5. LAPLACE DÖNÜ¸ SÜMLER· I

(1)

5. LAPLACE DÖNÜ¸ SÜMLER· I

f fonksiyonu [0; 1) aral¬¼ g¬nda tan¬ml¬ olsun. s reel bir parametre olmak üzere

Z

1

0

e

^st

f (t) dt = lim

A!1

Z

A

0

e

^st

f (t) dt

genelle¸ stirilmi¸ s integrali yak¬nsak ise integralin de¼ gerine f fonksiyonunun Laplace dönü¸ sümü denir ve L ff (t)g = F (s) ile gösterilir.

Örnek 1. t 0 için f (t) = 1 fonksiyonunun Laplace dönü¸ sümü

L f1g = F (s) = Z

1

0

e

^st

dt = lim

A!1

Z

A

0

e

^st

dt

= lim

A!1

1 s e

^st

A

0

= lim

A!1

1 s e

^As

+ 1 s olup s > 0 için lim

A!1

1 s e

^As

+ 1 s = 1

s ; s < 0 için lim

A!1

1 s e

^As

+ 1

s =

1 dur. Ayr¬ca s = 0 için integral ¬raksakt¬r. Dolay¬s¬yla s > 0 için integral yak¬nsak olup

L f1g = 1

s ; s > 0 d¬r.

Örnek 2. t 0 ve a 2 R için f (t) = e

^at

fonksiyonunun Laplace dönü¸ sümü

L e

^at

= F (s) = Z

1

0

e

^st

e

^at

dt = lim

A!1

Z

A

0

e

^{t(s a)}

dt

= lim

A!1

1 s a e

^{t(s a)}

A

0

= 1

s a ; s > a d¬r.

Benzer ¸ sekilde

L ftg = 1

s

²

; L ft

ⁿ

g = n!

s

ⁿ⁺¹

; n 2 N , s > 0 L fsin atg = a

s

²

+ a

²

; L fcos atg = s

s

²

+ a

²

; s > 0

1

(2)

d¬r.

Tan¬m: t t

0

için tan¬ml¬f (t) fonksiyonu için e

^t

jf (t)j K

sa¼ glanacak ¸ sekilde ; K > 0 say¬lar¬ mevcutsa f (t) fonksiyonuna üstel basamaktand¬r denir.

Teorem 1. Reel de¼ gerli f (t) fonksiyonu her sonlu a t b aral¬¼ g¬nda parçal¬sürekli ve üstel basamaktan ise s > için f (t) fonksiyonunun Laplace dönü¸ sümü mevcuttur.

Laplace Dönü¸ sümünün Temel Özellikleri

Teorem 2 (Lineerlik Özelli¼ gi): f

₁

; f

₂

; :::; f

_n

fonksiyonlar¬n¬n Laplace dönü¸ sümleri mevcut olsun. c

₁

; c

₂

; :::; c

_n

’ler key… sabitler olmak üzere

L fc

1

f

₁

(t) + c

₂

f

₂

(t) + ::: + c

_n

f

_n

(t)g = c

1

L ff

1

(t)g+c

2

L ff

2

(t)g+:::+c

n

L ff

n

(t)g dir.

Teorem 3 (Öteleme Özelli¼ gi): s > için L ff (t)g = F (s) ise L e

^at

f (t) = F (s a) ; s > + a

d¬r..

Teorem 4: s > için L ff (t)g = F (s) mevcut ise L ft

ⁿ

f (t)g = ( 1)

ⁿ

d

ⁿ

ds

ⁿ

F (s) ; n 2 N dir.

Teorem 5: L ff (t)g = F (s) ve lim

_t

!0

f (t)

t mevcut ise L f (t)

t =

Z

1

s

F (u) du dur.

Teorem 6: L ff (t)g = F (s) mevcut ise L 8 <

: Z

t

0

f (u) du 9 =

; = 1

s F (s) dir.

Örnek 3. L t

²

e

^2t

Laplace dönü¸ sümünü bulunuz.

Çözüm. F (s) = L t

²

= 2

s

³

; s > 0 oldu¼ gundan öteleme özelli¼ ginden L t

²

e

^2t

= F (s 2) = 2

(s 2)

³

; s > 2 bulunur.

2

(3)

Örnek 4. L cos

²

t Laplace dönü¸ sümünü bulunuz.

Çözüm.

L cos

²

t = L 1 + cos 2t 2

= 1

2 L f1g + 1

2 L fcos 2tg = 1 2s + 1

2 s s

²

+ 4

Örnek 5. L ft sin tg Laplace dönü¸sümünü bulunuz.

Çözüm. F (s) = L fsin tg = 1

s

²

+ 1 oldu¼ gundan L ft sin tg = d

ds 1

s

²

+ 1 = 2s (s

²

+ 1)

²

dir.

Örnek 6. L sin at

t Laplace dönü¸ sümünü bulunuz.

Çözüm. L sin at

t =

Z

1

s

a

u

²

+ a

²

du = arctan u a

1 s

=

2 arctan s a

Birim Basamak Fonksiyonu

a 0 olmak üzere birim basamak fonksiyonu u

_a

(t) = u (t a) = 0; t < a

1; t a

olarak tan¬mlan¬r. u

_a

(t) fonksiyonu parçal¬ sürekli ve üstel basamaktan olup L fu

a

(t)g Laplace dönü¸sümü mevcuttur.

L fu

^a

(t)g = Z

1

0

e

^st

u

a

(t) dt = Z

a

0

e

^st

u

a

(t) dt + Z

1

a

e

^st

u

a

(t) dt

= Z

1

a

e

^st

dt = 1

s e

^as

; s > 0

d¬r. s > için L ff (t)g = F (s) mevcut ise L fu

a

(t) f (t a)g = e

^sa