• Sonuç bulunamadı

7.Uygulama. Bazı Kesikli Dağılımlar. n e ( ) 1 n. Var X = ( 1 ( ) Var X = ( ) f ( x ) = a N a N. açık biçimi yok a N n (1 )

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "7.Uygulama. Bazı Kesikli Dağılımlar. n e ( ) 1 n. Var X = ( 1 ( ) Var X = ( ) f ( x ) = a N a N. açık biçimi yok a N n (1 )"

Copied!
20
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

7.Uygulama

Bazı Kesikli Dağılımlar Düzgün Dağılım o.f.

( )

f x = 1 1 2

, x x x, ,...,xn

n =

m.ç.f. MX( )t =

1

,

n

i

x ti

e t

= n

R

ortalama E X( )= 1

n j j

x

x n

= =

varyans Var X( )=

( )

2

1 n

i i

x x n

=

parametre x x1, 2,...,xnR , n

{

1,2,...

}

Bernoulli Dağılımı

o.f. f x( )= px

(

1p

)

1x, =0,1x

( )

1,

b p m.ç.f. MX( )t =1− +p pet , tR ortalama E X( )= p

varyans Var X( )= p

(

1p

)

parametre p(0,1) , n

{

1,2,...

}

Binom

(

,

)

b n p

o.f.

( )

f x = n x

(

1

)

n x, = 0,1,...,n

p p x

x

 

  −

  m.ç.f.

X( )

M t =

(

1− +p pet

)

n, tR

ortalama E X( )= np

varyans Var X( )=np

(

1p

)

parametre p(0,1) , n

{

1,2,...

}

Hipergeometrik o.f.

m.ç.f.

ortalama varyans parametre

( )

f x = a N a N

x n x n

     

     

      açık biçimi yok

( )

E X = a

n×N

( )

Var X = (1 )

1

N n a a

N− × × × −n N N

{

}

, , 1, 2,... , , N a na<N n<N

Poisson o.f.

( )

f x = , 0,1, 2,...

! e x

x x

λλ

=

m.ç.f.

X( )

M t = 1 ,

et

eλ t

R ortalama E X( )= λ

(2)

varyans Var X( )=λ parametre λ∈ ∞(0, )

Geometrik o.f. f x( )=

(

1p

)

x1 p, =1,2,...x m.ç.f.

X( ) M t =

( )

, ln(1 )

1 1

t t

pe t p

p e < − −

− − ortalama

( ) E X = 1

p varyans

( )

Var X =1 2p p

− parametre p∈(0,1) Negatif Binom o.f.

( )

f x = 1

(

1

)

, , 1,...

1

k k r

x p p x k k

k

 

− = +

 − 

 

m.ç.f.

X( ) M t =

( )

, ln(1 )

1 1

t k

t

pe t p

p e

 

< − −

 

 − − 

 

ortalama

( ) E X = k

p varyans

( )

Var X = k(1 2p) p

parametre p(0,1) , k

{

1, 2,...

}

1. 5 seçenekli 20 soruluk bir test sınavında sorular rasgele işaretlendiğinde,

a) En az 10 doğru cevap tutturma olasılığı nedir?

b) Tutturulan doğru cevap sayısının beklenen değeri nedir?

c) Her doğru cevap için 1 ve 4 yanlış cevap için -1 puan verildiğinde 20 soru için beklenen puan nedir?

X-rasgele değişkeni işaretlenen 20 sorudan doğru cevaplananların sayısı olsun.

X ∼b(n=20, p =1 5)

( )

20 1 4 20 0 1 2 ..., 20

5 5

x x

f x x

x

    

=     , = , , ,

   

  ( )E X =np= 4 80

( ) 3.2

Var X =npq=25=

(3)

olmak üzere, a)

20 20 20

10 10

20 1 4

( 10) ( )

5 5

x x

x x

P X f x

x

= =

    

    

≥ =

=

       =0.0025948

>>x=10:20;

>>sum(binopdf(x,20,1/5)) ans = 0.0025948

(P X ≥10)= −1 P X( <10)= −1 P X( ≤9)= −1 F(9)=0.0025948

>> 1-binocdf(9,20,1/5) ans = 0.0025948

b) ( )E X =np= 4

c) K rasgele değişkeni 20 sorudan elde edilen puanı göstersin.

5

1 1/ 4 (20 ) 5

K = ×X− × −X =4 X− ve

5 5

( ) ( ) 5 4 5 0

4 4

E K = E X − = × − = dır.

2. 4 çocuklu bir ailede kız çocukların sayısı X rasgele değişkeni olsun.

1

( 4, )

Xb n= p=2 olmak üzere,

( )

4 1 1 4 1 4 0 1 2 3 4

2 2 16

x x

f x x

x x

      

=     =   , = , , , ,

   

   

dır. Olasılık tablosu,

x 0 1 2 3 4

( )

1 4

f x 16

x

=   

  1 16

4 16

6 16

4 16

1 16 ve

( ) 2

E X =np= , Var X( )=npq= 1

dır. 4’er çocuklu 160 ailenin kız çocuk sayısı bakımından dağılışı ne olur?

(4)

kız çocukların sayısı

0 1 2 3 4

aile sayısı (teorik sıklık , frekans) 10=160 P(X=0)

40=160 P(X=1) 60=160 P(X=2) 40=160 P(X=3) 10=160 P(X=4) 160

×

×

×

×

×

3. 3 beyaz ve 2 siyah top bulunan bir kavanozdan iadeli olarak 10 kez top çekildiğinde, a) Gelen siyah topların sayısının beyazlardan çok olması olasılığı nedir?

b) Siyah topların beklenen sayısı nedir?

c) Siyah top için 100 TL kazanılsa, beyaz top için 50 TL kaybedilse, böyle bir oyunda kazancın beklenen değeri nedir?

X-rasgele değişkeni 10 çekilişte gelen beyaz topların sayısı olsun.

X b(n=10, p =3 5)

( )

10 3 2 10 0 1 2 ...,10

5 5

x x

f x x

x

     

=      , = , , ,

   

  ( )E X =np= 6 Var X( )=npq=2.4

>>x=0:10

>> binopdf(x,10,3/5)

ans = 0.00010486 0.0015729 0.010617 0.042467 0.11148 0.20066 0.25082 0.21499 0.12093 0.040311 0.0060466

olmak üzere, a)

4 10

0

10 3 2

( 5) ( 4)

5 5

x x

x

P X P X

x

=

    

    

< = ≤ =

       

= 0.00010486+0.0015729+0.010617+0.042467+0.11148 =0.16624

>>x=0:4;

>> sum(binopdf(x,10,3/5))= 0.16624

4 10

0

10 3 2

( 5) ( 4) (4)

5 5

x x

x

P X P X F

x

=

    

    

< = ≤ = =

        = 0.16624 >> binocdf(4,10,3/5) = 0.16624

b) ( )E X =np= 6

c) K rasgele değişkeni kazanç olsun.

K= −50X +100(10−X)= −150X+1000 ve

( )E K = −150 ( )E X +1000=100 dır.

(5)

4.

Oran Tahmini (Bernoulli Dağılımında Parametre Tahmini, Đadeli Çekilişler)

Buraya kadar çözdüğümüz problemlerde başarı olasılığı p’nin bilindiğini varsaydık. Bir Bernoulli denemesinde p ( 0< <p 1) başarı olasılığı bilinmediğinde ne yapacağız? Örneğin, içinde bilinmeyen sayıda beyaz ile siyah top bulunan ve içine bakmamıza izin verilmeyen bir torbadan (kitleden) rasgele bir top çekilişinde beyaz top gelmesi olasılığı p (kitle oranı) bilinmemektedir. Torbadan iadeli olarak (çekileni geri atarak) birer birer top çekilmesine izin verilse: torbadan n kez top çekip, gelen beyaz top sayısı X=x değerini gözleyip, gözlenen x/n oranını bilinmeyen p kitle oranı için bir

“tahmin” olarak alırız. Örneğin 20 çekilişte 8 kez beyaz top gelirse, p için bir

“tahmin”=8/20=0.40 olur. Yeniden 20 çekiliş yapıldığında gelen beyaz top sayısı yine 8 mi olur? Muhtemelen farklı olur. Sezgimiz, 20 yerine 100 çekiliş yapılırsa p için elde edilecek “tahmin” ‘in daha “iyi” olacağını söylemektedir. Şimdilik sezgimize güvenelim ve bilinmeyen p oranını “tahmin” etmek için

X Başarı Sayısı n = Deneme Sayısı

rasgele değişkenini kullanalım. Bununla birlikte, sezgimizin ötesinde bazı değerlendirmeler yapabiliriz. Örneğin, torbada 3 beyaz (300 beyaz)ve 2 sarı (200 sarı) top bulunduğunda, iadeli olarak yapılan n=20 çekilişte gelen beyaz top sayısı X olmak

üzere, 3

( 20, )

Xb n= p=5 olup, X rasgele değişkeni’nin olasılık dağılımındaki olasılıklar,

>> x=0:10 ;

>> binopdf(x,20,3/5)

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0013 0.0049 0.0146 0.0355 0.0710 0.1171

>> x=11:20 ;

>> binopdf(x,20,3/5)

0.1597 0.1797 0.165 9 0.1244 0.0747 0.0350 0.0124 0.0031 0.0005 0.0000

dır.

X

n rasgele değişkeninin [0.50,0.70] aralığında çıkması olasılığı, X rasgele değişkeninin [10,14] aralığında çıkması olasılığı kadar olup, bu olasılık 0.7469 dır.

(0.50 X 0.70) (10 14) 0.7469

P P X

n ≤ = ≤ ≤ =

olmak üzere, gerçekte p=3/5=0.60 olan değer %75 olasılıkla, 0.50, 0.55, 0.60, 0.65, 0.70

değerlerinden biri olarak tahmin edilecektir.

(6)

(0.45 X 0.75) (9 15) 0.8925

P P X

n ≤ = ≤ ≤ =

olmak üzere, gerçekte p=3/5=0.60 olan değer %89 olasılıkla, 0.45, 0.50, 0.55, 0.60, 0.65, 0.70, 0.75

değerlerinden biri olarak tahmin edilecektir.

20 çekiliş yerine 100 çekiliş yapılırsa,

(0.55 X 0.65) (55 65) 0.9685

P P X

n ≤ = ≤ ≤ =

>> x=50:70; sum(binopdf(x,100,3/5)) ans = 0.96846

olmak üzere, gerçekte p=3/5=0.60 olan değer %97 olasılıkla 0.50, 0.51, 0.52, ..., 0.68, 0.69, 0.70

değerlerinden biri olarak tahmin edilecektir.

( 100, 3 / 5)

Xb n= p= rasgele değişkeni ile X

n rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonlarının grafikleri aşağıdadır.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

>> x=0:100 ; plot(x,binopdf(x,100,3/5),'.')

(7)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

>> x=0:100 ; plot(x/100,binopdf(x,100,3/5),'.')

Bilinmeyen bir p kitle oranını, iadeli çekilişler yaparak, X Başarı Sayısı

n = Deneme Sayısı

ile tahmin etmek istediğimizde, X

n rasgele değişkeninin alacağı değerlerin p değerine

“yakın düşmelerini” isteriz. Yukarıda bunu irdelemeye çalıştık. X

n rasgele değişkenine p için bir tahmin edici diyelim. X

n tahmin edicisi için,

1 1

( ) 0.60

E X E X np p

n n n

 

 = = × = =

 

 

2 2

1 1

X ( ) pq

Var Var X npq

n n n n

 

 = = × =

 

 

olmak üzere, bu tahmin edicinin beklenen değeri p parametresine eşittir. Böyle bir tahmin ediciye yansız tahmin edici diyeceğiz. Oran tahmininde yapmaya çalıştığımız bu düşünceleri ileride Parametre Tahmini olarak göreceğiz. Đstatistikçilerin yaptığı işlerden biri Parametre Tahmini, başka biri de Hipotez Testidir. Biraz da ikincisine değinelim.

(8)

5. Oranlar Đle Đlgili Hipotez Testi

Bir torbada 2:3 oranında iki renkten (beyaz ve siyah) toplar bulunmaktadır. Đki kişiden biri beyazların tüm toplara oranının 3/5, diğeri ise 2/5 olduğunu iddia etmektedir. Torbaya bakmaksızın, iadeli olarak top çekerek hangisinin haklı olduğu nasıl söylenebilir? Öne sürülen iddialar (hipotezler),

H : Torbadaki beyaz topların tüm toplara oranı 0 3 p= dır. 5 H : Torbadaki beyaz topların tüm toplara oranı 1 2

p= dır. 5

şeklinde yazılsın. Hangi hipotezin doğru olduğunu ortaya çıkarmak için iadeli olarak 20 top çekip, gelen beyaz top sayısı olan X rasgele değişkenine bağlı olarak:

*X ≥10 olursa H kabul edilsin 0

*X <10 olursa H kabul edilsin 1 başka bir ifade ile,

* 0.50 20

X ≥ olursa H kabul edilsin 0

* 0.50 20

X < olursa H kabul edilsin 1

gibi bir karar kuralı oluşturulsun. Bu karar kuralına göre, H doğru 0

( 3

( 20, )

Xb n= p=5 ) iken, gözlemlerdeki rasgelelikten dolayı reddedilmesi olasılığı,

( 10)

P X < = %13

>> x=0:9;

>> sum(binopdf(x,20,3/5)) ans = 0.12752

ve H doğru (1 2

( 20, )

Xb n= p=5 ) iken, gözlemlerdeki rasgelelikten dolayı reddedilmesi olasılığı,

( 10)

P X ≥ = %24

>> x=10:20;

>> sum(binopdf(x,20,2/5)) ans = 0.24466

dır. H doğru iken reddedilmesi olayına 1. tip hata, 0 H doğru iken reddedilmesi 1 olayına 2. tip hata denir. Buna göre, yukarıdaki karar kuralı için 1. tip hata yapma olasılığı,

0 0

( ' / )

P H ın reddedilmesi H doğru =%13 ve 2. tip hata yapma olasılığı,

1 1

( ' / )

P H in reddedilmesi H doğru =%24 dır.

(9)

100 kez çekiliş yapıp, gelen beyaz top sayısı olan X rasgele değişkenine bağlı olarak:

*X ≥50 olursa H kabul edilsin 0

*X <50 olursa H kabul edilsin 1 gibi bir karar kuralı oluşturulursa,

x=0:49;

>> sum(binopdf(x,100,3/5)) ans = 0.016762

0 0

( ' / )

P H ın reddedilmesi H doğru =%2

>> x=50:100;

>> sum(binopdf(x,100,2/5)) ans = 0.027099

1 1

( ' / )

P H in reddedilmesi H doğru =%3 olur.

6. Bir portakal üreticisi işçilerine 800 kasa yafa portakalı ile 200 kasa başka bir portakalı karıştırarak harmanlamalarını söylemiştir. Bir alıcı, işçilerin 700 kasa yafa portakalının arasına 300 kasa diğer portakaldan karıştırdıklarını iddia etmektedir. Yafa portakallarının oranı ile ilgili,

H : 0 p=0.80 H : 1 p=0.70

hipotezleri öne sürülmüştür. Dış görüntüleri aynı olan portakalları ayırt etmek için laboratuar kontrolü gerekmektedir. Rasgele seçilen 100 portakal kontrol edilecektir. X rasgele değişkeni, seçilen 100 portakal içinde yafa olanların sayısı olsun. (Önümüzdeki derste göreceğimiz gibi, çekilişler iadeli yapılmamış olsa bile yığındaki portakal sayısı çok fazla olduğundan X rasgele değişkeninin Binom Dağılımına sahip olduğunu söyleyebiliriz. Şimdilik, çekilişler iadeli gibi yapılmış sayılsın.)

X rasgele değişkenine bağlı olarak:

* X ≥ olursa c H kabul edilsin 0

* X < olursa c H kabul edilsin 1

gibi bir karar kuralı üzerinde durulmaktadır. Satıcı: “Ben haklı isem, gözlemlerdeki rasgelelikten dolayı haksız çıkarılmam olasılığı %5 i geçmesin” demektedir. Kısaca,

0 0

( ' / )

P H ın reddedilmesi H doğru ≤ %5 yani, Xb n( =100,p=0.80) iken,

( ) 0.05

P X <c

olacak şekilde bir c sayısı (kritik değer) belirleyin demektedir.

(10)

>> x=75:100 ; sum(binopdf(x,100,.70)) ans = 0.16313

>> x=0:74 ; sum(binopdf(x,100,.80)) ans = 0.087475

>> x=0:73 ; sum(binopdf(x,100,.80)) ans = 0.055833

>> x=0:72 ; sum(binopdf(x,100,.80)) ans = 0.034152

olmak üzere,

( 73) 0.034152

P X < ≤ dır. c=73 alınıp,

*X ≥73 olursa H kabul edilsin 0

*X <73 olursa H kabul edilsin 1

gibi bir karar kuralı oluşturulursa, satıcının isteği yerine gelmektedir. Birinci tip hata yapma olasılığı,

P H ın reddedilmesi H doğru =0.034152 ( 0' / 0 )

olup, %5 den küçüktür. Đkinci tip hata yapma olasılığına gelince, H doğru, yani 1

( 100, 0.70)

Xb n= p= ) iken, gözlemlerdeki rasgelelikten dolayı H in reddedilmesi 1 olasılığı,

P H in reddedilmesi H doğru = (( 1' / 1 ) P X ≥73)= 0.29637

>> x=73:100; sum(binopdf(x,100,.70)) ans = 0.29637

dır.

H : 0 p=0.80 ve H : 1 p=0.70 hipotezleri altında, X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonun grafikleri aşağıdaki gibidir.

>> x=0:100;

>> plot(x,binopdf(x,100,.7),'.')

>>hold on

>> plot(x,binopdf(x,100,.8),'.r')

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Hipotez testinde öne sürülen iki hipotez söz konusu olup, belli bir karar verme kuralına göre, gözlemlere dayalı olarak, hangisinin reddedileceğine karar verilmektedir.

Karar kuralı, önceden belirlenmiş hata yapma olasılıkları çerçevesinde bir rasgele değişken (test istatistiği) üzerine kuruludur.

0.29637 0.034152

(11)

7. Oran Tahmini(Đadesiz Çekilişler)

Örneğin, içinde bilinmeyen sayıda beyaz ile siyah top bulunan bir torbadaki beyaz topların tüm toplara oranını tahmin etmek isteyelim. Sadece, torbadan iadeli olarak (çekileni geri atarak) veya iadesiz olarak birer birer top çekilmesine müsaade edilsin. Torbadan n kez top çekip, gelen beyaz top sayısı

n değerini beyaz topların torbadaki (kitledeki) oranı olan p için bir “tahmin” olarak alabiliriz. Bilinmeyen p kitle oranını “tahmin” etmek için

Gelen beyaz top sayısı Örnek Oranı

Çekiliş Sayısı

=

rasgele değişkenini kullanalım.

Çekilişler iadeli yapıldığında, n çekilişte gelen beyaz top sayısı X Binom Dağılımına, iadesiz yapıldığında Hipergeometrik Dağılıma sahip olacak.

X

n rasgele değişkeni’nin dağılımı da iadeli-iadesiz çekilişe göre olacaktır.

Örneğin, torbada 60 beyaz ve 40 sarı top bulunsun ve n=20 çekiliş yapılsın.

* Đadeli olarak yapılan n=20 çekilişte gelen beyaz top sayısı X olmak üzere,

( 20, 3)

Xb n= p=5 Binom Dağılımına sahip olacaktır. Bu durumda,

Gelen beyaz top sayısı X Örnek Oranı

Çekiliş Sayısı n

= =

1 1

( ) X ( ) a 0.60

E Örnek Oranı E E X np p

n n n N

 

=  = = × = = =

2 2

1 1

( ) ( )

(1 )

0.012 Var Örnek Oranı Var X Var X npq

n n n

a a

pq N N

n n

 

=  = = ×

= = =

0.10954

Örnek Oranı

σ

=

dır.

(12)

** Đadesiz olarak yapılan n=20 çekilişte gelen beyaz top sayısı X olmak üzere, X rasgele değişkeni N =100, a =60, n =20 olan Hipergeometrik Dağılıma sahip olacaktır ve bu durumda,

Gelen beyaz top sayısı X Örnek Oranı

Çekiliş Sayısı n

= =

1 1

( ) X ( ) a a 0.60

E Örnek Oranı E E X n

n n n N N

 

=  = = × × = =

2 2

1 1

( ) ( ) (1 )

1

X N n a a

Var Örnek Oranı Var Var X n

n n n N N N

  −

=  = = × − × × −

1

(1 ) 0.009697

1

N n a a

n N N N

= × − × − =

0.098473

Örnek Oranı

σ

=

dır. Đadesiz çekilişlerde Örnek Oranı rasgele değişkeninin varyansı daha küçüktür. Her iki çekiliş biçimi için

( ) 0.60 a

E Örnek Oranı p

= = N =

dır. Her iki çekiliş biçimi için X Örnek Oranı

= n kitle oranı a

p= N için yansız bir tahmin edicidir.

N=100, a=60, n=20 ( 60 100 0.60 p a

= N = = ) olmak üzere, her iki çekiliş biçimi için X

n tahmin edicisinin olasılık fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibidir (açık renk-iadeli, koyu-iadesiz).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Birer Đstatistikçi (henüz adayı) olarak şimdilik: Bir kitlede, belli bir özellik taşıyan birimlerin oranını tahmin etmek istediğimizde çekilişlerin iadesiz yapılmasını tavsiye ederiz. Kitledeki birim sayısı çok fazla olduğunda iadeli çekilişler ile iadesiz çekilişler pek fark etmez diyebiliriz.

(13)

8. Oran Đle Đlgili Hipotez Testi

Bir mobilya üreticisinin deposunda 300 tane, satışa hazır, paketlenmiş mutfak masası bulunmaktadır. Alıcı, geçmiş tecrübelerine dayanarak, masaların %20 ‘sinde bir kusur ortaya çıktığını iddia etmektedir. Üretici ise, üretimde yaptıkları yenilik sonucunda kusuru %10 ‘a düşürdüklerini söylemektedir. Bunları uzlaştırmaya çalışan birisi: “50 tane masayı kontrol edip,

• Gözlenen Kusurlu Oranı %15 den büyükse alıcının,

• Gözlenen Kusurlu Oranı %15 veya daha küçükse üreticinin söylediği kabul edilsin”, diye bir teklifte bulunmaktadır.

X rasgele değişkeni, seçilen 50 masa (aynı anda seçilen 50 masa, iadesiz olarak birer birer seçilen 50 masa) içinde kusurlu olanların sayısı olsun. X rasgele değişkeni Hipergeometrik Dağılıma sahiptir. Buna göre,

50 .15

300, 60, 50

Alıcının iddiasının X

reddedilmesi

P P

Alıcının iddiası N a n

doğru

   

   

   ≤ 

   

  =  

   = = = 

   

   

   

 

 

(

7.5 300, 60, 50

)

P X

N a n

= ≤

= = =

7

0

60 240

50 0.16678

300 50

x

x x

=

  

  

  

  

  −

  

= =

 

 

 

 

 

>>x=0:7 ; sum(hygepdf(x,300,60,50) = 0.16678

50 .15

300, 30, 50

Üreticinin iddiasının X

reddedilmesi

P P

N a n

Üreticinin iddiası doğru

   

   

   > 

   

 =  

   

   = = = 

   

   

   

 

=P

(

X>7.5N=300,a=30,n=50

)

30

8

30 270

50 0.10211

300 50

x

x x

=

  

  

  

  

  −

  

= =

 

 

 

 

 

>> x=8:30 ; sum(hygepdf(x,300,30,50)) = 0.10211

dır. Ancak alıcı, üretimde eski durumun devam ettiği ve kendisi haklı iken rasgelelikten dolayı haksız duruma düşmesi olasılığının 0.10 ‘u geçmeyecek şekilde bir karar kuralı oluşturulması gerektiği üzerinde israr etmektedir. Đddialar,

H : Kusurlu oranı 0 p=0.20 dır.

H : Kusurlu oranı 1 p=0.10 dır.

(14)

şeklinde yazılsın. Đadesiz olarak 50 masa kontrol edildiğnde X rasgele değişkeni kusurlu olanların sayısı olmak üzere,

*50

X > olursa c H kabul edilsin 0

*50

X ≤ olursa c H kabul edilsin 1

gibi bir karar kuralı düşünülsün ve c sayısı, H doğru iken reddedilmesi olasılığı, yani 0 1. tip hata yapma olasılığı 0.10 ‘u geçmeyecek şekilde belirlensin.

0

0

' 50

300, 60, 50

X c

H ın reddedilmesi

P P

H doğru N a n

 

 ≤ 

   

 =  

   = = = 

   

olmak üzere,

50 0.10

300, 60, 50

X c

P N a n

 

 ≤ 

 

  ≤

 

 = = = 

 

 

 

(

X 50c 300, 60, 50

)

0.10

PN = a= n= ≤

olacak şekilde en büyük c değerini belirlemek için, N=300,a=60,n=50 olan Hipergeometrik dağılımda X rasgele değişkeninin olasılık ve dağılım fonksiyonlarının grafiklerine bir göz atalım.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Dağılım fonksiyonu grafiğinden görüldüğü gibi, P X( ≤k)=F k( )=≤0.10

olacak şekildeki en büyük k sayısı 5,6,7 sayılarından biri olabilir. Deneyelim,

>> x=0:5;

>> sum(hygepdf(x,300,60,50)) ans =

0.034856

(15)

>> x=0:6;

>> sum(hygepdf(x,300,60,50)) ans =

0.083304

>> x=0:7;

>> sum(hygepdf(x,300,60,50)) ans =

0.16678

olmak üzere, k = 6 ve 6 50 0,12

c= = olmalıdır. Buna göre, alıcının istediği doğrultuda oluşturulan karar kuralı,

* 0.12

50

X > olursa H kabul edilsin 0

* 0.12

50

X ≤ olursa H kabul edilsin 1

dır. Bu karar kuralında 1. tip hata yapma olasılığı = 0.083304 < 0.10 ve 2. tip hata yapma olasılığı,

1 1

( ' / )

P H in reddedilmesi H doğru

50 0.12

300, 30, 50

X

P N a n

 

 > 

 

 

=  = = = 

=P

(

X >6N=300,a=30,n=50

)

=0.21373 dır.

>>x=7:30 ; sum(hygepdf(x,300,30,50)) ans =0.21373

9. Bir daktilografın yazdığı bir sayfalık bir yazıda hatalı karakter sayısı (X) λ=0.5 ortalama ile Poisson dağılımına sahiptir. Bu kişinin yazdığı bir sayfalık bir yazıda,

a) hiç hata olmaması b) 1 hata olması

c) hata sayısının 5 den çok olması olasılığı nedir?

X ‘in olasılık fonksiyonu,

0.50.5

( ) , 0,1, 2,...

! e x

f x x

x

= =

olmak üzere,

(16)

a) P X( = =0) e0.5= 0.60653

b)

0.5 1

( 1) 0.5

1!

P X e

< = = 0.30327

c)

4 0.5

0

( 5) 1 ( 4) 1 0.5

!

x

x

P X P X e

x

=

> = − ≤ = −

=0.00017212

>> x=0:4 ;1-sum(poisspdf(x,0.5)) ans = 0.00017212

10. Belli bir ürünün kusurlu olması olasılığı 0.0001 dir. Üretilen 20000 adet ürün içinde kusurlu olanların sayısının 5 den çok olması olasılığı nedir?

X rasgele değişkeni 20000 tane ürün içinde kusurlu olanların sayısı olsun. Bir ürünün kusurlu olup olmaması diğerlerinden bağımsız ise X rasgele değişkeni Binom Dağılımına sahip olur.

( 20000, 1 )

10000

Xb n= p=

olmak üzere,

20000 4

0

20000 1 9999

( 5) 1 ( 4) 1

10000 10000

x x

x

P X P X

x

=

    

    

> = − ≤ = −

     = 0.052644 dır.

>>x=0:4 ; 1-sum(binopdf(x,20000,0.0001)) ans = 0.052644

, 0 ,

n→ ∞ pnpλ olduğunda, ( , )b n p Binom Dağılımındaki olasılıklar Poisson Dağılımındaki olasılıklara yakınsar (Ödev). O zaman, büyük n ve küçük p için

( , )

b n p Binom Dağlımı ile ilgili olasılık hesaplamaları yaklaşık olarak λ=np olan Poisson Dağılımında yapılabilir. Buna göre, yukarıdaki olasılık hesabı için

20000 1 2

10000 np

λ= = × = olmak üzere,

2 4

0

( 5) 1 ( 4) 1 2

!

x

x

P X P X e

x

=

> = − ≤ = −

=0.052653

dır.

>>x=0:4 ; 1-sum(poisspdf(x,2)) ans = 0.052653

(17)

11. Aldığı değerler a a1, 2,...,a olan düzgün dağılıma sahip bir X rasgele değişkeni’nin n olasılık fonksiyonu,

1 1 2 1 2

( ) , , ,..., n ( ... n)

f x x a a a a a a

=n = < < <

olasılık tablosu,

x a 1 a 2a n

( )f x 1 n

1 n

1

n dağılım fonksiyonu,

1

1

0 ,

( ) , , 1, 2,..., 1

1 ,

i i

n

x a

F x i a x a i n

n

x a

+

<



= ≤ < = −

 ≥



ve

( )

µ=E X = 1

1

1

n n i

i i i

a

a a

n n

=

=

= =

=

2 2 2

2 2 2

1 2 1

( ) ( ) ( )

( )

n n

i i

i i

Var X E X EX

a a na

n a n

σ

= =

= = −

=

− =

dır. a a1, 2,...,a değerleri verildiğinde olasılık fonksiyonu ile dağılım fonksiyonun n grafiklerini çizen ve µ veσ2 değerlerini hesaplayan bir Matlab programı

aşağıdakigibidir.

>>% a1,a2,...,an değerlerini a=[a1 a2 ... an] olarak bir a matrisine giriniz

>> a=[ … ];

>>a=sort(a);

>> n=size(a,2);

>> f=1/n*ones(1,n);

>> figure

>> plot(a,f,'.')

>> figure

>> stairs([a(1)-.5 a a(n)+0.5],[(0:n)/n 1])

>> mean(a)

>> var(a)

(18)

12. Bir torbada 5 beyaz, 10 siyah ve 15 mavi top bulunsun. Torbadan iadeli olarak 10 kez birer top çekildiğinde gelen beyaz topların sayısı X , siyah topların sayısı1 X ve 2 mavi topların sayısı X rasgele değişkeni olsun. 3 X X1, 2,X rasgele değişkenlerinin 3 ortak olasılık fonksiyonu,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, , 1 2 3

1 2 3

1 2 3

0,1, ...,10

, ,

10! 5 10 15

( , , ) ,

! ! ! 30 30 30 10

x x x

X X X

x x x

f x x x

x x x

x x x

      =

  

=       + + =

dır.. Bu dağılımdaki olasılıklar,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

10 10 10 10

0 0 0 1 2 3

10

5 10 15 10! 5 10 15

( )

30 30 30 ! ! ! 30 30 30

x x x

x x x

x x x

x x x

= = = + + =

     

  

+ + =

∑ ∑ ∑

     



üç terimlinin açılımındaki terimlerdir.

X ‘in marjinal olasılık fonksiyonu, 1

1 2 3

1

2 3

2 3 1

1 2 3

2 3

2 3 1

10 10 1

0 0 1 2 3

10

10 10

0 0

1 2 3

10

10! 5 10 15

( ) ! ! ! 30 30 30

10! 5 1 10 15

! 30 ! ! 30 30

x x x

X

x x

x x x

x x x

x x

x x x

f x

x x x

x x x

= = + = −

= = + = −

     

  

=      

     

  

=      

∑ ∑

∑ ∑





1 2 3

2 3

2 3 1

1

1 10 10

1

0 0

1 1 2 3

10

10

1 1

(10 )!

10! 5 1 10 15

! 50 (10 )! ! ! 30 30

10! 5 1 10 15

( )

! 50 (10 )! 30 30

x x x

x x

x x x

x

x

x

x x x x

x x

= = + = −

= −

= +

     

     

     

  

     

 

 

 

 

∑ ∑



1 10 1

1

1 1

10! 5 25

, 0,1, 2,...,10

!(10 )! 30 30

x x

x x x

   

 

= −     =

olup, 1 5

( 10, )

Xb n= p=50 binom dağılımına (iki terimli dağılıma) sahiptir. Benzer şekilde X ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu, 2

(19)

2 2

2

10

2 2

2

10 10 40

( ) , 0,1, 2,...,10

50 50

x x

fX x x

x

     

    

=      =

olup, 2 10

( 10, )

Xb n= p=50 dağılımlıdır ve X ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu, 3

3 3

3

10

3 3

3

10 15 35

( ) , 0,1, 2,...,10

50 50

x x

fX x x

x

     

    

=      =

olup, 3 15

( 10, )

Xb n= p=50 dağılımlıdır.

13. Bir torbada 5 beyaz, 10 siyah ve15 mavi top bulunsun. Torbadan aynı anda 10 top çekildiğinde gelen beyaz topların sayısı X , siyah topların sayısı1 X ve mavi topların 2 sayısı X rasgele değişkeni olsun. 3 X X1, 2,X rasgele değişkenlerinin ortak olasılık 3 fonksiyonu,

1 2 3

1 2 3

1 2

, , 1 2 3

3

1 2 3

0,1, 2, 3, 4, 5 5 10 15

0,1, 2,...,10

( , , ) ,

30 0,1, 2,...,10

10 10

X X X

x x x x x

f x x x

x

x x x

 

     =

   

   

   

   =

   

=       =+ + =

dır.

X ‘in marjinal olasılık fonksiyonu, 1

1

2 3 2 3

1 2 3 1 2 3

10 10 10 10

3

1 2 1

1

1 1 0 0 2 3

10 10

5 10 15 5

15 ( ) 10

30 30

10 10

X

x x x x

x x x x x x

x x x x

f x

x

= = = = x

+ + = + + =

 

      

           

=    =       

∑∑ ∑ ∑

 

1

1

5

25 30 10 10

x

x

  

    

  

=  

       − 

1 1 1

5 25

10 , 0,1, 2, 3, 4, 5 30

10

x x

x

  

  

  

  

  −

  

= =

  

  

 

olup, X ‘in marjinal dağılımı bir hipergeometrik dağılımdır. 1

(20)

Benzer şekilde X ‘nin marjinal olasılık fonksiyonu, 2

2

2 2

2 2

10 40

( ) 10 , 0,1, 2,...,10

50 10

X

x x

f x x

  

  

  

  

  −

  

= =

  

  

 

ve X ‘ün marjinal olasılık fonksiyonu, 3

3

3 3

3 3

15 35

( ) 10 , 0,1, 2,...,10

50 10

X

x x

f x x

  

  

  

  

  −

  

= =

  

  

  dır.

Referanslar