n boyutlu bir A determinant¬n¬n herhangi bir a

(1)

DETERM· INANT

A bir kare matris olmak üzere A matrisinin determinant¬det A ya da jAj ile gösterilir.

Minörler

n boyutlu bir A determinant¬n¬n herhangi bir a

ij

eleman¬n¬n minörü, jAj üzerinde a

_ij

eleman¬n¬n bulundu¼ gu sat¬r ve sütun silindikten sonra geriye kalan ve jA

^ij

j ile gösterilen determinantt¬r. Örne¼ gin,

A =

a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃

(1)

determinant¬n¬n a

13

eleman¬n¬n minörü

jA

¹³

j = a

₂₁

a

₂₂

a

₃₁

a

₃₂

¸ seklinde bulunur.

Bir A determinant¬n¬n a

ij

eleman¬n¬n minörü jA

^ij

j olsun. A

^ij

ile gösterilen ve

A

_ij

= ( 1)

^i+j

jA

^ij

j

ba¼ g¬nt¬s¬ ile tan¬mlanan determinanta a

ij

eleman¬n¬n e¸ s çarpan¬ (kofaktörü) denir.

Örne¼ gin (1) deki A matrisinin a

13

eleman¬n¬n kofaktörü

A

₁₃

= ( 1)

¹⁺³

jA

¹³

j = ( 1)

¹⁺³

a

₂₁

a

₂₂

a

31

a

32

¸ seklindedir.

Bir determinant¬n de¼ gerinin bulunmas¬ için yap¬lan i¸ slemlere determinant aç¬l¬m¬

1

(2)

denir. Herhangi bir jAj n¬n aç¬l¬m¬

jAj = X

n

j=1

a

_ij

A

_ij

veya jAj = X

n

i=1

a

_ij

A

_ij

¸ seklinde verilir. Yani, bir determinant¬n de¼ geri herhangi bir sat¬r (veya sütun) ele- manlar¬ile bu elemanlar¬n kofaktörlerinin çarp¬m¬n¬n toplam¬na e¸ sittir.

Örne¼ gin (1) deki A matrisinin determinant¬n¬ hesaplayabilmek için 1. sat¬ra göre aç¬l¬m yap¬l¬rsa

jAj = a

¹¹

A

₁₁

+ a

₁₂

A

₁₂

+ a

₁₃

A

₁₃

olarak hesaplan¬r.

Özel olarak 2x2 boyutundaki bir A = 2 4 a b

c d 3

5 matrisinin determinant¬

jAj = a b c d

= ad bc

formülü ile hesaplan¬r.

Örnek

A = 2 6 6 6 4

3 2 2

4 5 3

3 1 4 3 7 7 7 5

matrisinin determinant¬n¬hesaplay¬n¬z.

Çözüm: 1. sat¬ra göre aç¬l¬m yapal¬m. Öncelikle a

11

; a

₁₂

; a

₁₃

elemanlar¬n¬n minör-

2

(3)

lerini bulal¬m.

jA

¹¹

j = 5 3 1 4

= 5:4 ( 3) :1 = 23

jA

¹²

j = 4 3 3 4

= 4:4 ( 3) 3 = 25

jA

¹³

j = 4 5 3 1

= 4:1 5:3 = 11

bulnur. ¸ Simdi a

11

; a

₁₂

; a

₁₃

elemanlar¬n¬n kofaktörlerini bulal¬m.

A

₁₁

= ( 1)

¹⁺¹

jA

¹¹

j = 1:23 = 23 A

₁₂

= ( 1)

¹⁺²

jA

¹²

j = ( 1)25 = 25 A

₁₃

= ( 1)

¹⁺³

jA

¹³

j = 1: ( 11) = 11

elde edilir. O halde

jAj = a

¹¹

A

11

+ a

12

A

12

+ a

13

A

13

= 3:23 + 2 ( 25) + ( 2) ( 11)

= 41

olarak hesaplan¬r.

Determinant¬n Özellikleri

1) Bir determinant¬n iki sat¬r¬n¬n veya sütununun yerleri de¼ gi¸ stirildi¼ ginde determi- nant¬n i¸ sareti de¼ gi¸ sir.

2) Bir determinant¬n bir sat¬r¬ veya sütunu k reel say¬s¬ ile çarp¬l¬rsa determinant de¼ geri k ile çarp¬lm¬¸ s olur.

3) Bir sat¬r veya bir sütununun bütün elemanlar¬ s¬f¬r olan matrisin determinant

3

(4)