Örnek 1 . (a) Lf1g = 1

(1)

Ters Laplace Dönü¸ sümleri

Tan¬m 1. Lffg = F (s)1 özelli¼ gini sa¼ glayan f (x) fonksiyonuna F in ters Laplace dönü¸ sümü denir ve L

¹

fF (s)g ile gösterilir.

Örnek 1 . (a) Lf1g = 1

s oldu¼ gundan, 1

s in ters Laplace dönü¸ sümü L

¹

f 1 s g = 1 dir.

(b) Lfe

^ax

g = 1

s a ; s > a; oldu¼ gundan, L

¹

f 1

s a g = e

^ax

dir.

Teorem 1. (Lineerlik Özelli¼ gi) Lff

ⁱ

g = F (s); i = 1; 2; :::; n; ve c

¹

; c

₂

; :::; c

_n

sabitler olmak üzere

L

¹

fc

¹

F

₁

+ c

₂

F

₂

+ ::: + c

_n

F

_n

g = c

¹

L

¹

fF

¹

g + c

²

L

¹

fF

²

g + ::: + c

ⁿ

L

¹

fF

ⁿ

g dir.

Örnek 2. (a) L

¹

3s + 2

s

²

3s + 2 =? (b) L

¹

3s + 8

s

²

+ 2s + 5 =?

Çözüm. (a) 3s + 2

s

²

3s + 2 = A

s 1 + B

s 2 ¸ seklinde basit kesirlerine ayr¬l¬rsa, A = 5 ve B = 8 bulunur. O halde ters Laplace dönü¸ sümünün lineerlik özelli¼ ginden

L

¹

3s + 2

s

²

3s + 2 = 5 L

¹

1 s 1 + 8 L

¹

1 s 2

= 5e

^x

+ 8e

^2x

elde edilir.

(b) s

²

+ 2s + 5 = (s + 1)

²

+ 4 oldu¼ gu göz önüne al¬n¬rsa L

¹

3s + 8

s

²

+ 2s + 5 = L

¹

3s + 3

(s + 1)

²

+ 4 + L

¹

5 (s + 1)

²

+ 4

= 3 L

¹

s + 1

(s + 1)

²

+ 4 + 5

2 L

¹

2 (s + 1)

²

+ 4

= 3e

^x

cos 2x + 5

2 e

^x

sin 2x bulunur, burada L e

^bx

cos ax = s b

(s b)

²

+ a

²

(s > b) ve L e

^bx

sin ax = a

(s b)

²

+ a

²

(s > b) özellikleri kullan¬lm¬¸ st¬r.

(2)

Konvolüsyon

Tan¬m 2. f (x) ve g(x) fonksiyonlar¬n¬n konvolüsyonu

f g = Z

x

0

f (t)g(x t)

¸ seklinde tan¬ml¬d¬r.

Uyar¬1. f g = g f dir.

Teorem 2. (Konvolüsyon Teoremi) L ff(x)g = F (s) ve L fg(x)g = G(s) olsun. Bu durumda

L ff(x) g(x)g = F (s)G(s) dir.

Konvolusyon Türünde · Integral Denklemler Z

x

0

u(t)v(x t)dt

¸ seklinde bir integrale konvolüsyon türü bir integral denir.

Örnek 3. h(x) = Z

x

0

t

⁷

(x t)

⁵

dt integralini hesaplay¬n¬z.

Çözüm. f (x) = x

⁷

; g(x) = x

⁵

olmak üzere h(x) = f g dir. Konvolüsyon teoreminden

Lfh(x)g = L ff(x) g(x)g

= F (s)G(s)

= 7!

s

⁸

5!

s

⁶

= (7!)(5!) s

¹⁴

bulunur. O halde h(x) = L

¹

(7!)(5!)

s

¹⁴

= (7!)(5!)

13! x

¹³

elde edilir.

(3)

Volterra · Integral Denklemi

y(x) = f (x) + Z

x

0

k(x t)y(t)dt (1)

¸ seklinde bir integral Volterra integral denklemi ad¬n¬al¬r, burada f ve k ver- ilen fonksiyonlar olup y bilinmeyendir. (1) deki integral konvolüsyon türünde bir intagral oldu¼ gundan Konvolüsyon teoremi yard¬m¬yla çözüm bulunabilir.

(1) in her iki yan¬na Laplace dönü¸ sümü uygulan¬p Y (s) çözülürse, Y (s) = F (s)

1 K(s) (2)

elde edilir, burada Y (s) = Lfy(x)g; F (s) = Lff(x)g ve K(s) = Lfk(x)g dir. (2) nin her iki yan¬na ters Laplace dönü¸ sümü uygulan¬rsa, (1) integral denkleminin çözümü

y(x) = L

¹

fY (s)g = L

¹

F (s) 1 K(s) bulunur.

Örnek 4.

y(x) = 1 + 2 Z

x

0

e

^{2(x t)}

y(t)dt (3)

integral denklemini çözünüz.

Çözüm. (3) denkleminin her iki yan¬na Laplace dönü¸ sümü uygulan¬rsa Y (s) = 1

s + 2 s

²

elde edilr. Buradan

y(x) = L

¹

fY (s)g

= L

¹

1 s + L

¹

2 s

²

= 1 + 2x

bulunur.

(4)

Birim Basamak Fonksiyonu Tan¬m 3.

u(x c) = 0; x < c;

1; x c;

¸ seklinde tan¬ml¬fonksiyona birim basamak fonksiyonu denir.

Teorem 3. g; [0; 1) üzerinde tan¬ml¬bir fonksiyon olsun ve c 0 olmak üzere Lfg(x + c)g dönü¸sümü s > a için mevcut olsun.

Bu durumda Lfu(x c)g(x) g dönü¸sümü de s > a için mevcut olup Lfu(x c)g(x) g = e

^cs

Lfg(x + c)g

dir.

Örnek 5.

f (x) = 2x + 1; 0 x 2;

3x; x 2;

fonksiyonunun Laplace dönü¸ sümünü hesaplay¬n¬z.

Çözüm. f (x) = 2x + 1 + (x 1)u(x 2) ¸ seklinde yaz¬labilir. Teorem 3 göz önüne al¬n¬rsa,

Lff(x)g = Lf2x + 1g + Lf(x 1)u(x 2) g

= Lf2xg + Lf1g + e

^2s

Lfx + 1g

= 2

s

²

+ 1

s + e

^2s

( 1 s

²