Hafta 5: Baz ve Boyut

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I)

Hafta 5: Baz ve Boyut

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç Dr.

· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Baz ve Boyut

Tan¬m 15: V bir reel vektör uzay¬ve ψ = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g ^V olsun.

1

ψ = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ms¬z

2

V = Span f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g = ^Span f ^ψ g

özelikleri sa¼ glan¬yor ise ψ vektör cümlesine V vektör uzay¬n¬n

bir baz¬veya taban¬ad¬verilir. Bir uzay¬n baz vektörleri o

uzay¬temsil eden vektörlerin cümlesidir.

Örnek 30: R

reel vektör uzay¬nda

ψ = f! ^e

= ( 1, 0 ) , ! _e

= ( 0, 1 )g vektör cümlesi bir bazd¬r.

1

det 1 0

0 1 = 1 6= ^{0 oldu¼} gundan ψ vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

2

8

^α = ( x, y ) 2 ^R

^için

^α = c

! _e

+ c

! _e

olacak ¸sekilde c

= x, c

= y 2 R vard¬r. O halde R

= Span f ^ψ g ^. ψ baz¬na R

reel vektör uzay¬n¬n standart baz¬denir.

Benzer ¸sekilde kolayca gösterilebilir ki

Ψ = f! ^e

= ( 1, 0, 0 ) , ! _e

= ( 1, 0, 1 ) , ! _e

= ( 0, 0, 1 )g ^vektör

cümlesi de R

reel vektör uzay¬n¬n standart baz¬olur.

Örnek 31: R

reel vektör uzay¬nda ψ = ⁿ ! _f

1

= ( 1, 0 ) , ! _f

2

= ( 0, 1 ) , ! _f

3

= ( 3, 2 ) ^o vektör cümlesi bir baz m¬d¬r?

c

, c

, c

2 R için

c

! _f

1

+ c

! _f

2

+ c

! _f

3

= ! 0 ifadesinden

c

( 1, 0 ) + c

( 0, 1 ) + c

( 3, 2 ) = ( 0, 0 )

( c

+ 3c

, c

2c

) = ( 0, 0 )

olaca¼ g¬ndan c

+ 3c

= 0 ve c

2c

= 0 olur. Bu ise λ 2 R

olmak üzere c

= 3λ, c

= 2λ ve c

= λ demektir. O halde bu

vektörler lineer ba¼ g¬ml¬d¬rlar. Dolay¬s¬yla bir baz olamazlar.

Uyar¬: Bir vektör uzay¬nda ! 0 vektörünü içeren alan herhangi bir

vektör cümlesi o uzay¬n baz¬olamaz. Çünkü ! 0 vektörünü içeren

her vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ml¬d¬r..

Örnek 32: R

reel vektör uzay¬nda φ = ⁿ ! _f

1

= ( 1, 1, 1 ) , ! _f

2

= ( 1, 1, 1 ) , ! _f

3

= ( 1, 1, 1 ) ^o vektör cümlesi bir baz m¬d¬r?

1

det 2 4

1 1 1

1 1 1

1 1 1

3

5 = 4 6= ⁰

oldu¼ gundan φ vektör cümlesi lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r.

2

R

reel vektör uzay¬nda φ vektör cümlesi R

reel vektör uzay¬n¬gerer. Çünkü; 8

^α = ( x, y , z ) 2 R

için

α = _∑

i=1

c

! _e

olacak ¸sekilde c

= ^z + y

2 , c

= ^x + z

2 , c

= ^x + y

2 2 R

vard¬r.

O halde φ vektör cümlesi R

reel vektör uzay¬n¬n bir baz¬d¬r.

Teorem 8: V bir reel vektör uzay¬ve ψ = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g ^bu vektör uzay¬n¬n bir baz¬olsun. 8

^α 2 V vektörü ψ baz vektörlerinin lineer birle¸simi olarak tek türlü yaz¬l¬r.

Tan¬m 16: V bir reel vektör uzay¬ve ψ = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g ^bu vektör uzay¬n¬n bir baz¬olsun. 8

^α 2 V vektörü için

α = _∑

i=1

c

! _e

olacak ¸sekilde c

, c

, ..., c

2 R say¬lar¬na

α vektörünün bu baza göre bile¸ senleri denir ve bu baza göre vektör

α

= ( c

, c

, ..., c

)

ile gösterilir.

Örnek 33: R

reel vektör uzay¬nda φ = ⁿ ! _f

1

= ( 1, 1, 1 ) , ! _f

2

= ( 1, 1, 1 ) , ! _f

3

= ( 1, 1, 1 ) ^o vektör cümlesi bir bazd¬r. Standart baza göre koordinatlar¬baza göre

!

α = ( 1, 5, 3 ) olan vektörün φ baz¬na göre koordinatlar¬n¬

bulunuz.

c

, c

, c

2 ^{R için}

c

! _f

1

+ c

! _f

2

+ c

! _f

3

= ! _α

c

( 1, 1, 1 ) + c

( 1, 1, 1 ) + c

( 1, 1, 1 ) = ( 1, 5, 3 ) ( c

+ c

+ c

, c

c

+ c

, c

+ c

c

) = ( 1, 5, 3 ) olup c

+ c

+ c

= 1, c

c

+ c

= 5 ve c

+ c

c

= 3 denklemlerinden c

= 4, c

= 1, c

= 2 olur. Yani ! _α

φ

= ( 4, 1, 2 )

olur.

Tan¬m 17: V sonlu boyutlu bir reel vektör uzay¬ve

ψ = f ^α

^{, α}

^{, .., α}

g bu vektör uzay¬n¬n bir baz¬olsun. Bazdaki vektör say¬s¬na bu uzay¬n boyutu ad¬verilir. Bir V vektör uzay¬n¬n boyutu boyV ile gösterilir.

Örnek 33: R

reel vektör uzay¬nda φ =

f! ^e

= ( 1, 0, 0, ..., 0 ) , ! _e

= ( 0, 1, 0, ..., 0 ) , ..., ! _e

= ( 0, 0, 0, ..., 1 )g vektör cümlesine uzay¬n standart baz¬ad¬verilir. Dolay¬s¬yla bu uzay¬n boyutu boy R

= n olur.

Uyar¬: Bir vektör uzay¬n¬n baz¬ndaki vektör say¬s¬uzay¬n boyutunu

geçemez.

Örnek 34: R

reel vektör uzay¬nda

W = ( x

, x

, x

, x

) 2 R

: x

+ x

= x

x

alt uzay¬veriliyor.

Bu uzay¬n bir baz¬n¬ve boyutunu bulunuz.

x

= λ, x

= µ ve x

= ζ 2 R olsun. Bu durumda x

= µ ζ λ olur. Yani,

( x

, x

, x

, x

) = ( µ ζ λ, λ, µ, ζ )

= λ ( 1, 1, 0, 0 ) + ζ ( 1, 0, 1, 0 ) + µ ( 1, 0, 1, 0 ) olup

φ = ⁿ ! _f

1

= ( 1, 1, 0, 0 ) , ! _f

2

= ( 1, 0, 1, 0 ) , ! _f

3

= ( 1, 0, 1, 0 ) ^o

cümlesi W alt uzay¬için bir bazd¬r. Dolay¬s¬yla boyW = 3 olur.

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.