X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ

(1)

X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ

“ÖRGÜ”

Prof. Dr. Ayhan ELMALI

(2)

Kristal sistemlerin ardından kristal nokta gruplarını ve uzay gruplarını anlatmadan önce örgü ve örgünün özelliklerini ve

tiplerini tanımamız, kavramları

anlamamızı kolaylaştırır.

(3)

Her baz, ‘birim hücre’

dediğimiz, bir prizma içindedir. Prizmalar üst üste ve yan yana konarak büyük bir prizma elde

edilir. Bu prizmanın içinde herhangi bir köşede sekiz adet prizmanın birer köşesi birleşmiştir. Her bir küçük prizmada bir molekül veya atom grubu varsa, büyük prizma kristali temsil eder.

(4)

Bir an için kristali gerçekte var olan bazlarından

soyutlarsak şekildeki kristalin örgüsü olarak adlandırılan örgü

noktalarını elde ederiz.

Bir noktaya sonsuz kere a, b ve c ötelemeleri uygulanarak uzaysal

noktalar dizisi elde edilir.

Buna tanım olarak örgü denir.

(5)

Örgü Noktası

Örgünün bütün noktaları idantiktir.

Herhangi bir tanesini başlangıç olarak Herhangi bir tanesini başlangıç olarak

seçelim. Diğer örgü noktaları seçelim. Diğer örgü noktaları

T T = u = u a a + v + v b b + w + w c c vektörünün son vektörünün son ucudur. ( u, v, w tam sayılardır.)

ucudur. ( u, v, w tam sayılardır.)

herhangi bir örgü noktası u, v, w üçlüsü herhangi bir örgü noktası u, v, w üçlüsü

ile gösterilir.

(6)

Bir örgünün c’ye paralel izdüşümü üzerindeki rasyonel doğrultular

( c vektörü kağıt düzlemine diktir.)

[110]

A 220 120

A 000 b [010]

a 100 120

B 220 [120]

[100]

(7)

Rasyonel Doğrultu

Herhangi iki örgü noktasından geçen doğruya rasyonel doğru denir. Bu iki noktadan geçen rasyonel doğru daha pek çok örgü noktasından da geçer. Örneğin, A

doğrusu120; 000; 120; 240…noktalarından geçer. B ise 220; 110; 000; 110…dan geçer. Bütün noktalar idantik olduğundan örgünün herhangi bir noktası başlangıç olarak seçilebilir. Bir doğrultuyu isimlendirmek için

başlangıç olarak seçilen noktadan bu doğrultuya paralel doğrunun geçtiği ilk örgü noktasının koordinatları

kullanılır. Bu koordinatlar köşeli parantez içinde yazılır. A doğrusu [120], B doğrusu [110]. x-ekseni doğrultusu [100], y-ekseni doğrultusu [010]. Genel olarak bir doğrultu [u v w] ile belirlenir ve u, v, w’lara doğrultu indisleri denir.

(8)

Rasyonel Düzlem

1- Örgünün herhangi üç 1- Örgünün herhangi üç noktasından geçen

noktasından geçen düzleme rasyonel düzleme rasyonel düzlem denir.

düzlem denir. C 00p C 00p 2- İki rasyonel doğrultunun 2- İki rasyonel doğrultunun

belirlediği düzleme

belirlediği düzleme C’ C’ 0n0 0n0 rasyonel düzlem denir.

rasyonel düzlem denir. B’ BB’ B 3- Birim hücre kenarlarını

3- Birim hücre kenarlarını A’ A’

rasyonel kesirlerlerasyonel kesirlerle A A

kesen bütün düzlemler m00 kesen bütün düzlemler m00 rasyonel düzlemdir.

rasyonel düzlemdir.

(9)

ABC ve A’B’C’ düzlemlerinin Miller indisleri ABC ve A’B’C’ düzlemlerinin Miller indisleri

(263) ve (132) dir.

Rasyonel düzlemlerin Miller indisleri üç Rasyonel düzlemlerin Miller indisleri üç adımda bulunur.

adımda bulunur.

1- Düzlemin ekseni kestiği noktalar saptanır.

2- Bunların tersleri alınır.

3- Bu üç kesrin paydalarının en küçük ortak 3- Bu üç kesrin paydalarının en küçük ortak

katı ile hepsi çarpılır.

(10)

Koordinatlar Tersleri Miller indisleri Düzlem m, n, p 1 , 1 , 1

m n p

Ekokx(1 , 1 ,1 ) m n p

(hkl)

ABC 3 1 2 1 1 1

3 1 2

6( 1 1 1 ) 3 1 2

(263)

A’B’C’ 1 1 1 3 2

1 1 1 1 3 2

1( 1 3 2 ) 1 1 1

(132)

(11)

A, B, C,…M düzlemleri aynı düzlemlerdir.

İndisleri (210) veya (210) dır.

E D C B A

F Q G

x H

(12)

düzlem m n p 1 1 1 m n p

( h k l )

A 2 4  1 1 1

2 4  ( 2 1 0)

B 3/2 3 

2 1 1

3 3  (2 1 0)

C 1 2  1 1 1

1 2  ( 2 1 0)

D 1/2 1  2 1 1

1 1  ( 2 1 0)

E ( 2 1 0)

F 1 1  2 1 1

1 1  ( 2 1 0)

G 1 2  1 1 1

1 2  ( 2 1 0)

H 3/2 3  2 1 1

3 3  ( 2 1 0)

(13)

A, B C, D, E, F, G ve H düzlemleri eşit aralıklı ve z-eksenine paraleldir. z-eksenini sonsuzda

keserler. Bu düzlemlerin aynı rasyonel düzlem olduğu başlangıç noktası kaydırılınca görülebilir.

Pratikte birim hücre başlangıcına en yakın olan düzlemin (burada D veya F) çizimi yeterlidir.

Rasyonel düzlemlerin küçük parantezlerle gösterilmesi uluslar arası bir kuraldır.

E doğrusu başlangıçtan geçtiği için hesap yapılamamıştır.

(14)

z z (200)

c c (120)

b y b y

a (100) a

X x

c/0=

c/0=  olduğundan (100), (200) ve (120) düzlemleri z- olduğundan (100), (200) ve (120) düzlemleri z-

Bazı rasyonel düzlemler

(15)

z z

c

c (111)

b x b y (211)

a a

x x

(16)

Zon Ekseni

Aynı doğrultuya paralel

olan düzlemler topluluğuna

aynı zona ait düzlemler (h₁k₁l₁) denir. İki düzlemin ara kesit doğrusu zon ekseninin

doğrultusunu verir. (h₂k₂l₂) İki düzlemin ara kesit

doğrusu bunların [u v w]

zon eksenidir.

(17)

Örgü Dönüşümleri

Bir a, b, c vektör takımı verildiğinde

bunlarla ancak bir tane örgü tanımlanır.

Tersine bir örgü verildiğinde bu örgüyü

tanımlamak için bir çok vektör takımı

kullanılabilir.

(18)

b B₁ a A₁

A₂ B₂

Aynı düzlemsel örgü a, b; A₁, B₁; A₂, B₂ ve daha birçok

vektör takımı ile tanımlanabilir.

A₁= a + b B₁= b ;

A₂= a

B₂= a + 2b

(19)

Genel olarak üç boyutlu bir örgüde bir A, B, C vektör takımı a, b, c cinsinden;

A = u₁a + v₁b + w₁c B = u₂a + v₂b + w₂c C = u₃a + v₃b + w₃c

u_i ,v_i, w_i nin üç rasyonel doğrultuyu

tanımladığı açıktır. Bu üç doğrultu belirlenince yeni birim hücre de belirlenmiş olur.

(20)

∆ = u₁ v₁w₁ matrisine dönüşüm

u₂ v₂w₂ matrisi denir.

u₃ v₃w₃

Örgünün birim hücresi değişince rasyonel düzlemlerin Miller indisleri de değişir. Miller

indisleri de yukarıda verilen dönüşüm matrisine göre değişir.

H = u₁h + v₁k + w₁l K = u₂h + v₂k + w₂l

(21)

Örnek: Bir kristalde örgü dönüşümü

sonucunda D1, D2 ve D3 düzlemlerinin Miller indisleri aşağıdaki şekilde dönüşmüştür.

Dönüşüm matrisini bulunuz.

h k l H K L

D₁ ( 1 1 0 ) ( 2 3 0 )

D2 ( 2 1 0 ) ( 3 4 0 )

D₃ ( 0 0 1 ) ( 0 0 1 )

(22)

2 = u1 .1 + v1 . 1 + w1 . 0 u1 + v1 = 2 u1 = 1 3 = u₁ . 2 + v₁. 1 + w₁ . 0 2u₁ + v₁ = 3 v₁= 1 0 = u1 . 0 + v1 . 0 + w1 . 1 w1 = 0 w1 = 0

3 = u₂ . 1 + v₂. 1 + w₂ . 0 u₂ + v₂ = 2 u₂ = 1 4 = u₂.2 + v₂ . 1 + w₂ . 0 2 u₂ + v₂= 4 v₂ = 2 0 = u₂ .0 + v₂ . 0 + w₂ . 1 w₂ = 0 w₂ = 0 0 = u₃. 1 + v₃ . 1 + w₃ . 0 u₃ + v₃ = 0 u₃ = 0 0 = u₃ . 2 + v₃. 1 + w₃. 0 2u₃ + v₃ = 4 v₃ = 0 1 = u₃ . 0 + v₃. 0 + w₃. 0 w₃=1 w₃= 1