  1 ile gösterilir.

KARMAġIK SAYILAR KARMAġIK SAYILAR KÜMESĠ

 1 sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir ve i   1 veya i

  1 ile gösterilir.

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı ve x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

a.b  a. b dir.

x.y  x. y dir.

i NĠN KUVVETLERĠ

  1 i olmak üzere,

i

 1 dir.

i

 i dir.

i

  1 dir.

3 2 1

i  i .i   ( 1).i   i dir.

4 2 2

i  i .i   ( 1).( 1) 1 dir.  

5 4 1

i  i .i  1.i i dir. 

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde, kalan 0 ise i

ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, i

ifadesinin eşiti i, kalan 2 ise, i

ifadesinin eşiti –1, kalan 3 ise, i

ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

i

 1,

i

 i,

i

  1,

i

  i dir.

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve i   1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. Buna göre,

{z : z a bi; a,b ve 1 i} dir.

     

z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise Re(z) = a

İm(z) = b şeklinde gösterilir.

Parabol b

x   2a doğrusuna göre simetriktir.

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır. Buna göre, karmaşık sayılar

kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani,  dir.

ĠKĠ KARMAġIK SAYININ EġĠTLĠĞĠ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

1 2

z   a bi ve z   c di olsun.

1 2

z  z ise, (a c ve b d) dir.  

KARMAġIK SAYILARIN ANALĠTĠK DÜZLEMDE BELĠRTĠLMESĠ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,

Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

x eksenine reel eksen, y eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

KARMAġIK SAYININ EġLENĠĞĠ

a, b  ve i

  1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

Z karmaşık sayısının eşleniği Z ile gösterilir.

Buna göre,

Z a bi ise Z a bi    

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir. Buna göre,

 

Z a bi ise Z a bi      Z   a bi dir.

Kural

Reel kat sayılı, ax

  bx c ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

KARMAġIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERĠ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yukarıdaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

2 2 2

|z| a   b

2 2

|z|  a  b dir.

KARMAġIK SAYILARDA ĠġLEMLER Toplama ĠĢlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır.

Buna göre,

i

  1 olmak üzere, z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda, z+w=(a+ib)+(c+id)

=(a+c)+i(b+d) dir.

Çıkarma ĠĢlemi

z+(-w)=z-w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel

kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i

  1 olmak üzere, z=a+ib

w=c+id

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda, z-w=(a+ib)-(c+id)

=(a-c)+i(b-d) dir.

Çarpma ĠĢlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i

  1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,

2 2

z.w a.c a.di b.ci b i , (i     . d. =  1)

=a.c+a.di+b.ci-b.d

=(a.c-b.d)+(a.d+b.c)i dir.

Sonuç

Z.Z (a bi)(a bi)   

2 2

Z.Z a   (bi)

2 2

Z.Z a   b

Kural

2n n n

(1 i)   2 .i

2n n n

(1 i)    ( 2) .i

Bölme ĠĢlemi

1 2 2

z , z  ve z  0 olsun.

1 1

1 2 1 2

2

z .(z ) sayısına z in z ye bölümü denir ve z biçiminde gösterilir.

z



Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

1 2

z   a bi ve z   c di ise,

1 2

z a bi

z c di

 



(a bi)(c di) (c di)(c di)

 

  

2 2

(a.c b.d) (b.c a.d)i dir.

c d

  

 

EĢlenik ve Mutlak Değerle Ġlgili Bazı Özellikler

1 2 1 2

z    z z z

1 2 1 2

z    z z z

1 2 1 2

z .z  z .z

1 1

2

2 2

z z

(z 0)

z z

   

   

 

n

1 1

(z )  z

1 1 1 1

|z | |z | | z | | z |     

2

1 1 1

z .z |z | 

1 1

2

2 2

z |z |

, (z 0)

z  |z | 

n n

1 1

|(z ) | |z | 

1 2 1 2 1 2

|z | |z | z    z |z | |z |  

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr Düzenleme: www.matematikkolay.net