(x) 6= 0 olmak üzere

(1)

4. Yüksek Basamaktan Lineer Diferensiyel Denklemler

n-yinci basamaktan lineer bir diferensiyel denklemin en genel hali a

₀

(x) 6= 0 olmak üzere

a

0

(x) y

⁽ⁿ⁾

+ a

1

(x) y

^{(n 1)}

+ ::: + a

n 1

(x) y

⁰

+ a

n

(x) y = f (x) (1) formundad¬r. a

₀

(x) ; a

₁

(x) ; :::; a

_n

(x) ve f (x) fonksiyonlar¬ I R aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬, sürekli reel fonksiyonlard¬r. a

₀

(x) ; a

₁

(x) ; :::; a

_n

(x) katsay¬lar¬n¬n hepsi reel sabit ise denklem sabit katsay¬l¬lineer denklem, bu katsay¬lardan en az biri x de¼ gi¸ skenine ba¼ gl¬ ise denklem de¼ gi¸ sken katsay¬l¬ lineer denklem olarak adland¬r¬l¬r. f (x) 0 ise bu denklem homogen, f (x) 6= 0 ise homogen olmayan lineer denklem olarak adland¬r¬l¬r. n-yinci basamaktan lineer homogen diferensiyel denklemin genel formu

a

₀

(x) y

⁽ⁿ⁾

+ a

₁

(x) y

^{(n 1)}

+ ::: + a

_{n 1}

(x) y

⁰

+ a

_n

(x) y = 0 (2) d¬r. D = d

dx olmak üzere D türev operatörü yard¬m¬yla (1) diferensiyel denklemi L (D) y = (a

₀

(x) D

ⁿ

+ a

₁

(x) D

ⁿ

+ ::: + a

_{n 1}

(x) D + a

_n

(x)) y = f (x) formunda yaz¬labilir.

Teorem 1 (Varl¬k-Teklik):

a

0

(x) y

⁽ⁿ⁾

+ a

1

(x) y

^{(n 1)}

+ ::: + a

n 1

(x) y

⁰

+ a

n

(x) y = f (x) x

₀

2 I R için y (x

0

) =

₁

; y

⁰

(x

₀

) =

₂

; :::; y

^{(n 1)}

(x

₀

) =

_n

ba¸ slang¬ç de¼ ger problemini ele alal¬m. Burada

₁

;

₂

; :::;

_n

ler key… reel sabitlerdir.

E¼ ger her x 2 I için a

0

(x) ; a

₁

(x) ; :::; a

_n

(x) ve f (x) fonksiyonlar¬ I R aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬, sürekli fonksiyonlar ve a

₀

(x) 6= 0 ise bu ba¸slang¬ç de¼ ger probleminin I R aral¬¼ g¬nda bir tek y (x) çözümü vard¬r.

Örnek 1. y

⁰

+ e

^1=x

y = 1

sin x ; y (1) = 1 ba¸ slang¬ç de¼ ger probleminin çözümünün varoldu¼ gu oldu¼ gu en geni¸ s aral¬¼ g¬bulunuz.

Çözüm. f (x) = e

^1=x

fonksiyonu x 6= 0 hariç her yerde süreklidir. g (x) = 1

sin x fonksiyonu x 6= n (n 2 Z) için süreklidir. Çözümün varoldu¼ gu en geni¸ s aral¬k x

₀

= 1 2 (0; ) aral¬¼ g¬d¬r.

Teorem 2 (Süperpozisyon Kural¬): y

1

; y

2

; :::; y

n

fonksiyonlar¬ (2) homogen diferensiyel denkleminin herhangi çözümü iseler c

1

; c

2

; :::; c

n

’ler key… reel sabitler olmak üzere

y = c

1

y

1

+ c

2

y

2

+ ::: + c

n

y

n

de (2) homogen diferensiyel denkleminin bir çözümüdür.

1

(2)

Lineer Ba¼ g¬ml¬l¬k-Lineer Ba¼ g¬ms¬zl¬k Kavram¬: f

1

; f

2

; :::; f

n

fonksiyonlar¬ I R aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬ herhangi fonksiyonlar ve c

1

; c

2

; :::; c

n

’ler key…

reel sabitler olmak üzere her x 2 I için

c

₁

f

₁

(x) + c

₂

f

₂

(x) + ::: + c

_n

f

_n

(x) = 0

olmas¬ sadece c

₁

= c

₂

= ::: = c

_n

= 0 olmas¬ halinde sa¼ glan¬yorsa f

₁

; f

₂

; :::; f

_n

fonksiyonlar¬na I üzerinde lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r denir. Key… sabitlerin en az biri s¬f¬rdan farkl¬yken bu e¸ sitlik sa¼ glan¬yorsa bu durumda f

₁

; f

₂

; :::; f

_n

fonksiyonlar¬na I üzerinde lineer ba¼ g¬ml¬d¬r denir.

Örnek 2. f

1

(x) = cos 2x ve f

2

(x) = sin 2x fonksiyonlar¬lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

Gerçekten

c

1

cos 2x + c

2

sin 2x = 0 olmas¬sadece c

1

= c

2

= 0 olmas¬ile mümkündür.

Örnek 3. f

1

(x) = e

^x

; f

2

(x) = 2e

^x

; f

3

(x) = 4e

^x

fonksiyonlar¬ lineer ba¼ g¬ml¬d¬r. Gerçekten

c

₁

e

^x

+ 2c

₂

e

^x

+ 4c

₃

e

^x

= 0 e¸ sitli¼ gi c

₁

= 6; c

₂

= c

₃

= 1 için gerçeklenir.

Wronskian Kavram¬: f

₁

; f

₂

; :::; f

_n

fonksiyonlar¬I R aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬

fonksiyonlar olsunlar.

W (f

1

; f

2

; :::; f

n

) (x) = det 0 B B B @

f

1

f

2

::: f

n

f

₁⁰

f

₂⁰

::: f

_n⁰

.. . .. . . .. .. . f

₁^{(n 1)}

f

₂^{(n 1)}

f

n^{(n 1)}

1 C C C A

ile tan¬mlanan fonksiyona f

1

; f

2

; :::; f

n

fonksiyonlar¬n¬n Wronskiani denir.

Teorem 3: y

1

; y

2

; :::; y

n

fonksiyonlar¬(2) homogen diferensiyel denkleminin n tane çözümü iseler, y

1

; y

2

; :::; y

n

fonksiyonlar¬n¬n lineer ba¼ g¬ms¬z olmas¬ için gerek ve yeter ko¸ sul her x için W (y

1

; y

2

; :::; y

n

) (x) 6= 0 olmas¬d¬r.

Teorem 4: y

1

; y

2

; :::; y

n

fonksiyonlar¬(2) homogen diferensiyel denkleminin n tane lineer ba¼ g¬ms¬z çözümü olsunlar. c

₁

; c

₂

; :::; c

_n

’ler key… reel sabitler olmak üzere

y = c

₁

y

₁

(x) + c

₂

y

₂

(x) + ::: + c

_n

y

_n

(x)

fonksiyonu (2) homogen diferensiyel denkleminin genel çözümüdür.

Tan¬m: (2) homogen diferensiyel denkleminin n tane lineer ba¼ g¬ms¬z çözümü olan y

1

; y

2

; :::; y

n

fonksiyonlar¬n¬n olu¸ sturdu¼ gu fy

¹

; y

2

; :::; y

n

g kümesine (2) homogen diferensiyel denkleminin temel çözümler kümesi denir.

2

(3)

Örnek 4. y

⁰⁰⁰

y

⁰

= 0 diferensiyel denkleminin lineer ba¼ g¬ms¬z çözümleri y

1

= 1; y

2

= e

^x

ve y

3

= e

^x

dür. Gerçekten, W (y

1

; y

2

; y

3

) (x) = 2 6= 0 d¬r. Bu denklemin temel çözümler cümlesi f1; e

^x

; e

^x

g olup denklemin genel çözümü

y = c

₁

+ c

₂

e

^x

+ c

₃

e

^x

dir.

n-yinci basamaktan lineer homogen olmayan

L (D) y = (a

0

(x) D

ⁿ

+ a

1

(x) D

ⁿ

+ ::: + a

n 1

(x) D + a

n

(x)) y = f (x) diferensiyel denklemini ele alal¬m. Bu denkleme ili¸ skin L (D) y = 0 homogen denklemin genel çözümü

y

h

(x) = c

1

y

1

(x) + c

2

y

2

(x) + ::: + c

n

y

n

(x)

ve homogen olmayan L (D) y = f (x) denkleminin bir özel çözümü y

p

(x) ise homogen olmayan L (D) y = f (x) denkleminin genel çözümü

y = y

_h

(x) + y

_p

(x) dir.

Örnek 5. y

⁰⁰

y = cos x denklemine ili¸ skin homogen denklem y

⁰⁰

y = 0 olup bu denklemin lineer ba¼ g¬ms¬z çözümleri y

1

= e

^x

ve y

2

= e

^x

dir ve homogen k¬sm¬n genel çözümü

y

h

(x) = c

1

e

^x

+ c

2

e

^x

dir. Homogen olmayan denklemin bir özel çözümü y

p

(x) = cos x

2 olup homogen olmayan denklemin genel çözümü

y = y

h

(x) + y

p

(x) y = c

₁

e

^x

+ c

₂

e

^x

cos x

2 dir.

3