S¸ekil 3.40 f : R 7→ R, y=f (x)=x2− 4x + 3 eˇgrisi.
Madem ki kritik noktalar her zaman ekstremum deˇgildir (y = x3 ¨orneˇgi), bu noktaların maksimum veya minimum olmasına nasıl karar verebileceˇgiz? A¸saˇgıdaki teorem ikinci t¨urevin i¸sareti ile ekstremumların varlıˇgı arasındaki ili¸skiyi ortaya komaktadır.
Teorem 3.4. x = c noktası y = f (x) fonksiyonunun bir kritik noktası, yani, f0(c) = 0 olsun.
(a) f00(c) > 0 ise x = c’de yerel minimum vardır. (b) f00(c) < 0 ise x = c’de yerel maksimum vardır.
˙Ispat: (a) f0(c) = 0 ve f00(c) > 0 demek,
f00(c) = limx→c f0(x)−f (c)x−c = limx→c f
0(x) x−c
> 0
demektir. Bu ise, x−c > 0 i¸cin f0(x) > 0 (fonksiyon x = c noktasının saˇgında artan) ve x − c < 0 ¸cin f0(x) < 0 (fonksiyon x = c noktasının solunda azalan) demektir. Yani, x = c noktası bir minimum noktadır. (b) ’nin ispatı benzer olarak yapılır.
¨
Ornek 3.42. y = x(x − 1)2 eˇgrisinin varsa yerel ekstremumlarını bulalım. Kritik noktalar,
y0 = (x − 1)(3x − 1) = 0 ⇒ x1 = 1
olur. Bu noktalardaki ikinci t¨urev deˇgerleri, y00= 6x − 4 ⇒ y00]x=1
3 = −2 < 0 ve y00]x=1 = 2 > 0
olur. Buna g¨ore, x=13 i¸cin y=274 maksimum ve x=1 i¸cin y=0 deˇgeri mini-mumdur.
¨
Ornek 3.43. y = √
x eˇgrisinin A(92, 0) noktasına en yakın olan noktasını bulalım. Bu nokta P (x, y) ise, P (x,√
x) olup, |AP | = d uzaklıˇgının minimum olmasını istiyoruz. Kritik noktalar
d = r (x − 9 2) 2+ (√ x)2 ⇒ d0 = 2x − 8 2 q (x −92)2+ x = 0 ⇒ x = 4
olur. y00]x=4 = 2 > 0 olduˇgundan, x = 4 minimum yapan deˇgerdir. O halde, Aranan P (x, y) noktası P (4, 2)’dir. Minimum uzaklık ise
d = r (4 −9 2) 2 + (0 − 2)2 = √ 17 2 olur. ¨
Ornek 3.44. 1000m uzunluˇgundaki dikenli tel ile dikd¨ortgen ¸seklinde bir b¨olge ¸cevrelenecektir. En b¨uy¨uk alanlı b¨olgenin ¨ol¸c¨ulerini ve alanını bulalım.
B¨olgenin eni x ve boyu y olsun. Alanı A = xy olup, ¸cevresi 1000 = 2x + 2y olur. Buna g¨ore, A = x(500 − x) olup, kritik noktalar
A = x(500 − x) ⇒ A0 = 500 − 2x = 0 ⇒ x = 250 ⇒ y = 250
olur. O halde aranan b¨olge kare bi¸ciminde ve alanı da A = 62 500m2 olur.
ALIS¸TIRMALAR (Diˇger Uygulamalar)
1. x2+ y2 = 1 ¸cemberinin hangi noktası A(3, 4) noktasına en yakındır?
2. Toplamı 7 olan pozitif iki reel sayının ¸carpımı en ¸cok ne olur? 3. C¸ arpımı 8 olan iki sayının toplamı en az ka¸c olur?
3.5. T ¨UREV˙IN UYGULAMALARI 73 4. Toplamları 60, negatif olmayan ¨oyle iki sayı bulunuz ki birinin karesi
ile diˇgerinin ¸carpımı maksimum olsun.
5. Alanları aynı olan dikd¨ortgenler i¸cinde ¸cevresi en k¨u¸c¨uk olanın kare olduˇgunu g¨osteriniz.
6. Aynı ¸cevreli dikd¨ortgenler i¸cinde alanı en b¨uy¨uk olanın kare olduˇgunu g¨osteriniz.
7. Negatif olmayan iki sayının toplamı t’dir. Bu sayıların kareleri topla-mının minimum deˇgeri nedir?
8. 1000m uzunluˇgunda dikenli tel ile bir ahır yapmak istiyoruz. Ahırın bir kenarı duvar, dikd¨ortgen ¸seklinde ve en b¨uy¨uk alanlı olmasını isti-yorsak, boyutları ne olmalıdır?
S¸ekil 3.41
9. L birim uzunluˇgunda olan bir tel iki par¸caya b¨ol¨unerek bir ¸cember ile bir kare yapılacaktır. Kare ile dairenin alanları toplamının en b¨uy¨uk olabilmesi i¸cin ¸cemberin yarı¸capı ile karenin kenar uzunluˇgu ne ol-malıdır? Toplam alan ne olol-malıdır?
10. Yarı¸capı a olan bir k¨ure i¸cine yerle¸stirilebilecek dairesel silindirin hacmi en fazla ne olur?
11. 1 litre hacminde, silindir bi¸cimindeki bir konserve kutusunun en ekono-mik (minimum alanlı-en az teneke harcanan-) boyutlarını hesaplayınız. 12. Bir hareketlinin hızı (v) zamana (t) baˇglı olarak v=t2 + 2t ¸seklinde
deˇgi¸smektedir. Bu hareketlinin minimum hızını bulunuz.
13. Y¨uksek bir binanın kenarına paralel bir ¸cit vardır. C¸ itin 27m y¨ uksek-likte ve binadan 64m uzakta olduˇgunu d¨u¸s¨unelim. Bir itfaiyeci bi-naya ¸citin ¨uzerinden dayadıˇgı bir merdivenle ula¸smak istiyor. Binaya ula¸sabilecek en kısa merdiven ne kadar uzunluktadır?
S¸ekil 3.42
14. f : R − {0} 7→ R, f (x)=x2+xa veriliyor. a ne olmalıdır ki f fonksiyonu (a) x = 2’de yerel minimuma
(b) x = −3’te yerel maksimuma sahip olsun?
15. r yarı¸caplı ¸cember i¸cine ¸cizilen dikd¨ortgenin alanı en fazla ne olur? 16. E¸sit kenarlarının uzunluˇgu a olan bir ikizkenar ¨u¸cgenin alanı en ¸cok ne
olur?
17. ¨Ust b¨ol¨um¨u yarım daire ve buna baˇglı alt b¨ol¨um¨u dikd¨ortgen olan 10m ¸cevreli bir pencere yapılacaktır (a¸saˇgı saˇgdaki ¸sekil). En ¸cok g¨une¸s ala-cak pencerenin boyutlarını (yarım dairenin yarı¸capını ve dikd¨ortgenin boyutlarını) belirleyiniz.
S¸ekil 3.43
18. 54m2 alan ¨uzerinde birbirine yapı¸sık iki dikd¨ortgen b¨olmeden olu¸san (yukarıda soldaki ¸sekil) ¨ust¨u a¸cık bir ahır yapılmak isteniyor. En ekono-mik boyutları belirleyiniz. Daha sonra, benzer bir problem olu¸sturun.
3.6. GRAF˙IK C¸ ˙IZ˙IM˙I 75
3.6 GRAF˙IK C¸ ˙IZ˙IM˙I
Biliyoruz ki her fonksiyon bir baˇgıntıdır. Dolayısıyla, bir f fonksiyonu ikili-lerden olu¸stuˇgundan, bu ikililerin bir dik koordinat sisteminde g¨osterilmesi, yani, grafiˇginin ¸cizilmesi m¨umk¨und¨ur.
A ⊂ R ve f : A 7→ R ile tanımlanan, f ’nin grafiˇgini ¸cizmek i¸cin ¸ce¸sitli ¨
ozelliklerinin bilinmesi gerekir. Fonksiyonun artan veya azalan olduˇgu ara-lıklar, eksenleri kestiˇgi noktalar, asimtotları (asimptotları), pik noktaları, ... vb. belirlenmelidir. ¨Ozetleyecek olursak, bir fonksiyonun grafiˇgini ¸cizmek i¸cin a¸saˇgıdaki bilgileri kullanırız:
1. f fonksiyonunun kendisi: Fonksiyonun x ile y eksenlerini kestiˇgi nokta-lar, fonksiyonun ge¸ctiˇgi belirli bazı noktalar, fonksiyonun asimtotları, fonksiyonun tek veya ¸cift olması gibi ¨ozellikleri belirlenir.
2. f ’nin t¨urevinin i¸saret tablosu: Fonksiyonun ekstremum i¸cin aday nok-taları, artan veya azalan olduˇgu yerleri belirlenir.
3. f00’n¨un i¸sareti: Sıfır olduˇgu yerler d¨on¨um noktalarıdır. (+) olduˇgu yerlerde (ilk t¨urev sıfır ise) minimum, (-) olduˇgu yerlerde ise (yine ilk t¨urev sıfır ise) maksimum olacaˇgından, bu tip yerler belirlenir.
Buraya kadar bize belki yabancı gelebilecek tek kavram asimtot kavramıdır. A¸saˇgıdaki ¸sekilleri inceleyelim.
S¸ekil 1.44 Yatay, d¨u¸sey ve eˇgik asimtotlar.
˙Ilk ¸sekilde limx→∞f (x) = a olduˇgu g¨or¨ul¨uyor. Bu durumda y = a doˇgrusu bir yatay asimtottur deriz. Benzer olarak limx→−∞f (x) = a ise, yine y = a doˇgrusu bir yatay asimtottur deriz. Bu durumdaki asimtotlara pay ile pay-dası aynı dereceli polinomlar olan kesirli fonksiyonlarda ve a¸saˇgıda ¨orneklerini vereceˇgimiz bazı ba¸ska fonksiyonlarda rastlanır.
˙Ikinci ¸sekilde limx→b+f (x) = ∞ olduˇgu g¨or¨ul¨uyor. Bu durumda y = a doˇgrusu bir d¨u¸sey asimtottur deriz. Bu durumdaki asimtotlara kesirli fonksi-yonlarda paydanın k¨oklerinin olması durumlarında rastlanır.
¨
U¸c¨unc¨u ¸sekilde ise x deˇgi¸skeni sınırsız olarak b¨uy¨ud¨uˇg¨unde y deˇgi¸skeni de b¨uy¨uyorsa, bu durumda verilen eˇgrinin d¨u¸sey veya yatay asimtotları dı¸sında asimtotları bulunabilir. y = f (x) verildiˇginde,
lim
x→∞[f (x) − g(x)] = 0 veya lim
x→−∞[f (x) − g(x)] = 0
olacak ¸sekilde bir y = g(x) eˇgrisi varsa, bu eˇgriye y = f (x) eˇgrisinin eˇgri asimtotu denir. Eˇger bu eˇgri ¨ozel olarak bir doˇgru ise, buna da eˇgik asimtot denir. Bir eˇgik asimtot y = g(x) = mx + n (x deˇgi¸sken, m ve n keyfi sabitler) ¸seklindedir. S¸imdi, asimtotun bu tipte olması halinde m ve n katsayılarının nasıl bulunabileceˇgini g¨orelim:
lim
x→∞[f (x) − g(x)] = lim
x→∞[f (x) − mx − n] = lim
x→∞[f (x)
x − m]x − n = 0 olmalıdır. Bu limitin var olması i¸cin limx→∞[f (x)x − m] = 0 olmalıdır. Aksi halde limit mevcut olmaz, ¸c¨unk¨u ikinci ¸carpanın limiti sonsuzdur. Sonu¸c olarak, eˇgik asitotun m ile n deˇgerleri
m = lim
x→∞
f (x)
x , n = limx→∞[f (x) − mx] e¸sitlikleri ile bulunur.
A¸saˇgıdaki ¨ornekleri inceleyelim. ¨
Ornek 3.45. y = √
x2+ 1 eˇgrisinin asimtotlarını bulalım. limx→∞y = ∞ olduˇgundan eˇgik asimtot olabilir.
m = lim x→∞ f (x) x = limx→∞ √ x2+ 1 x = 1 ve n = lim x→∞[f (x) − mx] = lim x→∞[√ x2+ 1 − x] = lim x→∞ 6 x2+ 1− 6 x2 √ x2+ 1 + x = 0 bulunur. O halde, y = mx + n’den y = x bir eˇgik asimtottur. Benzer olarak, limx→−∞y = ∞ olduˇgundan bir asimtot daha bulunabilir. Ger¸cekten, aynı adımlar izlenerek y = −x’in de bir eˇgik asimtot olduˇgu g¨or¨ul¨ur. Dolayısıya x>0 b¨olgesindeki asimtot y=x ve x<0 b¨olgesindeki asimtot da y=−x’tir.
3.6. GRAF˙IK C¸ ˙IZ˙IM˙I 77 ¨
Ornek 3.46. y = e1x eˇgrisinin varsa asimtotlarını bulalım. limx→∞e1x = 1 olduˇgundan y = 1 bir yatay asimtottur.
¨
Ornek 3.47. y = xx22+2x−1 eˇgrisinin yatay asimtotu y = 1 ve d¨u¸sey asimtotları x = 1 ile x = −1’dir.
¨
Ornek 3.48. y = x2x+2 = x + x2 eˇgrisinin eˇgik asimtotu y = x ve d¨u¸sey asimtotu x = 0’dır.
Not 3.9. Kesirli bir fonksiyon i¸cin pay ile paydanın ortak ¸carpanları yokken dereceleri e¸sit ise yatay asimtot, payın derecesi paydanınkinden 1 b¨uy¨uk ise eˇgik asimtot, payın derecesi paydanınkinden 2 veya daha b¨uy¨uk ise eˇgri asim-tot vardır ve yukarıdaki asimasim-totların t¨um¨u payın paydaya b¨ol¨unmesiyle bu-lunacak b¨ol¨umden elde edilebilir.
Not 3.10. Tek bir fonksiyon orijine g¨ore, ¸cift bir fonksiyon ise y eksenine g¨ore simetriktir.
S¸imdi bir y = f (x) fonksiyonunun grafiˇgini ¸cizerken yapmamız gerekenleri tek tek sıralamaya hazırız. Bunları maddeleyelim:
1. f (x)’in tanım k¨umesi bulunur ve a¸saˇgıdaki ¨ozellikleri saptanır:
(a) Kesirli bir fonksiyon ise, d¨u¸sey asimtotlar varsa saptanır. Bunun i¸cin paydayı sıfır yapan x deˇgerleri bulunur.
(b) lim±x→∞f (x) limitine bakılarak yatay veya eˇgik asimtotlar varsa saptanır.
(c) f ’nin tek veya ¸cift olu¸su incelenerek herhangi bir simetri varsa saptanır.
(d) Eksenleri kesen noktalar varsa belirlenir.
2. f0(x) ile f00(x) bulunur ve bunlar m¨umk¨unse ¸carpanlara ayırılır.
3. f0 t¨urevi hesaplanarak a¸saˇgıdakiler saptanır:
(a) K¨okleri varsa kritik noktalar (maksimum veya minimum adayı noktalar) belirlenir.
(b) f0’n¨un i¸sareti incelenerek f ’nin artan veya azalan olduˇgu yerler belirlenir.
4. f00 ve i¸sareti incelenerek ¸sunlar saptanır:
(a) Sıfır olduˇgu yerler d¨on¨um noktalarıdır.
(b) ˙I¸sareti incelenerek i¸cb¨ukey veya dı¸sb¨ukey olan aralıklar belirlenir. (c) (+) olduˇgu yerlerde (ilk t¨urev sıfır ise) minimum, (-) olduˇgu yer-lerde ise (yine ilk t¨urev sıfır ise) maksimum olacaˇgından, bu tip yerler belirlenir.
¨
Ornek 3.49. y = x2+2x+42x eˇgrisinin grafiˇgini ¸cizelim. y’yi a¸saˇgıdaki bi¸cimde yazarak hem eˇgik asimtotunu hem de t¨urevlerini kolaylıkla belirleyebiliriz:
y = 1 2x + 1 + 2 x ⇒ y0 = 1 2− 2 x2 ⇒ y00 = 4 x3
(A) y’den elde edebildiˇgimiz bilgiler: x = 0 i¸cin tanımsız olup, diˇger her yerde tanımlıdır. x = 0 d¨u¸sey asimtot, y = x2+ 1 eˇgik asimtottur. Fonksiyon tek veya ¸cift deˇgildir.
(B) y0’den elde edebildiˇgimiz bilgiler: y0 = x2x2−42 = 0 ⇒ x = ±2 kritik noktalardır.
(C) y00’den elde edebildiˇgimiz bilgiler: Sıfır olduˇgu yer yoktur. y ekseninin saˇgında pozitif, solunda ise negatiftir. Dolayısıyla, x = −2 i¸cin maksimum, x = 2 i¸cin ise minimum vardır.
Bu bilgileri a¸saˇgıdaki tablo ¨uzerine yerle¸stirebiliriz:
Tablo: y=x2+2x+42x eˇgrisine ili¸skin bilgiler.
x −∞ −2 0 2 +∞
y0 + 0 − tanımsız − 0 +
y00 − − − tanımsız + + +
y −∞ % −1 & −∞k + ∞ & 3 % +∞
MAKS D¨u¸sey Asm. M˙IN
3.6. GRAF˙IK C¸ ˙IZ˙IM˙I 79
S¸ekil 1.45 y=x2+2x+42x eˇgrisi. ¨
Ornek 3.50. y = xx22−1−4 eˇgrisinin grafiˇgini ¸cizelim.
y = 1 + 3 x2− 4 ⇒ y 0 = −6x (x2− 4)2 ⇒ y00 = 6(3x 2+ 4) (x2− 4)3
(A) y’den elde edebildiˇgimiz bilgiler: x = ±2 i¸cin tanımsız olup, diˇger her yerde tanımlıdır. x = −2 ile x = 2 d¨u¸sey asimtot, y = 1 yatay asimtottur. Fonksiyon ¸cift olup, y eksenine g¨ore simetriktir. (0, 1/4), (−1, 0) ve (1, 0) noktalarında aksenleri kesmektedir. Fonksiyon ayrıca, (3, 8/5) ve (−3, 8/5) noktalarından ge¸cmektedir.
(B) y0’den elde edebildiˇgimiz bilgiler: y0 = (x−6x2−4)2 ⇒ x = 0 kritik noktadır. (C) y00’den elde edebildiˇgimiz bilgiler: Sıfır olduˇgu yer yoktur. (−2, 2) aralıˇgında negatif, −2 ile 2 haricindeki yerlerde fonksiyon pozitiftir. Dolayısıyla, x = 0 i¸cin maksimum vardır. Bu bilgileri a¸saˇgıdaki tablo ¨uzerine yerle¸stirebiliriz:
Tablo: y=xx22−1−4 eˇgrisine ili¸skin bilgiler.
x −∞ −2 0 2 +∞
y0 + tanımsız + 0 − tanımsız −
y00 + tanımsız − − − tanımsız +
y 1 % +∞k − ∞ % % 1
4 & & −∞k + ∞ & 1
Bu tablodaki bilgileri ise a¸saˇgıdaki grafik ¨uzerinde g¨osterebiliriz.
S¸ekil 1.46 y = xx22−1−4 eˇgrisi.
ALIS¸TIRMALAR (Grafik C¸ izimleri) (A) A¸saˇgıdaki fonksiyonların grafiklerini ¸ciziniz.
(1)y = x(3 − x2) (2)y = x2x−13 (3)y = 2x2−1−1 (4)y = 2−xx (5)y = (x2− 1)3 (6)y = x(x2− 1)2 (7)y = x−1x+1 (8)y = x21+4 (9)y = 1+xx3 (10)y = x2x−1 (11)y = x2x−12 (12)y = x2x−13 (13)y = x2x+13 (14)y = x2x+12
(15)y = x + sin x (16)y = ln xx , (x > 0)