2.6. TR˙IGONOMETR˙IK FONKS˙IYONLAR 35 Tablo 1.1 Temel a¸cılar
2.6.2 Trigonometrik fonksiyonlar
ozellikleri g¨ormek kolaydır.
S¸ekil 2.26 ˙Iki a¸cının toplamının sin¨us¨u.
(7) sin(t1+ t2) = sin t1cos t2+ sin t2cos t1
(8) sin(t1− t2) = sin t1cos t2− sin t2cos t1 (9) sin(π2 − t) = cos t
(10) cos(t1+ t2) = cos t1cos t2− sin t1sin t2 (11) tan(t1+ t2) = tant1+tant2
1−tant1tant2
(12) cos t1cos t2 = 12[cos(t1+ t2) + cos(t1− t2)] (13) sin t1cos t2 = 12[sin(t1+ t2) + sin(t1− t2)] (14) sin t1sin t2 = 12[cos(t1+ t2) − cos(t1− t2)]
2.6.2 Trigonometrik fonksiyonlar
Madem ki sin t trigonometrik oranı her t reel sayısı i¸cin birim ¸cember ¨uzerinde [−1, +1] aralıˇgında bir deˇgere kar¸sılık gelmektedir, o halde R’den [−1, +1]’e bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Bu durumda, f (x)=sin x, f : R 7→ [−1, +1] ile tanımlı fonksiyon ¨orten olur ama birebir olmaz. A¸saˇgıdaki
¸sekil-S¸ekil 2.27 f : R 7→ [−1, +1], f (x) = sin(x) fonksiyonu grafiˇgi.
den de g¨or¨uld¨uˇg¨u gibi, f :[−π2,π2] 7→ [−1, +1], f (x)=sin(x) olarak tanımlanır-sa bu fonksiyon birebir ve ¨orten olur. Bu durumda arksin¨us (arcsin = sin−1) denen bir tersi vardır ve a¸saˇgıdaki gibi tanımlanır; grafiˇgi a¸saˇgıdadır.
arcsin : [−1, +1] 7→ [−π 2, π 2], arcsin : x 7→ sin −1 (x) = arcsin(x)
S¸ekil 2.28 f : [−π2,π2] 7→ [−1, +1], f (x) = sin(x) ve tersi.
Benzer olarak, uygun aralıklar ¨uzerinde tanımlanan cos, tan ve cot yonları ile terslerinin grafikleri ¸cizilebilir. Hemen belirtelim ki, bu fonksi-yonların birebir ve ¨orten olduˇgu aralıklar [π2,3π2 ], [3π2 ,5π2 ] veya [−5π2 , −3π2 ] bi¸ciminde de se¸cilebilir.
ALIS¸TIRMALAR (Trigonometrik fonksiyonlar)
1. Trigonometrik fonksiyonların (1)-(6) ¨ozelliklerini birim ¸cember ¨uzerinde a¸cıklayınız.
2.6. TR˙IGONOMETR˙IK FONKS˙IYONLAR 39 2. Trigonometrik fonksiyonların (8)-(14) ¨ozelliklerini (7) ¨ozelliˇginden elde
ediniz.
3. Yarım a¸cı form¨ulleri denilen sin 2x, cos 2x, tan 2x ve cot 2x deˇgerlerini trigonometrik fonksiyonların ¨ozelliklerinden elde ediniz.
4. arcsin√2
13+ arcsin√3
13 = x ise x deˇgerini hesaplayınız.
5. Bir dik ¨u¸cgen ¨uzerinde tan(arcsin x), cot(arccos x), cos(arctan x) deˇ ger-lerini hesaplayınız.
6. arctan a + arctan b = arctan(1−aba+b) olduˇgunu g¨osteriniz.
7. cos(2 arcsin x) deˇgerini hesaplayınız.
8. tan fonksiyonunun grafiˇgini ¸ciziniz. Bu fonksiyonun birebir ve ¨orten olduˇgu en geni¸s tanım aralıˇgını bularak, bu aralıktaki tersinin (arctan) grafiˇgini ¸ciziniz.
Chapter 3
T ¨UREV
T¨urev kavramı ¨ozel bir limit olarak tanımlandıˇgından, ¨oncelikle limit ve s¨ureklilik kavramları ¨uzerinde duracaˇgız.
3.1 L˙IM˙IT VE S ¨UREKL˙IL˙IK
Tanım 3.1. a sayısı y=f (x) fonksiyonunun tanım k¨umesinin bir yıˇgılma noktası olsun. Her ε > 0 i¸cin, |x − a| < δ olduˇgunda |f (x) − L| < ε olacak ¸sekilde bir δ = δ(ε) pozitif sayısı bulunabiliyorsa, x a’ya yakla¸sırken f(x)’in limiti L’dir denir ve
lim
x→af (x) = L ile g¨osterilir.
S¸ekil 3.29 y = f (x)’in x → a iken limiti.
Not 3.1. Tanımda dikkat edeceˇgimiz bir nokta, y=f (x) fonksiyonunun x=a noktasında tanımlı olması gerekmediˇgi, ancak, bu nokta civarında tanımlı olması gerektiˇgidir. Yani, y=f (x) fonksiyonu x=a noktasının bir delinmi¸s δ kom¸suluˇgunda tanımlı olmalıdır.
Not 3.2. Burada, ε sayısı f (x)’i L’ye ne kadar yakla¸stırmak istediˇgimizin ¨
ol¸c¨us¨u iken, δ sayısı buna baˇglı olarak x’i a’ya ne kadar yakla¸stırmamız gerektiˇginin ¨ol¸c¨us¨ud¨ur.
¨
Ornek 3.1. limx→22x + 1 = 5 olduˇgunu g¨osterelim. ε > 0 verilsin.
|f (x) − 5| < ε ⇒ |(2x + 1) − 5| < ε ⇒ |2x − 4| < ε ⇒ |x − 2| < ε 2 bulunur. Buradan, yukarıdaki gerektirmeler tersine ¸calı¸stırılarak, her ε > 0 i¸cin, eˇger δ = ε
2 se¸cilirse, |x − 2| < δ olduˇgunda |f (x) − 5| < ε olur. O halde, limx→22x + 1 = 5’tir.
A¸saˇgıdaki ¨ornek yukarıdaki notta s¨ozettiˇgimiz duruma ili¸skindir: x = 2 i¸cin fonksiyon tanımlı olmadıˇgı halde, bu noktada limit vardır.
¨
Ornek 3.2. limx→2 xx−22−4 = 4 olduˇgunu g¨osterelim. ε > 0 verilsin.
|f (x) − 4| = |(x − 2)(x + 2)
x − 2 − 4| < ε ⇒ |(x + 2) − 4| < ε ⇒ |x − 2| < ε bulunur. Burada da δ = ε se¸cilirse, |x − 2| < δ olduˇgunda |f (x) − 4| < ε olur. O halde, limx→2 xx−22−4 = 4’t¨ur.
S¸ekil 3.30 x 6= 2 i¸cin f (x) = xx−22−4 = x + 2’nin x → 2 iken limiti.
¨
Ornek 3.3. limx→0(x2+ 3) = 3 olduˇgunu g¨osterelim. ε > 0 verilsin.
|(x2+ 3) − 3| = |x2| < ε ⇒ |x| <√ε bulunur. S¸imdi, δ =√
ε se¸cilirse, |x| < δ olduˇgunda |(x2+ 3) − 3| < ε olur. O halde, limx→0(x2+ 3) = 3’t¨ur.
3.1. L˙IM˙IT VE S ¨UREKL˙IL˙IK 43 Tanım 3.2. (Saˇgdan limit-soldan limit) x’in a’dan b¨uy¨uk deˇgerlerle a’ya yakla¸sması halinde f (x) de l1’e yakla¸sıyorsa, l1’e f (x)’in saˇgdan limiti denir ve
lim
x→a+f (x) = l1 ile g¨osterilir. Benzer olarak
lim
x→a−f (x) = l2
soldan limiti tanımlanır. Saˇgdan ve soldan limitler e¸sit ise, bulunan limit deˇgeri f (x)’in x→a i¸cin limitidir, aksi halde f (x)’in x→a i¸cin limiti yoktur deriz.
S
¸ekil 3.31 Saˇgdan ve soldan limitler. ¨
Ornek 3.4. f (x) = |x|x fonksiyonu x = 0 i¸cin tanımlı olmadıˇgı halde, x → 0+
saˇgdan ve x → 0− soldan limitlerini sırasıyla bulalım. (S¸ekil:1.32)
S¸ekil 3.32 f (x) = |x|x ’in x → 0+ ve x → 0− limitleri.
x > 0 i¸cin: |x| = x olup, f (x) = |x|x = xx = 1 ve
limx→0+f (x) = limx→0+ x |x| = limx→0+ x x = limx→0+1 = 1
bulunur.
x < 0 i¸cin: |x| = −x olup, f (x) = |x|x = −xx = −1 ve
limx→0−f (x) = limx→0− x |x| = limx→0− x −x = limx→0−−1 = −1
bulunur. O halde, limx→0 |x|x yoktur.
¨
Ornek 3.5. limx→11 − x + |x−1|x−1 limitini hesaplayalım. x deˇgi¸skeni saˇgdan ve soldan 1’e yakla¸sırken g(x) = |x−1|x−1 fonksiyonu farklı deˇgerler aldıˇgından saˇgdan ve soldan limitleri ayrı ayrı hesaplamak gerekir:
x − 1 > 0 i¸cin: |x − 1| = x − 1 olup, |x−1|x−1 = x−1x−1 = 1 ve
limx→1+1 − x + |x−1|x−1 = limx→1+1 − x + x−1x−1 = 1
bulunur.
x − 1 < 0 i¸cin: |x − 1| = −(x − 1) olup, |x−1|x−1 = −(x−1)x = −1 ve
limx→1−1 − x + |x−1|x−1 = limx→1−1 − x + x−11−x = −1
bulunur. O halde, limx→11 − x + |x−1|x−1 yoktur.
S¸imdi de x → ∞ i¸cin f (x)’in limitini tanımlayalım.
Tanım 3.3. (Sonsuzdaki limit) Her ε > 0 i¸cin istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk bir P > 0 bulunabiliyorsa ¨oyle ki |x| > P olduˇgunda |f (x) − L| < ε oluyorsa x ∞’a yakla¸sırken f(x)’in limiti L’dir denir ve
lim
x→∞f (x) = L ile g¨osterilir. Benzer olarak
lim
x→−∞f (x) = L limiti tanımlanır.
3.1. L˙IM˙IT VE S ¨UREKL˙IL˙IK 45 ¨
Ornek 3.6. limx→∞x−1x = 1 olduˇgunu g¨osterelim. Her ε > 0 i¸cin |x| > P olduˇgunda |f (x) − 1| < ε olacak ¸sekilde P sayısı bulalım.
|f (x) − 1| < ε ⇐⇒ |x−1
x − 1| = 1 |x| < ε ⇐⇒ |x| > 1
ε
olduˇgundan, eˇger P = 1ε se¸cilirse, |x| > P i¸cin |f (x)−1| < ε olur. ε istenildiˇgi kadar k¨u¸c¨uk se¸cilirse P de istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk olur.
S¸imdi de x → a (a ∈ R) i¸cin f (x)’in limitinin ∞ olması halini tanımlayalım. Tanım 3.4. (Limitin sonsuz olması) x → a i¸cin f (x)’in limitinin ∞ olması demek, P gibi istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk pozitif bir sayı se¸cildikten sonra
|x − a| < δ olduˇgunda
|f (x)| > P
olacak ¸sekilde bir δ sayısının bulunabilmesi demektir. B¨oyle bir limit lim
x→af (x) = ∞ ile g¨osterilir.
¨
Ornek 3.7. limx→2 (x−2)1 2 = ∞ olduˇgunu g¨osterelim. Limit doˇgru ise, P > 0 i¸cin, 1 (x−2)2 > P ⇐⇒ |x − 2|2 < P1 ⇐⇒ |x − 2| < √1 P ve δ = √1
P olması gerekir. B¨oyelece, tersten giderek, P istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk bir sayı olarak se¸cildiˇginde δ da istenildiˇgi kadar k¨u¸c¨uk bir sayı olur. O halde limit doˇgrudur.
Tanım 3.5. (Sonsuzdaki limitin sonsuz olması) x → ∞ i¸cin f (x)’in limitinin ∞ olması demek, P gibi istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk pozitif bir sayı se¸cildikten sonra
|x| > N olduˇgunda
olacak ¸sekilde bir N sayısının bulunabilmesi demektir. B¨oyle bir limit lim
x→∞f (x) = ∞
ile g¨osterilir. Burada P istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk se¸cildiˇginde N de istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk bir sayı olur.
¨
Ornek 3.8. limx→∞x2 = ∞ olduˇgunu g¨osterelim. Limit doˇgru ise, P > 0 i¸cin,
|x2| > P ⇐⇒ |x|2 > P ⇐⇒ |x| >√ P ve N = √
P olması gerekir. B¨oyelece, tersten giderek, P istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk bir sayı olarak se¸cildiˇginde N de istenildiˇgi kadar b¨uy¨uk bir sayı olur. O halde limit doˇgrudur.
Not 3.3. Hemen belirtelim ki y=f (x) fonksiyonu x→a (a ∈ R veya a = ∞) halinde sonlu veya sonsuz bir limite yakla¸smayabilir. ¨Orneˇgin,
lim
x→∞cos x limiti yoktur.
Not 3.4. S¸u limitler sık¸ca kar¸sımıza ¸cıkar: lim x→∞ 1 x = 0, x→∞lim 1 x2 = 0, lim x→0+ 1 x = ∞, x→0lim− 1 x = −∞, limx→0 1 x2 = ∞. Sonu¸c 3.1. P1(x) ve P2(x) polinomları sırasıyla
P1(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a0 ve P2(x) = bmxm+ bm−1xm−1+ · · · + b0 olsun. Bu durumda, lim x→∞ P1(x) P2(x) = an bm, n = m 0, n < m ∞, n > m olur. ¨Orneˇgin,
lim x→∞ 3x3+ x 5x3− 1 = limx→∞ x3(3 + x12) x3(5 −x13) = 3 5 olur.
3.1. L˙IM˙IT VE S ¨UREKL˙IL˙IK 47