Chapter 1
G˙IR˙IS ¸
Bu dersin yakın amacı, MAT-2 (˙Integral ve Uygulamaları) dersine hazırlık yapmaktır. Uzak amacı ise, soyut d¨u¸s¨unebilme yeteneˇgini ve dolayısıyla da problem ¸c¨ozebilme yeteneˇgini geli¸stirmektir. (Bu y¨uzden, kendinize biz bu konuları ¨oˇgretecek miyiz ki ¨oˇgreniyoruz benzeri sorular sormayınız.)
Herhangi bir matematik dersinde olduˇgu gibi, bu dersi ¸calı¸sırken de ezberden ka¸cınınız; ¨oˇgrenmek i¸cin ¸cok ¸calı¸sınız. Bunun i¸cin ¸sunlara dikkat etmelisiniz:
1. Derslere mutlaka devam ediniz. Matematik konuları birbirine ¨onko¸sul ili¸skisiyle baˇglı olduˇgundan, ka¸cırdıˇgınız bir dersin eksikliˇgini girdiˇginiz sonraki derste mutlaka hissedersiniz. 4 haftalık devamsızlık hakkı ka- nunen tanınan bir haktır, sadece olaˇgan¨ust¨u durumlarda kullanınız.
2. Dersi ders anında anlamaya ¸calı¸sınız, olmadı g¨un¨u g¨un¨une ¸calı¸sınız, daha olmadı haftasına ¸calı¸sınız, ama, nasıl olsa sınavlar yakla¸stıˇgında
¸
calı¸sırım d¨u¸s¨uncesiyle hareket etmeyiniz. Bu durum ¸calı¸smayı zevkli yapmak yerine i¸skence yapar. Dahası, b¨oyle durumlarda genellikle ¸cok ge¸c kalınır.
3. Her derste mutlaka soru sorunuz. Bu, hem merakınızı giderip dersten zevk almanızı saˇglar, hem derse katılgınlıˇgınızı arttırır, hem de dersin
¨
oˇgretim elemanına ¨oˇgrenme d¨uzeyiniz hakkında d¨on¨ut (geri bildirim) verir.
4. Matematik roman okur gibi ¸calı¸sılmaz. C¸ alı¸sırken mutlaka elinizin altında kaˇgıt ve elinizde kalem bulundurunuz. Unutmayın ki, en me¸shur
1
matematik¸ciler en basit problem(!) i¸cin bile bunu yaparlar. C¸ ¨unk¨u, yapılan i¸s soyuttur.
5. Bir problemi ¸c¨ozemediˇginizde, bir konu veya kavramı anlayamadıˇgı- nızda, ba¸sınıza en olaˇgan ¸sey gelmi¸s demektir, panik yapmayınız. Arka- da¸slarınızla tartı¸sınız veya konuyu bir arkada¸sınıza anlatarak anlamaya
¸calı¸sınız. En sonunda dersin ¨oˇgretim elemanına danı¸sınız. (Bu konuda
¸su tavsiyede bulunanlar da vardır: Bir konuyu anlayamadıˇgınızda o konuda bir ders anlatın, yine anlayamazsanız o kunuda bir kitap yazın, yine anlayamazsanız yazdıˇgınız kitabı dikkatlice ¸calı¸sın.)
6. Derste g¨ord¨uˇg¨un¨uz bir konuyu tekrar ¸calı¸sırken, konuyu kavramı¸s ol- mak i¸cin kendi c¨umlelerinizle tekrar yazabilmelisiniz.
7. ”Sabahlara kadar ders ¸calı¸stım ama ba¸saramadım” diyen ¨oˇgrenci ol- mayınız. C¸ ¨unk¨u, uykusuz yapılacak bir etkinlik deˇgildir matematik.
Din¸c ve zinde olmalısınız; hele hele sınavlara uykusuz girmemelisiniz.
8. Son olarak, Matematik¸ci olmak demek bir matematik b¨ol¨um¨u bitirmek demek deˇgildir. Yukarıdakilere ek olarak, soru sormayı ve sorgulamayı seviyorsanız, ¸calı¸stıˇgınız konu veya ¸c¨ozd¨uˇg¨un¨uz problemler size yeni problemlerin, soruların kapısını aralıyorsa ve bu soruları ifade edebili- yorsanız, siz iyi bir matematik¸cisiniz.
˙Izleyen Temel Bilgiler b¨ol¨um¨unde k¨ume, sayı, fonksiyon kavramları ders i¸cin yetecek kadar irdelenecektir.
T¨urev b¨ol¨um¨unde s¨oz konusu kavram tanımlanacak ve sık kullanacaˇgımız fonksiyonların t¨urevleri hesaplanacaktır. Uygulamalar kısmı t¨urevin mate- matik ve ¸cevremizdeki ilgin¸c bazı uygulamalarını i¸cerecektir.
Belirsiz integral b¨ol¨um¨unde uygulamalarda kar¸sımıza ¸cıkan bazı fonksi- yonların integralleri ile integral alma teknikleri incelenecektir.
Son b¨ol¨um olan Belirli integral b¨ol¨um¨unde ise integral kavramının ¸cıkı¸s noktasına gidecek, Newton ile Leibniz’in izlediˇgi yolu ke¸sfederek alanların kolaylıkla ve kesin olarak nasıl hesaplanabileceˇgini g¨oreceˇgiz.
Chapter 2
TEMEL B˙ILG˙ILER
Matematik nedir? Hepimizde beliren ortak d¨u¸s¨unce, genellikle sayılar ile yapılan bir zihinsel etkinlik olu¸sudur. Sayının tanımı ise birbirine denk olan k¨umelerin ortak ¨ozelliˇgi olunca, k¨ume kavramı ¨on plana ¸cıkmaktadır. Bu y¨uzden, hemen her temel matematik dersinde olduˇgu gibi biz de k¨umeler konusu ile ba¸slayacaˇgız.
2.1 K ¨ UME KAVRAMI
Nasıl ki nokta kavramı tanımlanamıyorsa, ancak sezgi yoluyla anlatılmaya
¸calı¸sılıyorsa, k¨ume i¸cin de bu yol izlenir. K¨ume de tanımsız kabul edilen bir kavramdır, tanımlama ¸cabasına giri¸silmemelidir. K¨ume, varlıklar topluluˇgu, bazı ¨ozelliklere sahip nesneler topluluˇgu gibi c¨umlelerle anlatılabilir.
K¨umeler A, B, C,... gibi b¨uy¨uk harflerle g¨osterilir. K¨umeyi olu¸sturan nes- nelere eleman denir. K¨ume elemanları da a, b, x, y,... gibi k¨u¸c¨uk harflerle g¨osterilir. Eˇger a bir A k¨umesinin elemanı ise, bunu
a ∈ A
bi¸ciminde g¨osteririz. Eˇger x bir A k¨umesinin elemanı deˇgil ise, bunu da x 6∈ A
bi¸ciminde g¨osteririz. Bir k¨umenin belirli olması i¸cin, onun elemanlarının teker teker verilmesi veya o k¨umenin elemanlarının belirtilmesine yarayan
3
karakteristik bir ¨ozelliˇginin verilmesi gerekir. Yani, k¨umenin elemanlarının anlamlı ve belirli olması gerekir.
Buna g¨ore, bir k¨umeyi g¨osterirken ya o k¨umenin elemanlarını {· · · } ¸seklinde parantez arasına, ya da
{x : x’in karakteristik ¨ozelliˇgi}
¸seklinde yazarız. ¨Orneˇgin, elemanları a, b, c olan k¨umeye A dersek, bunu A = {a, b, c}
ile veya
A = {x : x T¨urk¸ce alfabenin ¸c’ye kadarki harfleri}
¸seklinde g¨osterebiliriz. Bu yazı¸sta, k¨umenin genel elemanı x ile g¨osterilmi¸s,
”:” i¸sareti de ”¨oyle ki” anlamına gelen bir sembol olarak kullanılmı¸stır.
Kolaylık olsun diye bazen k¨ume ve elemanlarını bir b¨olge i¸cinde kalan nok- talar ile g¨ostermek gelenek olmu¸stur. Bu ¸sekillere Venn Diyagramları denir (John Venn, 1806-1923). B¨oylece yukarıdaki k¨umeyi ¸s¨oyle g¨osterebiliriz:
S¸ekil 2.1 A k¨umesi.
Venn diyagramından da yararlanarak k¨umelerle ilgili 3 durumun s¨ozkonusu olduˇgunu s¨oyleyebiliriz. Bunlar ¸s¨oyle g¨osterilebilir:
S¸ekil 2.2 K¨umelerin birbirine g¨ore durumları.
2.1. K ¨UME KAVRAMI 5 S¸imdi k¨umelerle ilgili temel kavramları vereceˇgiz.
Tanım 2.1. (Alt K¨ume) Eˇger bir A k¨umesinin her bir elemanı B k¨umesinin de bir elemanı ise A k¨umesi B k¨umesinin bir alt k¨umesidir denir ve A ⊂ B
¸seklinde g¨osterilir. Eˇger A k¨umesi B’nin alt k¨umesi deˇgilse bu durum A 6⊂ B ile g¨osterilir. Kısaca
A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) yazabiliriz.
Tanım 2.2. (E¸sitlik) ˙Iki k¨umenin e¸sitliˇgi
A = B ⇐⇒ [A ⊂ B ve B ⊂ A]
denkliˇgi ile verilir. A’nın en az bir elemanı B’de deˇgilse A ile B farklıdır denir ve A 6= B ¸seklinde g¨osterilir.
Not 2.1. Bu tanıma g¨ore A ve B e¸sit k¨umelerse aynı elemanlardan olu¸surlar.
Eˇger A ⊂ B fakat A 6= B ise, A’ya B’nin ¨oz alt k¨umesi denir.
Tanım 2.3. (Bo¸s k¨ume) Hi¸c elemanı olmayan k¨umeye bo¸s k¨ume denir ve
∅ (Fi) ile g¨osterilir.
Bo¸s k¨ume i¸cin
∅ := {x : x 6= x}
tanımı da yapılabilir. Bo¸s k¨umenin tanımından ¸su teorem ve zarif ispatı verilebilir:
Teorem 2.1. ∅ (bo¸s k¨ume) her k¨umenin alt k¨umesidir.
˙Ispat: A herhangi bir k¨ume olsun. ∅ 6⊂ A ise, bu ∅ k¨umesinin A’da olmayan en az bir elemanı olduˇgu anlamına gelir. Bu ise ∅’nin tanımına aykırıdır.2 Tanım 2.4. (Evrensel k¨ume) Bir problemde g¨oz ¨on¨une aldıˇgımız t¨um k¨umeleri i¸ceren bir k¨ume (veya k¨umeler) d¨u¸s¨unebiliriz. Bu k¨umeye evrensel k¨ume deyip E ile g¨ostereceˇgiz.
Orneˇ¨ gin, sınıfımızdaki ¨oˇgrencileri bir k¨ume olarak d¨u¸s¨un¨ursek, bu k¨ume i¸cin evrensel k¨ume Fen Bilgisi ¨oˇgretmenliˇgi ¨oˇgrencileri, okulumuz ¨oˇgrencileri veya
¨
universitemiz ¨oˇgrencileri olabilir.
Tanım 2.5. (˙Iki k¨umenin birle¸sim k¨umesi) A ve B k¨umelerinin eleman- larından olu¸san ¨umeye A ile B’nin birle¸simi denir ve A ∪ B ile g¨osterilir.
A ∪ B k¨umesi a¸saˇgıdaki ¸sekilde de tanımlanır.
A ∪ B := {x : x ∈ A veya x ∈ B}
Buna g¨ore, k¨umelerin birbirine g¨ore ¸su durumları s¨oz konusudur:
S¸ekil 2.3 K¨umelerin birle¸simi.
G¨or¨ul¨uyor ki A ⊂ A ∪ B ve B ⊂ A ∪ B’dir.
Tanım 2.6. (˙Iki k¨umenin kesi¸sim k¨umesi) A ile B k¨umelerinin ortak ele- manlarından olu¸san k¨umeye A ile B’nin kesi¸simi denir ve A ∩ B ile g¨osterilir.
A ∩ B k¨umesi ¸su ¸sekilde de tanımlanır:
A ∩ B := {x : x ∈ A ve x ∈ B}.
Buna g¨ore, k¨umelerin birbirine g¨ore ¸su durumları s¨oz konusudur:
S¸ekil 2.4 K¨umelerin kesi¸simi.
O halde, A ∩ B ⊂ A ve A ∩ B ⊂ B’dir.
Tanım 2.7. (Ayrık k¨umeler) A ∩ B = ∅ ise A ile B k¨umelerine ayrık k¨umeler diyeceˇgiz.
2.1. K ¨UME KAVRAMI 7 Tanım 2.8. (˙Iki k¨umenin fark k¨umesi) A k¨umesinde olup da B’de bulun- mayan elemanların k¨umesine A’nın B’den farkı denir ve A \ B ile g¨osterilir.
Aynı tanım ¸s¨oyle de yapılabilir:
A \ B := {x : x ∈ A ve x 6∈ B}.
Tanım 2.9. (˙Iki k¨umenin simetrik fark k¨umesi) ˙Iki k¨umenin kesi¸simi dı¸sındaki elemanlarının k¨umesine, bu iki k¨umenin simetrik fark k¨umesi denir ve A 4 B ile g¨osterilir.
Buna g¨ore A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A) yazılabilir.
Tanım 2.10. (Bir k¨umenin t¨umleyeni) Evrensel k¨umenin A k¨umesinden farkına A k¨umesinin t¨umleyeni denir ve A0 ile g¨osterilir.
Buna g¨ore, A0 := {x : x 6∈ A} yazılabilir.
S¸ekil 2.5 A k¨umesinin t¨umleyeni.
Sonu¸c 2.1. 8 ve 10 tanımlarından g¨or¨ul¨uyor ki, a¸saˇgıdakiler yazılabilir.
1. A \ B = A ∩ B0 2. ∅0 = E ve E0 = ∅ 3. (A0)0 = A
Teorem 2.2. A ve B herhangi iki k¨ume ise, 1. (A ∪ B)0 = A0∩ B0
2. (A ∩ B)0 = A0∪ B0
d¨ur. Bunlar De Morgan kuralları olarak bilinir.
˙Ispat:
1. x ∈ (A ∪ B)0 ⇐⇒ x ∈ A0 ∩ B0 olduˇgunu g¨ostermeliyiz. Ger¸cekten, x ∈ (A ∪ B)0 ⇐⇒ x 6∈ A ∪ B
⇐⇒ x 6∈ A ve x 6∈ B
⇐⇒ x ∈ A0 ve x ∈ B0
⇐⇒ x ∈ A0∩ B0 bulunur. Benzer olarak 2’yi g¨osteriniz. 2
Tanım 2.11. (Sonlu k¨ume) Sonlu sayıda elemanı olan k¨umeye sonlu k¨ume diyecek ve eleman sayısını s(A) ile g¨ostereceˇgiz.
Odev 2.1. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) e¸sitliˇ¨ gini ve bundan yarar- lanarak a¸saˇgıdaki e¸sitliˇgi g¨osteriniz.
s(A∪B∪C) = s(A)+s(B)+s(C)−s(A∩B)−s(A∩C)−s(B∩C)+s(A∩B∩C) Tanım 2.12. (˙Iki k¨umenin denkliˇgi) Aralarında birebir e¸sleme yapılabi- len A ve B k¨umelerine birbirine denktir denir ve A ≡ B ile g¨osterilir.
ALIS¸TIRMALAR (K¨umeler)
1. A, B ve C k¨umeleri i¸cin a¸saˇgıdaki e¸sitliklerin doˇgruluˇgunu g¨osteriniz.
(a) A ∩ B=B ∩ A (b) A \ B=B0 \ A0 (c) A 4 B=B 4 A
(d) A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (e) A \ A=∅
2. A¸saˇgıdaki ¨onermelerin doˇgruluˇgunu g¨osteriniz.
(a) A ∩ B=A ⇔ A ⊂ B (b) A ∪ B=B ⇔ A ⊂ B
(c) A ⊂ B ⇔ A0 ⊃ B0 (d) A ∩ B=∅ ⇔ B ⊂ A0
2.2. SAYILAR 9
2.2 SAYILAR
Birbirine denk sonlu elemanlı iki k¨umenin ortak ¨ozelliˇgi nedir diye soracak olursak, cevabımız onların ¸cokluklarının aynı olmasıdır. ˙I¸ste bu ¸cokluˇga doˇgal sayı diyoruz. Buna g¨ore, 1 sembol¨u ile g¨osterdiˇgimiz sayı {∗} k¨umesine denk olan b¨ut¨un k¨umelerin ortak ¨ozelliˇgidir. Benzer olarak diˇger doˇgal sayılar tanımlanır. Doˇgal sayıların kurulu¸sundaki temel esas nesnelerin belli bir sayıda s¨urekli olarak gruplanmasıdır. Bu gruplamada, bir gruptaki eleman sayısına taban, ardı¸sık gruplamaların her birine de basamak adı verilir. Kul- landıˇgımız taban on’luk tabandır. (Nedenini d¨u¸s¨un¨un¨uz.) Belli bir tabanda kullanılan sembollere rakam diyeceˇgiz.
Temel sayı k¨umeleri olarak ¸sunları g¨oz ¨on¨une alacaˇgız:
Rakamlar: {0, 1, 2, · · · , 9}
Sayma sayıları: N+= {1, 2, 3, · · · }
Doˇgal (Naturel) sayılar: N = {0, 1, 2, · · · } Tam (Zahlen) sayılar: Z = {0, ∓1, ∓2, · · · }
Z k¨umesi de g¨unl¨uk ya¸santımıza cevap veremediˇginden, rasyonel sayıları tanımlarız. C¸ ¨unk¨u, bx = a (b 6= 0) denkleminin k¨ok¨u her zaman tamsayı deˇgildir. Bu denklemin ¸c¨oz¨um¨u x = ab olduˇgundan, bu bi¸cimdeki sayıları tanımlamaya gereksinim duyarız:
Rasyonel (Quotient) sayılar: Q = {ab : a, b ∈ Z ve b 6= 0}
Rasyonel sayılarla i¸slemlerin nasıl yapıldıˇgını biliyorsunuz, ¨uzerinde durmaya- caˇgız. Bu sayı k¨umesinin bir ¨ozelliˇgi de devirli ondalık kesirlerden olu¸smaları- dır. Q k¨umesi ile ilgili olarak ¸sunu da s¨oyleyelim.
a b = c.a
c.b
olduˇgundan, Q’daki sayı tekrarını ¨onlemek i¸cin a ile b sayılarını aralarında asal kabul edeceˇgiz.
Q k¨umesi de g¨unl¨uk ya¸santıda yeterli olmadıˇgından, ¨orneˇgin x2 = 5 denk- leminin k¨okleri ab ¸seklinde (yani rasyonel) olmadıˇgından (neden?), rasyonel ol- mayan (irrasyonel) sayılar k¨umesi’ni tanımlarız. A¸saˇgıdaki teorem (tarihte) irrasyonel sayıların ilk ¸cıkı¸s noktası olması bakımından olduk¸ca me¸shurdur ve ¨onemlidir. Ancak, ¨onemli bir noktayı vurgulayalım: Bir¸cok matematik
veya geometri kitabında Pisagor teoremi diye bu teoremin sadece gerek ¸sart kısmı, yani a¸saˇgıdaki notta belirttiˇgimiz 1. kısmı alınmaktadır.
Teorem 2.3. (Pisagor Teoremi) ABC ¨oklid d¨uzleminde bir ¨u¸cgen ise, m( bC) = 90o ⇐⇒ a2+ b2 = c2. (2.1) Not 2.2. Bu teorem sırayla gerek ¸sart ve yeter ¸sart dediˇgimiz iki b¨ol¨umden olu¸sur:
1. bC a¸cısı dik ise a2+ b2 = c2’dir.
2. a2+ b2 = c2 ise bC a¸cısı diktir.
˙Ispat:
(1) Gerek ¸sart: (⇒) bC a¸cısı dik olan ABC ¨u¸cgeni a¸saˇgıdaki gibi verilsin.
S¸ekil 2.6 ¨Ozde¸s iki karenin alanından Pisagor baˇgıntısı.
Yukarıdaki karelerin kenarları, verilen ¨u¸cgenin dik kenarlarının toplamı olup, bu karelerin alanlarının e¸sitliˇginden gereklilik ispatı tamamlanır. (Bu ispat 12. yy’da ya¸samı¸s Hint matematik¸ci Bhashkara’ya aittir. Ba¸ska ispatlar i¸cin, ki farklı 367 ispatı olduˇgu s¨oyleniyor, Matematik D¨unyası, cilt-1/sayı-3 ile cilt-5/sayı-4’e bakabilirsiniz. Ayrıca, WEB’de bir arama motorunda t¨urk¸ce sayfalar i¸cin pisagor teoremi ve ingilizce sayfalar i¸cin pythagorean theorem anahtar kelimelerini girerek ilgili g¨uzel sayfalara ula¸sabilirsiniz.)
(2) Yeter ¸sart: (⇐) Bir ABC ¨u¸cgeninde
|AB|2 = |CB|2+ |CA|2
2.2. SAYILAR 11 olsun. S¸imdi, |P Q| = |CB|, |P R| = |CA| ve m( bP ) = 90o olacak ¸sekilde bir P QR dik ¨u¸cgeni alalım. Yukarıdaki (1) ispatından dolayı
|P Q|2+ |P R|2 = |QR|2
olacaktır. Burada |P Q| = |CB| ve |P R| = |CA| deˇgerleri yerine yazılırsa,
|CB|2+ |CA|2 = |QR|2
= |AB|2
ve buradan |AB| = |QR| bulunur. Bu ise bize, KKK e¸slik teoreminden dolayı, P QR ile CAB ¨u¸cgenlerinin e¸s olduklarını, yani, bC a¸cısının dik a¸cı olduˇgunu g¨osterir. 2
Sonu¸c 2.2. ABC dik ¨u¸cgeninde a = 1 ve b = 2 olması durumunda c2 = 5 ve c =√
5 olur. Bu ise rasyonel olmayan bir sayıdır.
Ger¸cekten, √
5 rasyonel olsa, x ile y aralarında asal olmak ¨uzere
√5 = x y
¸seklinde yazılabilirdi. Bu durumda ise, iki tarafın karesi alınarak, 5 = x2
y2 ⇒ 5y2 = x2
bulunur. Bu ise, x2’nin 5’e b¨ol¨unebildiˇgini, dolayısıyla da x’in 5’e b¨ol¨unebil- diˇgini g¨osterir. Buradan x = 5k yazılıp yerine konursa,
5y2 = 25k2 ⇒ y2 = 5k2
olduˇgunu, bu ise y’nin de 5’e b¨ol¨unebildiˇgini g¨osterir. Bu durum x ile y’nin aralarında asal olması ile ¸celi¸sir. Bu ¸celi¸ski√
5’in rasyonel olması kabul¨unden kaynaklandı, o halde kabul¨um¨uz yanlı¸stır, yani √
5 rasyonel deˇgildir.
Rasyonel olmayan bu ¸sekildeki sayılara ˙Irrasyonel sayılar diyecek ve Q∗ ile g¨ostereceˇgiz. ˙Irrasyonel sayılar k¨okl¨u sayılardan ibaret deˇgildir. e (doˇgal logaritma tabanı), π (bir ¸cemberin ¸cevresinin ¸capına oranı), gibi sayılar da irrasyoneldir. Bu sayıların deˇgerleri seriler yardımıyla hesaplanır. √
2π sayısının ne anlama geldiˇgini bilmesek de bu sayı da irrasyoneldir. (˙Irrasyonel sayılar i¸cin bir WEB arama motorunda ingilizce sayfalar i¸cin irrational num- bers ve t¨urk¸ce sayfalar i¸cin de irrasyonel sayılar ipu¸clarını girip ¨ozellikle in- gilizce deˇgerli sayfalar bulabilirsiniz. Hemen belirtelim ki e sayısının irras- yonel olduˇgunu ispatlamak bile kolay i¸s deˇgildir.)
Tanım 2.13. (Reel sayılar) Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birle-
¸sim k¨umesine Reel sayılar diyecek ve R ile g¨ostereceˇgiz.
Bu sayı k¨umesindeki i¸slemleri biliyorsunuz. Reel sayılar ile sayı doˇgrusu
¨
uzerindeki noktalar birebir e¸slenebilir. Bundan dolayı reel sayı deyince sayı doˇgrusu aklımıza gelir. Bu y¨uzden reel sayılara doˇgrusal nokta k¨umeleri de denir.
Pisagor teoremini de kullanarak, karek¨okl¨u reel sayıları sayı doˇgrusu ¨uzerin- deki noktalarla (uzunluklarla) e¸sle¸stirmek i¸cin a¸saˇgıdaki g¨uzel ¸sekilden yarar- lanabiliriz.
S¸ekil 2.7 Karek¨okl¨u sayıların t¨ureyi¸si.
Tanım 2.14. (Polinom denklem) a0, a1, a2, · · · , an tam sayı olmak ¨uzere, anxn+ an−1xn−1+ an−2xn−2+ · · · + a1x1+ a0 = 0 (∗)
¸seklindeki denkleme polinom denklem, n’ye denklemin derecesi, an6= 0 sayı- sına denklemin ba¸skatsayısı denir.
Tanım 2.15. (Cebirsel sayılar) (∗) denklemini saˇglayan sayılara cebirsel sayı denir. Biraz daha formal olmak gerekirse, (∗)’ın k¨ok¨u olup n’den daha k¨u¸c¨uk dereceli bir denklemin k¨ok¨u olmayan sayıya n-inci basamaktan cebirsel sayı denir. Cebirsel olmayan sayılara da transendent (transcendental) veya a¸skın sayılar denir.
Ornek 2.1.¨ √
2, 3 ve 2/5 sayıları cebirsel sayılardır, ¸c¨unk¨u, bunlar sırasıyla x2− 2=0, x − 3=0 ve 5x − 2=0 polinom denklemlerinin k¨okleridir. Ancak, π, e, ln3, 2
√
2 gibi sayılar cebirsel deˇgildir.
Ornek 2.2.¨ √ 2 +√
3 sayısının cebirsel olduˇgunu g¨osterelim. x =√ 2 +√
3 ise x2 = 2 + 3 + 2√
6 ve buradan x4− 10x2+ 1 = 0 bulunur. O halde,√ 2 +√
3 sayısı 4-¨unc¨u dereceden bir cebirsel sayıdır.
2.2. SAYILAR 13 Not 2.3. Reel sayılar ile ilgilenen matematik dalı Reel Analiz’dir. Bizim reel sayılara yakla¸sımımız aksiyomatik deˇgil, daha ¸cok sezgisel (yani, ¨onceki sayı k¨umelerinin doˇgal bir geni¸slemesi) olmaktadır. Reel sayıların aksiyomatik yapısı i¸cin www.alinesin.org sayfasına bakılabilir.
Tanım 2.16. a, b ∈ R ve a < b olsun.
{x ∈ R : a < x < b}
k¨umesi bir a¸cık aralık belirtir ve (a, b) ile g¨osterilir. Benzer olarak {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
k¨umesi bir kapalı aralık belirtir ve [a, b] ile g¨osterilir. Bunun gibi, yarı a¸cık aralık da tanımlanabilir.
Tanım 2.17. A ⊂ R olsun. Eˇger A k¨umesinin her x elemanı i¸cin x ≥ a olacak ¸sekilde bir a sayısı varsa A k¨umesine alttan sınırlı k¨ume; a sayısına da A k¨umesinin bir alt sınırı denir. Benzer olarak ¨ust sınır kavramı tanımlanır.
Hem alttan hem de ¨ustten sınırlı k¨umeye kısaca sınırlı k¨ume denir.
Ornek 2.3. (3, 7) a¸cık aralıˇ¨ gı aynı zamanda bir sayı k¨umesidir. Bu k¨ume hem alttan hem de ¨ustten sınırlıdır. C¸ ¨unk¨u, her x ∈ (3, 7) i¸cin m ve M reel sayıları vardır ¨oyle ki m ≤ x ≤ M ’dir. Burada, m = 3 ve M = 7’dir.
Aksiyom 2.1. ¨Ustten sınırlı bir k¨umenin ¨ust sınırları i¸cinde bir en k¨u¸c¨uˇg¨u, alttan sınırlı bir k¨umenin alt sınırları i¸cinde bir en b¨uy¨uˇg¨u vardır.
Tanım 2.18. R’nin ¨ustten sınırlı alt k¨umelerinden biri A olsun. A’nın ¨ust sınırlarının en k¨u¸c¨uˇg¨une A’nın en k¨u¸c¨uk ¨ust sınırı (ek¨us A) veya supremumu (sup A) denir. Benzer olarak A’nın en b¨uy¨uk alt sınırı (ebas A veya inf A) tanımlanır.
Ornek 2.4. A = {¨ n1 : n ∈ N} k¨umesi i¸cin sup A=1, inf A=0, sup A∈ A fakat inf A 6∈ A’dır.
Ornek 2.5. B = {¨ 1r : r ∈ R ve r < 0} k¨umesi i¸cin sup B = 0 6∈ B ve inf B yoktur.
Tanım 2.19. Bir A ⊂ R k¨umesinin en k¨u¸c¨uk ¨ust sınırı bu k¨umenin elemanı ise buna en b¨uy¨uk elemanı veya maksimumu denir ve maks A ile g¨osterilir.
Benzer olarak min A tanımlanır.
Ornek 2.6. A=[0, 1] ve B=[0, 1) i¸cin sup A=1, sup B=1, inf A=0, inf B=0,¨ maks A=1, min A=0, min B=0 olup maks B yoktur.
Sonu¸c 2.3. A ⊂ R bir aralık ve i=inf A, s=sup A olsun. i ve s sayılarının
¸su ¨ozellikleri vardır:
1. Her x ∈ A i¸cin i ≤ x’tir.
2. Her x ∈ A i¸cin s ≥ x’tir.
3. Her δ > 0 i¸cin i + δ > x olacak ¸sekilde en az bir x ∈ A vardır.
4. Her δ > 0 i¸cin x > s − δ olacak ¸sekilde en az bir x ∈ A vardır.
Ger¸cekten, (1) ve (2) tanımdan yazılabilirken, (3) ve (4) belki o kadar a¸cık deˇgildir. Eˇger A’nın hi¸c bir elemanı i¸cin i + δ > x olmasaydı, A’nın b¨ut¨un elemanları i¸cin i + δ ≤ x olacaktı. Bu ise ise i + δ sayısının bir alt sınır olduˇgunu ifade eder. Oysa bu sayı ebas olarak kabul ettiˇgimiz i sayısından da b¨uy¨ukt¨ur, ki bu bir ¸celi¸skidir. O halde (3) doˇgrudur. Benzer olarak (4)’¨u g¨osteriniz.
S¸imdi ¨onemli bir kavramı, yıˇgılma noktası kavramını tanımlayalım. Ancak, bu kavram uzaklık kavramına dayandıˇgından, ¨oncelikle uzaklıˇgı ve buna baˇglı olarak mutlak deˇger kavramını tanımlayacaˇgız.
Tanım 2.20. (Uzaklık) a ile b reel sayıları arasındaki uzaklık |a − b| ile g¨osterilir ve
|a − b| = a − b, a ≥ b b − a, a < b
¸seklinde tanımlanır. ¨Orneˇgin -3 ile 5 arasındaki uzaklık |−3−5|=5-(-3)=8’dir.
Tanım 2.21. (Mutlak deˇger) Bir a reel sayısının mutlak deˇgeri onun 0 (sıfır)’a uzaklıˇgı olarak tanımlanır ve |a| ile g¨osterilir. Buna g¨ore,
|a| =
a, a ≥ 0;
−a, a < 0 olur.
Buna g¨ore, her a, b ∈ R i¸cin ¸sunlar yazılabilir:
2.2. SAYILAR 15 1. |a| > 0’dır. (Uzaklık pozitiftir.)
2. |a| =√
a2’dir. (Karek¨ok pozitif deˇgerlidir.) 3. −|a| ≤ a ≤ |a|’dır. (G¨osteriniz.)
4. |a.b| = |a|.|b|’dir. (G¨osteriniz.) 5. |a| ≤ x ise −x ≤ a ≤ x’dir.
A¸saˇgıdaki teorem ¨u¸cgen e¸sitsizliˇgi olarak bilinir ve olduk¸ca ¨onemlidir.
Teorem 2.4. Her a, b ∈ R i¸cin ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|’dir.
˙Ispat: Her a, b ∈ R i¸cin (1)
(|a| − |b|)2 = |a|2+ |b|2− 2|a|.|b|
= a2+ b2− 2|a.b|
≤ a2+ b2+ 2ab
= (a + b)2 ve buradan ||a| − |b|| ≤ |a + b| elde edilir.
(2)
(a + b)2 = a2+ b2+ 2ab
= |a|2+ |b|2+ 2ab
≤ |a|2+ |b|2+ 2|a|.|b|
= (|a| + |b|)2
ve buradan |a + b| ≤ ||a| + |b|| = |a| + |b| bulunur.2 Tanım 2.22. (Kom¸suluk) δ > 0 i¸cin tanımlanan
K = {x ∈ R : |x − a| < δ}
k¨umesine a’nın δ-kom¸suluˇgu, K\{a} k¨umesine de a’nın delinmi¸s δ-kom¸suluˇgu denir.
Tanım 2.23. (Yıˇgılma noktası) A ⊂ R ve a ∈ R olsun. a noktasının her δ-kom¸suluˇgunda A k¨umesinin a’dan farklı en az bir elemanı varsa, bu a noktasına A k¨umesinin bir yıˇgılma noktası denir.
Ornek 2.7. A = {x : x =¨ 1n, n ∈ N} k¨umesinin yıˇgılma noktası 0’dır.
C¸ ¨unk¨u, (0 − δ, 0 + δ) = (−δ, δ) aralıˇgı A k¨umesinin bir¸cok elemanını i¸cerir.
Orneˇ¨ gin, δ = n1
0 alınırsa, n0 = 1δ olup, her n > n0 i¸cin 1n ∈ (−δ, δ) olur. Bu yıˇgılma noktasının A’nın elemanı olmadıˇgı a¸cıktır.
Ornek 2.8. B = [0, 1] k¨¨ umesinin her elemanı bir yıˇgılma noktasıdır. Bu k¨umenin kendine ait olmayan yıˇgılma noktası yoktur.
Ornek 2.9. N k¨umesinin hi¸c yıˇgılma noktası yoktur.¨
Teorem 2.5. Bir k¨umenin supremumu (veya infimumu) k¨umeye ait deˇgilse, k¨umenin bir yıˇgılma noktasıdır.
˙Ispat: A bir k¨ume ve sup A=s olsun. s 6∈ A olduˇgundan, her x ∈ A i¸cin x < s’dir. Yukarıdaki sonu¸c 1.3’ten dolayı her δ > 0 i¸cin A’nın en az bir x elemanı vardır ki x > s − δ yazılabilir. O halde,
s − δ < x < s + δ
e¸sitsizliˇgi saˇglanır. A k¨umesinin s’nin δ kom¸suluˇgunda s’den farklı en az bir x elemanı bulunduˇgundan s k¨umenin yıˇgılma noktasıdır. (˙Infimum i¸cin de benzer ispatı yapınız.)
Tanım 2.24. Bir A k¨umesinin en saˇgda olan yıˇgılma noktasına ¨ust limit veya limit superiyor denir ve limsup A veya lim A ile g¨osterilir. (Benzer bi¸cimde lim A’yı siz tanımlayınız.)
Tanım 2.25. (Tam deˇger) Bir a reel sayısından b¨uy¨uk olmayan tam sayıla- rın en b¨uy¨uˇg¨une a’nın tam deˇgeri denir ve [|a|] ile g¨osterilir.
Ornek 2.10. [|¨ √
3|]=1, [| − 3, 01|]=-4, [|π|]=3’t¨ur.
Sonu¸c 2.4. G¨or¨ul¨uyor ki her a reel sayısı onun tam kısmı [|a|] ile 0≤ t< 1 ko¸sulunu saˇglayan kesir kısmı t’nin toplamı olarak yazılabilir. Yani,
a = [|a|] + t (0 ≤ t < 1) yazılabilir. Ger¸cekten √
2=1+0,42...; -2,5=-3+0,5 ve −π=-4+0,85...’dir.
S¸imdi, tam deˇgerle ilgili problemlerin ¸c¨oz¨um metodunu g¨ormek a¸cısından bir problem ¸c¨ozelim.
2.2. SAYILAR 17 Problem 2.1. Her a, b ∈ R i¸cin [|a + b|] ≥ [|a|] + [|b|] olduˇgunu g¨osteriniz.
C¸ ¨oz¨um:
a = [|a|] + t1 (0 ≤ t1 < 1) b = [|b|] + t2 (0 ≤ t2 < 1) a + b = [|a|] + [|b|] + t1 + t2 (0 ≤ t1+ t2 < 2) olduˇgundan, kar¸sımıza iki durum ¸cıkmaktadır:
(1) 0 ≤ t1+ t2 < 1 halinde [|a + b|] = [|a|] + [|b|] olur (e¸sitlik hali).
(2) 1 ≤ t1 + t2 < 2 halinde [|a + b|] = [|a|] + [|b|] + 1 > [|a|] + [|b|] olur (b¨uy¨ukl¨uk hali). Dolayısıyla e¸sitsizlik doˇgrudur.
ALIS¸TIRMALAR (Sayılar)
1. n bir tam sayı olmak ¨uzere x=2n ¸seklinde yazılabilen tam sayıya ¸cift sayıdır denir. C¸ ift sayının bir eksiˇgine de tek sayı denir. Buna g¨ore, y tek sayı iken y2− 1 sayısının 8’in katı olduˇgunu g¨osteriniz.
2. Tek tamsayıların karesinin de tek olduˇgunu g¨osteriniz.
3. a ve b aynı i¸saretli reel sayıları i¸cin ab + ab ≥ 2 olacaˇgını g¨osteriniz. a ve b zıt i¸saretli ise nasıl bir e¸sitsizlik yazılabilir? Yazdıˇgınız e¸sitsizliˇgi kanıtlayınız.
4. a < b olmak ¨uzere a, b ∈ R i¸cin a < a+b2 < b olduˇgunu g¨osteriniz.
5. Herhangi iki rasyonel sayı arasında bir rasyonel sayı olduˇgunu g¨osterin.
6. Eˇger a2+ b2 = 1 ve c2+ d2 = 1 ise ac + bd ≤ 1 olduˇgunu g¨osteriniz.
7. x, y, z’nin hangi deˇgerleri i¸cin (z−x)(x−y)x +(x−y)(y−z)y +(y−z)(z−x)z =0 oldu- ˇ
gunu belirleyiniz.
8. 0’dan farklı her a ∈ R i¸cin |a + 1a| ≥ 2 olduˇgunu g¨osteriniz.
9. √
2 ile √3
2 sayılarının irrasyonel olduklarını g¨osteriniz.
10. Her x, y, z ∈ R i¸cin x2+ y2+ z2 ≥ xy + xz + yz olduˇgunu g¨osteriniz.
11. a rasyonel ve x irrasyonel ise a+x, a.x, ax sayılarının irrasyonel olduˇgunu g¨osteriniz.
12. √5+ 2
5−√
2 ve√ 2 +√
3 +√
5 sayılarının ka¸cıncı basamaktan cebirsel oldu- ˇ
gunu belirleyiniz.
13. Her rasyonel sayının cebirsel olduˇgunu g¨osteriniz. Rasyonel sayılar ka¸cıncı basamaktan cebirseldir? Belirleyiniz.
14. Sadece iki farklı sayma sayısına b¨ol¨unebilen sayılara asal sayı denir.
Her n ∈ N i¸cin p(n) = n2+ n + 41 sayısı asal mıdır? p(n) hangi n’ler i¸cin asaldır?
15. |x2− 5x + 6| > x2− 5x + 6 e¸sitsizliˇgini ¸c¨oz¨un¨uz.
16. Her x ∈ R ve m ∈ Z i¸cin [|x + m|]=[|x|] + m olduˇgunu g¨osteriniz.
17. [|2x|]=2[|x|] denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
18. x−1x
= 1 denklemini ¸c¨oz¨un¨uz.
2.3 T ¨ UMEVARIMLA ˙ISPAT Y ¨ ONTEM˙I
Tam sayılar ile ilgili ¨onermelerin doˇgruluˇgunu g¨ostermeye yarayan ispat me- totlarından biridir. Bir t tam sayısından itibaren her tam sayı i¸cin ge¸cerli olan genellemeleri ispatlamaya yarar. Bu metot ¸su basit teoreme dayanır:
Teorem 2.6. D ⊂ N ve 0 ≤ k olsun. D k¨umesi 1. 0 ∈ D
2. k ∈ D ⇒ (k + 1) ∈ D ko¸sullarını ger¸ceklerse D = N’dir.
Not 2.4. Ger¸cekte bu teorem bize, ”0’dan itibaren her sayının ardı¸sıˇgı D’nin elemanı ise D k¨umesi 0’dan itibaren 1 artarak devam eden bir k¨ume, yani doˇgal sayılar k¨umesi olmalıdır” der.
˙Ispat: Varsayalım ki D 6= N’dir. Bu durumda en az bir m ∈ N i¸cin m 6∈ D’dir. Bu durumda (m − 1) 6∈ D olmalıdır, aksi halde (2)’den dolayı ( m − 1 ) + 1 ∈ D, yani m ∈ D olurdu. Benzer ¸sekilde m − 2, m − 3, ..., 2, 1, 0 sayıları da D’ye ait olamazlar. Oysa, (1)’den dolayı 0 ∈ D olduˇgunu biliyoruz. Bu ise ¸celi¸skidir. O halde kabul¨um¨uz yanlı¸stır, D = N olmalıdır.
2.3. T ¨UMEVARIMLA ˙ISPAT Y ¨ONTEM˙I 19 Sonu¸c 2.5.
(1) P (n) doˇgal sayıların her biri i¸cin yazılan bir ¨onerme ve D k¨umesi de bu ¨onermeyi ger¸cekleyen doˇgal sayıların bir k¨umesi olsun. Yani,
D = {n : P (n) doˇgru, n ∈ N}
olsun. Eˇger, 0 ∈ D ve k ∈ D iken (k + 1) ∈ D ise, D = N’dir. Yani, P (n)
¨onermesi her n ∈ N i¸cin doˇgrudur.
(2) P (n) ¨onermesinin 0’dan ba¸slama zorunluluˇgu yoktur, herhangi bir t ∈ Z sayısından itibaren her tam sayı i¸cin de ger¸ceklenebilir.
O halde, bir P (n) ¨onermesinin bir t ∈ Z tam sayısından itibaren her tam sayı i¸cin doˇgruluˇgunu g¨ostermek i¸cin n=t i¸cin doˇgruluˇgunu g¨ostermek ve n=k i¸cin doˇgru iken n=k + 1 i¸cin doˇgru olduˇgunu g¨ostermek gerekiyor. Bu metoda T¨umevarım metodu adı verilir.
Ornek 2.11. Her n ∈ N i¸cin 9¨ n+1 − 2n+1 sayısının 7 ile b¨ol¨unebileceˇgini g¨osterelim:
n = 0 i¸cin, 90+1− 20+1= 7 sayısı 7 ile b¨ol¨unebilir.
n = k i¸cin, 9k+1 − 2k+1 = 7m olsun, yani, 7 ile b¨ol¨unebilsin. Buradan, n = k + 1 i¸cin de ¨onermenin doˇgruluˇgunu g¨orelim:
9(k+1)+1− 2(k+1)+1 = 9.9k+1− 2.2k+1
= (7 + 2).9k+1− 2.2k+1
= 7.9k+1+ 2(9k+1− 2k+1)
= 7.9k+1+ 2.7m
= 7p olduˇgundan, istenen g¨or¨ulm¨u¸s olur.
ALIS¸TIRMALAR (T¨umevarımla ispat y¨ontemi)
1. Her n ∈ N+ (veya uygun n’ler) i¸cin a¸saˇgıdakileri g¨osteriniz.
(a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
(b) 12+ 22 + 32+ · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 (c) 1113 +1214 + · · · + n−11 n+11 = 3n4n(n+1)2−n−2
(d) n! > 2n
(e) 13+ 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2 2. Her n doˇgal sayısı i¸cin
(a) n(2n + 1)(7n + 1) sayısının 6 ile (b) 12n+ 10 sayısının 11 ile
(c) 174n+1+ 34n+1 sayısının 5 ile (d) 32n+1+ 2n+2 sayısının 7 ile b¨ol¨unebileceˇgini g¨osteriniz.
3. Uygun olan her n doˇgal sayısı i¸cin 3n+ 4n ≤ 5n olduˇgunu g¨osteriniz.
4. Her n doˇgal sayısı i¸cin 1 + r + r2 + r3 + · · · + rn = 1−r1−rn+1 olduˇgunu g¨osteriniz.
2.4 FONKS˙IYONLAR
Tanım 2.26. (Kartezyen ¸carpım) A ve B iki k¨ume olsun.
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
k¨umesine A ile B’nin kartezyen ¸carpımı veya dik ¸carpımı denir.
Ornek 2.12. A={x, y} ve B={a, b, c} k¨¨ umeleri i¸cin
A × B = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}
olup, A × B 6= B × A olduˇgu g¨or¨ulmektedir.
2.4. FONKS˙IYONLAR 21 Tanım 2.27. (Baˇgıntı) A × B’nin herhangi bir alt k¨umesine A’dan B’ye bir baˇgıntı denir.
Tanım 2.28. (Fonksiyon) A’dan B’ye bir f baˇgıntısı ¸su ¨ozelliklere sahipse, f ’ye A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
1. Her x ∈ A i¸cin (x, y) ∈ f olacak ¸sekilde bir y ∈ B vardır.
2. (x, y) ∈ f ve (x, z) ∈ f ise y = z’dir.
Not 2.5. ˙Ilk ¨ozellik A’nın her elemanının mutlaka bir kar¸sılıˇgının olacaˇgını, ikinci ¨ozellik ise bu kar¸sılıˇgın tek olacaˇgını s¨oyler. Buna g¨ore, fonksiyon tanımını daha kısa yapabiliriz:
Tanım 2.29. (Fonksiyon) A’dan B’ye bir f baˇgıntısı, A’nın her bir ele- manını B’nin bir ve yalnız bir elemanına e¸sliyorsa f ’ye fonksiyon denir ve
f : A 7→ B, f : x 7→ f (x) = y
ile g¨osterilir. A k¨umesine tanım k¨umesi, B k¨umesine deˇger k¨umesi ve f (A) k¨umesine de A’nın g¨or¨unt¨u k¨umesi denir. Bu k¨umeleri belirlemek bazen olduk¸ca zordur.
Ornek 2.13. f : R 7→ R, f : x 7→ f (x) = x¨ 2+1 = y bir fonksiyondur, ¸c¨unk¨u, her reel sayıyı karesinin 1 fazlasına e¸sler. Yani, her reel sayının sadece bir tane karesinin 1 fazlası vardır.
S¸ekil 2.8 y = x2+ 1 grafiˇgi.
Tanıma g¨ore, tanım k¨umesi (tanım b¨olgesi de denir) R, deˇger k¨umesi R ve g¨or¨unt¨u k¨umesi de [1, ∞) yarı a¸cık aralıˇgıdır. Hemen belirtelim ki, f (x) ile f sık¸ca karı¸stırılan iki kavramdır. Bunlardan f (x) g¨or¨unt¨u k¨umesinin bir elemanı; f ise matematiksel bir varlık olan fonksiyondur. Ancak, biz
de geleneˇgi bozmayacaˇgız: Sadelik adına, bir fonksiyon yazarken ya sadece g¨or¨unt¨u k¨umesini f (x)=x2+ 1 ¸seklinde verecek veya y=x2+ 1 ¸seklinde ordi- natını belirteceˇgiz.
Tanım 2.30. (K¨okler) Bir fonksiyonun k¨okleri diye f (x)=0 e¸sitliˇgini saˇgla- yan x’lerin k¨umesine denir.
Tanım 2.31. (E¸sit fonksiyonlar) Aynı tanım k¨umelerine sahip f ve g fonksiyonları, tanımlı oldukları her x i¸cin f (x)=g(x) e¸sitliˇgini saˇglıyorsa, bunlara e¸sit fonksiyonlar denir ve f =g ile g¨osterilir.
Tanım 2.32. (Fonksiyonlarda i¸slemler) f ve g fonksiyonlarına ili¸skin i¸slemler ¸s¨oyle tanımlanır:
1. (f ∓ g)(x) := f (x) ∓ g(x) 2. (f.g)(x) := f (x).g(x) 3. (f /g)(x) := f (x)/g(x) 4. (c.f )(x) := c.f (x)
Ornek 2.14. f ve g fonksiyonları f (x) = x¨ 2+ x ve g(x) = x + 1 ise, (f + g)(x) = (x + 1)2 ve (f /g)(x) = x
olur.
Tanım 2.33. (Sabit fonksiyon) Tanım k¨umesinin her elemanını deˇger k¨umesindeki bir tek elemana e¸sleyen fonksiyondur. f (x)=a (a sabit) ¸seklin- dedir.
Tanım 2.34. ( ¨Orten fonksiyon) Deˇger k¨umesinde bo¸sta elemanı kalmayan fonksiyondur. f : A 7→ B ¨orten fonksiyonu i¸cin f (A) = B’dir. ¨Orten olmayan fonksiyona i¸cine fonksiyon denir.
Tanım 2.35. (Birebir fonksiyon) Deˇger k¨umesinden bir elemana tanım k¨umesinden sadece bir elemanı e¸sleyen fonksiyondur. Yani, tanım k¨umesinin x1, x2 elemanları i¸cin
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2 oluyorsa, f fonksiyonu birebirdir.
2.4. FONKS˙IYONLAR 23 Odev 2.2. Grafikleriyle verilen fonksiyonların ¨¨ orten, i¸cine veya birebir oldu- ˇ
gunu nasıl belirleyebileceˇgimizi d¨u¸s¨un¨un¨uz.
Tanım 2.36. (˙Iki fonksiyonun bile¸skesi) f : A 7→ B ve g : B 7→ C fonksiyonları verilmi¸s olsun. Bu durumda, g fonksiyonu f (A)’daki her bir f (x) elemanını C k¨umesinin bir g(f (x)) elemanına d¨on¨u¸st¨ur¨ur. B¨oylece, A’nın her bir x elemanını C’nin bir z=g(f (x)) elemanına d¨on¨u¸st¨uren yeni bir fonksiyon elde edilir. Bu fonksiyona f ve g fonksiyonlarının bile¸skesi denir ve g ◦ f ile g¨osterilir.
S¸ekil 2.9 g ◦ f fonksiyonu.
Ornek 2.15. f (x)=x¨ 2 ve g(x)=x + 2 i¸cin
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2+ 2 (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 2) = (x + 2)2 olup, genel olarak g ◦ f 6= f ◦ g’dir.
Tanım 2.37. (Bir fonksiyonun tersi) Birebir ve ¨orten bir f fonksiyonu verildiˇginde, (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x) = x e¸sitliˇgini saˇglayan g fonksiyonuna f ’nin tersi denir ve f−1 ile g¨osterilir.
S¸ekil 2.10 g = f−1 fonksiyonu.
Ornek 2.16. f : R¨ + 7→ R+, f (x) = √
x e¸sitliˇgi ile verilen fonksiyonun birebir ve ¨orten olduˇgunu g¨osterip f−1 tersini bulalım.
f fonksiyonu birbirdir: Ger¸cekten, f (x1) = f (x2) ise √
x1 = √
x2 olup, iki tarafın karesi alınırsa x1 = x2 bulunur.
f fonksiyonu ¨ortendir: Ger¸cekten, deˇger k¨umesinden her y ∈ R+ i¸cin y =√ x olacak ¸sekilde tanım k¨umesinde bir x ∈ R+ vardır.
f−1 fonksiyonu kare almadır: Ger¸cekten,
(f−1◦ f )(x) = x ⇒ f−1(f (x)) = x ⇒ f−1(√
x) = x ⇒ f−1(√
u2) = u2 ve buradan f−1(u) = u2; yani, f−1(x) = x2 bulunur.
S¸ekil 2.11 f (x) =√
x ve tersi.
G¨or¨ul¨uyor ki, y = √
x ve y = x2 fonksiyonları birbirinin tersidir ve y = x doˇgrusuna g¨ore simetriktirler.
Tanım 2.38. (Ters g¨or¨unt¨u) f : A 7→ B, C ⊂ B i¸cin, f−1(C) = {x ∈ A : f (x) ∈ C}
k¨umesine C’nin ters g¨or¨unt¨us¨u diyeceˇgiz.
Ornek 2.17. f : R 7→ R, f (x) = 2x − 1 olsun. A = {−2, −1, 0, 1, 2} i¸cin¨ f (A) = {−5, −3, −1, 1, 3} ve f−1(A) = {−12, 0,12, 1,32} olur.
S¸imdi a¸saˇgıdaki ¨onerme, fonksiyonlar ile k¨umelere ili¸skin bilgilerimizi ¸cok g¨uzel birle¸stirmektedir.
Onerme 2.1. f : X 7→ Y bir fonksiyon ve A, B⊂X olsun.¨ 1. A ⊂ B⇒f (A) ⊂ f (B)
2. f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
2.4. FONKS˙IYONLAR 25 3. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
4. f (A \ B) ⊂ f (A)
˙Ispat:
1. A⊂B olduˇgundan, x∈A⇒x∈B ve her x∈A i¸cin f (x)∈f (B) demektir.
Bu durum her x∈A i¸cin ge¸cerli olduˇgundan f (A)⊂f (B)’dir.
2. (1)’den, A∩B⊂A ve A∩B⊂B olması f (A∪B)⊂f (A) ve f (A∪B)⊂f (B) olmasını gerektirdiˇginden f (A∩B)⊂f (A)∩f (B) bulunur. A¸saˇgıdaki ¨or- nek bu i¸cermenin e¸sitliˇge d¨on¨u¸semeyeceˇgini g¨ostermektedir.
3. ˙Iki k¨umenin e¸sit olması onların kar¸slıklı birbirini i¸cermesi demek oldu- ˇ
gundan f (A∪B) ⊂ f (A)∪f (B) ve f (A)∪f (B) ⊂ f (A∪B) i¸cermelerini g¨ostermeliyiz.
(a) y∈f (A∪B) olsun. Buradan, bir x∈A∪B vardır ¨oyle ki y=f (x)’dir.
Bu x, ya A’nın veya B’nin elemanı olacaˇgından, f (x)∈f (A) veya f (x)∈f (B) olur. ∴ f (x)∈f (A)∪f (B), ve f (A∪B)⊂f (A)∪f (B) bulunur.
(b) f (A)⊂f (A)∪f (B), f (B)⊂f (A)∪f (B) olup f (A)∪f (B)⊂f (A∪B) bulunur.
B¨oylece, (a) ve (b)’den, f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) elde edilir.
4. f (A\B)⊂f (A) i¸cermesi ise A\B⊂ A ile (1)’in sonucudur. 2
Ornek 2.18. f : R 7→ R¨ +, f (x)=|x| olsun. A={−2, −1, 0}, B={2, 1, 0}
k¨umeleri i¸cin f (A∩B) ve f (A)∩f (B) k¨umelerini bulalım. f (A∩B)={0}’dir.
Ote yandan, f (A)={2, 1, 0}, f (B)={2, 1, 0} olup f (A)∩f (B)={2, 1, 0}’dır.¨ G¨or¨ul¨uyor ki bu k¨umeler e¸sit deˇgildir.
Tanım 2.39. (Denk k¨umeler) A ve B k¨umeleri arasında birebir ve ¨orten bir fonksiyon tanımlanabiliyorsa (yani birebir bir e¸sleme kurulabiliyorsa), bunlara denk veya aynı kardinale sahip k¨umeler denir ve A ∼ B ile g¨osterilir.
Ornek 2.19. N doˇgal sayılar k¨umesi ile ¸cift doˇgal sayılar C¨ ¸ ={0, 2, 4, · · · } k¨umesi denktir. C¸ ¨unk¨u, bu sayı k¨umeleri arasında tanımlanan
f : N 7→ C¸ , f (x) = 2x
fonksiyonu birebir ve ¨ortendir. Bu, bize sonsuz k¨umelere ili¸skin ilgin¸c bir ger¸ceˇgi s¨oyler; doˇgal sayılar kadar pozitif ¸cift sayı vardır.
Tanım 2.40. (Sayılabilir k¨ume) Sayma sayılarının t¨um¨u veya bir alt k¨umesi ile birebir e¸slenebilen k¨umeye sayılabilir k¨ume denir.
Ornek 2.20. Z tam sayılar k¨umesi sayılabilirdir, ¸c¨unk¨u, f : Z 7→ N¨ + f (x) =
−2x, x < 0 2x + 1, x ≥ 0 bi¸cimindeki fonksiyon birebir ve ¨ortendir.
S¸ekil 2.12 Z’nin sayılması.
Problem 2.2. Q rasyonel sayılar k¨umesinin sayılabilir olduˇgunu g¨orelim.
A¸saˇgıdaki ¸sekilde, rasyonel sayıları ¸s¨oyle saymaktayız: Bir adım saˇga, sonra diyagonal olarak sola a¸saˇgıya gidebileceˇgin kadar, sonra bir adım a¸saˇgı, sonra diyagonal olarak saˇga yukarıya gidebileceˇgin kadar, ve b¨oyle devam et; tekrar eden kesirlerin ¨ust¨unden atla.
S¸ekil 2.13 Q’nun sayılması.
Tanım 2.41. f : A 7→ R, x1, x2 ∈ A ⊂ R verilsin. Bu durumda, x1 < x2 i¸cin 1. f (x1) < f (x2) ise f ’ye artan,
2.4. FONKS˙IYONLAR 27 2. f (x1) > f (x2) ise f ’ye azalan,
3. f (x1) ≤ f (x2) ise f ’ye azalmayan, 4. f (x1) ≥ f (x2) ise f ’ye artmayan fonksiyon denir.
S¸ekil 2.14 Artan ve artmayan fonksiyonlar.
Ornek 2.21. y=x¨ 2 + 1 fonksiyonu x≤ 0 i¸cin azalan, x≤ 0 i¸cin artandır.
Ger¸cekten, x1, x2≤ 0 olsun.
x1 < x2 ⇒ x21 > x22 ve x21+ 1 > x22+ 1 ⇒ f (x1) > f (x2)
olup, bu ise yukarıdaki tanıma g¨ore, f ’nin azalan olduˇgu anlamına gelir.
Benzer olarak, x ≥ 0 i¸cin f ’nin artan olduˇgu g¨osterilebilir.
S¸ekil 2.15 y = x2+ 1’in artan ve azalan olduˇgu b¨olgeler.
Tanım 2.42. (Simetrik k¨ume) Her x∈A i¸cin −x∈A ise A’ya simetriktir denir.
Tanım 2.43. (Tek ve ¸cift fonksiyonlar) Simetrik bir A k¨umesi ¨uzerinde tanımlanan bir f fonksiyonu i¸cin f (−x)=f (x) ise, f ’ye ¸cift; f (−x)=−f (x) ise, f ’ye tek fonksiyon denir.
Ornek 2.22. f (x)=x¨ 2, g(x)=x3, h(x)=x + 1, k(x)=5, l(x)=0 fonksiyonları sırasıyla ¸cift, tek, ne ¸cift ne tek, ¸cift, hem ¸cift hem tektir.
Tanım 2.44. (Periyot) Her x i¸cin f (x + T )=f (x) olacak ¸sekilde T pozitif reel sayısı varsa, f ’ye periyodiktir, T ’ye de f ’nin periyodudur denir. Varsa, periyotların en k¨u¸c¨uˇg¨une f ’nin esas periyodu denir.
Ornek 2.23. f (x)=x − [|x|] fonksiyonunun periyodunu bulup grafiˇ¨ gini ¸cize- lim. Her T ∈Z+ i¸cin
f (x + T ) = x + T − [|x + T |]
= x + T − [|x|] − T
= x − [|x|]
= f (x)
olduˇgundan f ’nin periyodu herhangi bir pozitif tamsayıdır, ancak esas peri- yodu 1’dir. [−2, +2] aralıˇgındaki grafiˇgini ¸cizmek i¸cin tanım aralıˇgını alt aralıklara b¨olmeliyiz. Yani,
x ∈ [−2, −1) ⇒ [|x|] = −2 ⇒ x − [|x|] = x + 2 x ∈ [−1, 0) ⇒ [|x|] = −1 ⇒ x − [|x|] = x + 1
x ∈ [0, 1) ⇒ [|x|] = 0 ⇒ x − [|x|] = x x ∈ [1, 2) ⇒ [|x|] = 1 ⇒ x − [|x|] = x − 1
x = 2 ⇒ [|x|] = 2 ⇒ x − [|x|] = 0 olur. Buna g¨ore, grafik a¸saˇgıdaki gibidir.
S¸ekil 2.16 f (x)=x − [|x|] fonksiyonunun grafiˇgi.
S¸imdi, bazı ¨ozel fonksiyonların grafiklerini nasıl ¸cizebileceˇgimizi ¨ornekler ¨uze- rinde g¨orelim.
Ornek 2.24. f (x)=−x¨ 2+ 3x + 4 ise
2.4. FONKS˙IYONLAR 29 1. g(x)=|f (x)|
2. h(x)=f (|x|) 3. k(x)=|f (|x|)|
ile verilen g, h ve k’nın grafikleri a¸saˇgıdaki gibidir. g’yi ¸cizmek i¸cin, f (x)’ler- den x ekseni altında olanların x eksenine g¨ore simetrikleri alınmı¸stır. h’yi
¸cizmek i¸cin, f (x)’lerden y ekseni solunda olanların y eksenine g¨ore simetrik- leri alınmı¸stır. k’yı ¸cizmek i¸cin, f (|x|)’lerden x ekseni altında olanların x eksenine g¨ore simetrikleri alınmı¸stır. Benzer olarak, |y|=f (x)’i ¸cizmek i¸cin, y=f (x)’in grafiˇginde x ekseni altındaki b¨ol¨um atılır. Yine, |y|=f (|x|)’i
¸cizmek i¸cin, |y|=f (x)’in grafiˇgi ¸cizilir ve y ekseninin saˇgında kalan b¨ol¨um¨un simetriˇgi alınır.
S¸ekil 2.17 y=f (x) verildiˇginde ¸cizilebilecek bazı grafikler.
Tanım 2.45. f : A ⊂ R 7→ R verildiˇginde,
sgn[f (x)] :=
1, f (x) > 0 0, f (x) = 0
−1, f (x) < 0 fonksiyonuna f ’nin i¸saret fonksiyonu denir.
Ornek 2.25. f (x)=−x¨ 2 + 3x + 4 ile verilen fonksiyonun i¸saret fonksiyonu i¸cin tablo ve buna baˇglı olarak i¸saret fonksiyonunu olu¸sturalım:
x −∞ -1 4 +∞
f (x) −∞ – 0 + 0 – +∞
sgn[f (x)] -1 0 +1 0 -1
sgn[f (x)] =
−1, x < −1, x > 4 0, x = −1, x = 4 1, −1 < x < 4 Bunun grafiˇgi ise a¸saˇgıdaki gibidir.
S¸ekil 2.18 y=sgn[−x2+ 3x + 4]’¨un grafiˇgi.
Tanım 2.46. Bir fonksiyonun kuralı y = f (x) olarak verilmi¸sse bu fonksiy- ona a¸cık fonksiyon denir. Eˇger x ile f (x) arasında F (x, f (x)) = 0 ¸seklinde bir baˇgıntı verilmi¸sse, f (x) kapalı olarak verilmi¸stir. Bu durumda f ’ye kapalı verilmi¸s fonksiyon denir.
ALIS¸TIRMALAR (Fonksiyonlar)
1. |2 − x| ne zaman 2 − x’e, ne zaman x − 2’ye e¸sittir?
2. Fonksiyonların e¸sitliˇgi tanımını kullanarak, a¸saˇgıdakilerden hangileri- nin f (x)=x+2xx 2’e e¸sit olduˇgunu belirleyiniz.
(a) g(x) = 1 + 2x (b) h(x) = x2+2xx2 3
(c) l(x) = (1+2x)(x+xx(1+x2) 3) (d) k(x) =√
1 + 4x + 4x2
3. f (x)=|x|, g(x)=√
x2 ve h(x)=x.sgn(x) fonksiyonları e¸sit midir?
4. A¸saˇgıdaki fonksiyonların en geni¸s tanım ve g¨or¨unt¨u k¨umelerini belir- leyiniz.
(a) f (x) = x2 (b) g(x) = x+2x−2 (c) h(x) = 1+xx22
(d) m(x) = 1+x1 2 (e) l(x) = 1+1√x (f ) k(x) =p x
1+x
5. A¸saˇgıdaki fonksiyonların grafiklerini [−2, +2] aralıˇgında ¸ciziniz.
(a) f (x)=[|x|]x , (x 6= 0) (b) g(x)=[|x|] + [| − x|]
(c) h(x)=[|x|]x , ([|x|] 6= 0)
2.4. FONKS˙IYONLAR 31 6. f (x)=|x| ve g(x)=f (x−2) fonksiyonlarının grafiˇgini ¸cizip kar¸sıla¸stırınız.
7. |x| ≤ 1 i¸cin f (x)=√
1 − x2 olduˇguna g¨ore, a¸saˇgıdakilerin her birinin tanım ve g¨or¨unt¨u k¨umelerini bulup grafiklerini ¸ciziniz.
(a) g(x) = 12f (x) (b) h(x) = f (2x) (c) k(x) = −f (−x) (d) l(x) = 2f (3x)
8. T¨umevarım y¨ontemiyle |a1+a2+· · ·+an|≤|a1|+|a2|+· · ·+|an| olduˇgunu ve bundan yararlanarak |a1+a2+· · ·+an|≥|a1|−|a2|−· · ·−|an| olduˇgunu g¨osteriniz.
9. A¸saˇgıdaki her f ifadesi i¸cin, y=f (x), y=|f (x)|, y=f (|x|), y=|f (|x|)| ve son olarak y=f (x)+|f (x)|
2 ’nin grafiˇgini ¸ciziniz.
(a) f (x) = (x − 1)(x + 2) (b) f (x) = x2 (c) f (x) = −x2 (d) f (x) = 2 − x2 10. Tanım k¨umeleri a¸saˇgıdaki k¨umeler olan fonksiyonlar bulunuz.
(a) A = {x : x ≥ 0, x ∈ R} (b) R (c) C = {x : |x| > 4, x ∈ R}
(d) D = {x : |x| ≥ 4, x ∈ R} (e) ∅ (f ) (−1, 2]
11. f (x)=|x + 2| + 2 ile verilen fonksiyonun grafiˇgini ¸ciziniz.
12. (∗) Cebirsel sayıların sayılabilir olduˇgunu nasıl g¨osterebileceˇginizi ara¸s- tırınız.
13. (∗) Reel sayıların sayılamaz olduˇgunu nasıl g¨osterebileceˇginizi ara¸stırı- nız.
14. f : N 7→ N, f (n)=n!, f (0)=1 ile tanımlı fonksiyona fakt¨oryel fonksi- yonu diyelim. Bu fonksiyonun artan ve birebir olduˇgunu ancak ¨orten olmadıˇgını g¨osteriniz.
15. f ile g tek fonksiyonlar ise f +g’nin tek, f.g’nin ¸cift olacaˇgını g¨osteriniz.
16. Simetrik bir k¨ume ¨uzerinde tanımlanan her f fonksiyonunun biri tek diˇgeri ¸cift iki fonksiyonun toplamı olarak yazılabileceˇgini g¨osteriniz.
2.5 LOGAR˙ITMA FONKS˙IYONU
Tanım 2.47. a ∈ R+ ve a 6= 1 olmak ¨uzere, f : R → R+, f (x) = ax
¸seklinde tanımlanan fonksiyona ¨ustel fonksiyon denir.
Ozellikleri:¨
(1) (a) a > 1 i¸cin monoton artandır. Grafiˇgi a¸saˇgıdadır.
S¸ekil 2.19 a > 1 i¸cin y=ax’in grafiˇgi.
(b) 0 < a < 1 i¸cin monoton azalandır. Grafiˇgi ¸s¨oyledir:
S¸ekil 2.20 0 < a < 1 i¸cin y=ax’in grafiˇgi.
(2) f (0)=1, f (1)=a, f (x + t)=f (x) · f (t), f (−x)=f (x)1 ’tir.
Kolayca g¨or¨ulebilir ki f (x)=ax (a>0) fonksiyonu birebir ve ¨ortendir. O halde bir tersi vardır ve bu tersi a¸saˇgda tanımlıyoruz.
Tanım 2.48. a > 0 i¸cin, f : R → R+, f (x) = ax’in tersi f−1 : R+ → R
¸seklinde olup fonksiyon kuralı ¨ozel olarak f−1(x) = logax ile g¨osterilir ve logaritma a tabanına g¨ore x diye okunur.
2.5. LOGAR˙ITMA FONKS˙IYONU 33 Dolayısıyla x > 0 i¸cin y = logax ⇔ x = ay denkliˇgi yazılabilir.
Ozellikleri:¨
(1) A¸saˇgıdaki ¨ozellikler g¨osterilebilir.
(a) logaa = 1 (b) loga1 = 0 (c) loga(x · y) = logax + logay (d) logaxn = n · logax (e) logax = log1
xa (f ) logaxy = logax − logay (2) y=logax’in grafiˇgi y=ax’in grafiˇginin y=x’e g¨ore simetriˇgi olacaˇgın- dan a¸saˇgıdaki grafikler elde edilir.
(a) a > 1 durumu:
S¸ekil 2.21 a > 1 i¸cin y=logax’in grafiˇgi.
(b) 0 < a < 1 durumu:
S
¸ekil 2.22 0 < a < 1 i¸cin y=logax’in grafiˇgi.
Not 2.6. Pratikte en ¸cok kullanılan logaritma doˇgal logaritma denilen e tabanına g¨ore logaritmadır. Bu e sayısı limit konusunda g¨oreceˇgimiz ve deˇgeri e=2.718281828459045 · · · olan bir sayıdır. logex yerine ln x yazarız.
Dolayısıyla a¸saˇgıdaki e¸sitlik doˇgrudur.
y = ln x ⇐⇒ ey = x
ALIS¸TIRMALAR (Logaritma)
1. Logaritmanın (a)-(f) ¨ozelliklerini ger¸cekleyiniz.
2. log3
2
8
27 = x ise, x deˇgerini hesaplayınız.
3. log10x = 3 log10a + 2 log10b ise x deˇgerini hesaplayınız.
4. log10x + log10y = 1 ve x4+ y4 = 641 ise, x ile y nedir?
5. log102 = 0.3010 ve log103 = 0.4771 ise log106, log100.72 ve log101200 deˇgerlerini hesaplayınız.
6. logab = logac · logcb olduˇgunu g¨osteriniz.
2.6 TR˙IGONOMETR˙IK FONKS˙IYONLAR
Tanım 2.49. (A¸cı) Ba¸slangı¸c noktaları aynı iki ı¸sının birle¸sim k¨umesine a¸cı denir.
S¸ekil 2.23 AOB a¸cısı ve d¨uzlemde ayırdıˇgı b¨olgeler.
Bir a¸cı, bulunduˇgu d¨uzlemi iki b¨olgeye ayırır. Bunlara a¸cısal b¨olgeler denir.
˙Isteriz ki iki a¸cısal b¨olgeyi kar¸sıla¸stırabilelim. Bunun i¸cin bir ¨ol¸cme aracı ve birimi geli¸stireceˇgiz. Bu ¨o¸cme aracı yardımıyla a¸cısal b¨olgeleri ve dolayısıyla da a¸cıları ¨ol¸c¨up kar¸sıla¸stırabileceˇgiz.
Bir ¸cemberin ¸cevresini 360 e¸sit par¸caya b¨old¨uˇg¨um¨uzde, bu par¸calardan her- birini merkezden g¨oren a¸cının geni¸sliˇgine (¨ol¸c¨us¨une) 1 derecelik a¸cı denir ve 1◦ ile g¨osterilir. O halde, bir ¸cemberin ¸cevresini g¨oren a¸cı 360◦ ¨ol¸c¨uye sahiptir.
Birim ¸cemberde, bir a¸cıya kar¸sılık gelen yayın uzunluˇguna o a¸cının radyan
¨
ol¸c¨us¨u denir. Buna g¨ore, birim ¸cemberin ¸cevresini g¨oren a¸cı ¨ol¸c¨us¨u 2π radyan- dır. Dolayısıyla, her ¸cemberin ¸cevresini g¨oren a¸cı ¨ol¸c¨us¨u 2π radyandır. A¸sa- ˇ
gıda sık kullanılan bazı a¸cıların derece ve radyan ¨ol¸c¨uleri verilmi¸stir. Bun- lardan, ¨orneˇgin 30◦’lik a¸cının radyan hesabı i¸cin, ”360◦’lik a¸cı 2π radyan ise, 30◦’lik a¸cı ka¸c radyandır?” ¸seklinde bir orantı kurulur.
2.6. TR˙IGONOMETR˙IK FONKS˙IYONLAR 35 Tablo 1.1 Temel a¸cılar.
Der 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 270◦ 360◦ Rad 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π S¸imdi, merkezi orijinde ve yarı¸capı 1 br olan ¸cemberi ¸cizelim (S¸ekil 2.24).
A(1,0) noktasından ba¸slayarak ¸cember ¨uzerinde |t| radyan ilerleyelim (t>0 i¸cin saat y¨on¨u tersine, t<0 i¸cin saat y¨on¨unde ilerlenecek). Bu durumda
¸cember ¨uzerinde bir P (x, y) noktası elde edilecektir.
S¸ekil 2.24 Birim ¸cember.
t deˇgi¸stik¸ce bulunan bu P (x, y) noktasının apsis ve ordinatları da deˇgi¸seceˇgin- den, P (x, y) noktasının apsisi x(t)=:cos t ve odinatı da y(t)=:sin t fonksiyon- ları olarak adlandırılır. B¨oyelece her t reel sayısına birim ¸cember ¨uzerinde bir P (x, y)=P (cos t, sin t) noktası kar¸sılık getirilir. Buna g¨ore
−1 ≤ sin t ≤ +1 ve − 1 ≤ cos t ≤ +1
olacaˇgı a¸cıktır. S¸imdi, bir AOB a¸cısı verildiˇginde, bu a¸cının k¨o¸sesini orijin ve [OB] kenarını da x ekseni ¨uzerinde alalım.
S¸ekil 2.25 Bir a¸cının trigonometrik oranları.
Bu a¸cının ¨ol¸c¨us¨u t radyan olsun. O halde, her AOB a¸cısına bir t sayısı kar¸sılık getirilebilir. OP C ¨ugeni ile OAB ¨u¸cgeni benzer olduklarından, r=|OA| ol- mak ¨uzere,
(a) sin t = |P N |1 = yr (b) cos t = |ON |1 = xr (c) tan t = |P N ||ON | = xy (d) cot t = |ON ||P N | = xy (e) sec t = rx = cos t1 (f ) csc t = ry = sin t1
e¸sitlikleri vardır. Bunlar, OAB ¨u¸cgenindeki O a¸cısının trigonometrik oranları olarak adlandırılır. Bu tanımlardan, 0, π2, π, 3π2 ve 2π radyanlık a¸cıların trigonometrik deˇgerleri kolayca s¨oylenebilir. E¸skenar ile ikizkenar dik ¨u¸cgen- lerden de diˇger temel a¸cıların trigonometrik deˇgerleri hesaplanarak a¸saˇgıdaki tablo elde edilebilir.
Tablo 1.2 Temel a¸cıların trigonometrik oranları.
A¸cı (t)→ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ sin t
√0 2
√1 2
√2 2
√3 2
√4 2
sin t 0 12
√ 2 2
√ 3
2 1
cos t 1
√3 2
√2 2
1
2 0
tan t 0
√3
3 1 √
3 tanımsız cot t tanımsız √
3 1
√3
3 0
2.6.1 Trigonometrik oranların ¨ ozellikleri
A¸saˇgıdaki (1)-(6) ¨ozellikleri doˇgrudan birim ¸cemberden g¨or¨ulebilir. (7) ¨ozel- liˇginden de diˇgerleri elde edilebilir.
(1) sin2t + cos2t = 1 (2) sin(−t) = − sin t (3) cos(−t) = cos t (4) tan(−t) = − tan t (5) cot(−t) = cot t (6) sin(t + 2π) = sin t S¸ekilden g¨or¨ul¨uyor ki,
sin(t1+ t2)=|QP ||OP | =|QS|+|SP ||OP | =|QS||OP |+|OP ||SP |
=|T R||OP |+|OP ||SP |
=|T R||OR||OR||OP |+|RP ||SP ||RP ||OP |
=sin t1cos t2+cos t1sin t2
2.6. TR˙IGONOMETR˙IK FONKS˙IYONLAR 37 ve b¨oylece a¸saˇgıdaki ¨ozellik (7) elde edilir. Bundan yararlanarak da diˇger
¨
ozellikleri g¨ormek kolaydır.
S¸ekil 2.26 ˙Iki a¸cının toplamının sin¨us¨u.
(7) sin(t1+ t2) = sin t1cos t2+ sin t2cos t1 (8) sin(t1− t2) = sin t1cos t2− sin t2cos t1 (9) sin(π2 − t) = cos t
(10) cos(t1+ t2) = cos t1cos t2− sin t1sin t2 (11) tan(t1+ t2) = 1−tanttant1+tant2
1tant2
(12) cos t1cos t2 = 12[cos(t1+ t2) + cos(t1− t2)]
(13) sin t1cos t2 = 12[sin(t1+ t2) + sin(t1− t2)]
(14) sin t1sin t2 = 12[cos(t1+ t2) − cos(t1− t2)]
2.6.2 Trigonometrik fonksiyonlar
Madem ki sin t trigonometrik oranı her t reel sayısı i¸cin birim ¸cember ¨uzerinde [−1, +1] aralıˇgında bir deˇgere kar¸sılık gelmektedir, o halde R’den [−1, +1]’e bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Bu durumda, f (x)=sin x, f : R 7→
[−1, +1] ile tanımlı fonksiyon ¨orten olur ama birebir olmaz. A¸saˇgıdaki ¸sekil-
S¸ekil 2.27 f : R 7→ [−1, +1], f (x) = sin(x) fonksiyonu grafiˇgi.
den de g¨or¨uld¨uˇg¨u gibi, f :[−π2,π2] 7→ [−1, +1], f (x)=sin(x) olarak tanımlanır- sa bu fonksiyon birebir ve ¨orten olur. Bu durumda arksin¨us (arcsin = sin−1) denen bir tersi vardır ve a¸saˇgıdaki gibi tanımlanır; grafiˇgi a¸saˇgıdadır.
arcsin : [−1, +1] 7→ [−π 2,π
2], arcsin : x 7→ sin−1(x) = arcsin(x)
S¸ekil 2.28 f : [−π2,π2] 7→ [−1, +1], f (x) = sin(x) ve tersi.
Benzer olarak, uygun aralıklar ¨uzerinde tanımlanan cos, tan ve cot fonksi- yonları ile terslerinin grafikleri ¸cizilebilir. Hemen belirtelim ki, bu fonksi- yonların birebir ve ¨orten olduˇgu aralıklar [π2,3π2 ], [3π2 ,5π2 ] veya [−5π2 , −3π2 ] bi¸ciminde de se¸cilebilir.
ALIS¸TIRMALAR (Trigonometrik fonksiyonlar)
1. Trigonometrik fonksiyonların (1)-(6) ¨ozelliklerini birim ¸cember ¨uzerinde a¸cıklayınız.
2.6. TR˙IGONOMETR˙IK FONKS˙IYONLAR 39 2. Trigonometrik fonksiyonların (8)-(14) ¨ozelliklerini (7) ¨ozelliˇginden elde
ediniz.
3. Yarım a¸cı form¨ulleri denilen sin 2x, cos 2x, tan 2x ve cot 2x deˇgerlerini trigonometrik fonksiyonların ¨ozelliklerinden elde ediniz.
4. arcsin√213+ arcsin√313 = x ise x deˇgerini hesaplayınız.
5. Bir dik ¨u¸cgen ¨uzerinde tan(arcsin x), cot(arccos x), cos(arctan x) deˇger- lerini hesaplayınız.
6. arctan a + arctan b = arctan(1−aba+b) olduˇgunu g¨osteriniz.
7. cos(2 arcsin x) deˇgerini hesaplayınız.
8. tan fonksiyonunun grafiˇgini ¸ciziniz. Bu fonksiyonun birebir ve ¨orten olduˇgu en geni¸s tanım aralıˇgını bularak, bu aralıktaki tersinin (arctan) grafiˇgini ¸ciziniz.
