelerin oluşturduğu bir topluluktur.

Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin bir elemanı adı verilir.

Demek ki küme, bir topluluktur; ama her topluluğun da bir küme olması gerekli değildir. Verilen bir topluluğun küme olup olmadığını yukarıda verdiğimiz açıklamadaki şartların sağlanıp sağlanmadığına bakarak söyleyeceğiz.

Bir elemandan bir toplulukta tek bir tane bulunmasını “tekrarsız nesne”

olarak adlandırıyoruz. Bir kümeye hangi elemanın ait olduğu ve hangi elemanın ait olmadığının çok net şekilde belirlenmesine de “nesnelerin iyi tanımlanmış” olması diyoruz. Bu o şekilde açık olmalıdır ki küme belirlendiğinde herkesin aynı elemanlar topluluğunu anlaması gerekir.

Kümelere, kullanan kişi tarafından, bir isim takılır. Bu isimlendirmeyi yaparken, genel olarak, alfabenin büyük harfleri tercih edilir. Kümenin elemanları da isimlendirilir. Eğer kümenin elemanlarını isimlendirmek için alfabenin harfleri kullanılacaksa, genel olarak, küçük harflerin kullanılması uygundur.

Eğer bir elemanı bir kümesine ait ise bunu sembolünü kullanarak şeklinde yazacağız.

şeklindeki yazılışı “ eleman ” veya “ , kümesinin elemanıdır”

şeklinde okuyacağız.

Kümeler Teorisi

Kümelerin uygun bir şekilde gösterilmesi, hangi elemanlardan oluştuğunun açık şekilde

ortaya konması bakımından önemlidir.

Eğer bir elemanı kümesine ait değilse bunu da sembolünü kullanarak şeklinde yazacağız ve “ elemanı değil ” veya “ , kümesinin elemanı değildir” şeklinde okuyacağız. Elemanı olmayan kümeden de bahsedilir.

Tanım 1. 1.

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve bu küme ∅ veya { } ile gösterilir.

1.1.

 ve harflerinin oluşturduğu topluluğu göz önüne alalım. Bu topluluk bir kümedir. Çünkü,

 Tekrarsız nesne: ve harflerinin her birinden tek bir tane vardır.

 İyi tanımlanmış nesne: Topluluğun hangi nesnelerden oluştuğu çok net olarak belirtilmiştir.

Bu harflerin oluşturduğu kümeyi ile isimlendirelim. Buna göre ve iken harfini göz önüne aldığımızda olur.

 harflerinin hepsinin oluşturduğu topluluk bir küme değildir. Çünkü harfi bu toplulukta tekrarlanmış nesnedir.

 “Şehrimizin ilçelerinin isimleri” ile tanımlanan topluluk bir küme değildir.

Çünkü bunu okuyan ve Ankara’da oturan birisinin oluşturduğu topluluk ile Erzurum’da oturan birisinin oluşturduğu topluluk aynı olmayacaktır. Yani, nesneler iyi tanımlanmamıştır. Eğer “İstanbul’un ilçelerinin isimleri” ile oluşturulan topluluk göz önüne alınmış olsaydı bu bir küme olacaktı.

 Türkiye’nin Q harfi ile başlayan illerinin kümesi boştur. Yani Türkiye’nin böyle bir ili yoktur.

Bireysel Etkinlik

• Amca, dayı, hala, teyze ve kardeşlerinizin isimlerinden

oluşan kümeyi yazınız.

Kümeler Teorisi

KÜMELERİN GÖSTERİMİ

Kümeleri göstermek için, genel olarak, aşağıda açıklanan üç yoldan birisi kullanılır:

Kümeyi açık olarak gösterme: Kümenin elemanlarını aralarına virgül koyarak ve parantezleri arasına tek tek yazmaktır. Buna listeleme yöntemi de

denmektedir.

Kümeyi kapalı olarak gösterme: ve parantezleri arasına kümenin temsilci bir elemanını yazarak üst üste iki nokta koyduktan sonra ‘i karakterize eden özellik belirtilir. Burada ‘i karakterize eden özellik kümenin her elemanı tarafından taşınan ortak bir özelliktir. Yani, p özelliğini taşıyan elemanların kümesini ile gösterirsek

olarak yazılır. kümesinin içindeki ifade “ öyle ki , özelliğine sahiptir” şeklinde okunur. Bu, özellik belirtme ile küme gösterme yöntemi olarak da anılmaktadır.

Venn şeması ile gösterme: Kümenin elemanları çember, elips, dikdörtgen, … şeklindeki kapalı eğri içine her bir elemana karşılık bir nokta konup yanına eleman yazılır.

Şekil 1.1 Bir kümenin Venn şeması ile gösterilmesinde kullanılan bazı geometrik şekiller

1.2.

 Bir yılı oluşturan 12 aydan isimleri E ile başlayanların kümesini A ile gösterelim. Buna göre bu kümeyi

Kümeler Teorisi

Bir kümedeki elemanların yazılış sırasını değiştirmek o

kümeyi değiştirmez.

 Açık olarak gösterme yolu ile A={Eylül, Ekim} şeklinde yazarız.

 Kapalı gösterme yolu ile A={x:x, yılın E ile başlayan ayı} olarak yazarız.

 Venn şeması yolu ile de Şekil 1.2’ deki gibi gösteririz.

Şekil 1.2. kümesinin Venn şeması ile gösterimi

 “matematik” kelimesindeki harflerden oluşan kümeyi B ile gösterirsek bu küme listeleme yöntemine göre B={m, a, t, e, i, k} şeklinde yazılır.

Tanım 1. 2.

ve kümeleri aynı elemanlardan oluşmuşsa ile eşit kümelerdir denir ve bu durum şeklinde yazılarak gösterilir. Eğer ve kümeleri eşit değilse bunlara farklı kümeler adı verilir ve bu şeklinde yazılarak belirtilir.

1.3.

ve şeklinde veriliyor. ve kümeleri aynı elemanlardan oluştuklarından olarak yazılır.

Tanım1.2 ve Örnek 1.2 ye göre, bir kümedeki elemanların yazılış sırasını değiştirmek o kümeyi değiştirmez.

Tanım 1. 3.

ve kümeleri verilsin. Eğer kümesinin her elemanı kümesinin de elemanı ise kümesine kümesinin bir alt kümesi denir ve bu durum şeklinde yazılarak gösterilir.

şeklindeki yazılış “ alt küme ” diye okunur.

Eylül

Ekim

A

Kümeler Teorisi

, kümesinin bir alt kümesi ise , kümesini kapsar diye de söylenir ve bu durum şeklinde yazılarak gösterilir.

şeklindeki yazılış “ kapsar ” olarak okunur.

Şekil 1.3. veya olmasının Venn şeması ile gösterilişi

veya olması durumunda , kümesinin içinde olacağı açıktır.

1.4.

 ve kümeleri verilsin. ‘deki her eleman ‘nın da bir elemanıdır. Dolayısıyla dır.

 ve kümelerini göz önüne alalım. Buna göre ne , ‘nın ne de , ‘nin bir alt kümesidir.

Alt küme ile ilgili şunları söyleyebiliriz:

 Boş küme her kümenin alt kümesidir. Yani, her hangi bir küme olmak üzere ∅ dır.

 Her küme kendisinin alt kümesidir. Yani, kümesi verildiğinde dır.

 , ve kümeleri verilsin. dir.

 ve kümeleri verilsin. ise dir. Tersine ise olur. Bu iki durum birleştirilerek

şeklinde yazılır.

A

B

Kümeler Teorisi

Kümeler arasında tanımlanan işlemler,

verilen kümelerden yeni kümeler elde etmenin bir yoludur.

KÜMELER İLE İŞLEM

Burada kümeler ile yapılan işlemleri tanıtacağız. Bunlar birleşim, arakesit ve fark işlemleridir.

Tanım 1. 3.

A ve B kümeleri verilsin. Bu iki kümenin elemanlarından oluşan yeni kümeye A ile B kümelerinin birleşimi denir ve bu küme ile gösterilir.

şeklindeki yazılış “ birleşim ” diye okunur.

1.5.

ve olmak üzere kümesini yazınız.

Çözüm: ve kümelerinin elemanlarından oluşan topluluk

‘dir. Bu harflerin oluşturduğu küme olur.

İki kümenin birleşimi, kümelerin kapalı olarak gösterilmesi yolu ile

şeklinde yazılır.

Venn şeması ile aşağıdaki şekildeki gibi gösterilir:

birer küme olmak üzere birleşimle ilgili şu özellikler yazılır:

 ve dir.

 ∅ ve dır.

 ise dır.

 dır.

 ( ) ( ) dir.

Kümeler Teorisi

İki kümenin arakesiti, bu iki kümenin ortak elemanlarından oluşan

yeni bir küme; iki kümenin birleşimi de bu

kümelerin bütün elemanlarının oluşturduğu yeni bir

kümedir.

Tanım 1. 4.

ve kümeleri verilsin. Bu iki kümenin ortak elemanlarından oluşan yeni kümeye ile kümelerinin arakesiti (kesişimi) denir ve bu küme ile gösterilir.

şeklindeki yazılış “ arakesi ” veya “ ” diye okunur.

1.6.

ve olmak üzere kümesini yazınız.

Çözüm: ve kümelerinin ortak elemanları a ve b ‘dir. Bu harflerin oluşturduğu küme bize AB kümesini verecektir. Yani, olur.

İki kümenin arakesiti kümelerin kapalı olarak gösterilmesi yolu ile

şeklinde yazılır. Venn şeması ile de aşağıdaki şekildeki gibi gösterilir:

A B

Şekil 1.5. kümesi şekildeki taralı kısımdır.

birer küme olmak üzere arakesitle ilgili şu özellikler yazılır:

 ve dir.

 ∅ ∅ ve dır.

 ise dir.

 dır.

 ( ) ( ) dir.

Bazen verilen ve kümelerinin ortak elemanı olmayabilir. Yani bu iki kümenin arakesiti boş küme olabilir. O zaman şu tanımlamayı yaparız:

Tanım 1. 5.

Boş olmayan ve kümeleri verilsin. Eğer bu iki kümenin arakesiti boş ise ve ye ayrık kümeler denir.

Kümeler Teorisi

𝐴\𝐵, 𝐴 da bulunup 𝐵 de bulunmayan elemanların kümesidir.

1.7.

ve olmak üzere kümesini bulunuz. Bu kümeye bakarak ve kümelerinin ayrık olup olmadığını söyleyiniz.

Çözüm: Görüldüğü gibi bu iki kümenin ortak elemanı yoktur. Dolayısıyla ∅ olur. Buna göre verilen ve kümeleri ayrıktır.

ve ayrık kümeler ise bunu Venn şeması ile aşağıdaki şekildeki gibi gösteririz:

A B

Şekil 1.6. Ayrık olan ve kümelerinin Venn şeması ile gösterimi

Tanım 1. 6.

ve kümeleri verilsin. da bulunup de bulunmayan elemanların kümesine nın kümesine göre farkı (veya nin ya göre tümleyeni) denir ve \ veya ile gösterilir.

\ veya şeklindeki yazılış “ fark ” diye okunur.

1.8.

ve olmak üzere \ ve \ kümelerini yazınız.

Çözüm: Önce \ kümesini bulalım. Bu küme, da olan ancak de olmayan elemanlardan oluşacağından \ olur.

\ kümesini yazarken bu kez de bulunan ancak da bulunmayan elemanları seçeceğiz. Dolayısıyla \ olur.

\ , kümelerin kapalı gösterilmesi yoluyla \ şeklinde yazılır.

Kümeler Teorisi

𝐸 evrensel kümesi çalıştığımız bütün kümeleri kapsayan en

geniş kümedir.

Venn şeması ile de Şekil 1.7 de gösterilmiştir.

\ ve \ kümelerini göz önüne alalım. ( \ ) ( \ ) ∅ olduğuna dikkat ediniz. Yani, \ ve \ kümeleri ayrıktır.

Şimdi yeni bir kavramdan söz edeceğiz. Bu da yine fark kavramı ile ilgilidir.

Önce evrensel kümenin tanımını verelim.

Tanım 1. 7.

Üzerinde çalıştığımız kümelerin her birini alt küme kabul eden daha geniş bir kümeye evrensel küme denir ve bu küme E ile gösterilir.

evrensel kümesini diğer kümelerden ayırmak için Venn şemasında bir dikdörtgen ile gösterilir.

E

Şekil 1.8. evrensel kümesi

Tanım 1. 8.

\ kümesine nın tümleyeni denir ve kısaca ile gösterilir.

Kümeler Teorisi

Boş kümenin tümleyeni evrensel küme, evrensel kümenin tümleyeni boş

kümedir.

Bu tanıma göre kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu küme nın tümleyenidir. Kısaca \ yerine yazılır.

şeklindeki yazılış “ nın tümleyeni” diye okunur.

, kümelerin kapalı gösterilmesi yoluyla

şeklinde yazılır. Venn şeması ile gösterilişi Şekil 1.9 da verilmiştir.

Tümleme işlemi ile ilgili şu özellikler vardır:

 ∅ ve ∅

 ∅ olur. Yani, ve kümeleri ayrıktır.



1.9.

Şekil 1.10 ‘da evrensel kümesi ve bu kümenin şeklinde iki alt kümesi veriliyor.

E

Şekil 1.10 Buna göre

 , ve

.m .n .o .2 .4 A B

.6 .8 .10 .a .b .e .d .c .e .

.f .g .h .j .k .l .

Kümeler Teorisi

 ve

 \ ve \

 ve

kümelerini listeleme yöntemiyle yazınız.

Çözüm:

1. evrensel kümesi dikdörtgen içerisindeki elemanlardan oluşmuştur. Buna göre

olarak yazılır.

kümesi kırmızı renkteki elipsin içindeki elemanlardan oluştuğundan ;

B kümesi de eflatun rengindeki elipsin içindeki elemanlardan meydana geldiğinden

olarak yazılır.

2. Bilindiği gibi , ve kümelerindeki elemanlarının hepsinin birlikte oluşturduğu yeni bir kümedir. Buna göre

olur.

Diğer yandan , ve kümelerinin ortak elemanlarından oluşan küme olduğu bilinmektedir. O halde

şeklinde yazılır.

3. \ kümesinin kümesinde bulunan ancak kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu küme olduğu bilinmektedir. Buna göre

\ şeklindedir.

Benzer şekilde

\ o ı ı .

Kümeler Teorisi

4. nın tümleyeni olan kümesinin aslında \ şeklinde bir fark kümesi olduğunu biliyoruz. Bu kümenin de da bulunmayan ancak de bulunan elemanlardan oluştuğu söylenir. Buna göre

yazılır.

Benzer düşünce ile

olduğu görülür.

Kümeler arasındaki işlemlerin birbirleri ile ilişkileri aşağıda verilmiştir:

 ( ) ( ) ( )

 ( ) ( ) ( )

 ( )

 ( )

Bunlardan birincisi, birleşim işleminin arakesit işlemi üzerine dağılma özelliği; ikincisi de arakesit işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği olarak bilinir. Son iki ifade ise De Morgan Kuralları olarak adlandırılır.

1.10.

1. ( ) ifadesini sade halde yazınız.

Çözüm: Kümelerdeki işlemlerin özelliklerini kullanacağız. Öncelikle olduğundan

( ) ( )

şeklinde yazılır. Diğer yandan ( ) ( ) ( ) olduğu göz önüne alındığında

( ) ( ) ( ) yazılır. ∅ olduğunu bildiğimizden

( ) ∅ ( ) veya

( ) elde edilir.

2. ( ) kümesini sade halde yazınız.

Kümeler Teorisi

İki kümenin kartezyen çarpımı sıralı ikililerin

kümesidir.

Çözüm: Burada da kümelerdeki işlemlerin özelliklerini kullanacağız.

olduğundan

( ) ( )

şeklinde yazılır. Diğer yandan ( ) ( ) ( ) olduğu göz önüne alındığında

( ) ( ) ( ) yazılır. olduğunu bildiğimizden

( ) ( ) ve ( ) olduğu dikkate alındığında ( ) elde edilir.

KÜMELERİN KARTEZYEN ÇARPIMI

Şimdi de kümelerle yapılan bir başka işlem olan kartezyen çarpım kavramını tanıyacağız. Bunun özellikle fonksiyonlar kavramında ve grafik çizimlerinde

kullanıldığını belirtelim.

Tanım 1.9.

ve boştan farklı iki küme olsun. Bu iki kümenin Kartezyen çarpımı ile gösterilir ve

( )

olarak tanımlanır. kümesinin elemanı olan ( ) ye sıralı ikili denir.

( ) ye sıralı ikili denmesinin nedeni olmak üzere ( ) şeklinde yazılan elemanın ( ) den farklı bir sıralı ikili olduğunu vurgulamaktır. Yani ( ) yazıldığı zaman nin sıralamasını değiştirdiğimiz zaman yeni bir eleman oluşturmuş olacağız. Dolayısıyla bu yazılımda sıra önemli olmaktadır.

( ) sıralı ikilisinde sıralı ikilinin bileşenleri olarak adlandırılır.

birinci bileşen b ise ikinci bileşen olarak tanımlanmaktadır.

kümelerini geometrik olarak göstermek için koordinat sistemine ihtiyaç vardır. Bilindiği gibi koordinat sistemi birbirine dik iki doğru ile

oluşturulmaktadır. Yatay olanı -ekseni, dikey olanı da -ekseni olarak

Kümeler Teorisi

adlandırıyoruz. yi bu düzlemde gösterirken yı -ekseni üzerinde, yi de - ekseni üzerinde düşünürüz. Örnek 1.11 de kartezyen çarpımın geometrik olarak gösterilmesi özel bir durum için verilmiştir.

1.11.

ve kümeleri verliyor. ve kümelerini yazınız. Bu kümeleri geometrik olarak gösteriniz.

Çözüm: Kartezyen çarpımın tanımı, kümelerin kapalı olarak gösterimi göz önünde bulundurularak verilmiştir. Biz burada kartezyen kümelerin açık gösterimi veya liste yöntemiyle vereceğiz.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ve

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olarak yazılır.

Şekil 1.11 ve Şekil 1.12 de ve kümeleri gösterilmiştir.

Şekil 1.11. ve kümeleri için

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kümesinin geometrik gösterimi

Kümeler Teorisi

Şekil 1.12. ve kümeleri için

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kümesinin geometrik gösterimi

Kümeler Teorisi

Küme, tekrarsız ve iyi tanımlanmış nesnelerin oluşturduğu bir topluluktur. Yani, küme denildiği zaman hangi elemanları içerdiği ve hangi elemanları içermediği açık şekilde ortaya konmuş olmalıdır. Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme; çalıştığımız kümeleri içeren kümeye de evrensel küme adını veririz.

İki küme verildiği zaman bunların birbirlerine göre konumuna bakabiliriz.

Bir kümenin her elemanı diğer kümenin de elemanı ise o zaman bu kümeye diğer kümenin alt kümesi deriz. Alınan her iki kümeden birinin diğerinin alt kümesi olma zorunluluğu yoktur. Eğer iki küme aynı elemanlardan

oluşmuşsa bunlara eşit kümeler adını veririz. Buna göre A=B ise hem A B hemde B A dır.

Kümeler ile yapılan işlemlerin birleşim, arakesit ve fark işlemleri olduğunu biliyoruz. A ve B kümeleri verildiğinde

Bunların bütün elemanları alınarak oluşturulan kümeye bu kümelerin birleşimi denir ve A B ile gösterilir.

Bunların ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye bu iki kümenin arakesiti veya kesişimi denir ve A∩B ile gösterilir.

A kümesinde olup B kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu küme "A fark B" olarak adlandırılır ve A\B ile gösterilir. E evrensel küme olmak üzere E\A kümesine A nın tümleyeni adı verilir ve kısaca A′ ile gösterilir.

A ve B boştan farklı iki küme olmak üzere {(a,b):a A, b B} kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve bu A×B ile gösterilir.

Kartezyen çarpımdaki (a,b) elemanına sıralı ikili adı verilir. “sıralı ikili” ifadesi (a,b) ikilisinde sıranın önemli olduğunu vurgulamak için kullanılmaktadır.

Özet

Kümeler Teorisi

Değerlendirme sorularını sistemde

ilgili ünite başlığı altında yer alan

“bölüm sonu testi”

bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz.

DEĞERLENDİRME SORULARI

1. kümeleri veriliyor.

kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

a) b)

c) d) e)

2. kümeleri veriliyor. \ kümeleri aşağıdakilerden hangisidir?

a) b)

c) d) e)

3. aşağıdaki kümelerden hangisinin bir alt kümesidir?

a) b)

c) d) e)

4. Aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

a) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

b) ise dir.

c) \ \ dır.

d) dır.

e) ( ) ise dır.

5. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) ise dır.

b) ise dir.

c) evrensel küme olmak üzere dır.

d) ve kümeleri için dir.

e) dır.

Cevap Anahtarı

1.E, 2.B, 3.C, 4.A, 5.D

Kümeler Teorisi

YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR

Kadıoğlu, E., Kamali, M., (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayıncılık.

Bayraktar, M., (2000). Analiz I. Bursa: Uludağ Üniversitesi Güçlendirme Vakfı Yayını.

Sabuncuoğlu, A., Hacısalihoğlu, H. H., Akkaş, S., Özel, Z., (1984). Soyut Matematik.

Ankara: Gazi Üniversitesi Yayını.

Dönmez, A., Çözümlü, (2000). Alıştırmalı Genel Matematik. İstanbul: Betaş Yayınevi.