Geni¸ s A¸ cılı Radarda G¨ or¨ unt¨ u Olu¸ sturma ve Y¨ onba˘ gımlılık Tespiti i¸ cin Seyrek Sinyal Temsiline Dayalı bir Yakla¸ sım
A Sparse Signal Representation-based Approach to Image Formation and Anisotropy Determination in Wide-Angle Radar ∗
Kush R. Varshney
†, M¨ujdat C ¸ etin
†‡, John W. Fisher III
†, and Alan S. Willsky
††
Laboratory for Information and Decision Systems,
Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02139, A.B.D.
‡
Sabancı ¨ Universitesi, M¨ uhendislik ve Doˇ ga Bilimleri Fak¨ ultesi Tuzla, 34956, ˙Istanbul, T¨ urkiye
krv@mit.edu, mcetin@sabanciuniv.edu, fisher@csail.mit.edu, willsky@mit.edu
Ozet¸ ¨ ce
Geni¸s a¸ cılı sentetik a¸ cıklıklı radar (SAR) ¨ ol¸ c¨ umlerinden aynı anda g¨ or¨ unt¨ u olu¸sturulması ve y¨ onbaˇ gımlılık tespiti sorununu ele alıyoruz. Geleneksel SAR g¨ or¨ unt¨ u olu¸sturma y¨ ontemleri y¨ onbaˇ gımsız sa¸ cılım varsayımıyla ¸ calı¸sırlar, oysa bu varsayım geni¸s a¸ cılı a¸ cıklıklar i¸ cin ge¸ cerli deˇ gildir.
Biz y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılımın tam ¨ otesi bir s¨ ozl¨ ukle seyrek bi¸ cimde temsiline dayalı bir y¨ ontem ¨ oneriyoruz. S¨ ozl¨ uk farklı d¨ uzeylerde a¸ cısal s¨ urerliˇ ge sahip elemanlardan olu¸suyor. Bu ters problemi ¸ c¨ ozd¨ uˇ g¨ um¨ uzde sahnedeki her uzamsal konum i¸ cin karma¸sık deˇ gerli, y¨ onbaˇ gımlı bir tepki elde ediyoruz. Bu ¸ c¨ oz¨ ume eri¸smek i¸ cin kar¸sımıza ¸ cıkan eniyileme sorunu i¸ cin ¸ cok karma¸sık olmayan, grafiksel yapılı yakla¸sık bir algoritma geli¸stiriyoruz. Ger¸ cek¸ ci elek- tromanyetik benzetimler ¨ uzerinde sunduˇ gumuz deneysel sonu¸ clarla ¨ onerdiˇ gimiz yontemin etkinligini g¨ osteriyoruz.
Abstract
We consider the problem of jointly forming images and determining anisotropy from wide-angle synthetic aperture radar (SAR) measurements. Conventional SAR image for- mation techniques assume isotropic scattering, which is not valid with wide-angle apertures. We present a method based on a sparse representation of aspect-dependent scat- tering with an overcomplete dictionary composed of ele- ments with varying levels of angular persistence. Solved as an inverse problem, the result is a complex-valued, aspect-dependent response for each spatial location in a scene. Our formulation leads to an optimization problem for which we develop a tractable, graph-structured approx- imate algorithm. We present experimental results on real- istic electromagnetic simulations demonstrating the effec- tiveness of the proposed approach.
1. Giri¸ s
Geni¸s a¸ cılı sentetik a¸ cıklıklı radar (SAR) yakın ge¸ cmi¸ste havacılık elektroniˇ gi ve y¨ ong¨ ud¨ um teknolo- jilerindeki geli¸smeler sayesinde ilgi ¸ cekmeye ba¸sladı.
∗
Bu ¸ calı¸ sma T ¨ UB˙ITAK’ın 105E090, A.B.D. Hava Kuvvet- leri Ara¸ stırma Laboratuvarı’nın FA8650-04-1-1719 ve FA8650- 04-1-1721, ve Avrupa Komisyonu’nun MIRG-CT-2006-041919 ve FP6-2004-ACC-SSA-2 sayılı projeleri kapsamında destek- lenmi¸ stir. Bu bildirinin i¸ ceri˘ ginin bir kısmı daha ¨ once ˙Ingilizce olarak yayınlanmı¸ stır [1].
Teoride geni¸s a¸ cılı ¨ ol¸ c¨ umler bize daha iyi ¸ capraz men- zil ¸ c¨ oz¨ un¨ url¨ uˇ g¨ u saˇ glarlar. Ancak geleneksel g¨ or¨ unt¨ uleme y¨ ontemleri birka¸ c sebepten ¨ ot¨ ur¨ u geni¸s a¸ cılı verileri i¸slemeye elveri¸sli deˇ gillerdir. Bu bildirinin odak nok- tasını da te¸skil eden ¨ onemli bir mesele y¨ onbaˇ gımlılıktır.
Geni¸s a¸ cılı a¸ cıklıklarda sahneye ¸ ce¸sitli y¨ onlerden bakılır ve sa¸ cıcılar y¨ one baˇ gımlı bir tepki verirler. Gelenek- sel g¨ or¨ unt¨ uleme y¨ ontemleri y¨ onbaˇ gımsızlık varsayımıyla
¸
calı¸sırlar ve bu nedenle geni¸s a¸ cılı a¸ cıklıklarda doˇ gru ol- mayan sa¸ cılım tahminlerine yol a¸ carlar. Ayrıca sa¸ cıcıların y¨ onbaˇ gımlılıˇ gını tespit etmemi¸s olurlar, oysa y¨ onbaˇ gımlılık sahnenin analizi (¨ orneˇ gin otomatik hedef tanıma) i¸ cin
¨
onemli bir ¨ oznitelik olabilir.
Yakın ge¸ cmi¸ste y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılım tespiti ¨ uzerinde bir miktar ¸ calı¸sma yapıldı. Bunları parametrik [2, 3]
ve g¨ or¨ unt¨ u uzayındaki y¨ ontemler [4, 5, 6] olarak gru- playabiliriz. Yer darlıˇ gından dolayı bu yakla¸sımlardan detaylı bi¸ cimde bahsedemiyoruz. Parametrik modeller sa¸ cılımın doˇ gru modellenmesine hassastırlar, ve mev- cut parametrik y¨ ontemler geni¸s a¸ cılı a¸ cıklıklarda ge¸ cerli deˇ gillerdir. Mevcut g¨ or¨ unt¨ u uzayı y¨ ontemlerinin ¸ coˇ gu ise alta¸ cıklıklara baˇ glı olduklarından ¸ c¨ oz¨ un¨ url¨ uk kaybına ne- den olurlar.
Bu bildiride geni¸s a¸ cılı SAR i¸ cin g¨ or¨ unt¨ uleme ve y¨ onbaˇ gımlılık tespitinin birlikte yapılabildiˇ gi bir y¨ ontem
¨
oneriyoruz. C ¸ er¸ cevemiz tam ¨ otesi s¨ ozl¨ uklerle seyrek sinyal temsiline dayanıyor. Her uzamsal konumdaki sa¸cılımı ele- manları farklı d¨ uzeyde y¨ onbaˇ gımlılık i¸ ceren bir s¨ ozl¨ ukten az sayıda elemanla temsil etmeye ¸calı¸sıyoruz. Bu yakla¸sımda beklenen sa¸ cılım ¸ ce¸sitleri i¸ cin ¨ onsel bilgi kullanabiliyoruz, ancak sa¸ cılımların kısıtlı parametrik bir aileden gelmesi gerekmiyor. Yakla¸sımımız t¨ um uzamsal noktaları ve t¨ um a¸ cıklıˇ gı aynı anda kullanıyor ve ¸ capraz menzil y¨ on¨ unde
¸
c¨ oz¨ un¨ url¨ uk kaybına neden olmuyor. Yontemimiz bir eniy- ileme sorununun ¸ c¨ oz¨ um¨ une dayanıyor ve bu sorun i¸ cin grafiksel yapılı fırsat¸ cı bir algoritma geli¸stiriyoruz. Deney- lerimiz ¨ onerilen y¨ ontemin etkinliˇ gini g¨ osteriyor.
2. Verilerin Tam ¨ Otesi S¨ ozl¨ uk ile Temsili
˙Iki boyutlu g¨or¨unt¨ulemede ama¸c yery¨uz¨undeki s(x, y)
b¨ olgesinin karma¸sık deˇ gerli sa¸ cılım i¸slevini belirlemek-
tir. Burada x ve y menzil ve ¸capraz menzil
y¨ onlerindeki koordinatlardır. Ancak y¨ onbaˇ gımlılıˇ gı dikkate aldıˇ gımızda sa¸ cılım radarın sahneye bakı¸s a¸ cısı olan θ’ya da baˇ glı olduˇ gundan, sa¸ cılım i¸slevini s(x, y, θ) olarak genelle- memiz gerekir. Biz bu ¸ calı¸smada s(x, y, θ)’yı belirley- erek y¨ onbaˇ gımlılık tespiti ve g¨ or¨ unt¨ u olu¸sturmayı birarada ger¸ cekle¸stirmeyi hedefliyoruz. Evre tarihi verileri i¸ cin a¸saˇ gıdaki g¨ ozlem modelini varsayalım:
r (f, θ) =
Pp=1
s (x
p, y
p, θ) exp
−j 4πf
c (x
pcos θ + y
psin θ)
. (1) Burada c yayılım hızı, f ise radar ¨ol¸c¨umlerinin sıklıˇgıdır.
Tek bir uzamsal konum p i¸cin y¨onbaˇgımlı sa¸cılım i¸slevini a¸saˇ gıdaki M boyutlu s¨ozl¨uk ile temsil edelim:
s (x
p, y
p, θ) =
Mm=1
a
p,mb
m(θ) . (2) Burada b
m( θ) m’inci s¨ozl¨uk elemanıdır. Bu temsili kulla- narak evre tarihi verilerini ¸s¨ oyle ifade edelim:
r (f, θ) =
P p=1 M m=1a
p,mb
m( θ) exp
−j 4 πf
c ( x
pcos θ + y
psin θ)
. (3) Geleneksel y¨ onbaˇ gımsız sa¸ cılım varsayımı yukarıdaki ifadenin M = 1 ve b
1( θ)’nın sabit olduˇgu ¨ozel duru- mudur. S ¸imdi evre tarihi verilerini K sıklıkta ve N bakı¸s a¸ cısında ¨ orneklediˇ gimizi varsayalım. Bu ayrık verileri
¸s¨ oyle d¨ uzenleyelim: ¨ once her bir sıklıktaki farklı a¸ cılardaki verileri altalta dizelim, sonra da farklı sıklık verilerini altalta dizelim. Bunun sonucunda N · K uzunluktaki r vekt¨ or¨ un¨ u elde ederiz. Benzer bi¸ cimde N uzunluˇgundaki b
mvekt¨ or¨ un¨ u ve N × M boyutlarındaki (M > N)
B =
b
1b
2· · · b
Mmatrisini olu¸sturabiliriz.
Buradaki B matrisi (s¨ozl¨uˇg¨u) y¨onbaˇgımlı sa¸cılım tespiti amacına y¨ onelik olarak tasarımımıza tabidir.
Bu tasarımda M > N se¸cimini yaptıˇgımızdan B tam ¨ otesi bir s¨ ozl¨ ukt¨ ur. Bir de M · P uzunluˇgundaki
a =
a
1,1a
1,2· · · a
1,Ma
2,1· · · a
P,MTvekt¨ or¨ un¨ u olu¸sturabiliriz. T¨ um bunların sonunda Den- klem (3)’teki ifadenin ayrık halini r = Φa ¸seklinde ifade edebiliriz. Burada Φ N ·K ×M ·P boyutlu, ve B matrisi ile Denklem (3)’teki ¨ ustel terimin (ki bu terim SAR algılama parametreleri tarafından belirlenir) bile¸sik etkisini temsil eden bir matristir. Bu e¸sitlik M · P bilinmeyen i¸cin N · K tane doˇgrusal denklemi ifade etmektedir. Genelde B matrisini olu¸stururken M N se¸ctiˇgimizden, P ve K’den baˇgımsız olarak, M · P > N · K e¸sitsizliˇgi ge¸cerlidir, ve dolayısıyla bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazladır. Bu denklem k¨ umesinin ¸ c¨ oz¨ um¨ unden B¨ ol¨ um 3’te bahsedeceˇ giz.
S ¸imdi tam ¨ otesi s¨ ozl¨ uˇ g¨ um¨ uz B’yi nasıl tasar- ladıˇ gımızı anlatalım. S¨ ozl¨ ukteki eleman sayısı g¨ ozlem a¸ cısı sayısından ¸ cok daha fazla olmalıdır ve az sayıda s¨ ozl¨ uk elemanının doˇ grusal birle¸simi ile olası y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılım
¸
ce¸sitleri doˇ gru bi¸ cimde temsil edilebilmelidir. En olası sa¸ cılım mekanizmalarının a¸cıda s¨ ureklilik g¨ oster- mesini bekleyebiliriz. Buna dayanarak a¸ cıda s¨ urekli y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılımları birer s¨ ozl¨ uk elemanıyla temsil etmeyi se¸ ciyoruz. Ancak ¸sunu da belirtmeliyiz ki bizim yakla¸sımımız a¸ cıda s¨ urekli olmayan sa¸ cılım mekaniz- malarının da birden fazla s¨ ozl¨ uk elemanının birle¸simi ile
• • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • •
S
¸ekil 1: S¨ ozl¨ uk B’nin N = 4 durumu i¸cin g¨osterimi.
S
¸ekil 2: B s¨ozl¨uˇg¨un¨un grafiksel yapısı.
temsiline olanak tanımaktadır. S¨ ozl¨ uk elemanları olan b
mvekt¨ orlerinin her birini bir a¸ cısal geni¸slik ve bir a¸ cısal merkeze tekab¨ ul edecek darbeler bi¸ ciminde olu¸sturuyoruz.
Orneˇ ¨ gin N = 4 durumunda, darbe ¸seklini de dikd¨ortgensel olarak se¸ cersek, b
1= [1 1 1 1]
Ty¨ onbaˇ gımsız s¨ ozl¨ uk elemanımızdır, diˇ ger elemanlardan bazıları ise ¸s¨ oyledir:
b
2= [1 1 1 0]
T, b
3= [0 1 1 1]
T; b
4= [1 1 0 0]
T; son olarak da en dar a¸ cılı y¨ onbaˇ gımlılıˇ ga sahip darbe ¸s¨ oyledir:
b
M= [0 0 0 1]
T. Bu ¨ ornekteki N = 4 durumu icin t¨um s¨ ozl¨ uk B’yi S¸ekil 1’de g¨osteriyoruz. Bu ¸sekilde noktalar matrisin deˇ geri sıfır olmayan elemanlarını g¨ osteriyor.
S¨ ozl¨ uk elemanlarını burada tarif ettiˇ gimiz bi¸ cimde se¸ cince
¸su ili¸ski ge¸ cerli oluyor: M =
12N
2+
12N. Darbeler i¸cin bizim buradaki ¨ ornekte kullandıˇ gımız dikd¨ ortgenselden farklı ¸sekiller de (¨ u¸ cgen, Gauss gibi) elbette kullanılabilir.
Bu bi¸ cimde olu¸sturduˇ gumuz B s¨ozl¨uˇg¨un¨un doˇgal grafik- sel bir yapısı olduˇ gunu ke¸sfedebiliriz. S¨ ozl¨ uk eleman- ları olan b
mvekt¨ orleri bir grafik ¨ uzerindeki d¨ uˇ g¨ umlere tekab¨ ul edecek bi¸ cimde d¨ uzenlenebilirler. B¨ oyle bir grafiˇ gi N = 8 durumu i¸cin S¸ekil 2’de g¨osteriyoruz. Her d¨uˇg¨ume tekab¨ ul eden b vekt¨or¨u ilgili d¨uˇg¨um¨un solunda g¨or¨ulebilir.
Bu N seviyeli grafikteki k¨ok d¨uˇg¨um y¨onbaˇgımsız s¨ozl¨uk el- emanıdır; grafikte a¸saˇ gı doˇ gru ilerledik¸ ce daha dar a¸ cısal geni¸sliˇ gi olan y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılımlara eri¸siriz. Bu tip grafik- lerden bildirinin geri kalan kısmında N seviyeli ”s¨ozl¨uk grafiˇ gi” olarak bahsedeceˇ giz. Bu yapı bir sonraki b¨ ol¨ umde ters problem ¸ c¨ oz¨ um¨ u i¸ cin sunacaˇ gımız fırsat¸ cı algorit- maların geli¸stirilmesinde anahtar bir rol oynamaktadır.
3. Ters Problemin C ¸ ¨ oz¨ um¨ u
Bir ¨ onceki b¨ ol¨ umde olu¸sturduˇ gumuz r = Φa den- klem k¨ umesinin tek bir ¸ c¨ oz¨ um¨ u yoktur. Ayrıca bu- radaki Φ s¨ozl¨uˇg¨u evre tarihi verilerinin az sayıda s¨ozl¨uk elemanıyla temsil edilmesine olanak saˇ glayacak bi¸ cimde olu¸sturulmu¸stur. Bu bakımdan bu ters problemi bir seyrek sinyal temsili problemi olarak g¨ or¨ up, a i¸cin son- suz sayıdaki ¸ c¨ oz¨ um i¸ cinden seyrek olanları, yani
0normu k¨ u¸ c¨ uk olanları tercih edecek bir ¸ c¨ oz¨ um ¨ oneriyoruz. An- cak a
0ifadesini enk¨ u¸ c¨ ulten bir ¸ c¨ oz¨ um bulmak kombine- zonsal bir eniyileme problemidir. Bu nedenle problemi
0
yerine
k( k < 1) normu kullanarak gev¸setiyoruz. Bu
tip gev¸setmelerle ilgili son yıllarda ilgin¸ c teorik sonu¸ clar
elde edilmeye ba¸slandı. Ayrıca verilerimizin g¨ ur¨ ult¨ ul¨ u ola-
bileceˇ gini hesaba katarak problemi y = Φa + n ¸seklinde
kuruyoruz. Burada n g¨ozlem g¨ur¨ult¨us¨ud¨ur. Bu g¨ozlemler
ı¸sıˇ gında, a¸saˇ gıdaki maliyet i¸slevini enk¨ u¸ c¨ ulten a’yı prob-
lemin ¸ c¨ oz¨ um¨ u olarak se¸ ciyoruz:
J (a) = y − Φa
22+ α a
kk, k < 1. (4) Burada
knormunun seyrekle¸stirici bir etkisi vardır, α ise verilere sadakat ile seyreklik arasında denge ku- ran bir parametredir. Bu problemin ¸c¨ oz¨ um¨ u i¸ cin, daha ¨ once y¨ onbaˇ gımsız SAR g¨ or¨ unt¨ ulemede kullanılan
¨
ozyineli bir algoritmayı [7] kullanabiliriz. Teorik olarak bu algoritma her b¨ uy¨ ukl¨ ukteki eniyileme prob- lemine uygulanabilir. Ancak burada olu¸sturduˇ gumuz y¨ onbaˇ gımlı g¨ or¨ unt¨ uleme senaryosunda Φ matrisinin s¨utun sayısı O(N
2P ) mertebesindedir. ˙Ilgilendiˇgimiz ger¸cek¸ci g¨ or¨ unt¨ uleme senaryolarında y¨ uzlerce g¨ ozlem a¸ cısı ve uzamsal konum olacaˇ gından bu matrisin boyu ¨ onerilen y¨ ontemin uygulanmasında hem hafıza hem de hesaplama y¨ uk¨ u bakımından zorluklar olu¸sturacaktır. Bu nedenle, B¨ ol¨ um 2’de tarif ettiˇ gimiz grafiksel yapıyı kullanarak hafıza gereksinimlerini azaltan fırsat¸ cı bir algoritmayı ¸ c¨ oz¨ um i¸ cin
¨
oneriyoruz.
N seviyeli s¨ozl¨uk grafiˇginde d¨uˇg¨umler s¨ozl¨uk eleman- larını temsil etmektedir. Olu¸sturduˇ gumuz s¨ ozl¨ uk yapısında her uzamsal konum p
i¸ cin sadece birka¸ c ve ¸ coˇ gu du- rumda sadece bir s¨ ozl¨ uk elemanının y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılım i¸slevi s(x
p, y
p, θ)’yı temsil etmek icin yeterli olması hede- flenmektedir. Bu nedenle seyrek sinyal temsili problemi s¨ ozl¨ uk grafiˇ ginde bir ya da birka¸ c d¨ uˇ g¨ um¨ un aranması prob- lemi olarak g¨ or¨ ulebilir. Genelde P > 1 uzamsal konum ve dolayısıyla aynı anda P tane s¨ozl¨uk grafiˇgi bulunduˇgundan, problemin ¸ c¨ oz¨ um¨ u i¸ cin e¸szamanlı P tane arama gerekmek- tedir.
Her s¨ ozl¨ uk grafiˇ gi i¸ cin her arama adımında problemi az sayıda s¨ ozl¨ uk elemanını dikkate alarak ¸ c¨ ozmeyi ¨ oner- iyoruz. B¨ oylece hem hesaplama y¨ uk¨ u hem de hafıza gereksinimi kontrol altında tutulur. ¨ Orneˇ gin S ¸ekil 2’deki grafiˇ gi d¨ u¸s¨ un¨ ursek, problemin ilk adımda sadece tepedeki altı d¨ uˇ g¨ um dikkate alınarak ¸ c¨ oz¨ uld¨ uˇ g¨ un¨ u d¨ u¸s¨ unelim.
Problemin ¸ c¨ oz¨ um¨ unde kullanılan d¨ uˇ g¨ umlerin olu¸sturduˇ gu altk¨ umeye ”y¨ onlendirme grafiˇ gi” ismini verelim. B¨ oyle bir adımdan sonra aramanın devam edip etmeyeceˇ gi, edecekse hangi d¨ uˇ g¨ umlere doˇ gru y¨ onlenileceˇ gi ile ilgili kuralların uygulanması gerekir. Bu kuralları olu¸sturmak i¸ cin kul- landıˇ gımız fikir ¸sudur: ger¸ cek sa¸ cılım davranı¸sını temsil eden s¨ ozl¨ uk elemanı y¨ onlendirme grafiˇ ginin i¸ cinde deˇ gilse, elde edeceˇ gimiz ¸ c¨ oz¨ um vekt¨ or¨ u a ger¸ceˇge ”en yakın”
¸
c¨ oz¨ ume tekab¨ ul eden s¨ ozl¨ uk elemanı i¸ cin sıfır olmayan bir katsayıya sahip olacaktır. Orneˇ ¨ gin doˇ gru d¨ uˇ g¨ um s¨ ozl¨ uk grafiˇ ginin alt kısımlarındayken y¨ onlendirme grafiˇ gi te- pedeyse, b¨ uy¨ uk ihtimalle y¨ onlendirme grafiˇ ginin en alt se- viyesindeki vekt¨ orlere tekab¨ ul eden katsayılar sıfır olmayan deˇ gerler alacaklardır. Ote yandan ger¸ ¨ cek sa¸ cılımı temsil eden d¨ uˇ g¨ um y¨ onlendirme grafiˇ ginin i¸ cindeyse, ona tekab¨ ul eden katsayının sıfır olmayan bir deˇ ger almasını bek- leriz. Bu beklentilerimiz benzetim sonu¸ cları tarafından da destekleniyor [1].
Yukarıdaki fikir ve g¨ ozlemlere baˇ glı olarak her uzam- sal konum i¸ cin ¸s¨ oyle bir yordam ¨ oneriyoruz. S¨ ozl¨ uk grafiˇ ginin tepesine yerle¸stirdiˇ gimiz bir y¨ onlendirme grafiˇ gi ile aramaya ba¸slayalım. C ¸ ¨ oz¨ um y¨ onlendirme grafiˇ ginin en alt seviyesi dı¸sındaki bir yerdeyse arama i¸slemini son- landıralım. Eˇ ger ¸ c¨ oz¨ um en alt seviyedeyse, o seviyedeki d¨ uˇ g¨ umlerin katsayılarının b¨ uy¨ ukl¨ uˇ g¨ une g¨ ore bir sonraki arama adımı i¸ cin y¨ onlendirme grafiˇ gini alt-saˇ g veya alt- sol y¨ on¨ unde kaydıralım. Yeni y¨ onlendirme grafiˇ giyle prob- lemi tekrar ¸ c¨ ozelim ve aynı durma ve devam etme ku- rallarını uygulayalım. Bu i¸slemi P tane uzamsal konum
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a1
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a2
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a3
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a4
(a)
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a1
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a2
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a3
0 500 1000
−0.5 0 0.5
a4
(b) S
¸ekil 3: C ¸ ¨ oz¨ um olarak bulunan a vekt¨orleri. (a) Geleneksel en k¨ u¸ c¨ uk kareler, en k¨ u¸ c¨ uk norm y¨ ontemi. (b) ¨ Onerilen y¨ ontem. Ger¸ cel kısım ◦ ve sanal kısım × ile g¨osteriliyor.
i¸ cin paralel olarak yaptıˇ gımızı ve her konumdaki arama i¸sleminin diˇ gerlerini etkileyebileceˇ gini de belirtelim. Elim- izdeki P konumun hepsindeki aramalar sonlanınca prob- lemin ¸ c¨ oz¨ um¨ une varmı¸s oluruz.
4. Deneysel Sonu¸ clar
Onerdiˇ ¨ gimiz y¨ ontemin sonu¸ clarını iki ¨ ornek ¨ uzerinde g¨ osteriyoruz. ˙Ilk ¨ornekte doˇgal noktasal sa¸cılım model- leri kullanılarak olu¸sturulmu¸s XPatch benzetim verilerini kullanıyoruz. ˙Ikinci ¨ ornekte ise A.B.D. Hava Kuvvetleri Ara¸stırma Laboratuvarı’nın saˇ gladıˇ gı, i¸ cinde bir i¸s maki- nesinin bulunduˇ gu sahneye tekab¨ ul eden ger¸ cek¸ ci elektro- manyetik benzetim verilerini [8] kullanıyoruz.
˙Ilk ¨ornekteki basit senaryomuzda d¨ort tane uzamsal konum (piksel) var. Bu noktaların koordinatları (0 , 0), (0 ,
12), (
12, 0), ve (
12,
12) metre. Kullandıˇ gımız ¨ ol¸ c¨ umler 9 GHz, 9.016 GHz, ve 9.032 GHz olmak ¨ uzere K = 3 sıklıkta ve 98
◦’lik a¸ cıklıˇ ga yayılmı¸s N = 50 a¸cısal g¨ ozlem noktasında. Bu ¨ ornekte d¨ ort noktadan ik- isinde sa¸ cıcı yok, diˇ ger ikisinde ise gercek¸ ci (XPatch
¨
ong¨ or¨ ulerine dayalı) y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılım var. ¨ Onerdiˇ gimiz y¨ ontemde
knormu i¸ cin k = 0.1 kullanıyoruz. Ayrıca kar¸sıla¸stırma olması bakımından ters problemin geleneksel en k¨ u¸ c¨ uk kareler, en k¨ u¸ c¨ uk norm yakla¸sımıyla ¸ c¨ oz¨ um¨ un¨ un sonu¸ clarını da g¨ osteriyoruz. S ¸ekil 3 d¨ ort konumdaki a vekt¨orleri i¸cin bulunan ¸c¨oz¨umleri g¨osteriyor. Bu
¨
ornekteki N = 50 se¸cimi i¸cin her uzamsal noktada M = 1275 tane s¨ozl¨uk vekt¨or¨u var. Bu vekt¨ orleri S
¸ekil 1’deki gibi soldan saˇ ga sıraladıˇ gımızı d¨ u¸s¨ un¨ ursek, S
¸ekil 3’teki her bir ¸ cizim aynı sırayla bu vekt¨ orlere
tekab¨ ul eden katsayıları g¨ osteriyor. Beklediˇ gimiz gibi,
0 0.8
θ
| s( x1, y1, θ)|
0 0.8
θ
| s( x4, y4, θ)|
0 0.8
θ
| s( x3, y3, θ)|
0 0.8
θ
| s( x2, y2, θ)|
(a)
0 0.8
θ
| s( x1, y1, θ)|
0 0.8
θ
| s( x4, y4, θ)|
0 0.8
θ
| s( x3, y3, θ)|
0 0.8
θ
| s( x2, y2, θ)|
(b)
S ¸ekil 4: Tahmin edilen y¨ onbaˇ gımlılıˇ gın b¨ uy¨ ukl¨ uˇ g¨ u. (a) En k¨ u¸ c¨ uk kareler, en k¨ u¸ c¨ uk norm y¨ ontemi. (b) ¨ Onerilen y¨ ontem. Mavi: tahmin edilen; siyah: ger¸ cek y¨ onbaˇ gımlılık.
¨
onerdiˇ gimiz y¨ ontemle elde edilen a vekt¨or¨u ¸cok daha seyrek bir yapıya sahip, ve sa¸cıcı olmayan noktalarda neredeyse t¨ um katsayılar olması gerektiˇ gi gibi sıfır. Diˇ ger noktalarda ise y¨ onbaˇ gımlı bir sa¸ cılım tahmin ediliyor.
S ¸imdi bu sa¸ cılım sonu¸ clarını S ¸ekil 4’teki s(x
p, y
p, θ) i¸slevlerine bakarak inceleyelim. Onerdiˇ ¨ gimiz y¨ ontemin y¨ onbaˇ gımlılık tespiti bakımından daha ba¸sarılı olduˇ gunu g¨ or¨ uyoruz. B¨ oyle bir senaryoda y¨ onbaˇ gımlılıˇ gı g¨ ozardı ed- erek g¨ or¨ unt¨ u olu¸stursaydık, piksellerde tahmin edilen yansıtırlık deˇ gerleri doˇ gru deˇ gerleri yansıtmazdı.
˙Ikinci ¨orneˇgimizde [8]’deki verileri kullanıyoruz. Bu- rada −10
◦ile 100
◦arasındaki 110
◦’lik a¸ cıklıkta, N = 1541 a¸ cısal g¨ ozlem noktasında, ve 7.047 GHz, 9.994 GHz, ve 12.953 GHz olmak ¨ uzere K = 3 sıklıkta veriler kul- lanıyoruz. ¨ Once geleneksel olarak olu¸sturulmu¸s alta¸ cıklık g¨ or¨ unt¨ ulerinden [6] P = 75 tane (baskın sa¸cıcıların bu- lunduˇ gu) uzamsal konum ¸ cıkarıyor ve y¨ ontemimizi bu noktalar ¨ uzerinde uyguluyoruz. S ¸ekil 5(a)’da sa¸ cıcılar i¸ cin belirlenen sa¸ cılımın merkez a¸ cısını renk ile kod- layarak g¨ osteriyoruz. Burada kırmızı −10
◦’ye, ye¸sil 45
◦’ye, mavi 110
◦’ye tekab¨ ul ediyor. Farklı sa¸ cıcılar i¸ cin farklı sa¸ cılma y¨ onleri tespit ettiˇ gimizi g¨ or¨ uyoruz.
S ¸ekil 5(b)’de birka¸ c tane sa¸ cıcı i¸ cin tespit edilen y¨ onbaˇ gımlı sa¸ cılımın b¨ uy¨ ukl¨ uˇ g¨ un¨ u g¨ osteriyoruz. Burada d¨ uz ¸ cizgiler ¨ onerdigimiz y¨ ontemin sonucunu, yıldızlar ise [6]’daki yakla¸sımla elde edilen alta¸ cıklık piksel deˇ gerlerini g¨ osteriyor. ¨ Onerdiˇ gimiz y¨ ontemin sonu¸ clarının a¸ cısal tepki bakımından daha detaylı bilgi verdiˇ gini g¨ or¨ uyoruz.
5. Kaynak¸ ca
[1] K. R. Varshney, M. C ¸ etin, J. W. Fisher III, ve A. S.
Willsky, “Joint Image Formation and Anisotropy Char-
Cross−range (m)
Range (m)
−5 0 5
−5
0
5
(a)
| s( x, y, θ)| 11 θ
| s( x, y, θ)| 22 θ
| s( x, y, θ)| 33 θ
