(x) 6= 0 olmak üzere a

(1)

EULER D· IFERENS· IYEL DENKLEM· I

n-yinci basamaktan Euler diferensiyel denklemi a

₀

(x) 6= 0 olmak üzere a

₀

x

ⁿ

y

⁽ⁿ⁾

+ a

₁

x

^{n 1}

y

^{(n 1)}

+ ::: + a

_{n 1}

xy

⁰

+ a

_n

y = f (x) formundad¬r. Burada a

0

; a

1

; :::; a

n

’ler reel sabitlerdir. D = d

dx olmak üzere türev operatörü yard¬m¬yla bu denklem

a

0

x

ⁿ

D

ⁿ

+ a

1

x

^{n 1}

D

^{n 1}

+ ::: + a

n 1

xD + a

n

y = f (x) (1) formunda yaz¬labilir. Bu denklemde x = e

^t

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ smesi yap¬l¬rsa

x dy dx = dy

dt ; x

²

d

²

y dx

²

= d

²

y

dt

²

dy dt ; :::

elde edilir. Bunu genellersek D

1

= d

dt olmak üzere xD = D

1

x

²

D

²

= D

1

(D

1

1)

x

³

D

³

= D

₁

(D

₁

1) (D

₁

2) .. .

x

ⁿ

D

ⁿ

= D

1

(D

1

1) (D

1

2) ::: (D

1

n + 1)

elde edilir. Bunlar (1) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa Euler denklemi sabit kat- say¬l¬ lineer diferensiyel denkleme indirgenir. Önce sabit katsay¬l¬ denklem çözülür, sonra t = ln x yerine yaz¬larsa Euler denkleminin genel çözümüne ula¸ s¬l¬r.

Örnek 1. x

²

y

⁰⁰

xy

⁰

+ 2y = x ln x denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. x

²

D

²

xD + 2 y = x ln x denkleminde x = e

^t

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ smesi yap¬l¬rsa

xD = D

₁

; x

²

D

²

= D

₁

(D

₁

1) olur. Bunlar denklemde yerine yaz¬l¬rsa,

D

²₁

2D

₁

+ 2 y = te

^t

(2)

sabit katsay¬l¬ denklemi elde edilir. Bu denkleme ili¸ skin homogen denklemin genel çözümü

y

h

(t) = e

^t

(c

1

cos t + c

2

sin t) dir. Belirsiz katsay¬lar yönteminden

y

p

(t) = (At + B) e

^t

1

(2)

formunda özel çözüm aran¬rsa y

p

(t) = te

^t

olarak bulunur. Buradan (2) den- kleminin genel çözümü

y = e

^t

(c

1

cos t + c

2

sin t) + te

^t

dir. t = ln x den Euler denkleminin genel çözümü

y = x (c

1

cos (ln x) + c

2

sin (ln x)) + x ln x olarak elde edilir.

Örnek 2. x

³

D

³

+ 2x

²

D

²

y = x + sin (ln x) denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. x = e

^t

de¼ gi¸ sken de¼ gi¸ smesi yap¬l¬rsa

xD = D

₁

; x

²

D

²

= D

₁

(D

₁

1) ; x

³

D

³

= D

₁

(D

₁

1) (D

₁

2) olur. Bunlar denklemde yerine yaz¬l¬rsa

D

³₁

D

₁²

y = e

^t

+ sin t

sabit katsay¬l¬lineer homogen olmayan denklem elde edilir. Bu denkleme ili¸ skin homogen denklem

D

₁³

D

²₁

y = 0 olup bu denklemin genel çözümü

y

_h

(t) = c

₁

+ c

₂

t + c

₃

e

^t

dir. Operatör yönteminden özel çözüm ise

y

_p

(t) = 1

D

²₁

(D

₁

1) e

^t

+ 1

D

₁²

(D

₁

1) sin t

= e

^t

1 D

₁

1 1

(D

₁

1) sin t

= te

^t

D

₁

+ 1 D

²₁

1 sin t

= te

^t

+ 1

2 (D

₁

+ 1) sin t

= te

^t

+ 1

2 cos t + 1 2 sin t olarak bulunur. Sabit katsay¬l¬denklemin genel çözümü

y = c

1

+ c

2

t + c

3

e

^t

+ te

^t