· Iki Tür Modeli

Iki Tür Modeli

· Iki Tür Modeli

P

ve P

nüfuslu, iki türden olu¸san küçük bir ekosistem göz önüne alal¬m.

Her bir türün de¼ gi¸sim oran¬n¬n sadece türlerin nüfusuna ba¼ g¬ml¬oldu¼ gunu kabul edelim. O halde, matematiksel modelimiz

dP

dt = g ( P

, P

) (1)

dP

dt = f ( P

, P

) (2)

¸seklindedir.

Genel olarak bir türün etkisi, di¼ ger türün nüfusunu art¬rmak veya azaltmak

¸seklindedir. Böylece iki tür aras¬nda üç tip etkile¸sim olu¸sur.

+ ( +) av-avc¬; Bir tür di¼ gerinin nüfusunu azalt¬yor.

++ (ortakl¬k); Her iki tür birbirinin nüfusunu art¬r¬yor.

· Iki tür için verilen (1)-(2) modelinde, e¼ ger hiç bir türün d¬¸s göçü yoksa bu durumda

g ( 0, P

) = 0 ve f ( P

, 0 ) = 0 olur. (1)-(2) sisteminin faz düzlem denklemi,

dP

dP

= ^f ( P

, P

)

g ( P

, P

) ⁽³⁾

iki-nüfus ekosisteminin fazlar¬ olarak adland¬r¬l¬r. Bu denklemin çözümü nüfuslar¬n yörüngelerini verir.

g ( P

, P

) ve f ( P

, P

) zamana aç¬k olarak ba¼ gl¬olmad¬klar¬ndan, verilen

model otonomdur. Nüfuslar¬n etkile¸simini çal¬¸smak için ya (1)-(2) sistemini

ya da (3) denklemini analiz etmek gerekir. Ço¼ gu zaman her ikisinin de aç¬k

bir çözümünü bulmak mümkün de¼ gildir.

Iki Tür Modeli Kararl¬l¬k

· Iki Tür Modeli - Kararl¬l¬k

Denge nüfusu-her iki nüfusun da zamanla de¼ gi¸smedi¼ gi nüfus.

(do¼ gum say¬s¬=ölüm say¬s¬) ( P

, P

) bir denge nüfusu ise

f ( P

, P

) = 0 (4)

g ( P

, P

) = 0 (5)

demektir. Denge durumunda, dP

/dP

belirsizdir. Böylece, ( P

, P

) noktas¬faz düzlem denkleminin bir ayk¬r¬(tekil) noktas¬d¬r.

Denge noktas¬(nüfusu) kararl¬m¬d¬r?

E¼ ger her iki nüfus da denge nüfuslar¬na yak¬n ise, zaman içinde ne

olur?

Kararl¬l¬k analizi: 0 < j ^ε j ^{1 için}

P

( t ) = P

+ εP

( t ) P

( t ) = P

+ εP

( t )

yi (1)-(2) sisteminde yerlerine yaz¬p, Taylor aç¬l¬m¬nda e

li terimleri atarsak

dP

( t )

dt = ^∂g ( P

, P

)

∂P

P

( t ) + ^∂g ( P

, P

)

∂P

P

( t ) (6) dP

( t )

dt = ^∂f ( P

, P

)

∂P

P

( t ) + ^∂f ( P

, P

)

∂P

P

( t ) (7)

Iki Tür Modeli Kararl¬l¬k

(6)-(7) sistemi birinci basamaktan bir lineer denklem sistemidir ve çözümü denge noktas¬kom¸sulu¼ gunda türlerin davran¬¸s¬n¬verir. Bu denklem

sistemini matris formunda

dP dt = JP

¸seklinde de yazabiliriz. Burada J

J = 2 6 4

∂g(P1e,P2e)

∂P1

∂g(P1e,P2e)

∂P2

∂f(P1e,P2e)

∂P1

∂f(P1e,P2e)

∂P2

3 7 5

olup, sistemin Jakobiyen matrisidir.

Sistem (6)-(7) daha basit bir gösterimle dx

dt = ax + by (8)

dy

dt = cx + dy (9)

veya matris formda

dx dydt dt

= ^dX

dt = JX = ^{a b} c d

x y

¸seklinde yaz¬labilir. Burada, a, b, c, d sabitler x ve y de denge noktas¬ndan

sapma olarak al¬nabilir.

Iki Tür Modeli Kararl¬l¬k

c = 0 ise (9) denklemi çözülebilir olup, çözümü y ( t ) = k

e

, ( k

sabit ) ve

x ( t ) = 8 >

<

> :

k

e

+ ^bk

d a e

, d 6= ^a k

e

+ k

bte

, d = a

( k

sabit )

c 6= ⁰ ise, (9) denkleminde türev alarak, d

y

dt

( a + d ) ^dy

dt + ( ad bc ) y = 0 (10)

sabit katsay¬l¬denklemi elde edilir ki karakteristik denklemi r

( a + d ) r + ( ad bc ) = 0 veya

r

iz ( J ) r + det ( J ) = 0 olup, dikkat edilirse bu denklem dX

dt = JX sisteminde J matrisinin karakteristik denklemidir. Kökleri ise

r

= ^a + d p

( a + d )

4 ( ad bc ) 2

olup J nin özde¼ gerlerini verir.

Iki Tür Modeli Kararl¬l¬k

Durum 1. r

ve r

reel ve r

6= ^r

^. (10) denkleminin genel çözümü

y ( t ) = k

e

+ k

e

, ( k

, k

isteksel sabitler ) (11) olup, (9) e¸sitli¼ ginden,

x ( t ) = ^k

( r

d )

c e

+ ^k

( r

d )

c e

(12)

elde edilir. O halde (11) ve (12), t ! ^{∞ için} ( x ( t ) , y ( t )) ! ( 0, 0 ) , ( r

, r

< 0 )

xy –de bir nokta, ( bir kök < 0, di¼ ger kök = 0 )

verir.

Durum 2. r

= r

.

y ( t ) = k

e

+ k

te

, ( k

, k

isteksel sabitler ) (13)

x ( t ) = ^k

( r

d )

c e

+ ^k

( 1 + r

t dt )

c e

(14)

elde edilir. Böylece, t ! ∞ için

( x ( t ) , y ( t )) ! ( 0, 0 ) , ( r

< 0 )

∞ da bir nokta, ( r

= 0 )

olur.

Iki Tür Modeli Kararl¬l¬k

Durum 3. Kompleks e¸slenik kökler: r

= α + i β, r

= α i β.

y ( t ) = k

e

cos βt + k

e

sin βt (15)

x ( t ) = ^k

^e

αt

c ( α cos βt β sin βt d cos βt ) + ^k

^e

αt

c ( α sin βt + β cos βt d sin βt ) (16) bulunur. t ! ^{∞ için}

( x ( t ) , y ( t )) ! ( ^{0, 0} ) , ( α < 0 )

elde edilir.

Yukar¬daki durumlar¬göz önüne alarak a¸sa¼ g¬daki sonuçlar¬elde ederiz:

Bir denge çözümü,

(i) kararl¬d¬r e¼ ger her iki kökün reel k¬s¬mlar¬negatif ise, (ii) etkisiz kararl¬d¬r (yani çözüm t ! ∞ için bir denge

noktas¬na yakla¸smaz), e¼ ger her iki kök s¬f¬r de¼ gilse, ve bir kökün reel k¬sm¬s¬f¬r ve di¼ geri küçük veya e¸sit s¬f¬r ise (Durum 1 ve 3),

(iii) cebirsel karars¬zd¬r (yani çözüm t nin bir cebirsel kuvveti ile büyür) e¼ ger her iki kök de s¬f¬r ise (Durum 2, dengenin etkisiz kararl¬oldu¼ gu a = b = c = d = 0 hariç),

(iv) karars¬zd¬r e¼ ger bir kökün reel k¬sm¬pozitif ise.

Iki Tür Modeli Kararl¬l¬k

Bu veriler ¬¸s¬¼ g¬nda a¸sa¼ g¬daki tabloyu olu¸sturabiliriz:

r = ^a + d p

( a + d )

4 ( ad bc ) 2

ifadesinde p = a + d , q = ad bc, 4 = ^p

^{4q olsun.}

DURUM KÖKLER KARARLILIK

I. 4 > ⁰ Reel ve farkl¬

A. q > 0 ayn¬i¸saret

( a ) p > 0 her ikisi de + Karars¬z ( b ) p < 0 her ikisi de Kararl¬

B. q = 0 bir kök s¬f¬r

( a ) p > 0 di¼ ger kök + Karars¬z ( b ) p < 0 di¼ ger kök Etkisiz kararl¬

C. q < 0 z¬t i¸saretler Karars¬z

II. 4 = ⁰ Reel ve e¸sit

A. p > 0 her ikisi de + Karars¬z

B. p = 0

( a ) en az bir

a, b, c, d 6= ⁰ her ikisi de s¬f¬r Cebirsel karars¬z ( b ) a, b, c, d = 0 her ikisi de s¬f¬r Etkisiz kararl¬

C. p < 0 her ikisi de Kararl¬

III. 4 < ⁰ Karma¸s¬k e¸slenik

A. p > 0 reel k¬s¬m + Karars¬z

B. p = 0 reel k¬s¬m s¬f¬r Etkisiz kararl¬

C. p < 0 reel k¬s¬m Kararl¬

Iki Tür Modeli Kararl¬l¬k

E¼ ger a, b, c, d ölçümlerinde küçük hatalar var ise ve bunlar p, q, 4 hesaplamalar¬nda da küçük hatalar do¼ guruyorsa, bu durumda yukar¬daki durumlar de¼ gi¸simle kar¸s¬kar¸s¬ya kal¬r. Ölçümlerdeki küçük hatalar¬n

de¼ gi¸sime yol açmad¬¼ g¬durumlara temel durumlar denir. Buna göre, I(A), I(C), III(A) ve III(C) durumlar¬temel durumlard¬r. Di¼ ger durumlar ise s¬n¬r durumlar¬olarak adland¬r¬l¬r. E¸sit i¸sareti içeren herhangi bir durum s¬n¬r durumudur.

Temel durumlarda lineer sistemin davran¬¸s¬(en az¬ndan denge çözümü kom¸sulu¼ gunda) lineer olmayan sisteme duyarl¬bir yakla¸s¬md¬r. Dahas¬, lineer olmayan bir sistem için bir s¬n¬r denge nüfusunun kararl¬l¬¼ g¬, onun lineerle¸stirilmi¸si ile ayn¬d¬r (III(B): 4 < ^{0, p} = 0 durumu hariç ki bu s¬n¬r durumu, kararl¬l¬k bölgesini karars¬zl¬k bölgesinden ay¬r¬r). Tüm s¬n¬r durumlar¬için faz düzlem analizi ile birlikte bu s¬n¬r durumunun

kararl¬l¬¼ g¬nda; denge noktas¬n¬n yak¬n kom¸sulu¼ gunda duyarl¬bir yakla¸s¬m

elde etmek için lineerle¸stirme i¸sleminde göz ard¬edilen baz¬lineer olmayan

terimler gerekli olabilir. Bunun için genellikle Taylor serisindeki ikinci