· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬lineer homogen

· Ikinci Basamaktan Lineer Homogen Denklemler ve Çözümleri

Ankara Üniversitesi

· Ikinci basamaktan sabit katsay¬l¬lineer homogen

x ( n + 2 ) + a

x ( n + 1 ) + a

x ( n ) = 0, n = 0, 1, ... (1) fark denklemini ele alal¬m. Burada a

, a

reel sabitler olup a

6= ^{0 d¬r. Bu} denklem için x ( n ) = λ

¸seklinde çözüm aran¬rsa,

λ

+ a

λ

+ a

λ

= 0 denklemi elde edilir. Buradan,

λ

+ a

λ + a

= 0 (2) karakteristik denklemi bulunur. λ

, λ

köklerinde karakteristik kökler denir.

Bu köklere ba¼ gl¬olarak 3 durum ortaya ç¬kar.

Matematik Bölümü () 8. Hafta 2 / 8

Durum 1

λ

ve λ

kökleri reel ve birbirinden farkl¬ise, ( 1 ) denkleminin genel çözümü x ( n ) = c

λ

+ c

λ

¸seklindedir. Burada, c

ve c

key… reel sabitlerdir.

λ

= λ

= λ ise, ( 1 ) denkleminin genel çözümü x ( n ) = ( c

+ c

n ) λ

¸seklindedir. Burada, c

ve c

key… reel sabitlerdir.

Matematik Bölümü () 8. Hafta 4 / 8

Durum 3

λ

ve λ

kökleri e¸slenik kompleks yani, λ

= α + i β ve λ

= α i β olsun.

Burada α, β 2 ^{R ve β} 6= ^{0 d¬r.r} = q

α

+ β

, θ = arctan

α

olmak üzere, (1) denkleminin genel çözümü

x ( n ) = r

( c

cos nθ + c

sin nθ )

d¬r. Burada, c

ve c

key… reel sabitlerdir.

Örnek

x ( n + 2 ) 7x ( n + 1 ) + 12x ( n ) = 0 denkleminin karakteristik denklemi λ

7λ + 12 = 0

olup λ

= 3 ve λ

= 4 karakteristik köklerdir. Verilen denklemin genel çözümü

x ( n ) = c

3

+ c

4

dir.

Matematik Bölümü () 8. Hafta 6 / 8

Örnek

x ( n + 2 ) 4x ( n + 1 ) + 4x ( n ) = 0 denkleminin karakteristik denklemi λ

4λ + 4 = 0

olup λ

= λ

= λ = 2 karakteristik kökü bulunur. Verilen denklemin genel çözümü

x ( n ) = ( c

+ c

n ) 2

dir.

Örnek

x ( n + 2 ) + x ( n ) = 0 denkleminin karakteristik denklemi λ

+ 1 = 0

olup λ

= i karakteristik köklerdir. r = 1 ve θ = ^π

2 olmak üzere, verilen denklemin genel çözümü

x ( n ) = c

cos nπ

2 + c

sin nπ 2 dir.

Matematik Bölümü () 8. Hafta 8 / 8