a 0 (x) y (n) + a 1 (x) y (n 1) + ::: + a n 1 (x) y 0 + a n (x) y = 0 homogen diferensiyel denklemin genel çözümü

3. Parametrelerin De¼ gi¸ simi Yöntemi

n-yinci basamaktan lineer bir diferensiyel denklemin en genel hali a ₀ (x) 6= 0 olmak üzere

a ₀ (x) y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ (x) y ^{(n 1)} + ::: + a _{n 1} (x) y ⁰ + a _n (x) y = f (x) (1) formundad¬r. a ₀ (x) ; a ₁ (x) ; :::; a _n (x) ve f (x) fonksiyonlar¬ I R aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬, sürekli reel fonksiyonlard¬r. Bu denkleme ili¸ skin

a 0 (x) y ⁽ⁿ⁾ + a 1 (x) y ^{(n 1)} + ::: + a n 1 (x) y ⁰ + a n (x) y = 0 homogen diferensiyel denklemin genel çözümü

y h (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + ::: + c n y n (x) olsun. (1) denkleminin

y _p (x) = c ₁ (x) y ₁ (x) + c ₂ (x) y ₂ (x) + ::: + c _n (x) y _n (x) (2) formunda bir özel çözümü aran¬rsa

8 >

> >

> >

<

> >

> >

> :

c ⁰ ₁ (x) y 1 (x) + c ⁰ ₂ (x) y 2 (x) + ::: + c ⁰ _n (x) y n (x) = 0 c ⁰ ₁ (x) y ⁰ ₁ (x) + c ⁰ ₂ (x) y ⁰ ₂ (x) + ::: + c ⁰ _n (x) y _n ⁰ (x) = 0

.. . .. . .. .

c ⁰ ₁ (x) y ₁ ^{(n 1)} (x) + c ⁰ ₂ (x) y ₂ ^{(n 1)} (x) + ::: + c ⁰ _n (x) y n ^{(n 1)} (x) = _a ^{f (x)}

0

(x)

denklem sistemi ortaya ç¬kar. Bu denklem sisteminden c ⁰ ₁ (x) ; c ⁰ ₂ (x) ; :::; c ⁰ _n (x) bulunur. Sonra integral al¬narak c 1 (x) ; c 2 (x) ; :::; c n (x) elde edilir. Bulunan de¼ gerler (2) de yerine yaz¬larak özel çözüme ula¸ s¬l¬r.

Örnek 1. xy ⁰⁰ (x + 1) y ⁰ + y = x ² diferensiyel denklemine ili¸ skin homogen denklemin iki lineer ba¼ g¬ms¬z çözümü y 1 = e ^x ve y 2 = x + 1 ise genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. Verilen denkleme ili¸ skin homogen denklemin genel çözümü y _h (x) = c ₁ e ^x + c ₂ (x + 1)

dir.

y _p (x) = c ₁ (x) e ^x + c ₂ (x) (x + 1) (3) formunda özel çözüm aran¬rsa

8 <

:

c ⁰ ₁ (x) e ^x + c ⁰ ₂ (x) (x + 1) = 0 c ⁰ ₁ (x) e ^x + c ⁰ ₂ (x) = x

1

denklem sistemi ortaya ç¬kar. Bu denklem sisteminden c ⁰ ₁ (x) = (x + 1) e ^x ; c ⁰ ₂ (x) = 1 bulunur. · Integral al¬n¬rsa

c 1 (x) = (x + 2) e ^x ; c 2 (x) = x elde edilir. Bunlar (3) de yerine yaz¬l¬rsa

y _p (x) = x ² 2x 2

özel çözümü bulunur. Buradan verilen denklemin genel çözümü y = c 1 e ^x + c 2 (x + 1) x ² 2x 2 formunda elde edilir.

Örnek 2. y ⁰⁰ 4y ⁰ 5y = e ^x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Çözüm. y ⁰⁰ 4y ⁰ 5y = 0 homogen diferensiyel denklemine ili¸ skin karak- teristik denklem

r ² 4r 5 = 0

olup r ₁ = 5; r ₂ = 1 iki reel farkl¬köke sahiptir. Buradan homogen denklemin genel çözümü

y h (x) = c 1 e ^5x + c 2 e ^x formundad¬r. Homogen olmayan denklemin

y _p (x) = c ₁ (x) e ^5x + c ₂ (x) e ^x formunda özel çözümü aran¬rsa

8 <

:

c ⁰ ₁ (x) e ^5x + c ⁰ ₂ (x) e ^x = 0 5c ⁰ ₁ (x) e ^5x c ⁰ ₂ (x) e ^x = e ^x denklem sistemi elde edilir. Buradan

c ⁰ ₁ (x) = 1

6 e ^4x ve c ⁰ ₂ (x) = 1 6 e ^2x olarak bulunur. · Integral al¬n¬rsa

c 1 (x) = 1

24 e ^4x ve c 2 (x) = 1 12 e ^2x bulunur. Bu de¼ gerler yerine yaz¬l¬rsa

y p (x) = 1

8 e ^x

2

özel çözümü bulunur. Verilen denklemin genel çözümü y = c 1 e ^5x + c 2 e ^x 1

8 e ^x dir.

Örnek 3. y ⁰⁰ y ⁰ 2y = x ² sin x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Örnek 4. y ⁰⁰ + y = csc x cot x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

3