Sabit Katsay¬l¬Homogen Denklemler
a 0 d n y
dx n + a 1 d n 1 y
dx n 1 + ::: + a n 1 dy
dx + a n y = 0 (1)
sabit katsay¬l¬homogen denklemini ele alal¬m. y (x) = e rx (1) denkleminin bir çözümü olsun. Bu durumda
a 0 r n e rx + a 1 r n 1 e rx + ::: + a n 1 re rx + a n e rx = 0 e rx a 0 r n + a 1 r n 1 + ::: + a n 1 r + a n = 0 elde edilir. e rx 6= 0 oldu¼ gundan
a 0 r n + a 1 r n 1 + ::: + a n 1 r + a n = 0
olur. (2) denklemine (1) denkleminin karakteristik denklemi denir. (2) den- kleminin köklerinin yap¬s¬na göre çözüm yaz¬l¬r. ¸ Simdi, ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬homogen
y
00+ ay
0+ by = 0 (2)
diferensiyel denklemini ele alal¬m. (2) diferensiyel denklemine ili¸ skin karakter- istik denklem
r 2 + ar + b = 0
¸ seklindedir.
Durum 1. Kökler reel ve birbirinden farkl¬ise, (r 1 , r 2 2 R; r 1 6= r 2 ) y (x) = c 1 e r
1x + c 2 e r
2x
genel çözümü elde edilir.
Durum 2. Kökler reel ve birbirine e¸ sit ise, (r 1 = r 2 = r) y (x) = (c 1 + c 2 x) e rx genel çözümü elde edilir.
Durum 3. Kökler e¸ slenik kompleks ise, (r 1;2 = a ib) y (x) = e ax (c 1 cos bx + c 2 sin bx) genel çözümü elde edilir.
Örnek 1.
y
000y
002y
0= 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin karakteristik denklem ve kökleri r 3 r 2 2r = 0
r 1 = 0; r 2 = 2; r 3 = 1
1
¸ seklindedir. O halde, verilen denklemin genel çözümü y (x) = c 1 + c 2 e 2x + c 3 e x olarak bulunur.
Örnek 2.
y
00
+ 4y
0+ 5y = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin karakteristik denklem ve kökleri r 2 + 4r + 5 = 0
r 1;2 = 2 i
¸ seklindedir. O halde, verilen denklemin genel çözümü y (x) = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) olarak bulunur.
Örnek 3.
y (4) 2y
000
+ 2y
002y
0+ y = 0 diferensiyel denkleminin çözümünü bulunuz.
Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin karakteristik denklem ve kökleri r 4 2r 3 + 2r 2 2r + 1 = 0
r 1 = r 2 = 1, r 3;4 = i
¸ seklindedir. O halde, verilen denklemin genel çözümü y (x) = (c 1 + c 2 x) e x + c 3 cos x + c 4 sin x olarak bulunur.
Örnek 4.
y (4) 4y
000
